Κυριακή, 28 Σεπτεμβρίου 2008

Ερώτηση στην ταλάντωση με κρούση.



Το σύστημα µάζας – ελατηρίου του σχήματος ταλαντώνεται σε λείο οριζόντιο επίπεδο µε πλάτος Α και περίοδο Τ. Όταν το σώμα µάζας Σ διέρχεται από τη θέση ισορροπίας συγκρούεται πλαστικά µε το σώμα Β, που έπεφτε ελεύθερα και το σύστημα συνεχίζει να ταλαντώνεται.
Ποιες προτάσεις είναι σωστές και ποιες λανθασμένες:
  1. Η θέση ισορροπίας της ταλάντωσης έµεινε η ίδια.
  2. Μεταξύ των καταστάσεων ελάχιστα πριν και ελάχιστα µετά την κρούση ισχύει η αρχή διατήρησης της ορμής.
  3. Μεταξύ των καταστάσεων ελάχιστα πριν και ελάχιστα µετά την κρούση στον οριζόντιο άξονα ισχύει η αρχή διατήρησης της ορμής.
  4. Η περίοδος της ταλάντωσης αυξήθηκε.
  5. Η ενέργεια της ταλάντωσης µειώθηκε.
.
Απάντηση:

.

Φθίνουσα Ηλεκτρική Ταλάντωση

.
Σε κύκλωμα RLC εκτελούνται φθίνουσες ηλεκτρομαγνητικές ταλαντώσεις, με αρχικό φορτίο Q0. Ποιες από τις προτάσεις που ακολουθούν είναι σωστές και ποιες λανθασμένες;
  1. το μέγιστο φορτίο που έχει ο πυκνωτής μετά από κάθε ταλάντωση μειώνεται εκθετικά με το χρόνο
  2. το αρχικό φορτίο του πυκνωτή τελικά εξαφανίζεται όταν σταματήσει η ταλάντωση
  3. το αρχικό φορτίο του πυκνωτή δεν εξαφανίζεται. Το συνολικό φορτίο στο κύκλωμα είναι ίσο με μηδέν και όσο υπήρχε ενέργεια ταλάντωσης τα διαχωρισμένα αρνητικά και θετικά φορτία ταλαντωνόταν
  4. Για τη συχνότητα ισχύει :

Εξαναγκασμένη και φθίνουσα Ηλεκτρική Ταλάντωση.

Για το κύκλωμα Β του σχήματος δίνονται L=2Η και C=2μF. Η γεννήτρια στο Α κύκλωμα έχει τάση:
v=200ημ500t, (μονάδες στο S.Ι.)

Να βρεθούν:
  1. Το μέγιστο φορτίο του πυκνωτή,
  2. Η μέγιστη ενέργεια του πυκνωτή και του πηνίου. Να σχολιάστε το αποτέλεσμα.
  3. Σε μια στιγμή που το φορτίο του πυκνωτή είναι μέγιστο, έστω t=0, ανοίγουμε το διακόπτη δ.
…….α) Να κάνετε τα διαγράμματα q=f(t) και i=f(t) (ποιοτικά διαγράμματα).
…….β) Η γωνιακή συχνότητα ταλάντωσης θα είναι ίση, μεγαλύτερη ή μικρότερη από 500rαd/s;
.
Απάντηση:
.

Εξαναγκασμένη ταλάντωση και ενέργειες.



Το κύκλωμα Α διεγείρει το Β κύκλωμα σε εξαναγκασμένη ταλάντωση. Η τάση της γεννήτριας δίνεται από την εξίσωση:
v=40ημ(4000t + φ). (μονάδες στο S.Ι.)
Δίνεται για το Β κύκλωμα C=20μF, L=2mΗ και R=0,5Ω ενώ διαρρέεται από ηλεκτρικό ρεύμα με πλάτος έντασης Ι=0,1A, όπου για t=0, i= - 0,1 Α.
  1. Ποια η γωνιακή (κυκλική) ιδιοσυχνότητα του Β κυκλώματος;
  2. Να βρεθεί η εξίσωση της έντασης του ρεύματος που διαρρέει το Β κύκλωμα καθώς και του φορτίου του πυκνωτή, σε συνάρτηση με το χρόνο.
  3. Να υπολογιστεί η μέγιστη ενέργεια που αποθηκεύεται στο πηνίο και στον πυκνωτή του Β κυκλώματος.
  4. Πόση θερμότητα παράγεται στον αντιστάτη σε χρονικό διάστημα 20s;
Προτροπή: Μελετήστε προηγούμενα την ανάρτηση:

Εξαναγκασμένη Ταλάντωση και ΣΥΝΤΟΝΙΣΜΟΣ.


.
Απάντηση:

.

Εξαναγκασμένη Ταλάντωση και ΣΥΝΤΟΝΙΣΜΟΣ.


Έστω ένα σώμα που εκτελεί εξαναγκασμένη ταλάντωση με την επίδραση μιας εξωτερικής δύναμης της μορφής F=F0ημ(ωt+φ0) και που η απομάκρυνσή του δίνεται από τη σχέση x=Αημωt. Για την ταχύτητα ταλάντωσης έχουμε:
υ= dx/dt = Αω·συνωt
όπου ω η γωνιακή συχνότητα της εξωτερικής δύναμης, δηλαδή η συχνότητα του διεγέρτη.
Για την ταλάντωση αυτή ισχύει ότι Umaxmax;
Ας πάρουμε το λόγο:
Umαxmax= ( ½ kΑ2)/( ½ mυmax2) = kΑ2/mΑ2ω2 = k/mω2 = mω02/mω2 = ω022
Umαxmax= 4π2f02/4π2f12 = f02/f2. (1)
Όπου ω0 η γωνιακή ιδιοσυχνότητα του ταλαντωτή.
Ας πάρουμε τώρα την καμπύλη συντονισμού.

Διακρίνουμε τρεις περιπτώσεις.
Α) Αν fδιεγ = f1 όπου η συχνότητα f1 είναι μικρότερη από την ιδιοσυχνότητα f0, η σχέση (1) δίνει:
Umαxmax= f02/f2 > 1 ή Umax> Κmax.
Β) Αν fδιεγ = f2 όπου η συχνότητα f2 είναι μεγαλύτερη από την ιδιοσυχνότητα f0, η σχέση (1) δίνει:
Umαxmax= f02/f2 τότε U max < Κmax.
Γ) Αν fδιεγ = f0 όπου f0 ιδιοσυχνότητα, η σχέση (1) δίνει:
Umαxmax= f02/f2 = 1 ή Umax= Κmax.
Συμπέρασμα:
Μόνο στην περίπτωση που η συχνότητα του διεγέρτη είναι ίση με την ιδιοσυχνότητα του συστήματος, η μέγιστη δυναμική είναι ίση με την μέγιστη κινητική ενέργεια ταλάντωσης.

Και ερχόμαστε τώρα στο θέμα του ΣΥΝΤΟΝΙΣΜΟΥ. Τι ονομάζουμε συντονισμό; Την περίπτωση που το πλάτος ή την περίπτωση που η υmax είναι μέγιστη; Θα πείτε υπάρχει διαφορά;
Η απάντηση είναι ΝΑΙ. Ας πάρουμε τις γραφικές παραστάσεις του πλάτους της απομάκρυνσης και του πλάτους της ταχύτητας σε συνάρτηση με την συχνότητα του διεγέρτη.

Το πλάτος (της απομάκρυνσης) γίνεται μέγιστο για μια συχνότητα f1 λίγο μικρότερη από την ιδιοσυχνότητα f0, ενώ το πλάτος της ταχύτητας γίνεται μέγιστο για συχνότητα ακριβώς ίση με την ιδιοσυχνότητα f0. (προσέξτε λίγο και την διαφορά των δύο γραφικών παραστάσεων για πολύ μικρές τιμές της fεξ.
Αν μιλήσουμε τώρα για μια εξαναγκασμένη ηλεκτρική ταλάντωση οι αντίστοιχες γραφικές παραστάσεις είναι:

Προσέξτε την απόλυτη ομοιότητα με βάση την αντιστοίχιση: x→Q, υ→Ι.
Στην περίπτωση τώρα της Μηχανικής ταλάντωσης, ο συντονισμός ορίζεται σαν η κατάσταση εκείνη που το πλάτος της ταλάντωσης είναι μέγιστο. Οπότε:
1) η καμπύλη συντονισμού είναι η καμπύλη (1).
2) Ο συντονισμός πρέπει να ορίζεται με βάση τη μεγιστοποίηση του πλάτους και όχι με βάση της συχνότητα του διεγέρτη. (Πρέπει να αποφεύγουμε να λέμε ότι όταν η συχνότητα του διεγέρτη γίνει ίση με την ιδιοσυχνότητα τότε έχουμε συντονισμό).
Στην περίπτωση της εξαναγκασμένης ηλεκτρικής ταλάντωσης, ο συντονισμός ορίζεται σαν εκείνη η κατάσταση όπου το πλάτος του ρεύματος γίνεται μέγιστο. Οπότε:
1) η καμπύλη συντονισμού είναι η καμπύλη (4).
2) Εδώ στον συντονισμό ισχύει f0=fεξ, οπότε μπορούμε να ορίσουμε τον συντονισμό και με βάση την συχνότητα.
.

Τετάρτη, 24 Σεπτεμβρίου 2008

Διαφορά φάσης και διακρότημα.

.

Στο σχήμα δίνεται η απομάκρυνση ενός σώματος που εκτελεί ταυτόχρονα δύο α.α.τ. με το ίδιο πλάτος Α. Δίνεται ακόμη t1=2s. Ποιες από τις παρακάτω προτάσεις είναι σωστές και ποιες λάθος.

  1. Οι δύο ταλαντώσεις έχουν περίπου την ίδια συχνότητα.
  2. Τη χρονική στιγμή t1 οι δύο ταλαντώσεις παρουσιάζουν διαφορά φάσεως μεταξύ τους ίση με π.
  3. Τη χρονική στιγμή t2=3s οι δύο ταλαντώσεις παρουσιάζουν διαφορά φάσης μεταξύ τους ίση με 2π.
  4. Η περίοδος του διακροτήματος είναι ίση με 2s.
  5. Οι συχνότητες των δύο ταλαντώσεων είναι ίσες με f1= 6,75Ηz και f2=7,25Ηz.
.
Απάντηση:

.

Τρίτη, 23 Σεπτεμβρίου 2008

Ρυθμοί μεταβολής στην Ηλεκτρική ταλάντωση.


Ο διακόπτης του παραπάνω κυκλώματος είναι κλειστός για μεγάλο χρονικό διάστημα. Σε μια στιγμή ανοίγουμε τον διακόπτη, οπότε το πηνίο διαρρέεται από ρεύμα το οποίο μεταβάλλεται όπως στο παρακάτω διάγραμμα.

Αν L= 0,01 Η και C= 4μF, ζητούνται για τη χρονική στιγμή t1 όπου i=3 Α:
  1. Το φορτίο του πυκνωτή.
  2. Ο ρυθμός με τον οποίο αυξάνεται το φορτίο του πυκνωτή.
  3. Ο ρυθμός με τον οποίο μεταφέρεται ενέργεια στον πυκνωτή.
  4. Ο ρυθμός μεταβολής της έντασης του ρεύματος.
.
Απάντηση:

.

Κυριακή, 21 Σεπτεμβρίου 2008

Ταλάντωση συστήματος σωμάτων και γραφική παράσταση.


Το σώμα Σ1 μάζας m1=5kg ηρεμεί στο πάνω άκρο ενός κατακόρυφου ελατηρίου, το άλλο άκρο του οποίου στηρίζεται στο έδαφος, προκαλώντας του συσπείρωση κατά 0,25m. Για t=0 αφήνουμε πάνω στο σώμα Σ1 ένα δεύτερο σώμα Σ2 μάζας m2=3kg.
  1. Ν’ αποδειχθεί ότι το σύστημα των δύο σωμάτων θα εκτελέσει απλή αρμονική ταλάντωση.
  2. Να βρεθεί η περίοδος και το πλάτος της ταλάντωσης του συστήματος.
  3. Να γίνει η γραφική παράσταση σε συνάρτηση με το χρόνο, της δύναμης που δέχεται το σώμα Σ2 από το Σ1, αν η προς τα πάνω κατεύθυνση θεωρηθεί θετική.
Δίνεται g=10m/s2.
.
Απάντηση:
.

Ταλάντωση και κρούση.


Μια πλάκα μάζας m1= 2kg ηρεμεί στο πάνω άκρο ενός κατακόρυφου ελατηρίου, το άλλο άκρο του οποίου στηρίζεται στο έδαφος. Εκτρέπουμε την πλάκα κατακόρυφα προς τα κάτω κατά d=0,2m και σε μια στιγμή την αφήνουμε να κινηθεί, ενώ ταυτόχρονα από ύψος Η=32,5cm (πάνω από την πλάκα) αφήνουμε μια σφαίρα ίσης μάζας να πέσει. Τα δύο σώματα συγκρούονται μετά από χρόνο t1 = π/20 s και κατά την κρούση ανταλλάσσουν ταχύτητες.
  1. Σε ποια θέση έγινε η κρούση των δύο σωμάτων;
  2. Ποιες οι ταχύτητες των δύο σωμάτων ελάχιστα πριν την κρούση;
  3. Να βρεθεί η ενέργεια ταλάντωσης, πριν και μετά την κρούση.
    Δίνεται g=10m/s2 και π2 ≈10.
.
.

Απλή Αρμονική Ταλάντωση και Κατακόρυφη Βολή.


Ένα κατακόρυφο ελατήριο, σταθεράς k=200Ν/m, στηρίζεται στο έδαφος με το κάτω άκρο του, ενώ στο πάνω άκρο του ηρεμεί ένα σώμα μάζας m=8kg, χωρίς να είναι δεμένο με το ελατήριο. Ασκώντας κατάλληλη κατακόρυφη δύναμη, εκτρέπουμε το σώμα κατακόρυφα προς τα κάτω κατά y1=0,8m και για t=0 το αφήνουμε να κινηθεί.
  1. Ν’ αποδειχθεί ότι για όσο χρόνο το σώμα βρίσκεται σε επαφή με το ελατήριο, εκτελεί απλή αρμονική ταλάντωση.
  2. Ποια χρονική στιγμή το σώμα εγκαταλείπει το ελατήριο; Τι κίνηση θα πραγματοποιήσει από κει και πέρα;
  3. Πόσο θα απέχει το σώμα από το πάνω άκρο του ελατηρίου, τη στιγμή που θα μηδενιστεί στιγμιαία η ταχύτητά του;
    Δίνεται g=10m/s2.
.
Απάντηση:

.

Παρασκευή, 19 Σεπτεμβρίου 2008

Δύναμη από ελατήριο



Ένα σώμα Σ μάζας 2kg ηρεμεί στο πάνω άκρο κατακόρυφου ελατηρίου σταθεράς Κ=200Ν/m. Ασκώντας κατακόρυφη δύναμη στο σώμα Σ το ανεβάζουμε κατά h=0,4m και το αφήνουμε να ταλαντωθεί. Ζητούνται:
  1. Η ενέργεια ταλάντωσης.
  2. Η μέγιστη δυναμική ενέργεια ταλάντωσης.
  3. Η μέγιστη δυναμική ενέργεια του ελατηρίου.
  4. Να κάνετε το διάγραμμα της δύναμης του ελατηρίου σε συνάρτηση με την απομάκρυνση του σώματος από τη θέση ισορροπίας, θεωρώντας θετική τη φορά προς τα πάνω.

………Δίνεται g=10m/s2.

.

Απάντηση:

.

Πέμπτη, 18 Σεπτεμβρίου 2008

Πλάτος και ενέργεια ταλάντωσης.


Ένα σώμα μάζας m=4kg ισορροπεί όπως στο διπλανό σχήμα έχοντας επιμηκύνει το ελατήριο κατά Δl=0,4m. Το ελατήριο έχει σταθερά Κ=400Ν/m και g=10m/s2.
  1. Υπολογίστε την τάση του νήματος και την ενέργεια του ελατηρίου.
  2. Σε μια στιγμή κόβουμε το νήμα και το σώμα ταλαντώνεται.
    -----i) Γύρω από ποια θέση πραγματοποιείται η ταλάντωση;
    -----ii) Ποιο το πλάτος και ποια η ενέργεια ταλάντωσής του;

Αμείωτη και φθίνουσα Ηλεκτρική Ταλάντωση.

.

Στα κυκλώματα του σχήματος φέρνουμε το μεταγωγό στη θέση α, μέχρι που να φορτιστεί ο πυκνωτής και μετά μεταφέρουμε το μεταγωγό στη θέση β για t=0.
  1. Να χαράξετε στο ίδιο διάγραμμα τις γραφικές παραστάσεις του φορτίου του πυκνωτή σε συνάρτηση με το χρόνο και για τα δύο κυκλώματα.
  2. Αν στο πρώτο κύκλωμα το φορτίο του πυκνωτή μηδενίζεται για πρώτη φορά τη χρονική στιγμή t1=1μs, στο δεύτερο κύκλωμα θα μηδενιστεί τη χρονική στιγμή:
    ..... i) 0,9μs ............. ii) 1μs ...............   iii) 1,1μs

.

Απάντηση:

.

Τρίτη, 16 Σεπτεμβρίου 2008

Η επιτάχυνση στην απλή αρμονική Ταλάντωση.

Το σώμα Σ1 του παραπάνω σχήματος είναι δεμένο στο ελεύθερο άκρο οριζόντιου ιδανικού ελατηρίου του οποίου το άλλο άκρο είναι ακλόνητο. Το σώμα Σ1 εκτελεί απλή αρμονική ταλάντωση πλάτους Α σε λείο οριζόντιο δάπεδο. Το μέτρο της μέγιστης επιτάχυνσης του Σ1 είναι α1max. Το σώμα Σ1 αντικαθίσταται από άλλο σώμα Σ2 διπλάσιας μάζας, το οποίο εκτελεί απλή αρμονική ταλάντωση ίδιου πλάτους Α.
  1. Για το μέτρο α2max της μέγιστης επιτάχυνσης του Σ2, ισχύει:
    α.  α2max = ½ α1max  ..........  β. α2max = α1max ................. γ. α2max = 2 · α1max.
    Να επιλέξετε το γράμμα που αντιστοιχεί στη σωστή σχέση.
  2. Να δικαιολογήσετε την επιλογή σας.

Εξετάσεις Ομογενών 2008

.

Απάντηση:

.

Μπορείτε να δείτε όλα τα θέματα από ΕΔΩ.

.

Σάββατο, 13 Σεπτεμβρίου 2008

Φάση και αρχική φάση ταλάντωσης.




Στο διάγραμμα δίνεται η γραφική παράσταση της φάσης σε συνάρτηση με το χρόνο, ενός σώματος που εκτελεί απλή αρμονική ταλάντωση, πλάτους Α=0,2m.

  1. Πόση είναι η αρχική φάση και ποιος ο ρυθμός μεταβολής της φάσης;
  2. Ποια η περίοδος ταλάντωσης του σώματος;
  3. Ποια χρονική στιγμή το σώμα φτάνει στη θέση x= - 0,2m για δεύτερη φορά;

.

Απάντηση:

.

Ταλάντωση και γραφικές παραστάσεις.

Στο σχήμα φαίνεται μια σφαίρα, μάζας 2kg, να εκτελεί α.α.τ κρεμασμένη στο άκρο ελατηρίου με φυσικό μήκος l0=0,4m, το άλλο άκρο του οποίου είναι δεμένο σε απόσταση d=1m από το έδαφος. 
Μετρήσαμε το ύψος h της σφαίρας από το έδαφος και σχεδιάσαμε την γραφική του παράσταση σε συνάρτηση με το χρόνο, παίρνοντας την καμπύλη του διπλανού σχήματος.
i)   Γύρω από ποια θέση ταλαντώνεται η σφαίρα;
ii)  Να βρεθεί η σταθερά του ελατηρίου.
iii) Να σχεδιάστε την γραφική παράσταση της απομάκρυνσης σε συνάρτηση με το χρόνο, θεωρώντας την προς τα κάτω κατεύθυνση σαν θετική.
iv) Ποια χρονική στιγμή t1 το σώμα απέχει 0,8m από το έδαφος για πρώτη φορά;
Δίνεται g=10m/s2.

Τετάρτη, 10 Σεπτεμβρίου 2008

Δύναμη στην Ταλάντωση.


Ένα σώμα Σ μάζας 2kg στηρίζεται σε μια σανίδα και εκτελεί απλή αρμονική ταλάντωση σε κατακόρυφη διεύθυνση με εξίσωση x=0,4ημ5t (θετική φορά προς τα πάνω).
  1. Πόση δύναμη δέχεται από την σανίδα 0,3m πάνω από τη θέση ισορροπίας;
  2. Να γίνει το διάγραμμα της παραπάνω δύναμης σε συνάρτηση με το χρόνο.


Απάντηση:

.

Δευτέρα, 8 Σεπτεμβρίου 2008

Τάση του νήματος


.
Τα σώματα Β και Γ με ίσες μάζες m1=m2=2kg ηρεμούν στο κάτω άκρο ενός κατακόρυφου ελατηρίου σταθεράς k=100Ν/m, όπως στο σχήμα. Τραβάμε το σώμα Γ προς τα κάτω απομακρύνοντάς το κατά d=0,2m και το αφήνουμε να εκτελέσει α.α.τ.

  1. Ποια η μέγιστη και ποια η ελάχιστη τιμή της τάσης του νήματος που συνδέει τα δύο σώματα;
  2. Σε μια στιγμή που η τάση του νήματος είναι ελάχιστη το νήμα κόβεται. Ποια η απόσταση των δύο σωμάτων μετά από χρόνο 1s, αν το μήκος του νήματος ήταν 0,3m;

Δίνεται g=10m/s2.

Απάντηση:

.

Κυριακή, 7 Σεπτεμβρίου 2008

Κύκλος αναφοράς Ταλάντωσης

.
Ένα ερώτημα που τίθεται συχνά από συναδέλφους, είναι το εξής: Μπορεί ένας μαθητής να χρησιμοποιήσει τον κύκλο αναφοράς της ταλάντωσης για να λύσει μια άσκηση Ταλάντωσης ή υποχρεούται να επιλύσει την άσκηση στηριζόμενος σε γνώσεις Τριγωνομετρίας;
Το ερώτημα έχει βάση γιατί πραγματικά στο σχολικό βιβλίο δεν αναφέρεται τίποτα σε σχέση με περιστρεφόμενα διανύσματα και αρμονικά μεταβαλλόμενα μεγέθη. Να μην παρασυρόμαστε από το βιβλίο των δεσμών συνάδελφοι..
Όμως…. Έχω την αίσθηση ότι η μελέτη μιας Ταλάντωσης με την βοήθεια περιστρεφόμενου διανύσματος, είναι πολύ χρήσιμη, στην σύνδεση της κυκλικής κίνησης με την ταλάντωση, αλλά και βοηθάει τον μαθητή να κατανοήσει το πώς και το γιατί μεγέθη που έχει διδαχτεί στην Α΄Τάξη ( και που θα τα ξαναδεί στο κεφάλαιο του στερεού) όπως γωνιακή ταχύτητα ω, γωνία φ, τα ξαναβρίσκει με διαφορετικά ονόματα στις ταλαντώσεις. Τι πράγμα είναι αυτή η γωνιακή συχνότητα (εντάξει είναι ίση με ω=2πf και λοιπόν;) ή τι νόημα έχει η φάση;
Βέβαια στο σχολικό βιβλίο δεν αναφέρεται (κακώς) τίποτα. Νομίζω λοιπόν ότι πρέπει εμείς να το διδάξουμε, να κάνουμε την σύνδεση, αλλά να επισημάνουμε στα παιδιά ότι υποχρεούνται να κάνουν μια πλήρη ανάλυση, αν θέλουν να το γράψουν σε εξετάσεις και να μην χάσουν μόρια (από συναδέλφους με αντίθετη άποψη από αυτήν που εκφράστηκε προηγούμενα).
Ας δούμε ένα παράδειγμα.

Ένα σώμα εκτελεί απλή αρμονική ταλάντωση με πλάτος 0,2m και περίοδο Τ=2s και για t=0 περνά από την θέση Β με x1= - 0,1m κινούμενο προς τη θέση ισορροπίας.

  1. Ποια η εξίσωση της απομάκρυνσης σε συνάρτηση με το χρόνο και
  2. Ποια χρονική στιγμή θα φτάσει, για πρώτη φορά, στη θέση Γ με x2= +0,1m;


Ας δούμε και μια ενδεχόμενη απάντηση:
Έστω ότι έχουμε ένα σώμα Σ που εκτελεί ομαλή κυκλική κίνηση, διαγράφοντας έναν κατακόρυφο κύκλο κέντρου Ο και ακτίνας R=Α. Το σώμα ξεκινά για t=0 από μια θέση όπου η επιβατική ακτίνα σχηματίζει γωνία φ0 με τον άξονα x. Μετά από χρόνο t το σώμα έχει διαγράψει γωνία θ=ωt όπου ω η γωνιακή ταχύτητα περιστροφής του.
Αν πάρουμε την προβολή στον άξονα y΄y του σώματος Σ, θα πάρουμε το σώμα Σ΄ το οποίο απέχει από το κέντρο Ο του κύκλου απομάκρυνση:
(ΟΣ΄) = x= (ΟΣ) ημ(ωt + φ0) ή
x = Α· ημ(ωt + φ0).
Παρατηρούμε δηλαδή ότι το σημείο Σ΄ εκτελεί α.α.τ στον κατακόρυφο άξονα y΄y γύρω από τη θέση ισορροπίας Ο, με γωνιακή συχνότητα ω (όση και η γωνιακή ταχύτητα ω του σώματος Σ) και αρχική φάση φ0 (όση είναι η αρχική γωνία που σχηματίζει το σώμα Σ με τον οριζόντιο ημιάξονα Οx).
Ας έλθουμε τώρα στο πρόβλημά μας.
Για t=0 το σώμα που εκτελεί α.α.τ περνά από το σημείο Β του σχήματος, οπότε το σώμα που εκτελεί την κυκλική κίνηση βρίσκεται ή στη θέση Β1 ή στη θέση Β2. Με βάση τη φορά περιστροφής και αφού το σώμα κατευθύνεται προς τη θέση ισορροπίας καταλήγουμε ότι η αρχική θέση είναι η Β1. Στο τρίγωνο ΟΒΒ1 η ΟΒ είναι ίση με το μισό της υποτείνουσας οπότε η γωνία ρ= 30°. Η αρχική φάση σημειώνεται στο σχήμα και είναι:
φ0= 2π-π/6 = 11π/6
Έτσι η εξίσωση της απομάκρυνσης είναι:
x= Αημ(ωt+φ0) = 0,2 ημ(πt + 11π/6) (μονάδες στο S.Ι.)
Το σώμα που εκτελεί την απλή αρμονική ταλάντωση θα φτάσει για πρώτη φορά στο σημείο Γ, όταν το σώμα που διαγράφει τον κύκλο φτάσει στη θέση Γ1. Αλλά από την Γεωμετρία προκύπτει ότι για τη γωνία θ ισχύει θ=2ρ = π/3.
Αλλά θ=ωt ή
t = θ/ω = (π/3)/ π = 1/3 s.
Βεβαίως η άσκηση θα μπορούσε να λυθεί καθαρά Τριγωνομετρικά. Μπορείτε να δείτε την λύση από ΕΔΩ.
.