Δευτέρα, 22 Δεκεμβρίου 2008

Κίνηση ράβδου.

Μια ομογενής δοκός μήκους l=2m κινείται ελεύθερα οριζόντια πάνω σε μια παγωμένη λίμνη, χωρίς τριβές και για t=0 δίνονται οι ταχύτητες του μέσου Ο και του άκρου Α, υ0=10m/s και υΑ=4m/s αντίστοιχα. Να βρεθούν οι ταχύτητες των παραπάνω σημείων τη χρονική στιγμή t1=π/6s.
.
.

Κυριακή, 14 Δεκεμβρίου 2008

ΚΥΜΑΤΑ. (Επαναληπτική Άσκηση)

.
Από την μακρινή; Καβάλα έλαβα μια Επαναληπτική Άσκηση στα κύματα, από τον συνάδελφο Γιάννη Σεϊτανίδη. Θα ήθελα να τον ευχαριστήσω για την προσφορά του.

---------------------------------

Κατά μήκος γραμμικού ομογενούς ελαστικού μέσου, το οποίο εκτείνεται στη διεύθυνση του άξονα xx, διαδίδεται εγκάρσιο αρμονικό κύμα κατά τη θετική κατεύθυνση. Θεωρούμε αρχή του άξονα το σημείο Ο του ελαστικού μέσου το οποίο τη χρονική στιγμή t = 0 αρχίζει να εκτελεί αμείωτη ταλάντωση με θετική ταχύτητα. Το πλάτος της ταλάντωσης είναι 5 cm, ενώ η μέγιστη επιτάχυνση των μορίων του μέσου είναι  5π2/4cm/sec2. Ένα σημείο Μ του ελαστικού μέσου που βρίσκεται  στη θέση x = 15 cm τη χρονική στιγμή t = 8 sec βρίσκεται για 2η φορά στη μέγιστη θετική απομάκρυνση.
Να βρείτε:
  1. Το μήκος κύματος και τη ταχύτητα διάδοσης του κύματος.
  2. Την εξίσωση του κύματος.
  3. Την ταχύτητα ταλάντωσης του σημείου Μ τη χρονική στιγμή t = 34/3 sec μετά την έναρξη ταλάντωσης του σημείου Μ.
  4. Για πόσο χρόνο ταλαντώνεται το σημείο Μ τη στιγμή που έχει απομάκρυνση από τη θέση ισορροπίας του -2,5 cm και ταχύτητα θετική για πρώτη φορά.
  5. Να βρείτε τα σημεία του θετικού ημιάξονα τα οποία τη χρονική στιγμή t = 6 sec έχουν απομάκρυνση 2,5 cm.
  6. Να παρασταθεί γραφικά η φάση του κύματος σε συνάρτηση με τις αποστάσεις των διαφόρων σημείων του ελαστικού μέσου από την πηγή για τη χρονική στιγμή t = 15 sec.
  7. Να κατασκευαστεί το διάγραμμα της απομάκρυνσης του σημείου Μ για το χρονικό διάστημα 0 έως 10 sec.
  8. Να κατασκευαστεί το στιγμιότυπο του κύματος τη χρονική στιγμή t = 25/3 sec.
  9. Να παρασταθεί γραφικά η φάση του σημείου Ν για το χρονικό διάστημα 0 έως 12 sec, αν γνωρίζουμε ότι το σημείο Ν έχει μικρότερη φάση από το σημείο Μ κατά π/2 rad τη χρονική στιγμή t.
  10. Να βρείτε τη χρονική διαφορά με την οποία αρχίζουν να ταλαντώνονται τα σημεία Μ και Ν.
  11. Να υπολογισθεί η απομάκρυνση του σημείου Ν από τη θέση ισορροπίας του 4,5 sec μετά την έναρξη των ταλαντώσεων του.
  12. Να βρείτε πόσο απέχει από το σημείο Μ ένα σημείο Λ που είναι το τρίτο από τη αρχή κατά σειρά σημείο που βρίσκεται σε αντίθεση φάσης με το σημείο Μ.
  13. Ποια είναι η απομάκρυνση του σημείου Λ από την θέση ισορροπίας του, τη στιγμή που η απομάκρυνση του Μ είναι 1 cm.
  14. Να γράψετε την εξίσωση του αρμονικού κύματος ίδιου πλάτους με το αρχικό το οποίο όταν συμβάλλει με αυτό δημιουργεί κατά μήκος του ελαστικού μέσου στάσιμο κύμα. Να θεωρήσετε ότι και για το νέο αρμονικό κύμα στη θέση x = 0 η απομάκρυνση είναι μηδέν και η ταχύτητα θετική.
  15. Να γράψετε την εξίσωση του στάσιμου κύματος που δημιουργεί η συμβολή των δύο προηγούμενων κυμάτων.
  16. Να βρείτε την ταχύτητα ταλάντωσης και την επιτάχυνση ενός σημείο Κ του στάσιμου κύματος που βρίσκεται στη θέση x = 30 cm τη χρονική στιγμή t3 = 10 sec.
  17. Πόση είναι η διαφορά φάσης μεταξύ δύο σημείων του στάσιμου κύματος που απέχουν μεταξύ τους 6 cm.
  18. Σε ποια θέση βρίσκεται ο 11ος δεσμός.
  19. Πόση πρέπει να γίνει η περίοδος των δύο κυμάτων που συμβάλλουν ώστε την ίδια θέση να βρίσκεται τώρα ο 18ος δεσμός.

.
.

Συμβολή κυμάτων της ίδιας κατεύθυνσης.

.Από τον συνάδελφο και φίλο Θοδωρή Παπασγουρίδη έλαβα μια μελέτη πάνω στην συμβολή δύο κυμάτων, του ίδιου πλάτους και ίδιας συχνότητας, που διαδίδονται στην ίδια ευθεία, προς την ίδια κατεύθυνση. Θα ήθελα να τον ευχαριστήσω για την προσφορά του αυτή.


--------------------




Μπορείτε να κατεβάσετε το αρχείο σε pdf
Πάνω στο ίδιο θέμα, μπορείτε να δείτε και μια παλαιότερη ανάρτησή μου:
.

Παρασκευή, 12 Δεκεμβρίου 2008

Στάσιμο κύμα πάνω σε χορδή.

Τεντωμένη χορδή από καουτσούκ έχει μήκος l και τα δύο άκρα της Α και Β στερεωμένα σε ακλόνητα σημεία, ενώ η χορδή διατηρείται οριζόντια. Στο μέσο της χορδής Ο προκαλούμε απλή αρμονική ταλάντωση με εξίσωση y=0,05ημ20πt (S.I.). Τα παραγόμενα κύματα έχουν ταχύτητα διάδοσης στη χορδή υ=4m/s. Όταν αποκατασταθεί μόνιμο φαινόμενο στην χορδή, διαπιστώνουμε ότι υπάρχουν 4 σημεία που παραμένουν ακίνητα, εκτός των Α και Β.
  1. Να βρείτε το μήκος της χορδής.
  2. Να γράψετε την εξίσωση του στάσιμου κύματος, αν τη χρονική στιγμή t=0 για το σημείο του μέσου της χορδής, το οποίο θεωρούμε ως αρχή του άξονα x'x, είναι y=0 και V>0.
  3. Να σχεδιάσετε το στιγμιότυπο του στάσιμου κύματος την χρονική στιγμή t=1/40s.
  4. Αν το μέσον Ο της χορδής τεθεί σε ταλάντωση με εξίσωση y=0,05ημ22πt (S.I.) θα δημιουργηθεί πάνω στη χορδή στάσιμο κύμα;
  5. Αν το μέσον Ο της χορδής τεθεί σε ταλάντωση με εξίσωση y=0,05ημ32πt (S.I.) ποιο το μέτρο της μέγιστης ταχύτητας του σημείου Ο;
 .
.

Τρίτη, 9 Δεκεμβρίου 2008

ΤΑΛΑΝΤΩΣΕΙΣ. 3ωρο Διαγώνισμα.



Από τον συνάδελφο και φίλο Νίκο Καχριμάνη, παλιό.... συνεργάτη Χημικό, έλαβα ένα Διαγώνισμα στις Ταλαντώσεις. Τον ευχαριστώ και από την θέση αυτή για την προσφορά του αυτή.
---------------------------








Μπορείτε να κατεβάσετε το Διαγώνισμα μαζί με σύντομες απαντήσεις από ΕΔΩ.
.

Δευτέρα, 8 Δεκεμβρίου 2008

Συμβολή κυμάτων ή απλά μελέτη στάσιμου κύματος.

Στην επιφάνεια ενός υγρού βρίσκονται δύο σύγχρονες πηγές κυμάτων.
Τι συμβαίνει στο ευθύγραμμο τμήμα Ο12 που συνδέει τις δύο πηγές;
Στην περιοχή διαδίδονται δύο κύματα με το ίδιο πλάτος Α, ίδια συχνότητα τα οποία διαδίδονται αντίθετα και συμβάλλουν.
  • Για όσα σημεία, η διαφορά των αποστάσεών τους από τις δύο πηγές, είναι ακέραιο πολλαπλάσιο του μήκους κύματος (r1-r2=k·λ),  ταλαντώνονται με μέγιστο πλάτος Α΄=2 Α.
  • Για όσα σημεία, η διαφορά των αποστάσεών τους από τις δύο πηγές, είναι περιττό πολλαπλάσιο του μισού μήκους κύματος r1-r2=(2k+1)·λ/2, παραμένουν ακίνητα.
  • Προφανώς τα υπόλοιπα σημεία ταλαντώνονται με ενδιάμεσοι πλάτος από 0-2Α.
Η μελέτη αυτή στηρίζεται στη συμβολή των κυμάτων από σύγχρονες πηγές. Το ερώτημα είναι μπορούμε να φτάσουμε στα ίδια συμπεράσματα, αντιμετωπίζοντας το πρόβλημα ως στάσιμο κύμα;
Η απάντηση είναι καταφατική. Στα ίδια συμπεράσματα μπορούμε να καταλήξουμε αν αντιμετωπίσουμε το πρόβλημα σαν στάσιμο κύμα.
Δείτε μια μελέτη του θέματος, από τον φίλο και συνάδελφο Θοδωρή Παπασγουρίδη (ευχαριστώ Θοδωρή) από ΕΔΩ.
--------------
Όμως στην πραγματικότητα δεν υπάρχει στάσιμο κύμα. Στο χώρο διαδίδονται δύο κύματα και με βάση την αρχή της επαλληλίας το ένα δεν επηρρεάζεται από τη διάδοση του άλλου. Στο στάσιμο κύμα δεν υπάρχει μεταφορά ενέργειας από το ένα σημείο στο άλλο. Η ενέργεια εγκλωβίζεται στο χώρο μεταξύ των δεσμών, όπου τα ενδιάμεσα σημεία ταλαντώνονται.
Για να υπάρξει πραγματικός εγκλωβισμός ενέργειας, θα πρέπει να υπάρχει τουλάχιστον ένα σημείο δεμένο, σταθερό, που να μην μπορεί να περάσει το κύμα. Δεν πρέπει να είναι τυχαίο που μιλάμε για δεσμούς του στάσιμου κύματος!
Στην περίπτωση που συζητάμε, τέτοιο σταθερό σημείο δεν υπάρχει με αποτέλεσμα η ενέργεια να διαδίδεται.
Σαν συμπέρασμα, προβλήματα όπως το προηγούμενο πρέπει να αντιμετωπίζονται με την λογική της συμβολής και όχι ως περίπτωση στάσιμου κύματος.

Εφαρμογή:
Σε ένα γραμμικό ελαστικό μέσον υπάρχουν δύο σύγχρονες πηγές κυμάτων Ο1 και Ο2 οι οποίες αρχίζουν να ταλαντώνονται με πλάτος Α=0,1m, δημιουργώντας κύματα με μήκος κύματος λ=2m, που διαδίδονται και προς τις δύο κατευθύνσεις. Η απόσταση των πηγών είναι d=10m.
Ποιες από τις παρακάτω προτάσεις είναι σωστές και ποιες λάθος για την κατάσταση του ελαστικού μέσου μετά την συμβολή των κυμάτων;
  1. Το πλάτος ταλάντωσης του μέσου Μ της Ο1Ο2 είναι ίσο με 0,2m.
  2. Μεταξύ των δύο πηγών υπάρχουν 10 σημεία που παραμένουν διαρκώς ακίνητα.
  3. Στην περιοχή μεταξύ των δύο πηγών έχει δημιουργηθεί στάσιμο κύμα.
  4. Ένα σημείο δεξιά της πηγής Ο2 ταλαντώνεται με πλάτος Α=0,1m, αφού η ενέργεια ταλάντωσης εγκλωβίζεται μεταξύ των δύο πηγών και δεν περνά από τα σημεία που παραμένουν ακίνητα.
  5. Στο ελαστικό μέσον δεν σχηματίζεται στάσιμο κύμα, αφού δεν υπάρχει κάποιο σημείο δεμένο (σταθερό) οπότε τα κύματα διαδίδονται και με βάση την αρχή της επαλληλίας, το καθένα διαδίδεται ανεξάρτητα της διάδοσης του άλλου. Έτσι το πλάτος ταλάντωσης ενός σημείου δεξιά της Ο2 είναι Α΄= 0,2m.
.

Κυριακή, 7 Δεκεμβρίου 2008

Παρατηρήσεις στη συμβολή κυμάτων από σύγχρονες πηγές.

.
Από το φίλο και συνάδελφο Θοδωρή Παπασγουρίδη έλαβα μια μελέτη σχεικά με την συμβολή κυμάτων από σύγχρονες πηγές. Θα ήθελα να τον ευχαριστήσω για την προσφορά του αυτή, η οποία είναι η συνέχεια των προηγούμενων αναρτήσεων. Σας αφήνω να την μελετήστε.
---------------------

Στάσιμο κύμα. Δεσμοί και κοιλίες.


Η συνέχεια ή μια άσκηση από τον φίλο και συνάδελφο 
Θοδωρή Παπασγουρίδη.

Ένα κύμα διαδίδεται κατά μήκος ενός ελαστικού μέσου, προς τα δεξιά (θετική φορά) με εξίσωση:
y=0,2 ημ2π(5t-10x)  (S.Ι)
  1.  Να γράψετε την εξίσωση ενός άλλου κύματος το οποίο διαδίδεται κατά μήκος του ελαστικού μέσου και συμβάλλοντας με το πρώτο δημιουργεί στάσιμο, με κοιλία στη θέση x=0. Ποια η εξίσωση του προκύπτοντος στάσιμου, θεωρώντας ως t=0 τη στιγμή που τα κύματα συμβάλλουν στο Ο (x=0).
  2.  Να εξετάσετε αν τα σημεία Κ, με xΚ=0,125m και Η με xΗ=0,35m είναι δεσμοί ή κοιλίες του στάσιμου.
  3.  Να βρείτε πόσες κοιλίες και πόσοι δεσμοί του στάσιμου βρίσκονται μεταξύ των σημείων Κ, Η.
  4.  Δύο σημεία Ζ, Μ του μέσου βρίσκονται στις θέσεις xΖ=0,21m και xΜ=0,33m. Να βρείτε πόσοι δεσμοί του στάσιμου βρίσκονται μεταξύ των σημείων Ζ, Μ και στη συνέχεια να υπολογίσετε την απομάκρυνση και την ταχύτητα του σημείου Μ, τη χρονική στιγμή που το Ζ διέρχεται από τη θέση ισορροπίας του με θετική ταχύτητα.
.
.

Σύνθεση Ταλαντώσεων και Κύμα.

Από τον φίλο και συνάδελφο Θοδωρή Παπασγουρίδη έλαβα μια επαναληπτική Άσκηση που έχει τα "πάντα;". Λέω να την κόψω σε δυο καμμάτια για να γίνει πιο εύχρηστη και αυτό είναι το πρώτο μέρος. Θοδωρή σε ευχαριστώ για την προσφορά σου.
////////////////////////
Το σημείο Ο γραμμικού ελαστικού μέσου το οποίο ταυτίζεται με τον άξονα x΄Οx, εκτελεί ταυτόχρονα δύο Α. Α. Τ που γίνονται στην ίδια διεύθυνση, κάθετα στον άξονα x΄x και γύρω από την ίδια θέση ισορροπίας. Οι ταλαντώσεις περιγράφονται από τις εξισώσεις:
  1. Να γράψετε την εξίσωση της συνισταμένης ταλάντωσης που εκτελεί το σημείο Ο.
  2. Θεωρούμε το σημείο Ο σαν πηγή αρμονικού κύματος που διαδίδεται κατά μήκος του Οx ημιάξονα. Αν τη χρονική στιγμή t1 που η πηγή ολοκληρώνει δύο ταλαντώσεις το κύμα φθάνει σε ένα σημείο Γ που απέχει από την πηγή xΓ=20cm, να γράψετε την εξίσωση του αρμονικού κύματος που διαδίδεται κατά μήκος της χορδής.
  3. Η φάση της ταλάντωσης ενός σημείου Κ του ελαστικού μέσου την ίδια χρονική στιγμή t1 ισούται με φΚ=3π/2. Ποια χρονική στιγμή ξεκίνησε να ταλαντώνεται το σημείο αυτό; Να εξετάσετε προς τα πού θα κινηθεί το σημείο Κ αμέσως μετά τη στιγμή t1.
  4. Να υπολογίσετε τη διαφορά φάσης μεταξύ του σημείου Κ και του πιο μακρινού σημείου Η (από την πηγή Ο) του ελαστικού μέσου που αρχίζει να ταλαντώνεται τη στιγμή t2=0,7s.
  5. Να βρείτε τον αριθμό των υλικών σημείων του μέσου, μεταξύ των Κ, Η που έχουν την ίδια απομάκρυνση και την ίδια ταχύτητα με την πηγή κάθε στιγμή.
  6. Να βρείτε πόσα υλικά σημεία του ελαστικού μέσου, τη χρονική στιγμή t2=0,7s, έχουν μέγιστη κινητική και πόσα έχουν δυναμική ίση με Umax/4.
.
.

Πέμπτη, 4 Δεκεμβρίου 2008

Διάθλαση και κρίσιμη γωνία.

 
Η τομή ενός πρίσματος είναι ορθογώνιο ισοσκελές τρίγωνο ΑΒΓ  με κάθετες πλευρές 2cm. Μια μονοχρωματική ακτινοβολία με μήκος κύματος στο κενό λ0=600nm προσπίπτει κάθετα στο μέσον της πλευράς ΑΒ, όπως στο σχήμα. Αν ο δείκτης διάθλασης του πρίσματος για την ακτινοβολία αυτή είναι n=1,5:
1.  Πόσα μήκη κύματος βρίσκονται κάθε στιγμή στο εσωτερικό του πρίσματος;
Τοποθετούμε ένα δεύτερο πρίσμα, με δείκτη διάθλαση n1=1,2 όπως στο παρακάτω σχήμα.
 2.   Ποιος είναι τώρα ο αριθμός των μηκών κύματος που αντιστοιχεί στην διαδρομή της ακτινοβολίας στο πρώτο πρίσμα;
.

.

ΚΥΜΑΤΑ. Η πηγή είναι αλλού….

Στη θέση x1=6m ενός ομογενούς γραμμικού ελαστικού μέσου υπάρχει πηγή κύματος, το οποίο διαδίδεται και προς τις δύο κατευθύνσεις. Θεωρούμε t=0 τη στιγμή που το κύμα φτάνει στο σημείο Ο στη θέση x=0, οπότε το σημείο Ο αρχίζει να ταλαντώνεται με εξίσωση y=0,1ημ10πt (μονάδες στο S.Ι.) με μήκος κύματος λ=2m.
  1. Ποια η εξίσωση του κύματος που διαδίδεται προς τα αριστερά;
  2. Ποια η εξίσωση ταλάντωσης y=f(t) της πηγής;
  3. Ποια η εξίσωση του κύματος που διαδίδεται προς τα δεξιά;
.

Τρίτη, 2 Δεκεμβρίου 2008

Κύματα προς τ' αριστερά.

.

Κατά μήκος ενός γραμμικού ελαστικού μέσου και από δεξιά προς τα αριστερά διαδίδεται ένα κύμα με ταχύτητα υ=2m/s. Το κύμα για t=0 φτάνει στο σημείο Ρ, στη θέση xΡ=2m, το οποίο ξεκινά την ταλάντωσή του κινούμενο προς την θετική κατεύθυνση (προς τα πάνω). Τη στιγμή t΄=0,375s το σημείο Ρ έχει μηδενική ταχύτητα, για δεύτερη φορά, ενώ έχει διανύσει απόσταση d=0,3m.
  1. Ποια η εξίσωση του κύματος;
  2. Να σχεδιάστε την μορφή του ελαστικού μέσου (στιγμιότυπο του κύματος), μέχρι τη θέση x2=4m τη χρονική στιγμή t2=1,5s.
.
Απάντηση:

.