Σάββατο, 31 Ιανουαρίου 2009

Ενέργειες στην Ηλεκτρική Ταλάντωση.

Και η δεύτερη άσκηση του συναδέλφου Κώστα Δακανάλη, για το πώς ξεφορτωνόμαστε τα πρόσημα..

Σε ιδανικό κύκλωμα LC ο πυκνωτής έχει φορτίο Q και ο διακόπτης είναι ανοικτός. Τη στιγμή t=0 κλείνει ο διακόπτης και το κύκλωμα εκτελεί ηλεκτρομαγνητικές ταλαντώσεις με κυκλική συχνότητα ω. Τη στιγμή που η ενέργεια (UB) του μαγνητικού πεδίου του πηνίου γίνεται για πρώτη φορά τριπλάσια από την ενέργεια (UE) του ηλεκτρικού πεδίου του πυκνωτή, ζητούνται σε συνάρτηση με τα Q και ω να βρείτε :
  1. Το ηλεκτρικό φορτίο (q) του πυκνωτή.
  2. Την ένταση (i) του ρεύματος που διαρρέει το κύκλωμα.

.

Ηλεκτρική Ταλάντωση με αρχική φάση.

Από τον συνάδελφο Κώστα Δακανάλη έλαβα δύο ασκήσεις στις Ηλεκτρικές ταλαντώσεις συνοδευόμενες με κάποια «ειδική» μεθοδολογία. Αφού τον ευχαριστήσω και από την θέση αυτή, τις δίνω για μελέτη.

Ο διακόπτης δ στο σχήμα, είναι κλειστός για πολύ χρόνο. Αν το πηνίο είναι ιδανικό, υπολογίστε τα παρακάτω :

  1. Πόσο φορτίο (q) έχει ο πυκνωτής;
  2. Πόσο ρεύμα (Ι) κυκλοφορεί στο κύκλωμα;
  3. Αν τη χρονική στιγμή t=0 ο διακόπτης δ ανοίξει, προσδιορίστε τον οπλισμό του πυκνωτή (τον x ή τον y) που θ' αποκτήσει πρώτος θετικό φορτίο.
  4. Αποδείξτε πως οι ηλεκτρικές ταλαντώσεις που εκτελεί το κύκλωμα LC, περιγράφονται από τις εξισώσεις i=+I×συνωt και q=+Q×ημωt.
.
.

Πέμπτη, 29 Ιανουαρίου 2009

Ο τροχός ολισθαίνει η σπινάρει;

.Ο τροχός ενός αυτοκινήτου έχει ακτίνα R=0,8m. Τα αυτοκίνητο για t=0 ξεκινά από την ηρεμία με επιτάχυνση 2m/s2 ενώ ο τροχός αποκτά σταθερή γωνιακή επιτάχυνση αγων=2rad/s2. Για τη χρονική στιγμή t=5s, να υπολογιστούν:
i)   Η ταχύτητα του αυτοκινήτου και η μετατόπιση του κέντρου Ο του τροχού του.
ii)  Η γωνιακή ταχύτητα περιστροφής του τροχού.
  iii) Η ταχύτητα και η οριζόντια επιτάχυνση του σημείου επαφής Α του τροχού με το έδαφος.
iv) Ο τροχός του αυτοκινήτου:
α)   Κυλίεται χωρίς ολίσθηση
β)   Ολισθαίνει
γ)   Σπινάρει.         
Επιλέξτε την σωστή απάντηση δικαιολογώντας την άποψή σας.

Τετάρτη, 28 Ιανουαρίου 2009

Τυπολόγιο Μηχανικής στερεού.


Από τον συνάδελφο Κώστα Δακανάλη  πήρα ένα τυπολόγιο για την Μηχανική στερεού. Θα ήθελα να τον ευχαριστήσω για την προσφορά του και από την θέση αυτή.


Μπορείτε να το κατεβάσετε και σε pdf

Τρίτη, 27 Ιανουαρίου 2009

Κύλιση τροχού. Ερωτήσεις.


Ο τροχός του σχήματος κυλίεται χωρίς να ολισθαίνει σε οριζόντιο επίπεδο με σταθερή ταχύτητα κέντρου μάζας υcm.       
Χαρακτηρίστε τις παρακάτω προτάσεις  σαν σωστές ή λαθεμένες.
i)   Ο τροχός εκτελεί σύνθετη κίνηση. Μια μεταφορική και μια στροφική γύρω από άξονα που περνά από το κέντρο του.
ii)  Η ταχύτητα του σημείου Β είναι ίση με 2υcm.
iii) Η ταχύτητα του κέντρου μάζας συνδέεται με τη γωνιακή ταχύτητα με τη σχέση υcm=ω·R.
iv) Η επιτάχυνση του σημείου Β είναι ίση με α=ω2·R.
  v)  Ο τροχός εκτελεί μόνο στροφική κίνηση γύρω από άξονα που διέρχεται από το σημείο Α, οπότε για τα σημεία Ο και Β ισχύουν: υΟ=ω·R και υΒ=ω·(ΑΒ). 

.

Κύλιση τροχού.

Ένας τροχός ακτίνας R=0,5m, κυλίεται χωρίς να ολισθαίνει σε οριζόντιο επίπεδο με σταθερή επιτάχυνση 2m/s2 ξεκινώντας από την ηρεμία. Μετά από χρονικό διάστημα t=5s, να βρείτε:
i)   Την ταχύτητα του κέντρου μάζας του τροχού Ο.
ii)  Την γωνιακή ταχύτητα περιστροφής του τροχού.
iii) Τη ταχύτητα και την οριζόντια επιτάχυνση του σημείου επαφής του τροχού με το έδαφος, σημείο Α, καθώς και του αντιδιαμετρικού του σημείου Β.

.

Στροφή δίσκου

Ένας οριζόντιος δίσκος ακτίνας R=0,5m για t=0 αρχίζει να στρέφεται γύρω από κατακόρυφο άξονα, ο οποίος διέρχεται από το κέντρο του Ο, με σταθερή γωνιακή επιτάχυνση αγων=2rad/s2. Για τη χρονική στιγμή t=10s, ζητούνται:
i)   Η γωνιακή ταχύτητα περιστροφής του δίσκου.
ii)  Ο αριθμός των περιστροφών που πραγματοποίησε ο δίσκος.
iii) Αναφερόμενοι σε ένα σημείο Α στην περιφέρεια του δίσκου:
α)  Βρείτε την επιτρόχια και την κεντρομόλο επιτάχυνση του σημείου Α.
β)  Ποια η γραμμική ταχύτητα του σημείου Α;
γ)  Υπολογίστε το μήκος του τόξου που διέγραψε το σημείο Α στο παραπάνω χρονικό διάστημα.
.

Συνθήκη ανατροπής μιας δοκού- πρόσημα ροπών σε ισορροπία και περιστροφή.

Από το Ηράκλειο της Κρήτης μια άσκηση που διαπραγματεύεται ισορροπία και ανατροπή μιας ράβδου, αλλά και πώς μπορούμε να να δουλεύουμε με τις ροπές στην ισορροπία και στην περιστροφή. Ευχαριστώ συνάδελφε για την προσφορά.

Η ομογενής δοκός του σχήματος που έχει μάζα m=7 kg και μήκος (ΑΔ)=d=6 m, ισορροπεί οριζόντια με την βοήθεια ενός στηρίγματος Γ και ενός αβαρούς μη ελαστικού νήματος δεμένου στο Β και στο ταβάνι.
 
1.  Να υπολογίσετε την τάση T του νήματος και την αντίδραση N του στηρίγματος στο σημείο Γ.
2.   Αν κάποιος μετακινηθεί ανάμεσα στα σημεία Β και Γ της δοκού, αυτή θα συνεχίσει να ισορροπεί οριζόντια. Όμως αριστερότερα του Β και δεξιότερα του Γ, κάθε βήμα κρύβει τον κίνδυνο ανατροπής της δοκού. Και για τις δυο περιπτώσεις, να βρείτε μέχρι ποια απόσταση x - μετρημένη από το άκρο Α - μπορεί να περπατήσει ένα αγόρι βάρους wA=210 N, ώστε να μην ανατραπεί η δοκός.
3.    Αν στο άκρο Δ σταθεί ένα κοριτσάκι βάρους wK=210 N, η δοκός ανατρέπεται αμέσως περιστρεφόμενη περί του Γ. Τη στιγμή που αρχίζει την περιστροφή της η δοκός (ενώ ακόμη βρίσκεται οριακά σε οριζόντια θέση), να υπολογίσετε :
 
i.  Το ρυθμό μεταβολής της στροφορμής της.
ii.  Τη γωνιακή της επιτάχυνση.
Δίνονται : (ΑΒ)=1,5 m, (ΓΔ)=1 mg=10 m/s2, Ιcm= 1/12×m×d2.

 .

Δευτέρα, 26 Ιανουαρίου 2009

Επίπεδο δυσκολίας ανάρτησης.

.
Έλαβα ένα μήνυμα από την Κρήτη με μια πρόταση. Επειδή οι μαθητές βλέποντας τις αναρτήσεις δεν μπορούν να ξέρουν αν μια άσκηση είναι εύκολη ή πολύ δύσκολη και μπορεί να παρασυρθούν ή να απογοητευτούν, να υπάρχει μια κατάταξη των αναρτήσεων σε επίπεδο δυσκολίας. Βρίσκω την πρόταση σωστή και για το λόγο αυτό γίνεται η κατανομή των αναρτήσεων κατά επίπεδο δυσκολίας, όπου στο επίπεδο 1 είναι οι ευκολότερες, ενώ στο άλλο άκρο, στο επίπεδο 5, κατατάσσονται οι αναρτήσεις οι οποίες απευθύνονται μόνο σε καθηγητές.
Ελπίζω έτσι τα πράγματα να γίνονται περισσότερο χρήσιμα. Στην αριστερή μπάρα λοιπόν, μπορείτε να επιλέξτε το επίπεδο δυσκολίας που επιθυμείτε να δείτε.
Πρέπει πάντως να τονισθεί ότι ο χαρακτηρισμός αυτός είναι υποκειμενικός και σαν τέτοιος πρέπει να αντιμετωπίζεται.

Διονύσης Μάργαρης.
.

Κυριακή, 25 Ιανουαρίου 2009

Κυκλική κίνηση

Λίγη εισαγωγική θεωρία πάνω στην κυκλική κίνηση, την οποία είχα αναρτήσει παλιότερα και την οποία επαναφέρω για τους νέους φίλους που ήρθαν στο μεταξύ στην συντροφιά μας.
Τι πρέπει να ξέρει ένας μαθητής πριν αρχίσει να διδάσκεται την Μηχανική στερεού, από την κυκλική κίνηση υλικού σημείου, την οποία διδάχτηκε ή θα έπρεπε να διδαχτεί στην Α΄Λυκείου.
Ένα υλικό σημείο εκτελεί κυκλική κίνηση σε οριζόντιο επίπεδο, με ακτίνα R γύρω από το σημείο Ο, όπως στο σχήμα.
Πώς μπορούμε να μελετήσουμε την κίνηση του υλικού σημείου; Με δύο διαφορετικούς τρόπους:
1) Με χρήση γραμμικών μεγεθών.
Ποια είναι αυτά; Το μήκος του τόξου που διαγράφει σε κάποιο χρονικό διάστημα, o ρυθμός  μεταβολής του μήκους του τόξου αυτού, που είναι η ταχύτητα του υλικού σημείου, και ο ρυθμός μεταβολής της ταχύτητάς του, δηλαδή η επιτάχυνσή του.
Αναφερόμενοι λοιπόν στο παραπάνω σχήμα, αν το σώμα σε χρόνο dt μετακινείται από τη θέση Α στην Β διαγράφοντας το τόξο ds, ορίζουμε την ταχύτητά του (που από εδώ και πέρα θα ονομάζουμε γραμμική ταχύτητα) από την σχέση:
Η γραμμική ταχύτητα είναι πάνω στο επίπεδο της κυκλικής τροχιάς, εφαπτόμενη στον κύκλο (πράγμα που σημαίνει κάθετη στην ακτίνα σε κάθε σημείο).
Η ταχύτητα του υλικού σημείου σε μια κυκλική κίνηση μεταβάλλεται ΠΑΝΤΑ. Ακόμη και αν το μέτρο της παραμένει σταθερό θα αλλάζει η κατεύθυνσή της, αφού θα είναι πάντα εφαπτόμενη του κύκλου. Συνεπώς πάντα υπάρχει επιτάχυνση. Ορίζεται από την γνωστή σχέση:
Ενώ η κατεύθυνσή της είναι προς το εσωτερικό μέρος της κυκλικής τροχιάς. Η επιτάχυνση αυτη μεταβάλλει και το μέτρο και την κατεύθυνση της ταχύτητας. Μπορούμε λοιπόν να αναλύσουμε την επιτάχυνση αυτή σε δύο συνιστώσες. Μια στη διεύθυνση της ταχύτητας, η οποία θα μεταβάλλει το μέτρο της ταχύτητας και μια κάθετη στην ταχύτητα με φορά προς το κέντρο του κύκλου, η οποία μεταβάλλει την κατεύθυνση της ταχύτητας.
Η συνιστώσα αε που είναι κάθετη στην ακτίνα ονομάζεται επιτρόχια επιτάχυνση και αν έχει την ίδια κατεύθυνση με την ταχύτητα θα είναι υπεύθυνη για την αύξηση του μέτρου της ταχύτητας (επιταχυνόμενη κίνηση), ενώ αν έχει αντίθετη φορά, θα μειώνει το μέτρο της ταχύτητας (επιβραδυνόμενη κίνηση).
Η συνιστώσα ακ ονομάζεται κεντρομόλος επιτάχυνση το μέτρο της οποίας δίνεται από την εξίσωση:
Να τονίσουμε ότι αυτή ευθύνεται για την αλλαγή στην κατεύθυνση της ταχύτητας, είναι αυτή που κρατά το σώμα σε κυκλική τροχιά.
Είναι προφανές ότι για έχει το σώμα επιτάχυνση, θα πρέπει να δέχεται και αντίστοιχη συνισταμένη δύναμη, σύμφωνα με τον δεύτερο νόμου του Νεύτωνα. Δηλαδή η συνισταμένη θα έχει την κατεύθυνση της επιτάχυνσης και συνεπώς και αυτή θα μπορούσαμε να την αναλύσουμε επίσης σε δύο συνιστώσες, μια εφαπτομενική ΣFε=m·αε και μια προς το κέντρο του κύκλου, την οποία λέμε και κεντρομόλο δύναμη, ΣFR=m·ακ.
2) Με χρήση γωνιακών μεγεθών.
Αν το υλικό μας σημείο μετακινείται από την θέση (Α) στη θέση (Β), η επιβατική ακτίνα (η ακτίνα που δίνει κάθε στιγμή τη θέση του κινητού) διαγράφει την επίκεντρη γωνία dθ. Γνωρίζοντας λοιπόν τη γωνία που διαγράφει το κινητό γνωρίζουμε κάθε στιγμή και την θέση του.
Μπορούμε και εδώ να ορίσουμε τον ρυθμό με τον οποίο μεταβάλλεται η παραπάνω γωνία. Το μέγεθος που προκύπτει ονομάζεται Γωνιακή ταχύτητα. Αυτή είναι κάθετη στο επίπεδο της κυκλικής τροχιάς, στο κέντρο του κύκλου, με φορά που καθορίζεται από τον κανόνα του δεξιού χεριού, όπως στο σχήμα:
Και το μέτρο της οποίας θα είναι:
με μονάδα μέτρησης το 1 rad/s.
Αν μεταβάλλεται η γωνιακή ταχύτητα, τότε ορίζουμε το ρυθμό μεταβολής της, τον οποίο ονομάζουμε γωνιακή επιτάχυνση:
Η γωνιακή επιτάχυνση είναι επίσης κάθετη στο επίπεδο της κυκλικής τροχιάς στο κέντρο του κύκλου, ενώ η φορά της μπορεί να είναι ίδια με την φορά της γωνιακής ταχύτητας (σχ.1) ή αντίθετης φοράς (σχ.2). Στην πρώτη περίπτωση η γωνιακή ταχύτητα του σώματος αυξάνεται (επιταχυνόμενη κίνηση) ενώ στην δεύτερη μειώνεται (επιβραδυνόμενη κίνηση).
3) Πώς συνδέονται τα παραπάνω μεγέθη;
Η επίκεντρη γωνία dθ και το αντίστοιχο μήκος του τόξου στο οποίο βαίνει συνδέονται με την σχέση:
Παρατηρείστε ότι η γωνία είναι αδιάστατο μέγεθος, συνεπώς δεν έχει μονάδες. Καταχρηστικά και για λόγους διευκόλυνσης μετράμε τις γωνίες σε rad, όπου όταν μια επίκεντρη γωνία βαίνει σε τόξο με μήκος ίσο με την ακτίνα του κύκλου, λέμε ότι είναι ίση με 1 ακτίνιο (rad).
Από την (1) και δουλεύοντας με μέτρα παίρνουμε:
Προσέξτε ότι η σχέση (2) συνδέει τα μέτρα της γραμμικής και γωνιακής ταχύτητας. Μην ξεχνάμε ότι τα διανύσματα είναι όπως λέμε ασύμβατα κάθετα. Το ένα οριζόντιο το άλλο κατακόρυφο, χωρίς να περνάνε από το ίδιο σημείο.
Παραγωγίζοντας την εξίσωση (2) παίρνουμε:
Βλέπουμε ότι το dυ/dt είναι ο ρυθμός μεταβολής του μέτρου της γραμμικής ταχύτητας που συνδέεται με την επιτρόχια επιτάχυνση. Προσοχή λοιπόν και η σχέση (3) συνδέει επίσης τα μέτρα της επιτρόχιας και της γωνικής επιτάχυνσης.
4) Δύο εύκολες κυκλικές κινήσεις.
Α) Ομαλή κυκλική κίνηση:
Αν το υλικό μας σημείο στρέφεται με ταχύτητα σταθερού μέτρου, τότε η κίνηση ονομάζεται ομαλή κυκλική κίνηση. Αλλά τότε δεν θα υπάρχει επιτρόχια επιτάχυνση και θα μπορούσαμε να γράψουμε:
Δs= υ·Δt και αν t0=0 και s0=0 θα είχαμε s=υ·t
Ή αναφερόμενοι σε γωνιακά μεγέθη, αφού η γραμμική ταχύτητα έχει σταθερό μέτρο, από την σχέση (2) προκύπτει ότι και το μέτρο της γωνιακής ταχύτητας παραμένει σταθερό, οπότε αντίστοιχα θα έχουμε:
Δθ=ω·Δt και αν t0=0 και θ0=0 θα είχαμε και θ=ωt (σας θυμίζει τίποτα;).
Β) Ομαλά μεταβαλλόμενη κυκλική κίνηση:
Αν ο ρυθμός μεταβολής της γραμμικής ταχύτητας είναι σταθερός, δηλαδή αε=σταθερή και η γωνιακή επιτάχυνση είναι σταθερή, όπως προκύπτει από τη σχέση (3) και η κίνηση θα είναι είτε κυκλική ομαλά επιταχυνόμενη, είτε κυκλική ομαλά επιβραδυνόμενη και τότε:
Για τα γραμμικά μεγέθη θα ισχύουν οι γνωστές μας σχέσει για το μέτρο της ταχύτητας και για το μήκος του διανυόμενου τόξου:
υ= υ0 ± αε·t και Δs = υ0·t ± ½ αε·t2.
Ενώ όσον αφορά τα γωνιακά μεγέθη θα έχουμε:
ω=ω± αγων·Δt και αν t0=0 θα έχουμε:
ω = ω0 ± αγων·t ( 4)
Αν τέλος κάνουμε τη γραφική παράσταση της γωνιακής ταχύτητας σε συνάρτηση με το χρόνο (για την επιταχυνόμενη κίνηση) παίρνουμε το παρακάτω διάγραμμα:
όπου το εμβαδόν του γκριζαρισμένου τραπεζίου είναι αριθμητική ίσο με την γωνία:
Μπορείτε να κατεβάσετε το αρχείο σε pdf.

«Ατομικά φαινόμενα» Διαγώνισμα.

Ένα διαγώνισμα από τα παλιά. Από την εποχή εκείνη που διδάσκαμε τη Φυσική Γενικής παιδείας στους μαθητές της Γ΄Λυκείου. Από τη συνάδελφο Ελευθερία Νασίκα πήρα ένα διαγώνισμα πάνω στα ατομικά φαινόμενα. Την ευχαριστώ για την προσφορά της και το αναρτώ για τους ελάχιστους μαθητές που ως οι τελευταίοι των Μοϊκανών, θα δώσουν το μάθημα τον Ιούνιο, σε Πανελλήνιες εξετάσεις και διαβάζουν το μάθημα. 

1.   Όταν το ηλεκτρόνιο του ατόμου του υδρογόνου μεταπηδά από μια επιτρεπτή τροχιά σε άλλη με μικρότερη ενέργεια, η στροφορμή του:
Α. αυξάνεται.
Β. μειώνεται.
Γ. παραμένει σταθερή.
Δ. αυξάνεται ή μειώνεται ανάλογα με την ενεργειακή διαφορά των δύο τροχιών.

2.   Αναφερόμενοι στο παρακάτω σχήμα:     
Αν το ηλεκτρόνιο του υποθετικού ατόμου επανέρχονταν απευθείας στη θεμελιώδη κατάσταση, θα εκπέμπονταν φωτόνιο με συχνότητα:
Α. f3=2×1015Hz.
Β. f3=4×1015Hz.
Γ. f3=6×1015Hz.
Δ. f3=8×1015Hz.

3.   Το ηλεκτρόνιο του ατόμου του υδρογόνου βρίσκεται στη θεμελιώδη του κατάσταση, όπου έχει ολική ενέργεια Ε1=–13,6eV. Για να μεταβεί σε περιοχή εκτός του πεδίου του πυρήνα, πρέπει να του προσφέρουμε ενέργεια:
Α. μεγαλύτερη από 13,6eV.
Β. μικρότερη από 13,6eV.
Γ. τουλάχιστον ίση με 13,6eV.
Δ. ακριβώς ίση με 13,6eV.

4.   Άτομο υδρογόνου είναι διεγερμένο στην στάθμη με n=4. Ένα από τα φωτόνια, που θα εκπέμψει κατά την αποδιέγερσή του στη θεμελιώδη κατάσταση, θα ανήκει σίγουρα στην περιοχή:
Α. των ακτίνων Χ.
Β. του υπεριώδους.
Γ. του ορατού.
Δ. του υπερύθρου.

5.   Οι συχνότητες του γραμμικού φάσματος των ακτίνων Χ εξαρτώνται από
Α. την τάση ανόδου-καθόδου.
Β. την τάση θέρμανσης της καθόδου.
Γ. το υλικό της ανόδου.
Δ. το υλικό της καθόδου.
(Μονάδες 5x5=25)

Δείτε όλο το διαγώνισμα από ΕΔΩ.
Ελευθερία Χρ. Νασίκα


Πέμπτη, 22 Ιανουαρίου 2009

Δύναμη από τον άξονα περιστροφής.

Από τον συνάδελφο και φίλο Θοδωρή Παπασγουρίδη έλαβα μια ακόμη μελέτη πάνω στη δύναμη που δέχεται ένα στερεό από τον άξονα περιστροφής του. Αφού τον ευχαριστήσω για μια ακόμη φορά για αυτήν την προσφορά του, την δίνω για μελέτη.

Όταν ένα στερεό στρέφεται γύρω από σταθερό άξονα ο οποίος δε διέρχεται από το κέντρο μάζας, τότε το κέντρο μάζας εκτελεί κυκλική κίνηση με επίπεδο τροχιάς κάθετο στον άξονα περιστροφής και κέντρο το σημείο του στερεού από το οποίο διέρχεται ο άξονας. Με βάση τον ορισμό του κέντρου μάζας, μπορούμε να εφαρμόζουμε το θεμελιώδη νόμο της μηχανικής θεωρώντας όλη τη μάζα του στερεού συγκεντρωμένη στο κέντρο μάζας.

ΕΦΑΡΜΟΓΗ 1η:



Ομογενής ράβδος μάζας Μ=4Κg κρέμεται οριζόντια από δύο νήματα ίδιου μήκους που είναι δεμένα στ’ άκρα της Α, Γ. Κόβουμε το νήμα στο άκρο Α. Να υπολογισθεί η επιτάχυνση του άκρου Α και η τάση του νήματος στο Γ αμέσως μόλις κοπεί το νήμα.  Δίνεται η ροπή αδράνειας της ράβδου ως προς άξονα που διέρχεται από το μέσο της και είναι κάθετος σε αυτή: Ιcm=Ml2/12 και g=10m/s2.

ΑΠΑΝΤΗΣΗ:

Μόλις κοπεί το νήμα στο άκρο Α η ράβδος αρχίζει να εκτελεί περιστροφική κίνηση γύρω από άξονα που διέρχεται από το άκρο Γ. Υπολογίζουμε τη ροπή αδράνειας της ράβδου ως προς τον άξονα αυτό:



Εφαρμόζουμε το θεμελιώδη νόμο της περιστροφικής κίνησης και έχουμε:
 

Τη χρονική στιγμή  γωνιακή ταχύτητα της ράβδου είναι μηδενική ω=0. Οπότε τα σημεία της ράβδου έχουν μηδενική κεντρομόλο επιτάχυνση. Έχουν όμως επιτρόχια επιτάχυνση.
Για το άκρο Α ισχύει:      

Ομοίως για το κέντρο μάζας ισχύει:
 
Η επιτάχυνση αcm, το βάρος  W και η τάση T έχουν διεύθυνση κάθετη στη ράβδο. Με βάση τον ορισμό του κέντρου μάζας, μπορούμε να εφαρμόσουμε το θεμελιώδη νόμο της μηχανικής θεωρώντας όλη τη μάζα του στερεού συγκεντρωμένη στο κέντρο μάζας και όλες τις δυνάμεις να ασκούνται στο σημείο αυτό:
 

ΕΦΑΡΜΟΓΗ 2η:

Ομογενής ράβδος μάζας Μ=4Κg  μπορεί να περιστρέφεται γύρω από οριζόντιο άξονα που διέρχεται από το άκρο της Α. Η ράβδος είναι αρχικά κατακόρυφη. Κάποια στιγμή μια απειροστά μικρή ώθηση στο άκρο Γ θέτει τη ράβδο σε περιστροφική κίνηση. Αν οι τριβές θεωρούνται αμελητέες, να υπολογιστεί το μέτρο της δύναμης που ασκεί ο άξονας περιστροφής στη ράβδο, τη στιγμή που διέρχεται από την οριζόντια θέση. Δίνεται η ροπή αδράνειας της ράβδου ως προς άξονα που διέρχεται από το μέσο της και είναι κάθετος σε αυτή Ιcm=Ml2/12 και g=10m/s2.

ΑΠΑΝΤΗΣΗ:



Η ράβδος αρχίζει να εκτελεί περιστροφική κίνηση γύρω από άξονα που διέρχεται από το άκρο Α. Υπολογίζουμε τη ροπή αδράνειας της ράβδου ως προς τον άξονα αυτό:

Εφόσον η μόνη δύναμη που παράγει έργο είναι το βάρος της ράβδου, η μηχανική της ενέργεια παραμένει σταθερή. Άρα:
 



Εφαρμόζουμε το θεμελιώδη νόμο της περιστροφικής κίνησης τη στιγμή που διέρχεται από την οριζόντια θέση και έχουμε:
 

Την ίδια στιγμή το κέντρο μάζας της ράβδου έχει:
 
Αναλύουμε τη δύναμη από την άρθρωση σε δύο συνιστώσες: την F1 στη διεύθυνση της ράβδου (οριζόντια) και την F2 κάθετη στη διεύθυνση της ράβδου (κατακόρυφη).
Με βάση τον ορισμό του κέντρου μάζας, μπορούμε να εφαρμόσουμε το θεμελιώδη νόμο της μηχανικής θεωρώντας όλη τη μάζα του στερεού συγκεντρωμένη στο κέντρο μάζας και όλες τις δυνάμεις να ασκούνται στο σημείο αυτό:

     Ακτινική διεύθυνση: 

     Εφαπτομενική διεύθυνση: 

Η δύναμη που ασκείται από τον άξονα περιστροφής στη ράβδο τη στιγμή που διέρχεται από την οριζόντια θέση έχει μέτρο:
  
Η γωνία θ που σχηματίζει ο φορέας της δύναμης με τη διεύθυνση της ράβδου είναι:
 
Θοδωρής Παπασγουρίδης
          

Παρασκευή, 9 Ιανουαρίου 2009

Περιστροφική κίνηση ράβδου.


Μια ομογενής ράβδος ΟΑ  στρέφεται σε κατακόρυφο επίπεδο γύρω από σταθερό οριζόντιο άξονα ο οποίος περνά από το άκρο της Ο. Σε μια στιγμή βρίσκεται στη θέση του σχήματος έχοντας γωνιακή επιτάχυνση κάθετη στο επίπεδο του σχήματος με φορά προς τα έξω και με μέτρο αγων=2rad/s2, ενώ στρέφεται σύμφωνα από την φορά περιστροφής των δεικτών του ρολογιού με γωνιακή ταχύτητα μέτρου ω=1rad/s. Αν η ράβδος έχει μήκος l=2m και μάζα m=4kg, ζητούνται:
  1. Η ταχύτητα του μέσου Μ της ράβδου
  2. Η επιτρόχια επιτάχυνση του άκρου Α.
  3. Η επιτάχυνση του μέσου Μ της ράβδου.
  4. Η συνισταμένη δύναμη που ασκείται στην ράβδο.


.

Δευτέρα, 5 Ιανουαρίου 2009

Ζητήματα που προκαλούν .... οι τριβές.

Η αφορμή δόθηκε με τις δύο προηγούμενες αναρτήσεις...
Από τον συνάδελφο Σταύρο Πρωτογεράκη έλαβα μια μελέτη για τα ζητήματα ...που προκαλούν οι τριβές. Τον ευχαριστώ και από την θέση αυτήν. Δείτε την.




Μπορείτε να δείτε το αρχείο και σε pdf

Κυριακή, 4 Ιανουαρίου 2009

Ποια η κατεύθυνση της τριβής; Συνέχεια...

Σαν συνέχεια της προηγούμενης ανάρτησης και με αφορμή κάποια νέα ερωτήματα..
Στο μέσον ενός κυλίνδρου ακτίνας R, υπάρχει μια μικρή εγκοπή βάθους 3R/4, στην οποία τυλίγουμε αβαρές νήμα και τοποθετούμε τον κύλινδρο σε οριζόντιο επίπεδο. Τραβώντας το νήμα ασκούμε στον κύλινδρο οριζόντια δύναμη F, όπως στο σχήμα. Αν ο κύλινδρος κυλίεται χωρίς να ολισθαίνει να βρεθεί η κατεύθυνση της στατικής τριβής που ασκείται στον κύλινδρο από το έδαφος.
Απάντηση:
Στο σχήμα έχουμε σχεδιάσει την τριβή, θεωρώντας ότι είναι προς τα αριστερά. Είναι σωστό;
Για την μεταφορική κίνηση από τον δεύτερο νόμο του Νεύτωνα και θεωρώντας την κατεύθυνση προς τα δεξιά θετική, έχουμε:
ΣFxacm   F-Τ= Μacm  (1)
Για την στροφική κίνηση από τον δεύτερο νόμο του Νεύτωνα και θεωρώντας τις δεξιόστροφες ροπές θετικές, έχουμε:
Στο=Ι·αγων   F·r+Τ·R= ½ ΜR2·αγων 
Αφού ο κύλινδρος κυλίεται χωρίς να ολισθαίνει acmγων·R, οπότε:
Από (1) και (2) παίρνουμε:
F(1+r/R)= 3/2 Macm ή
Με αντικατάσταση στην (1) έχουμε:
Τ=F-Μacm 
Τ=0,25F.
Αφού το μέτρο της τριβής που υπολογίσαμε προέκυψε θετικό η υπόθεσή μας είναι σωστή. Η τριβή έχει κατεύθυνση προς τα αριστερά.




Πώς να εφαρμόσουμε τον θεμελιώδη νόμο στη σύνθετη κίνηση;

Πώς εφαρμόζουμε τον θεμελιώδη νόμο της Μηχανικής σε μια σύνθετη κίνηση; Δουλεύουμε με αλγεβρικές τιμές των μεγεθών ή με τα μέτρα τους; Έστω για παράδειγμα ότι θέλουμε να μελετήσουμε την κίνηση ενός κυλίνδρου που κυλίεται χωρίς να ολισθαίνει.
Οι γνωστές μας σχέσεις ω=υ·R και αcmγων· R συνδέουν τα μέτρα των μεγεθών αφού τα διανύσματα είναι μεταξύ τους ασύμβατα κάθεταω  και αcm αγων.)
Για να μην μπλέξουμε λοιπόν τα πρόσημα των μεγεθών αυτών προτείνεται να χρησιμοποιούμε τις εξισώσεις αφού ορίσουμε κάθε φορά θετικές φορές (για την μεταφορική και για την περιστροφική κίνηση) με τέτοιο τρόπο ώστε να μην προκύπτουν αρνητικές τιμές για την επιτάχυνση του κέντρου μάζας και για την γωνιακή επιτάχυνση. Ας το δούμε με ένα παράδειγμα.




Σημείωση: Στην 2) περίπτωση η τριβή πρέπει να έχει φορά προς τα πάνω επειδή η ροπή της πρέπει να προκαλέσει την αριστερόστροφη περιστροφή του κυλίνδρου, αφού η ροπή της F τείνει να περιστρέψει δεξιόστροφα τον κύλινδρο. Αντίθετα στην 3) περίπτωση δεν μπορώ να προβλέψω και την σχεδιάζω προς τα πάνω τυχαία και αν βρώ θετική τιμή συμπεραίνω ότι σωστά την σχεδίασα διαφορετικά θα έχει φορά προς τα κάτω.