Τρίτη, 30 Ιουνίου 2009

Φθίνουσα Ταλάντωση 1.

Από τον Θοδωρή Παπασγουρίδη πήρα ένα κείμενο, πάνω στις φθίνουσες ταλαντώσεις που στηρίζεται στο Βιβλίο του Θρασύβουλου Μαχαίρα «Λάθη του σχολικού βιβλίου Φυσικής Κατεύθυνσης της Γ Λυκείου».
Πριν το δώσω για μελέτη, ήθελα να ξεκαθαρίσουμε μερικά πράγματα, γιατί μάλλον πολύ εύκολα οδηγούμαστε σε παρεξηγήσεις. Μερικά ερωτήματα που μπαίνουν, άλλοτε καλοπροαίρετα και άλλοτε όχι.
· Δηλαδή θα πρέπει να διδάξουμε διαφορικές εξισώσεις στα παιδιά του Λυκείου;
· Γιατί ασχολείσθε τόσο με τις φθίνουσες;
· Τι σας έχει πιάσει να βγάλετε λάθη στο σχολικό βιβλίο;
· Νομίζω ότι καλά το βάζει το θέμα το σχολικό, ασχολείται με εύκολα πράγματα, δεν μπαίνει σε λεπτομέρειες, γιατί τόση μανία με το θέμα;
Πρώτα-πρώτα το βασικό:
Δεν ζητάει κανείς να διδάξουμε διαφορικές στους μαθητές. Δεν ζητάει κανείς να βάλουμε μαθηματικά στη μελέτη μας. Ίσα-ίσα ο Μαχαίρας στο βιβλίο του προτείνει να φύγει και η εξίσωση Α=Α0e-Λt, αφού δεν είναι το πλάτος της ταλάντωσης και πάνω εκεί κτίζονται ασκήσεις που μπερδεύουν τα παιδιά και η διδασκαλία να γίνει μόνο με ποιοτικά χαρακτηριστικά της κίνησης.
Η ανάδειξη του λάθους έχει τρεις στόχους:
Α) Πίεση προς το ΥΠΕΠΘ για διόρθωση του βιβλίου, ώστε να μην διδάσκουμε λάθος πράγματα στους μαθητές μας.
Β) Να υποχρεώσει όσους γράφουν εξωσχολικά βοηθήματα για μαθητές, να είναι προσεκτικοί στο περιεχόμενο των βιβλίων τους και να μην οδηγούνται με αφορμή την παραπάνω εξίσωση, σε εξεζητημένα θέματα, που δεν είναι Φυσική και είναι ΚΑΙ λάθος. Για παράδειγμα τι σχέση έχει η εξίσωση αυτή με την εξίσωση Ν=Ν0∙e-Λt, ώστε να μεταφέρουμε το χρόνο υποδιπλασιασμού της ραδιενεργού διάσπασης, στις φθίνουσες ταλαντώσεις;
Γ) Ο Καθηγητής που διδάσκει ένα μάθημα πρέπει να είναι γνώστης του αντικειμένου. Και μετά να αποφασίσει τι και πώς πρέπει να το διδάξει. Αν ξέρει ότι κάτι δεν στέκει επιστημονικά, θα είναι προσεκτικός στη διδασκαλία του. Είναι άλλο πράγμα να λες ότι η παραπάνω εξίσωση δίνει το πλάτος στην φθίνουσα ταλάντωση και άλλο πράγμα να λες, ότι στην περίπτωση που έχουμε πολύ-πολύ μικρή απόσβεση, μπορούμε να προσεγγίσουμε το πλάτος με την εξίσωση αυτή.
Σε τελευταία ανάλυση ας έχουμε την διάθεση να ακούσουμε τι έχει να μας πει κάποιος συνάδελφος, ο οποίος έχει μελετήσει σε βάθος ένα θέμα, πριν τρέξουμε να ρίξουμε το ανάθεμα, για κάτι που τελικά… δεν γνωρίζουμε.
Και τώρα διαβάστε το πρώτο μέρος της μελέτης.
-------------------------
Ξεκινώ με ένα απόσπασμα από κείμενο του Θρασύβουλου Κων. Μαχαίρα σε mail που είχα την τύχη να ανταλλάξω μαζί του:
Πιστεύω ότι ένας Φυσικός που διδάσκει σε Λύκειο, πρέπει να ξέρει ακριβώς το φαινόμενο και τη θεωρητική του κάλυψη ώστε ο ίδιος να κρίνει τα όρια των προσεγγίσεων, τις αποκλίσεις από το σωστό και να επανατοποθετήσει την αποκλειστική του ευθύνη στον τρόπο παρουσίασης, επιλογής ασκήσεων και λέξεων που θα χρησιμοποιήσει απαλύνοντας τις όποιες ελλείψεις του σχολικού και των φροντιστηριακών βιβλίων. Όχι καταργώντας το σχολικό, αλλά προφυλάσσοντας τον εαυτό του και τους μαθητές του από ασκησιολογικούς εκτροχιασμούς.
Ας δούμε πιο αναλυτικά τη
ΦΘΙΝΟΥΣΑ ΤΑΛΑΝΤΩΣΗ

Αν σ΄ένα μονοδιάστατο αρμονικό ταλαντωτή, εξασκηθεί κατά τη διεύθυνση της κίνησής του, δύναμη τριβής της μορφής F΄=-bυ, τότε η εξίσωση κίνησης x(t) του ταλαντωτή θα πληροί τον 2ο Νόμο Newton:
clip_image002
clip_image004
Η διαφορική εξίσωση (2) είναι γραμμική ομογενής 2ας τάξεως και έχει ως λύσεις τρεις τελείως διαφορετικές συναρτήσεις, ανάλογα με τη σχέση που υπάρχει μεταξύ των παραμέτρων D, b και m .
Δηλαδή ανάλογα με τη σχέση που υπάρχει μεταξύ των τριών παραπάνω παραμέτρων το κινητό είναι δυνατό να εκτελέσει τρεις διαφορετικές κινήσεις που περιγράφονται από τρεις διαφορετικές εξισώσεις κίνησης.
Συγκεκριμένα:
1) Όταν b2 > 4Dm, δηλαδή όταν Λ >ω, λέμε ότι έχουμε ισχυρή απόσβεση και η εξίσωση κίνησης είναι
clip_image006
2) Όταν b2 = 4Dm, δηλαδή όταν Λ = ω, λέμε ότι έχουμε κρίσιμη απόσβεση και η εξίσωση κίνησης είναι
x(t)=e-Λt(C3+C4∙t) (2.β)
όπου C3 και C4 είναι πραγματικοί αριθμοί.

3) Όταν 0<b2 < 4Dm, δηλαδή όταν 0< Λ < ω, λέμε ότι έχουμε ασθενή απόσβεση και η εξίσωση κίνησης είναι
clip_image010
όπου χ0 και υ0 η αρχική θέση και αρχική ταχύτητα του κινητού.
Σε κάθε μία από τις παραπάνω τρεις εξισώσεις κίνησης πρέπει να υπάρχουν οπωσδήποτε δύο σταθερές. Αυτό οφείλεται στο γεγονός ότι αποτελούν λύση γραμμικής διαφορικής 2ας τάξεως. Οι σταθερές αυτές C1, C2, C3, C4, Α0 και φ προσδιορίζονται από τις αρχικές συνθήκες του προβλήματος, δηλαδή από την αρχική θέση και αρχική ταχύτητα του κινητού.
Από τα τρία είδη κινήσεων που μπορεί να επιβάλλει η F΄=-bυ, μόνο εκείνο της ασθενούς απόσβεσης είναι ταλάντωση. Και αυτό εφόσον επαναπροσδιοριστούν κάποιες έννοιες .... Συνεπώς ο όρος φθίνουσα ταλάντωση μπορεί και πρέπει να αποδίδεται μόνο στην κίνηση όπου έχουμε ασθενή απόσβεση.
Οι άλλες δύο κινήσεις (η ισχυρή και η κρίσιμη απόσβεση) είναι απλώς ευθύγραμμες κινήσεις και δεν προσφέρει ίσως τίποτε να τις λέμε απεριοδικές. Είπαμε ποτέ την ευθ. ομαλά επιταχυνόμενη κίνηση απεριοδική;
Συνέχεια…
Δείτε και μια απόδειξη που μου έστειλε ο Σταύρος ο Λέτης, για το πλάτος από εδώ.

Κυριακή, 28 Ιουνίου 2009

Φθίνουσες Ταλαντώσεις και κάποια συμπεράσματα.



Από τον συνάδελφο Παπαδήμα Γεώργιο ένα αρχείο που μελετά τις φθίνουσες ταλαντώσεις και καταλήγει σε συμπεράσματα.




Kύριε Μάργαρη παρακολούθησα τις συζητήσεις σχετικά με τις φθίνουσες ταλαντώσεις και σας στέλνω το παρακάτω, θα ήθελα εάν μπορούσατε να το δημοσιεύσετε γιατί νομίζω ότι λύνει αρκετές παρεξηγήσεις. Το μόνο πρόβλημα είναι ότι χρησιμοποιώ παραγώγους και γενικές λύσεις διαφορικών εξισώσεων γιατί δεν μπορώ να καταλήξω με ποιό απλό τρόπο στα συμπεράσματα
Η διαφορική εξίσωση μίας ταλάντωσης με απόσβεση είναι
image001

image003image005image007



ΠΑΠΑΔΗΜΑΣ ΓΕΩΡΓΙΟΣ
ΦΥΣΙΚΟΣ

Σάββατο, 27 Ιουνίου 2009

Δεν είναι όλα θέμα ορισμών, αλλά και ευθύνης...

Από τον φίλο και συνάδελφο Θρασύβουλο Μαχαίρα μια απάντηση σε σχόλια του Yannis στην ανάρτηση Το πλάτος της φθίνουσας ταλάντωσης
Στις σελ.71-74 και 114-115 του βιβλίου που εξέδωσε το Γενικό Λύκειο Αγριάς Μαγνησίας έχει ήδη τεθεί ότι υπάρχει πρόβλημα ορισμών όταν ξεφεύγουμε από τα περιοδικά φαινόμενα. Και το πρόβλημα αυτό με τη σειρά του οδηγεί σε άλλα καινούρια προβλήματα. Κατά αυτόν τον τρόπο έχω συμφωνήσει με τον κ. yannis πριν από καιρό.
Για το επίπεδο όμως μιας λυκειακής Φυσικής και για τα μονοδιάστατα προβλήματα που εξετάζουμε μπορούμε να δώσουμε στους μαθητές κάποιους ορισμούς που, χωρίς να υστερούν τόσο πολύ σε αυστηρότητα, παραμένουν κοντά στο σχολικό βιβλίο και το κυριότερο δεν απειλούν τη σκέψη τους και την ποιότητα των συλλογισμών τους, μιας και εξαρχής τονίζουμε στους μαθητές τα όρια χρήσης και παρέκκλισης που επιχειρούμε.
Αν λοιπόν με πολύ μεγάλη προσοχή και πάντα με συναίσθηση των ορίων πούμε
Ταλάντωση: Μια παλινδρομική κίνηση γύρω από κάποια συγκεκριμένη θέση που θα ονομάσουμε θέση αναφοράς.
Τότε:
α) Ο ορισμός αυτός μπορεί να σταθεί με ικανοποιητική ακρίβεια για απλή, φθίνουσα και εξαναγκασμένη ταλάντωση (την ύλη δηλαδή του σχολικού) και δίνει την αίσθηση αυτού που θέλουμε να πούμε τόσο στα συγκεκριμένα παραδείγματα όσο και σε άλλες πιο πολύπλοκες περιπτώσεις. Χωρίς να απειλεί σε εκτροχιασμούς τα παιδιά αρκεί να μη πιάσει εμάς καμιά ασκησιομανία.
β) Είναι κοντά σε αυτό που μπορούν να καταλάβουν τα παιδιά, το έχουν ήδη ως συνείδηση, χωρίς να είναι διαστρεβλωμένη και απειλή για αυτά που θα μάθουν αργότερα. Το κυριότερο βέβαια είναι ότι το έχει όχι απειλητικά για εκτροχιασμούς και το σχολικό τους βιβλίο.
γ) Διατηρεί την καθιερωμένη του σε πολλά αξιόλογα συγγράμματα έννοια και σε πιο δύσκολες ακόμη περιπτώσεις χωρίς να δημιουργεί κάποια ιδιαίτερα προβλήματα μια και δεν αφορά υπολογισμούς παρά μόνο αίσθηση της κίνησης.
δ) Μπορεί να συντηρήσει έννοιες όπως η περίοδος, η συχνότητα κ.λ.π αρκεί να ξαναοριστούν και να οριοθετηθεί η ισχύς τους.
Αλλιώς θα πρέπει να κρατήσουμε τον όρο ταλάντωση για τελείως περιοδικά και άρα αναλλοίωτα φαινόμενα και για τα άλλα να βρούμε κάτι άλλο, π.χ παλινδρομικές κινήσεις ή δεν ξέρω τι. Και δε θα έχω καμιά αντίρρηση. Μόνο που θα πρέπει πια να ξαναγραφτεί σίγουρα το σχολικό και πολλά άλλα βιβλία και να επαναπροσδιοριστούν λέξεις όπως περίοδος, συχνότητα κ.λ.π.
Μέχρι τότε δεν θεωρώ επικίνδυνο κάποιες επεκτάσεις ορισμών στο επίπεδο όμως μιας λυκειακής Φυσικής και για τα μονοδιάστατα προβλήματα που εξετάζουμε.
Συμφωνώ λοιπόν με τον κ. yannis στην έλλειψη αυστηρών ορισμών και συνεπώς στην προσεκτική επέκταση κάποιων εννοιών στα παιδιά.
Διαφωνώ όμως με τον κ. yannis σε όλα τα υπόλοιπα που γράφει στο σχόλιό του:
1η διαφωνία:
Η κίνηση του μυρμηγκιού δεν είναι μονοδιάστατη και το κυριότερο δεν εξετάζεται από τη Φυσική ούτε στο επίπεδο που μιλάμε, ούτε σε πανεπιστημιακό επίπεδο από όσα ξέρω (και διορθώστε με αν έχει μπει στα πανεπιστήμια κάποιο μάθημα που το κάνει αυτό). Η κίνηση του μυρμηγκιού δεν εξετάζεται από Φυσικό. Ο Φυσικός στη μηχανική, από λυκειακό επίπεδο έως βαρύ θεωρητικό, εξετάζει σώματα ή υλικά σημεία κάτω από την επίδραση συγκεκριμένων δυνάμεων. Οι ορισμοί και οι έννοιές που θα χρησιμοποιήσει ένας Φυσικός αυτά αφορούν.
Το μυρμήγκι ή το οποιοδήποτε ζώο δεν τον ενδιαφέρει στις κινήσεις του γιατί δεν μπορεί να βάλει στις εξισώσεις τους τις ˝σκοτεινές˝ τους διαθέσεις. Πώς να υπολογίσει ο φυσικός πότε το μυρμήγκι μύρισε κάτι και πρόσθεσε ή άλλαξε γενικά κάποια δύναμη αλλάζοντας την κίνησή του; Πώς να υπολογίσει πότε ένιωσε απειλή ένα ζώο ή πότε πήρε χαμπάρι το άλλο φύλο και έκανε ότι έκανε; Τι να υπολογίσει από κάτι που είναι ζωντανό και μάλιστα όταν κάνει παράξενα πράγματα;
Πιθανώς κάποιοι να ασχολούνται με συμπεριφορές μεγάλου πλήθους ζώων. Αλλά το να ασχοληθείς με τη συμπεριφορά του ενός και μάλιστα μυρμηγκιού και δύσκολο είναι και πολύ περιορισμένο.
Το μυρμήγκι δεν εξετάζεται από τη μηχανική και δεν απειλεί τους ορισμούς της. Και πολύ περισσότερο δεν απειλούν τους ορισμούς της τα μυρμήγκια που αντί να κουβαλάνε κανένα σπόρο πάνε σε μυρμηγκομπαράκια και τα κοπανάνε. Αν όμως κύριε yannis το εν λόγω μυρμήγκι συνεχίσει να κάνει τέτοια πράγματα πάνω στην οδοντογλυφίδα σας, πιθανώς να χρειάζεται εμψυχωτή μυρμηγκιών και όχι Φυσικό.
2η διαφωνία:
Λέει ο κ.yannis:
˝...Ας επιστρέψουμε όμως στο παράδειγμα της «ταλάντωσης»
x(t)=A0*e^(-Λt)cos(ωt).
Κάποιος θα έλεγε ότι περίοδο ορίζουμε το χρόνο μεταξύ δύο τοπικών μεγίστων της x-t συνάρτησης.
Κάποιος άλλος θα μπορούσε να ορίσει τη περίοδο ως το χρονικό διάστημα μεταξύ τριών μηδενισμών της θέσης
Ένας τρίτος θα όριζε την περίοδο ως το χρονικό διάστημα μεταξύ δύο τοπικών μεγίστων της u-t συνάρτησης.

Οι τρεις παραπάνω ορισμοί είναι ισοδύναμοι σε μια ΑΑΤ αλλά στην εκθετικά φθίνουσα δεν δίνουν ακριβώς το ίδιο αποτέλεσμα...
Όμως:
α) Η φθίνουσα ταλάντωση δεν έχει εξίσωση κίνησης την
x(t)=A0*e^(-Λt)cost) που αναφέρετε, αλλά τρεις άλλες ισοδύναμες μεταξύ τους μορφές μεταξύ των οποίων (χρησιμοποιώντας τη διάθεσή σας για συνημίτονο) και την x(t)=A0·eΛt·cost+φ).
Και έχει μεγάλη σημασία η παρουσία δύο παραμέτρων Α0 και φ σε μια εξίσωση κίνησης.
β) Η περίοδος στη φθίνουσα ταλάντωση μπορεί θαυμάσια να οριστεί γιατί, όχι μόνο παραμένει σταθερή για συγκεκριμένη τιμή των παραμέτρων b,D,m, αλλά και γιατί διατηρεί θαυμάσια σταθερά τα χρονικά διαστήματα ανάμεσα σε αντίστοιχα σημεία.
Για να γίνω πιο σαφής σας λέω ότι
το χρονικό διάστημα ανάμεσα σε δύο τοπικά μέγιστα της συνάρτησης x(t)
το χρονικό διάστημα ανάμεσα σε τρεις(*) μηδενισμούς της θέσης (της εξίσωσης κίνησης x(t) δηλαδή)
● το χρονικό διάστημα μεταξύ δύο τοπικών μεγίστων της συνάρτησης u(t) της ταχύτητας
● το χρονικό διάστημα ανάμεσα σε οποιαδήποτε αντίστοιχα σημεία
είναι όλα θαυμάσια ίσα μεταξύ τους.
Γι’ αυτό, στη φθίνουσα ταλάντωση με επίγνωση της παρέκκλισής από τα φαινόμενα που επαναλαμβάνονται αναλλοίωτα, μπορούμε να ορίσουμε την έννοια της περιόδου και της συχνότητας με τη σιγουριά και την αυστηρότητα της απλής αρμονικής ταλάντωσης.
3η διαφωνία:
Λέει ο κ.yannis:
˝.... Ούτε καν η θέση ισορροπίας δεν έχει αυτονόητο ορισμό. Είναι η θέση x=0 ή η θέση όπου ΣF=0? ....... θα πρέπει να συμφωνήσουμε σε ορισμούς των μεγεθών..., περίοδος, θέση ισορροπίας. ˝
Όμως:
Σε αυτά που αναρωτιέστε δεν υπάρχει πουθενά και ποτέ αμφιβολία. Θέση ισορροπίας παντού και πάντα είναι η θέση όπου η συνισταμένη των δυνάμεων είναι μηδέν. Στη φθίνουσα ταλάντωση, αλλά και σε όλες τις κινήσεις (τρεις τον αριθμό) που συνδέονται με τον μονοδιάστατο αρμονικό ταλαντωτή με απόσβεση, η θέση x=0 δεν είναι ποτέ μα ποτέ θέση ισορροπίας, αλλά θέση αναφοράς, θέση δηλαδή από την οποία μετράμε τις απομακρύνσεις. Και η επιλογή μας ως θέσης αναφοράς της x=0 δεν είναι αυθαίρετη όπως γράφετε εσείς και γράφτηκε και από άλλους συναδέλφους, αλλά την επιβάλλει η δύναμη επαναφοράς F=-Dx γιατί αυτή η θέση, η x=0, είναι το ελκτικό της κέντρο.(σελ.123)
Αλίμονο αν δεν έχει ορισμό η θέση ισορροπίας!!!!!!!!!!! Αλίμονο!
Όσον αφορά την περίοδο, σας είπα ότι θαυμάσια μπορεί να οριστεί στη φθίνουσα ταλάντωση γιατί έχει θαυμάσια σταθερότητα.
4η διαφωνία:
Λέει ο κ.yannis:
˝....Κατά τη γνώμη μου τα προβλήματα που δημιουργούνται δεν είναι προβλήματα ουσίας, αλλά διαφορετικών ορισμών (εξίσου καλών) που δίνει ο καθένας μας στα διάφορα φυσικά μεγέθη μιας φθίνουσας ταλάντωσης.
Τι λέτε κ. yannis;
Δεν είναι πρόβλημα ουσίας όταν παίρνουμε για θέση πλάτους τις θέσεις όπου η ταχύτητα είναι μέγιστη;
Δεν είναι πρόβλημα ουσίας να λέμε τα ελκτικά κέντρα, θέσεις ισορροπίας;
Δεν είναι πρόβλημα ουσίας να δίνουμε και να εξωθούμε τα παιδιά να κάνουν υπολογισμούς με εξισώσεις κίνησης που είτε δεν ισχύουν είτε είναι λανθασμένες και βγάζουν του κόσμου τα άτοπα;
Δεν είναι πρόβλημα ουσίας να λέμε τις περιβάλλουσες γραφική παράσταση πλάτους;
Δεν είναι πρόβλημα ουσίας να λέμε την ενέργεια στη φθίνουσα ταλάντωση με ελαφριά καρδιά εκθετική συνάρτηση του χρόνου και να μαθαίνουμε στα παιδιά να κάνουν του κόσμου τους λάθους υπολογισμούς;
Δεν είναι πρόβλημα ουσίας ...... χίλια δυο που γράφονται για τους μαθητές με περισσή ... Τέλος πάντων.
Κύριε yannis,
Δεν είναι όλα θέμα ορισμών που μπορεί να δίνει ο καθένας αυθαίρετα και να αθωώνεται μετά σε όσα λέει και το κυριότερο σε όσα προορίζει για μαθητές.
Είναι και θέμα να γράφεις με μεγάλη ευθύνη σχολικό βιβλίο ή φροντιστηριακά ˝βοηθήματα˝ που προορίζονται για μαθητές Λυκείου.
Δεν θα επεκταθώ και συγχωρέστε σε κάποια σημεία το ύφος μου. Το επικίνδυνο δεν είναι να μιλάμε ή να διαφωνούμε μεταξύ μας. Το επικίνδυνο είναι τι και πως θα το πούμε, όταν στην τάξη σταθούμε μπροστά σε τόσα βλέμματα...
Οι φθίνουσες είναι λάθος και διδάσκονται λάθος. Και στα φροντιστηριακά βιβλία γίνεται τέλειος εκτροχιασμός. Αυτό είναι πραγματικότητα. Ας βρούμε όμως την καρδιά να παραδεχτούμε ότι το διδάσκουμε λάθος. Και να το διορθώσουμε. Με πολύ μικρές κινήσεις γρήγορα μπορούμε να έρθουμε στο σωστό. Λέγοντας δυο τρεις κουβέντες σωστά και αφαιρώντας σχέσεις που δεν ενδιαφέρουν την ποιότητα του φαινομένου, αλλά την ασκησιολογία μας. Αλλιώς ποτέ τίποτα δε θα αλλάξει παρά μόνο υπόγεια και σιγά σιγά φέρνοντας στο προσκήνιο καινούρια λάθη.
(*) Παρεμπιπτόντως θα έλεγα ότι ούτε στην φθίνουσα, αλλά ούτε και στην απλή αρμονική ταλάντωση μέσα σε μια περίοδο δεν περιλαμβάνονται τρεις μηδενισμοί της απομάκρυνσης. Πάντα δύο. Ποτέ μα ποτέ τρεις.
Αν t1 μια τυχαία χρονική στιγμή τότε όλες οι χρονικές στιγμές t που είναι μεγαλύτερες ή ίσες με την t1 αλλά ανήκουν στην επόμενη μετά την t1 περίοδο που ακολουθεί, ανήκουν σε διάστημα της μορφής
[t1, t1+Τ)
Κλειστό αριστερά, ανοικτό δεξιά. Έτσι ποτέ σε μια περίοδο δεν περιλαμβάνονται τρεις μηδενισμοί της απομάκρυνσης ή τρεις θέσεις πλάτους ή τρία ελάχιστα ή.... Πάντα δύο. Για να μείνει και τίποτε για την άλλη περίοδο.
Θρασύβουλος Κων. Μαχαίρας
Φυσικός
Άγιος Βλάσιος Πηλίου

Κρυφός απολογισμός και μια κουβέντα

Από τον Θρασύβουλο Μαχαίρα πήρα ένα σχόλιο στην παραπάνω ανάρτηση, το οποίο αναρτώ:
----------------

Κρυφός απολογισμός και μια κουβέντα
˝.....Κι έρχεται στιγμή που ξεχνάμε τους κόπους που κάναμε για να σπουδάσουμε, ξεχνάμε τα πανεπιστημιακά βιβλία που διαβάσαμε κι αγαπήσαμε, ξεχνάμε την πανίσχυρη βιβλιογραφία στην οποία ανατρέχαμε, ξεχνάμε τα ξενύχτια που κάναμε για να ετοιμαστούμε για τις εξεταστικές περιόδους. Απαρνιόμαστε τις σπουδές μας και στην ψυχή μας σκοτεινιάζει...Τα μάτια μας συνηθίζουνε τη διαστροφή... Συνηθίζει το μυαλό μας τα εξωφρενικά λάθη... Τα συντηρούμε και τα αναπαράγουμε...˝
Στη σελίδα 30 του βιβλίου μου «Λάθη του σχολικού βιβλίου Φυσικής Κατεύθυνσης Γ΄ Λυκείου και η σοβαροφανής μεγέθυνσή τους από τα εξωσχολικά ˝βοηθήματα˝» αποδεικνύεται ότι σε μια φθίνουσα ταλάντωση στην οποία ισχύει b2=2Dm (τα σύμβολα έχουν προφανή σημασία) οι θέσεις ισορροπίας του κινητού και άρα οι θέσεις στις οποίες το μέτρο της ταχύτητάς του γίνεται τοπικά μέγιστο είναι οι θέσεις όπου οι περιβάλλουσες ±Α0·et εφάπτονται στην γραφική παράσταση της εξίσωσης κίνησης
x= Α0·et ημ(ωt+φ)
Με απλά λόγια,
όταν σε μια φθίνουσα ταλάντωση ισχύει b2=2Dm, στα σημεία (στις απομακρύνσεις δηλαδή) ±Α0·et που οι μαθητές διδάσκονται ότι το κινητό βρίσκεται στο πλάτος του (σε ακραία δηλαδή θέση) και έχει σταματήσει για να γυρίσει πίσω, το κινητό όχι μόνο δεν είναι στο πλάτος του, όχι μόνο δεν έχει σταματήσει, αλλά έχει μέγιστη κατά μέτρο ταχύτητα.
Η άσκηση της σελίδας 88 είναι ένα λυμένο παράδειγμα όπου ακριβώς συμβαίνει αυτό. Στα σημεία που το σχολικό και όλα τα φροντιστηριακά βιβλία λένε ότι έχουμε πλάτος, να έχουμε μέγιστη κατά μέτρο ταχύτητα.
Επίσης είναι ένα λυμένο παράδειγμα που ενισχύει θεωρητικά αυτό που λέει ο Διονύσης: Όταν ένα σώμα αρχίσει τη φθίνουσα ταλάντωσή του από κάποια απόσταση d χωρίς αρχική ταχύτητα, το αρχικό πλάτος είναι d, αλλά αυτό το d δεν είναι το Α0 στην x= Α0·et ημ(ωt+φ) , ούτε η αρχική φάση φ είναι π/2, όπως π.χ. θα ήταν αν είχαμε απλή αρμονική ταλάντωση.
Δυστυχώς, σε αυτές τις περιοχές η κακοποίηση των φθινουσών ταλαντώσεων δεν προέρχεται μόνο από το σχολικό βιβλίο, αλλά είναι μεγέθυνση εξωσχολικών ˝ βοηθημάτων˝, από τα οποία βρήκα το παράδειγμα. Ήταν λυμένο, όχι απλώς λάθος, αλλά καταβιασμένο και κακοποιημένο. Το πήρα το τροποποίησα και το παρουσίασα στο βιβλίο μου με το σεβασμό που του ανήκει. Και πραγματικά χάρηκα τη μεγαλοπρέπειά του.


Θρασύβουλος Κων. Μαχαίρας
Φυσικός
Άγιος Βλάσιος Πηλίου

Μιας και αναφέρθηκε το παράδειγμα της σελίδας 88 από το βιβλίο του Θρασύβουλου, ας το δούμε:

Παράδειγμα σελ. 88
Υλικό σημείο μάζας m=2kg κινείται στον άξονα x κάτω από την επίδραση δύο δυνάμεων, της F= - 36x (S.Ι.) και της F΄= - 12Ν (S.Ι.) όπου υ η ταχύτητα του υλικού σημείου.
Τη χρονική στιγμή t=0 s η απόσταση του κινητού από τη θέση x=0 είναι 0,4m και η ταχύτητά του είναι μηδέν.
Να μελετηθεί η κίνηση του υλικού σημείου.

Απάντηση:
Η λύση της διαφορικής εξίσωσης δίνει:
Προσέξτε: Το Α0 δεν είναι το αρχικό πλάτος d=0,4m και η αρχική φάση δεν είναι π/2 (όπως συχνά υπονοείται κατά αντιστοιχία με την αμείωτη!!!), αλλά π/4.


Αλλά και μια εικόνα που μου έστειλε ο συνάδελφος Σταύρος Λέττης, όπου εκτός των παραπάνω, απεικονίζεται και η μεταβολή της ταχύτητας του υλικού σημείου, από όπου προκύπτει ότι: "Όταν το σώμα βρίσκεται σε θέση 'πλάτους" έχει μέγιστη ταχύτητα!!!"


Δείτε αντί για λύση μια προσομοιώση της κίνησης σε Ι.Ρ.


Παρασκευή, 26 Ιουνίου 2009

Το πλάτος της φθίνουσας ταλάντωσης

Ένα σώμα ηρεμεί δεμένο στο κάτω άκρο ενός κατακόρυφου ελατηρίου. Εκτρέπουμε το σώμα κατακόρυφα προς τα πάνω, κατά d και το αφήνουμε να εκτελέσει φθίνουσα ταλάντωση.
Η εξίσωση που περιγράφει την κίνησή του, για μικρές τιμές της σταθεράς απόσβεσης, οπότε και έχουμε φθίνουσα ταλάντωση, είναι:
x= Α0e-Λt∙ημ(ω1t+φ0) (1)
Το σχολικό βιβλίο ορίζει, ότι υπάρχει μπροστά από το ημίτονο, σαν το πλάτος της φθίνουσας ταλάντωσης. Είναι πράγματι έτσι;
Με αφορμή μια συζήτηση που ξεκίνησε στο δίκτυο http://scienceteachersnet.ning.com/ ο συνάδελφος Θοδωρής Παπασγουρίδης, πάνω στην έξοχη μελέτη του συναδέλφου Θρασύβουλου Μαχαίρα, ας το δούμε το θέμα με την βοήθεια του Interactive Physics.
Αν απομακρύνουμε το σώμα μάζας m=2kg κατά d=1m από την θέση ισορροπίας, ενώ το ελατήριο έχει σταθερά k=12Ν/m και b=3,5kg/s, ποια θα πρέπει να είναι η γραφική παράσταση της σχέσης (1);
Σύμφωνα με τα "ισχύοντα" και με αυτά που τόσα χρόνια διδάσκουμε στους μαθητές μας, θα περιμέναμε η γραφική παράσταση να έχει τη μορφή:
Αφού θεωρείται το Α0=1m και κάνοντας τις γραφικές παραστάσεις της σχέσης Α= Α0e-Λt και της συμμετρικής της, βρίσκουμε μεταξύ ποιων τιμών κυμαίνεται η απομάκρυνση του σώματος από την θέση x=0 (την αρχική θέση ισορροπίας). Βρίσκουμε με άλλα λόγια την περιβάλλουσα και χαράσσουμε μετά τη γραφική παράσταση.
Είναι έτσι τα πράγματα;
Τρέχουμε το Ι.Ρ και παίρνουμε την παρακάτω γραφική παράσταση!!!
Για προσέξτε συνάδελφοι την αρχική περιοχή. Δείτε την σε μεγέθυνση:
Υπάρχει μια περιοχή, όπου η συνάρτηση x=f(t) έχει μεγαλύτερη τιμή από την ασύμπτωτή της!!!
Πού είναι το λάθος; Μα στο ποιο είναι το πλάτος της φθίνουσας.
Η παράσταση Α0e-Λt δίνει την περιβάλλουσα της γραφικής παράστασης, αλλά δεν είναι η εξίσωση του πλάτους της φθίνουσας ταλάντωσης. Αυτό το Α0 δεν είναι η αρχική απομάκρυνση d=1m.
Να ευχαριστήσω και από τη θέση αυτή τον Θρασύβουλο Μαχαίρα, που μας άνοιξε τα μάτια!!!
Το παράδοξο αυτό το είχα διαπιστώσει πριν τέσσερα χρόνια, αλλά δεν το έψαξα και προφανώς το … ξεπέρασα ελαφρά τη καρδία…
Μπορείτε να τρέξετε το πρόγραμμα Ι.Ρ. και να παρακολουθείστε τα παραπάνω, κάνοντας κλικ εδώ.



Τετάρτη, 24 Ιουνίου 2009

Μια (πολύ δύσκολη) άσκηση στο Φαινόμενο Doppler


Από τον συνάδελφο Βαγγέλη Κουντούρη μια (δύσκολη) άσκηση που είχε προαγγελθεί από παλιά…. Να τον ευχαριστήσω για την προσφορά του.

Ηχητική πηγή Π παράγει ήχο συχνότητας f και κινείται ευθύγραμμα ομαλά με ταχύτητα τ προς ανακλαστική επιφάνεια Ε που επίσης κινείται ευθύγραμμα ομαλά προς την πηγή με ταχύτητα u.
Ανάμεσα στην πηγή και την ανακλαστική επιφάνεια βρίσκεται παρατηρητής Α που κινείται ευθύγραμμα ομαλά προς την ανακλαστική επιφάνεια με ταχύτητα υ.
Να βρεθεί η συχνότητα που αντιλαμβάνεται ο παρατηρητής για τον, από ανάκλαση στην ανακλαστική επιφάνεια, ήχο που ακούει.
Δίδεται η ταχύτητα διάδοσης του ήχου c και ότι οι ταχύτητες της πηγής, του παρατηρητή και της επιφάνειας βρίσκονται πάνω στην ίδια ευθεία που είναι κάθετη στην ανακλαστική επιφάνεια.



Και μια απάντηση από τον Γιώργο Χριστόπουλο από εδώ.

Τρίτη, 16 Ιουνίου 2009

«Πως διδάσκουμε την ενέργεια;»

Μια διδακτική πρόταση για το πώς διδάσκουμε την ενέργεια, από τον συνάδελφο Γιάννη Παπαδάκη.
Στα περισσότερα σχολικά βιβλία (και στα ισχύοντα) η εισαγωγή της ενέργειας γίνεται αξιωματικά ακολουθώντας την σειρά: Ορίζεται πρώτα το έργο δύναμης, και στην συνέχεια η κινητική και η δυναμική ενέργεια. Επειδή το πρόβλημα είναι κυρίως εννοιολογικό, θεωρώ ότι η εισαγωγή των εννοιών έργο και ενέργεια πρέπει να ακολουθήσουν ένα πιο δομικό και αιτιοκρατικό τρόπο στις τάξεις εκείνες, που η εισαγωγή τους είναι σημαντικότερη από την μαθηματική τους επεξεργασία, όπως στην 2α Γυμνασίου και στην 1η Λυκείου.
Α. Πως προκύπτει η αναγκαιότητα εισαγωγής του φυσικού μεγέθους «Κινητική Ενέργεια»; Υπάρχει όντως τέτοια αναγκαιότητα;
Ξεκινούμε την μελέτη μας έχοντας γνωρίσει τα μεγέθη: μάζα, ταχύτητα, επιτάχυνση, δύναμη, ορμή.
Μάζα: η δυσκολία αλλαγής της κίνησης των σωμάτων.
Ταχύτητα: πόσο γρήγορα κινείται ένα σώμα.
Επιτάχυνση: πόσο γρήγορα αλλάζει η ταχύτητα ενός σώματος.
Δύναμη: η αιτία που αλλάζει τη ταχύτητα των σωμάτων ή η αιτία που τα παραμορφώνει.
Ορμή: το μέγεθος εκείνο που διατηρείται όταν δύο σώματα αλληλεπιδρούν μόνο μεταξύ τους. Είναι το γινόμενο της μάζας επί την ταχύτητα των σωμάτων. Να θυμίσω ότι ό Newton όταν διατύπωνε τους νόμους του, ανέφερε το μέγεθος «ποσότητα κίνησης» σήμερα αποδίδεται με την την έννοια ορμή.
Σε τι διαφέρει ένα κινούμενο με ένα ακίνητο σώμα;
Ας το δούμε με ένα παράδειγμα: Περνάς άφοβα μπροστά από ένα σταθμευμένο αυτοκίνητο; Περνάς το ίδιο άφοβα μπροστά από το ίδιο αυτοκίνητο όταν τρέχει με ταχύτητα 50 Km/h; Τι είναι αυτό το παραπάνω που έχει το κινούμενο αυτοκίνητο από το ακίνητο; Ας προσπαθήσουμε να δώσουμε μια ολοκληρωμένη απάντηση.
Δείτε την συνέχεια από εδώ,

Κυριακή, 14 Ιουνίου 2009

Θέματα Εξετάσεων Κύπρου.


Δείτε τα φετινά θέματα των Παγκύπριων εξετάσεων σε Φυσική- Χημεία. Η σύγκριση και τα σχόλια δικά σας.

ΦΥΣΙΚΗ 4ωρο Τ.Σ. ................ Λύσεις


ΦΥΣΙΚΗ.................................. Λύσεις


ΧΗΜΕΙΑ .................................Λύσεις


Σάββατο, 13 Ιουνίου 2009

Πώς μπορούμε να διδάξουμε καλύτερα την ενέργεια.

Αφού ευχαριστήσω για μια ακόμη φορά τον συνάδελφο Σταύρο Πρωτογεράκη για την σειρά των πέντε άρθρων του John W. Jewett Jr., που μας πρόσφερε, θα μου επιτρέψετε να κωδικοποιήσω κάποια σημεία, τα οποία θα μας βοηθούσαν να διδάξουμε και εμείς στη σημερινή δευτεροβάθμια Ελληνική εκπαίδευση καλύτερα το θέμα αυτό ή τουλάχιστον θα μας βοηθούσαν να αποφύγουμε λανθασμένες εκδοχές κατά τη διδασκαλία μας.
1) Τι είναι το Δr στην εξίσωση:
W=F·Δr·cosθ
Στη δικιά μου μέθοδο προσέγγισης για την επίλυση προβλημάτων, η μετατόπιση Δr πάντα ως η μετατόπιση του σημείου εφαρμογής της δύναμης. Για ένα σύστημα που αποτελείται από ένα μοναδικό σωματίδιο ή ένα μη παραμορφώσιμο αντικείμενο το οποίο δεν περιστρέφεται, η μετατόπιση του σημείου εφαρμογής της δύναμης είναι ίδια με τη μετατόπιση του αντικειμένου ή του συστήματος. Ωστόσο, για ένα παραμορφώσιμο ή περιστρεφόμενο σύστημα, η μετατόπιση του κέντρου μάζας του συστήματος μπορεί να είναι διαφορετική από τη μετατόπιση του σημείου εφαρμογής της δύναμης.
2) Εάν η ποσότητα Δr στον ορισμό του έργου οριστεί ως «η μετατόπιση του αντικειμένου», συχνά ακολουθεί στα βιβλία και τη διδασκαλία ότι το έργο που παράγεται από την τριβή σ’ ένα σώμα που ολισθαίνει πάνω σε μία επιφάνεια είναι W= - fk·d όπου fk είναι η δύναμη τριβής ολίσθησης πάνω στο σώμα και d η απόσταση κατά την οποία το σώμα μετακινείται σε σχέση με την επιφάνεια.
3) Το συνολικό έργο που παράγεται από πολλές δυνάμεις πάνω σ’ ένα αντικείμενο, είναι ίσο με το άθροισμα των έργων που παράγονται από κάθε μία δύναμη ξεχωριστά πάνω στο σύστημα. Και όχι « Το συνολικό έργο που παράγεται από πολλές δυνάμεις πάνω σ’ ένα αντικείμενο, είναι ίσο με το γινόμενο της συνισταμένης δύναμης που ασκείται στο αντικείμενο επί τη μετατόπιση του αντικειμένου.»
4) Στην ενεργειακή προσέγγιση που προτείνεται σ’ αυτή τη σειρά των άρθρων, το θεώρημα έργου-κινητικής ενέργειας δεν αποτελεί το σημείο εκκίνησης για την επίλυση προβλημάτων. Παρ’ ότι το θεώρημα έργου- κινητικής ενέργειας θα μπορούσε να συμπεριληφθεί στην επίλυση κάποιων προβλημάτων, δεν χρησιμοποιείται από τους σπουδαστές ως θεμελιώδης αρχή για να ξεκινήσουν ένα ενεργειακό πρόβλημα.
5) Σωστό ή λάθος; Ένα αγόρι πηδάει προς τα πάνω στον αέρα εξασκώντας μια προς τα κάτω δύναμη στο έδαφος. Μπορούμε να εφαρμόσουμε το θεώρημα έργου-κινητικής ενέργειας, W=ΔΚ , για το αγόρι, προκειμένου να υπολογίσουμε την ταχύτητα με την οποία εγκαταλείπει το έδαφος;
Η προς τα πάνω δύναμη που εκτινάσσει το αγόρι στον αέρα είναι η κάθετη δύναμη που ασκεί το έδαφος στα πόδια του. Το κέντρο μάζας του αγοριού πράγματι μετατοπίζεται κατακόρυφα. Η κάθετη δύναμη, ωστόσο, δεν μετατοπίζει το σημείο εφαρμογής της στο σύστημα αναφοράς του εδάφους, και έτσι δεν παράγεται έργο απ’ αυτή τη δύναμη πάνω στο αγόρι.
6) Στο πρώιμο στάδιο της μελέτης της ενέργειας σ’ ένα τυπικό εισαγωγικό μάθημα, το υπό εξέταση σύστημα είναι συχνά ένα μοναδικό αντικείμενο. Σε μια προσέγγιση διδασκαλίας της ενέργειας βασισμένης στην έννοια του συστήματος, ωστόσο, η ιδέα του συστήματος τονίζεται ακόμα και σ’ αυτό το πρώιμο στάδιο για να είναι έτοιμοι οι σπουδαστές να αντιμετωπίσουν πιο πολύπλοκες καταστάσεις τις οποίες θα συναντήσουν σύντομα. Σ’ ένα συγκεκριμένο πρόβλημα, είναι πιο σημαντικό να προσδιορίσουμε τις ειδικές συνθήκες για το σύστημα του προβλήματος: Είναι το σύστημα απομονωμένο ή όχι; Έτσι αντί να λέμε «η ενέργεια διατηρείται» είναι πιο χρήσιμο να δηλώσουμε «η ενέργεια του απομονωμένου συστήματος παραμένει σταθερή», ή «το σύστημα δεν είναι απομονωμένο γιατί μπορούμε να προσδιορίσουμε μία ή περισσότερες μεταφορές ενέργειας, οπότε η ενέργεια του συστήματος δεν διατηρείται σταθερή».
7) Είναι προτιμότερο να προσδιορίζουμε τη δύναμη που κάνει το έργο και το σύστημα που είναι ο αποδέκτης του έργου: για παράδειγμα θεωρείστε τις προτάσεις «έργο παράχθηκε από τη βαρύτητα πάνω στην μπάλα», «έργο παράχθηκε από την ηλεκτρική δύναμη πάνω στο ηλεκτρόνιο» και «έργο παράχθηκε από το πιστόνι πάνω στο αέριο». Οι προτάσεις αυτές εκφράζουν ξεκάθαρα ότι το έργο παράγεται πάνω σ’ ένα σύστημα από μία δύναμη ενώ επίσης στρώνουν το έδαφος για την ιδέα ότι το έργο αντιπροσωπεύει μία ενεργειακή μεταφορά ανάμεσα σε ένα σύστημα και το περιβάλλον του
8) Θεωρείστε ένα σύστημα στο οποίο μια συντηρητική δύναμη δρα μεταξύ μελών του συστήματος. Αν ένα μέλος του συστήματος μετακινείται έτσι ώστε το σημείο εφαρμογής της συντηρητικής δύναμης να μετατοπίζεται και έργο Wσυντ να παράγεται πάνω του από τη συντηρητική δύναμη, η αντίστοιχη δυναμική ενέργεια του συστήματος μεταβάλλεται κατά
Wσυντ= - ΔU.
9) Για την περίπτωση της μετακίνησης ενέργειας ανάμεσα σ’ ένα σύστημα μιας θερμοκρασίας και στο περιβάλλον του διαφορετικής θερμοκρασίας, η διαδικασία είναι «μεταφορά ενέργειας με θερμότητα». Αντιπαθώ την έκφραση «μεταφορά ενέργειας με τη μορφή θερμότητας» γιατί υπονοεί ότι η θερμότητα είναι αποθηκεύσιμη μορφή ενέργειας μάλλον, παρά μια μέθοδος για τη μεταφορά ενέργειας.
10) Θα πρέπει να γίνει ξεκάθαρο στους σπουδαστές ότι ενεργειακοί μετασχηματισμοί συμβαίνουν στο εσωτερικό ενός συστήματος και έχουν ως αποτέλεσμα την αλλαγή ενός τύπου αποθηκευμένης ενέργειας σε άλλον. . Όταν ένα σώμα ολισθαίνει πάνω σε δάπεδο και σταματά, η κινητική ενέργεια του συστήματος σώμα-δάπεδο μετασχηματίζεται σε εσωτερική ενέργεια στο σώμα και το δάπεδο. Εάν το σύστημα είναι απομονωμένο, μόνο μετασχηματισμοί ενέργειας μπορούν να συμβούν και η συνολική ενέργεια του συστήματος διατηρείται σταθερή.
11) Επιπρόσθετα, απρόσεκτη χρήση της γλώσσας περιλαμβάνει προτάσεις όπως «ενέργεια εισέρχεται στον λαμπτήρα ως ηλεκτρισμός και μετατρέπεται σε φως και θερμότητα». Αυτή η πρόταση έχει τρεις αδυναμίες όσον αφορά τη σαφήνεια της γλώσσας. Πρώτον, η ενέργεια δεν εισέρχεται σε καμία ηλεκτρική συσκευή ως «ηλεκτρισμός». Αυτό υπονοεί ότι ο ηλεκτρισμός είναι μορφή ενέργειας. Παρομοίως, η δεύτερη και τρίτη αδυναμία σχετίζονται με τη δήλωση ότι η ενέργεια «μετατρέπεται» σε φως και θερμότητα: επειδή το «μετατρέπεται» είναι ισοδύναμο του «μετασχηματίζεται», η πρόταση αυτή υπονοεί ότι το φως και η θερμότητα είναι μάλλον μορφές ενέργειας παρά μηχανισμοί μεταφοράς ενέργειας. Μια ισχυρότερη και σωστότερη πρόταση είναι ότι «η ενέργεια εισέρχεται στο σύστημα του λαμπτήρα με τη μορφή ηλεκτρικής μετάδοσης (electrical transmission) και εξέρχεται από το σύστημα με ηλεκτρομαγνητική ακτινοβολία και θερμότητα». Σημειώστε ότι αλλάζοντας το «σαν» με το «με» είναι ένα σημαντικό βήμα για να ταυτοποιήσουμε ηλεκτρισμό, φως και θερμότητα ως μηχανισμούς μεταβίβασης παρά σαν μορφές αποθήκευσης ενέργειας.
12) Η μελέτη ηλεκτρικών κυκλωμάτων είναι ένα παράδειγμα ατυχούς αλλά δημοφιλούς επιλογής λέξης – η ενέργεια «καταναλώνεται σ’ έναν αντιστάτη». Ενώ οι καθηγητές φυσικής ξέρουν ότι αυτό σημαίνει πως ο αντιστάτης θερμαίνεται και ενέργεια μεταβιβάζεται στο περιβάλλον με θερμότητα και ακτινοβολία, ο σπουδαστής μπορεί να ερμηνεύσει τη λέξη ώστε να σημαίνει ότι η ενέργεια εξαφανίζεται. Ένας λεξικογραφικός ορισμός της λέξης κατανάλωση είναι «η πρόκληση εξάπλωσης μέχρι του σημείου εξαφάνισης». Ο σπουδαστής μπορεί να αποδεχτεί αυτό το νόημα και σχηματίζει την ιδέα ότι η ενέργεια με κάποιο τρόπο χάνεται. Είναι καλύτερα να πούμε ότι η ενέργεια αποδίδεται στον αντιστάτη, που ενισχύει την έννοια της μεταφοράς ενέργειας σ’ ένα σύστημα. Εξαιτίας αυτής της μεταφοράς, η εσωτερική ενέργεια του αντιστάτη αυξάνεται. Στη συνέχεια, υπάρχει μια επακόλουθη μεταφορά ενέργειας με θερμότητα και ηλεκτρομαγνητική ακτινοβολία, από τον θερμό αντιστάτη στο ψυχρότερο περιβάλλον. Μια παρόμοια φρασεολογία που εμφανίζεται σε εγχειρίδια είναι η «απώλεια» ενέργειας.
13) Μια συνηθισμένη πρόταση στα εγχειρίδια και τις διαλέξεις για τη σχετικότητα περιλαμβάνει κάτι σαν «σ’ αυτή τη διαδικασία μάζα μετατρέπεται σε ενέργεια». Αυτός ο τύπος δήλωσης είναι παραπλανητικός για τους σπουδαστές γιατί λέει ότι κάποια ποσότητα μετατρέπεται σε κάτι εντελώς διαφορετικό. Μια ποσότητα που μετριέται σε χιλιόγραμμα απλώς δεν μπορεί να μετατραπεί σε κάτι που μετριέται σε joules. Μια καλύτερη προσέγγιση σ’ αυτή τη διαδικασία μετατροπής είναι να δηλώσουμε με προσοχή ότι η ενέργεια ηρεμίας μετατρέπεται σε άλλες μορφές ενέργειας. Για παράδειγμα, σε μια πυρηνική διάσπαση, η ενέργεια ηρεμίας του συστήματος μειώνεται γιατί μέρος αυτής της ενέργειας ηρεμίας μετασχηματίζεται σε κινητική ενέργεια των εξερχόμενων σωματιδίων.
14) Συχνά δηλώνεται ότι «ισχύς είναι ο ρυθμός με τον οποίο εκτελείται έργο». Αυτή είναι μια ατελής πρόταση και θα αφήσει τους σπουδαστές να αναρωτιούνται για τις ισχύς των λαμπτήρων και των στερεοφωνικών συγκροτημάτων τους. Όταν, ωστόσο, συζητηθούν όλες οι μορφές μεταβίβασης ενέργειας σε μια σφαιρική προσέγγιση για την ενέργεια, μπορεί να γίνει η σωστή δήλωση για την ισχύ: «ισχύς είναι ο ρυθμός με τον οποίο ενέργεια μπορεί να διαπεράσει τα σύνορα του συστήματος». Σπουδαστές που έχουν διδαχτεί μ’ αυτή την προσέγγιση θα καταλάβουν τι είναι ένας λαμπτήρας των 60-watt. Θα καταλάβουν επίσης την ηχητική ισχύ του στερεοφωνικού τους συγκροτήματος και τη φωτεινή ισχύ που προέρχεται από τον ήλιο.
15) Η θεμελιώδης εξίσωση ονομάζεται η εξίσωση διατήρησης της ενέργειας ή εξίσωση συνέχειας της ενέργειας, σε συντομογραφία Α.Δ.Ε. :
ΔΕσυστ = ΣΤ
όπου με Τ παριστάνεται το ποσό της ενέργειας που μεταβιβάζεται ( από το transfer) διαμέσου των ορίων του προσδιορισμένου συστήματος μέσω ενός δεδομένου μηχανισμού.
Η αναπτυγμένη μορφή της παραπάνω εξίσωσης έχει ως εξής:
ΔΚ + ΔU + ΔΕεσωτ = W + Q + TMT + TMW + TER + TET
Στο αριστερό μέλος της εξίσωσης φαίνονται τρεις τρόποι αποθήκευσης ενέργειας στο σύστημα: κινητική ενέργεια Κ, δυναμική ενέργεια U και εσωτερική ενέργεια Εεσωτ. Η συνολική μεταβολή στην ενέργεια που είναι αποθηκευμένη στο σύστημα μπορεί να υπολογιστεί προσθέτοντας τις τρεις επιμέρους μεταβολές γι’ αυτούς τους τύπους αποθηκευμένης ενέργειας.
Η κινητική ενέργεια Κ στο αριστερό μέλος της εξίσωσης ΑΔΕ, είναι το άθροισμα της μεταφορικής κινητικής ενέργειας του κέντρου μάζας του συστήματος, της περιστροφικής κινητικής ενέργειας γύρω από το κέντρο μάζας του συστήματος και της κινητικής ενέργειας που σχετίζεται με τις ακτινικές κινήσεις των μελών του συστήματος σε σχέση με το κέντρο μάζας. Η δυναμική ενέργεια U περιλαμβάνει όλα τα είδη, όπως βαρυτική, ηλεκτρική και ελαστική. Επιπρόσθετα, συμπεριλαμβάνω εδώ τη χημική δυναμική ενέργεια καυσίμων ή εκρηκτικών και τη βιολογική δυναμική ενέργεια από γεύματα. Η εσωτερική ενέργεια Εεσωτ περιλαμβάνει την ενέργεια που σχετίζεται με την άτακτη κίνηση των μορίων, η οποία μετριέται με τη θερμοκρασία και την ενέργεια δεσμών μεταξύ μορίων που σχετίζεται με τη φάση (στερεή, υγρή ή αέρια) του συστήματος. Στο δεξί μέλος της εξίσωσης ΑΔΕ βρίσκεται το συνολικό ποσό ενέργειας που διαπερνά τα σύνορα του συστήματος, εκφρασμένο ως το άθροισμα των ενεργειών που μεταβιβάζονται με έξι συνήθεις διαδικασίες:
W: έργο πάνω στο σύστημα από εξωτερικές δυνάμεις των οποίων
τα σημεία εφαρμογής μετατοπίζονται.
Q: ενέργεια που διαβιβάζεται διαμέσου των συνόρων του
συστήματος με θερμότητα εξαιτίας της διαφοράς
θερμοκρασίας ανάμεσα στο σύστημα και το περιβάλλον του.
ΤΜΤ: ενέργεια που διαβιβάζεται διαμέσου των συνόρων του
συστήματος με μεταφοράς ύλης (Matter Transfer), όπως
όταν εισάγεται καύσιμο σε ένα δοχείο.
ΤMW: ενέργεια που διαβιβάζεται διαμέσου των συνόρων του
συστήματος με μηχανικά κύματα (Μechanical Waves)
όπως είναι τα ηχητικά και τα σεισμικά κύματα.
ΤΕR: ενέργεια που διαβιβάζεται διαμέσου των συνόρων του
συστήματος με ηλεκτρομαγνητική ακτινοβολία
(Electromagnetic Radiation) όπως είναι το φως και τα
μικροκύματα.
ΤΕΤ: ενέργεια που διαβιβάζεται διαμέσου των συνόρων του
συστήματος με ηλεκτρική μετάδοση (Electrical
Transmission) από μία μπαταρία ή άλλη ηλεκτρική πηγή.
15.1) Σαν ένα τελικό σχόλιο για τις συνθήκες ισχύος των εξισώσεων, θεωρείστε την εξίσωση W=ΔΚ. Αποκαλείται συχνά θεώρημα έργου –κινητικής ενέργειας, και πολλοί σπουδαστές ολοκληρώνουν τη μηχανική με την εντύπωση ότι αυτή είναι η θεμελιώδης ενεργειακή εξίσωση. Είναι σημαντικό να τονίσουμε στους σπουδαστές ότι είναι μια ειδική εξίσωση, η οποία μπορεί να χρησιμοποιηθεί κάτω από τους παρακάτω περιορισμούς: (1) το έργο είναι ο μόνος μηχανισμός μεταφοράς μέσω του οποίου ενέργεια εισέρχεται στο σύστημα και (2) η κινητική ενέργεια του συστήματος είναι το μόνο είδος ενέργειας το οποίο μεταβάλλεται στο σύστημα.
15.2) Ας θεωρήσουμε ένα αυθαίρετο σύστημα που είναι μονωμένο ώστε να μην υπάρχει μεταφορά ενέργειας από ή προς το σύστημα. Ας υποθέσουμε επίσης ότι δεν δρουν μη-συντηρητικές δυνάμεις στο εσωτερικό του συστήματος. Τότε δεν υπάρχει μετατροπή μηχανικής ενέργειας σε εσωτερική ενέργεια και η εξίσωση (2) γίνεται
ΔΚ + ΔU = 0 → Kf + Uf = Ki + Ui
η οποία είναι η γνωστή εξίσωση διατήρησης της μηχανικής ενέργειας ενός απομονωμένου συστήματος. Για παράδειγμα, για μια μπάλα σε πτώση, το σύστημα επιλέγεται να είναι η μπάλα και η Γη και η δυναμική ενέργεια είναι βαρυτική.
15.3)Τέλος, ας θεωρήσουμε το σύστημα ενός ιδανικού αερίου σε στατικό κύλινδρο. Το πιστόνι του κυλίνδρου μπορεί να μετακινείται έτσι ώστε να εκτελείται έργο πάνω στο αέριο. Τα τοιχώματα του κυλίνδρου είναι θερμικά αγώγιμα, έτσι ώστε ενέργεια να μπορεί να μεταφερθεί από και προς το σύστημα με θερμότητα. Σ’ αυτή την περίπτωση η εξίσωση (2) γίνεται
ΔΕint = W + Q
η οποία είναι ο πρώτος νόμος της θερμοδυναμικής. Έτσι, και οι τρεις «θεμελιώδεις» ενεργειακές εξισώσεις που αναφέρθηκαν προηγουμένως, μπορούν να προκύψουν από την πραγματικά θεμελιώδη ενεργειακή εξίσωση, την ΑΔΕ.

16) Και ένας προβληματισμός: Θα πρέπει να διδάξουμε το παρακάτω;
"Ένα αντικείμενο σύρεται πάνω στην επιφάνεια ενός τραπεζιού με σταθερή ταχύτητα κάτω από την επίδραση δύναμης παράλληλης με την επιφάνεια. Επειδή το σώμα είναι σε ισορροπία, η δύναμη τριβής έχει το ίδιο μέτρο με την ασκούμενη δύναμη. Έτσι το έργο που εκτελείται πάνω στο σώμα από τη δύναμη τριβής είναι ίσο κατ’ απόλυτη τιμή με αυτό που παράγεται από την ασκούμενη δύναμη. Το συνολικό έργο που παράγεται απ’ όλες τις δυνάμεις είναι μηδενικό. Είναι σωστή η πρόταση;
Αν και η ασκούμενη δύναμη και η τριβή έχουν ίσα μέτρα, η μετατόπιση του σημείου εφαρμογής της ασκούμενης δύναμης δεν είναι ίδια με τις πολλές μετατοπίσεις των σημείων εφαρμογής της δύναμης τριβής πάνω σ’ ένα μεγάλο αριθμό σημείων επαφής. Έτσι τα έργα των δύο δυνάμεων δεν έχουν το ίδιο μέτρο και δεν αναιρεί το ένα το άλλο.
Ας προσδιορίσουμε ως σύστημα το αντικείμενο. Αν ισχυριστούμε ότι το συνολικό έργο όλων των δυνάμεων πάνω στο σώμα είναι μηδενικό, και δεν υπάρχει άλλη μεταβίβαση ενέργειας στο σύστημα, τότε η ενέργεια του συστήματος πρέπει να παραμένει σταθερή. Η κινητική ενέργεια του συστήματος πράγματι παραμένει σταθερή γιατί κινείται με ταχύτητα σταθερού μέτρου. Αλλά, από την εμπειρία μας γνωρίζουμε ότι σύροντας ένα αντικείμενο πάνω σε μια επιφάνεια το κάνουμε πιο ζεστό – η εσωτερική του ενέργεια αυξάνεται. Εάν το έργο πάνω στο σώμα ήταν μηδενικό, δεν θα υπήρχε πηγή γι’ αυτή την αυξημένη εσωτερική ενέργεια."


Θεωρώ ότι όταν εφαρμόζουμε το Θ.Μ.Κ.Ε. θα πρέπει να δεχτούμε ότι:
Α) Τα δύο έργα είναι αντίθετα.
Β) Αν θεωρήσουμε ότι το έργο της τριβής είναι διαφορετικό, τότε μπαίνουν προβλήματα του είδους: Έστω WF=100J και WΤ= - 90J, τότε τι μετατροπή ενέργειας εκφράζει αυτό το WΤ και πού πήγαν τα υπόλοιπα 10J;
Γ) Αλλά και από διδακτική άποψη θεωρώ προτιμότερο να παίρνουμε το έργο της τριβής από την σχέση W=-T·s και να βρίσκουμε την ενέργεια που αφαιρείται από το σώμα (όχι από το σύστημα) και έτσι να βρίσκουμε και την ενέργεια που μετατρέπεται σε εσωτερική ενέργεια του συστήματος.
Αντίθετα αν δεχτούμε την άποψη του συγγραφέα και γράψουμε για το σύστημα:
ΔΚ+ΔU+ΔΕεσ= WF (1) →
ΔΕεσ= WF
Έχουμε μια ωραία λύση στην περίπτωση που το σώμα κινείται με σταθερή ταχύτητα, αν όμως το σώμα επιταχύνεται γιατί F>Τ, δεν θα μπορούσαμε να λύσουμε το πρόβλημα, αφού η (1) θα έδινε:
ΔΚ+ΔΕεσ= WF
Χωρίς να μπορούμε να υπολογίσουμε την αύξηση της εσωτερικής ενέργειας του συστήματος.