Δευτέρα, 31 Αυγούστου 2009

Αμείωτη και φθίνουσα Ταλάντωση.

Ένα σώμα μάζας 2kg ηρεμεί στο σημείο Γ, πάνω σε λείο οριζόντιο επίπεδο δεμένο στο άκρο ιδανικού ελατηρίου, σταθεράς k=200Ν/m. Σε μια στιγμή t=0 δέχεται την επίδραση μιας σταθερής οριζόντιας δύναμης F=40Ν, όπως στο σχήμα.
i) Να αποδειχθεί ότι το σώμα θα εκτελέσει α.α.τ. και να βρεθεί η εξίσωσης της απομάκρυνσης σε συνάρτηση με το χρόνο, θεωρώντας την προς τα δεξιά κατεύθυνση θετική.
ii) Πόση ενέργεια μεταφέρεται στο σύστημα μέσω του έργου της δύναμης F κατά τη διάρκεια της πρώτης περιόδου ταλάντωσης και πόση είναι η ενέργεια ταλάντωσης;
iii) Να γίνει το διάγραμμα της απόστασης s του σώματος από την αρχική θέση ηρεμίας του Γ, σε συνάρτηση με το χρόνο.
iv) Αν η ταλάντωση του σώματος είναι φθίνουσα, Συνέχεια...

Κυριακή, 30 Αυγούστου 2009

Μεταβολή και Ρυθμός μεταβολής της στροφορμής.


Στην προηγούμενη ανάρτηση με τίτλο Στροφορμή, είχαμε ορίσει την στροφορμή υλικού σημείου ως προς σημείο Ο, από την σχέση:
clip_image002
Έστω τώρα ότι πάνω σε ένα υλικό σημείο που κινείται σε οριζόντιο επίπεδο, ασκείται (συνισταμένη) δύναμη F, πάνω στο ίδιο επίπεδο, όπως στο σχήμα. Η στροφορμή του υλικού σημείου ως προς το σημείο Ο, φαίνεται στο σχήμα. Ποιος ο ρυθμός μεταβολής αυτής της στροφορμής;
clip_image004
Παραγωγίζοντας την παραπάνω σχέση παίρνουμε:
clip_image002[7]
Δηλαδή ο ρυθμός μεταβολής της στροφορμής ενός υλικού σημείου, ως προς ένα σημείο Ο, είναι ίσος με την ροπή της δύναμης που ασκείται πάνω του, ως προς το Ο.


Εφαρμογή 1η:
Από σημείο Ο σε ύψος Η=20m, εκτοξεύεται για t=0 οριζόντια ένα μικρό σώμα, μάζας m=0,1kg με αρχική ταχύτητα υ0=10m/s. Για τη χρονική στιγμή t1=1s, ζητούνται:
α) Η στροφορμή του σώματος ως προς το σημείο Ο.
β) Ο ρυθμός μεταβολής της στροφορμής του σώματος ως προς το Ο.
Δίνεται g=10m/s2.


Απάντηση:


Για την οριζόντια βολή και για τις κινήσεις πάνω clip_image012στους άξονες x και y, του διπλανού σχήματος, ισχύουν οι εξισώσεις:
υx= υ0 , υy=g∙t, x=υ0∙t και y= ½ gt2.
Έτσι για t=1s παίρνουμε:
υy= 10m/s, x=10m και y=5m.
Οπότε το σώμα έχει φτάσει στο σημείο Α με ταχύτητα μέτρου υ=10√2m/s που σχηματίζει γωνία θ=45° με την οριζόντια διεύθυνση.
Ποια είναι η στροφορμή του σώματος ως προς το σημείο Ο;
Είναι διάνυσμα κάθετο στο επίπεδο της τροχιάς (επίπεδο της σελίδας) με φορά προς τα μέσα και μέτρο:
L= mυr∙ημφ
Όπου φ η γωνία μεταξύ των διανυσμάτων clip_image014r και υ.
Αλλά με βάση το σχήμα ημφ= d/r έχουμε:
L=mυd
Όπου d η απόσταση του φορέα της ταχύτητας στο σημείο Α, από το σημείο Ο.
Αλλά με βάση τη Γεωμετρία, το τρίγωνο ΟΒΓ είναι ορθογώνιο και ισοσκελές, ενώ (ΓΔ)=(ΔΑ)=y=5m συνεπώς και (ΟΓ)=5m, οπότε d2+d2=(OΓ)2 άρα d=5/√2m και με αντικατάσταση στην (1) L=5 kgm2/s.
Έχει φασαρία;
Ας το ξαναδοκιμάσουμε:


Η στροφορμή του υλικού σημείου ως προς το Ο, είναι το διανυσματικό άθροισμα της στροφορμής εξαιτίας της ταχύτητας υx και της στροφορμής εξαιτίας της υy. Όπου και οι δύο αυτές συνιστώσες είναι κάθετες στο επίπεδο, η Lx θετική, ενώ η Ly αρνητική:
Άρα L=mυxy – mυyx
Και με αντικατάσταση L=5kgm2/s.

Αλλά και με λίγα περισσότερα Μαθηματικά:
clip_image016
Όπου υy= - 10m/s και y= -5m και με αντικατάσταση L=-5z kgm2/s.
To τελευταίο αποτέλεσμα μας λέει ότι το διάνυσμα της στροφορμής είναι κάθετο στο επίπεδο (άξονας z) και με φορά προς τα μέσα.
β) Ο ρυθμός μεταβολής της στροφορμής του σώματος ως προς το σημείο Ο είναι:
dL/dt= -w∙x = -mgx
και με αντικατάσταση dL/dt= -10kgm2/s2.
Και αυτό το διάνυσμα είναι κάθετο στο επίπεδο με φορά προς τα μέσα.


Εφαρμογή 2η:
Ένα υλικό σημείο μάζας 0,2kg κρέμεται στο άκρο νήματος μήκους l=√2m.

Εκτρέπουμε το σώμα φέρνοντάς το στη θέση Α, όπου το νήμα σχηματίζει γωνία θ=45° με την κατακόρυφο και το αφήνουμε να κινηθεί. Να βρεθεί ο αρχικός ρυθμός μεταβολής της στροφορμής του σώματος, ως προς άκρο Ο του νήματος.
Δίνεται g=10m/s2.


Απάντηση:


Το σώμα θα εκτελέσει επιταχυνόμενη κυκλική κίνηση με κέντρο το Ο και ακτίνα l και ο αρχικός ρυθμός μεταβολής της στροφορμής, θα είναι κάθετος στο επίπεδο της τροχιάς, με φορά προς τα έξω και μέτρο:
dL/dt=ΣτΟ=+mgd=mgl∙ημθ
και με αντικατάσταση dL/dt=2kgm2/s2.


Εφαρμογή 3η:
Το σώμα της προηγούμενη εφαρμογής από τη θέση Α εκτοξεύεται με οριζόντια ταχύτητα, τέτοια ώστε να διαγράφει οριζόντια κυκλική τροχιά ακτίνας r=d=1m (οπότε το νήμα διαγράφει την παράπλευρη επιφάνεια ενός κώνου).
Ζητούνται:
α) Η ταχύτητα υ.
β) Η στροφορμή του σώματος ως προς το σημείο Ο.
γ) Η προβολή της στροφορμής του σώματος πάνω στον κατακόρυφο άξονα z που περνά από το κέντρο Κ της κυκλικής τροχιάς (η στροφορμή κατά τον άξονα z).
δ) Ο ρυθμός μεταβολής της στροφορμής ως προς το Ο.



Απάντηση:


α) Με βάση το διπλανό σχήμα έχουμε:
ΣFy=0 → T συνθ=mg (1)
ΣFx=mυ2/r → Τημθ = mυ2/r (2)
Από (1) και (2) παίρνουμε:
clip_image002[9]
Και με αντικατάσταση:
clip_image002[11]
β) Για την θέση του σώματος που φαίνεται στο σχήμα, η στροφορμή είναι κάθετη στο επίπεδο που ορίζει η ταχύτητα και το νήμα, οπότε σχηματίζει γωνία θ=45° με την κατακόρυφο που περνά από το Ο. Για το μέτρο της έχουμε L=mυl=0,4√5kgm2/s.
Καθώς το σώμα περιστρέφεται και το διάνυσμα της στροφορμής στρέφεται διαγράφοντας την παράπλευρη επιφάνεια ενός κατακορυφήν κώνου, αυτού που διαγράφει το νήμα.
clip_image026 clip_image028
γ) Η κατακόρυφη συνιστώσα της στροφορμής* με βάση το σχήμα της προηγούμενης ερώτησης είναι:
image
*Αν υπολογίσουμε την στροφορμή του σώματος ως προς το κέντρο Κ της κυκλικής τροχιάς του διαγραφόμενου κύκλου θα έχουμε:
image
Βλέπουμε δηλαδή ότι ως προς οποιοδήποτε σημείο του άξονα z που είναι κάθετος στο επίπεδο της κυκλικής τροχιάς, στο κέντρο του κύκλου, η κατακόρυφη στροφορμή, είναι όση και η στροφορμή ως προς το κέντρο του κύκλου Κ.


δ) Για τον ρυθμό μεταβολής της στροφορμής ως προς το σημείο Ο έχουμε:
dL/dt=Στ= mgd
και με αντικατάσταση dL/dt=2kgm2/s2.
Με διεύθυνση κάθετη στο επίπεδο που ορίζει η διεύθυνση του βάρους (κατακόρυφη) και το σημείο Ο, συνεπώς οριζόντια διεύθυνση.


Σχόλια:


1) Η στροφορμή του σώματος μεταβάλλεται, αφού αλλάζει κατεύθυνση, παρότι διατηρεί σταθερό το μέτρο της. Η συνιστώσα όμως της στροφορμής πάνω στον άξονα z, γύρω από τον οποίο στρέφεται το στερεό, δεν μεταβάλλεται. Μεταβάλλεται μόνο η οριζόντια συνιστώσα της στροφορμής, αφού διαγράφει οριζόντιο κύκλο.
Πράγματι ας δούμε τον κύκλο που διαγράφει η clip_image002[13]οριζόντια συνιστώσα.
Αν για t=0 η οριζόντια συνιστώσα της στροφορμής είναι η L1, μετά από χρόνο dt θα έχουμε
image
Και επειδή dt→0 και dφ→0, οπότε το διάνυσμα της μεταβολής της στροφορμής dL είναι κάθετο στο διάνυσμα L1, δηλαδή με άλλα λόγια η μεταβολή της στροφορμής (που έχει την κατεύθυνση της ροπής) είναι πάντα κάθετη στην οριζόντια συνιστώσα της στροφορμής, μεταβάλλοντας την κατεύθυνσή της και όχι το μέτρο της, όπως η κεντρομόλος δύναμη μεταβάλλει την κατεύθυνση της ταχύτητας αλλά όχι το μέτρο της.


2) Αν συγκρίνουμε το αποτέλεσμα της εφαρμογής 2 με αυτό της εφαρμογής 3δ, παρατηρούμε ότι και στις δύο περιπτώσεις έχουμε τον ίδιο ρυθμό μεταβολής της στροφορμής, πράγμα αναμενόμενο αφού στο σώμα ασκείται η ίδια ροπή (του βάρους). Και όμως στην πρώτη περίπτωση το σώμα κινείται προς τα κάτω διαγράφοντας κατακόρυφο κύκλο, ενώ στην δεύτερη περίπτωση δεν συμβαίνει αυτό, αφού ο διαγραφόμενος κύκλος είναι οριζόντιος.


3) Ας μεταφέρουμε το παραπάνω συμπέρασμα, imageσε μια ρόδα ποδηλάτου. Αν την αφήσουμε όρθια και ακίνητη εξαιτίας της ροπής* του ζεύγους βάρος-κάθετη αντίδραση του επιπέδου, εκτρέπεται και πέφτει.
Αν όμως κινείται, πράγμα που σημαίνει ότι έχει στροφορμή οριζόντια, η αντίστοιχη ροπή του ζεύγους, θα προκαλέσει μια οριζόντια μεταβολή dL κάθετη στην αρχική στροφορμή, με αποτέλεσμα η ρόδα να «στρίβει» λίγο, χωρίς όμως να ανατρέπεται.
image
* Η ρόδα θα πέσει αν εκτραπεί ελάχιστα από την κατακόρυφη θέση, η οποία είναι μια θέση ασταθούς ισορροπίας.
dmargaris@sch.gr
Μπορείτε να το κατεβάσετε σε pdf

Τετάρτη, 26 Αυγούστου 2009

Θέματα Επαναληπτικών Εξετάσεων στη Φυσική Κατ..


ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΕΣ ΑΠΟΛΥΤΗΡΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ

Γ΄ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ

ΣΑΒΒΑΤΟ 11 ΙΟΥΛΙΟΥ 2009

ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΦΥΣΙΚΗ

ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ

ΘΕΜΑ 1ο

Να γράψετε στο τετράδιό σας τον αριθμό καθεμιάς από τις ακόλουθες ημιτελείς προτάσεις, 1-4, και δίπλα της το γράμμα που αντιστοιχεί στο σωστό συμπλήρωμά της.

1. Η ανελαστική κρούση μεταξύ δύο σφαιρών:

α. είναι πάντα μη κεντρική.

β. είναι πάντα πλαστική.

γ. είναι πάντα κεντρική.

δ. είναι κρούση, στην οποία πάντα μέρος της κινητικής ενέργειας των δύο σφαιρών μετατρέπεται σε θερμότητα.

Μονάδες 5

Συνέχεια...

Δευτέρα, 24 Αυγούστου 2009

Ένας απολογισμός και μια πορεία.


Κατ’ αρχήν καλή νέα σχολική χρονιά σε όλους.

Να είμαστε καλά και με κέφι να παλέψουμε για μια ακόμη φορά. Και ότι πετύχουμε….

Συμπληρώνονται σχεδόν δύο χρόνια από τη στιγμή που δημιούργησα την Ιστοσελίδα «Εκπαιδευτικό Υλικό Φυσικής-Χημείας Λυκείου» και ταυτόχρονα άρχισα να γράφω κάποιες ασκήσεις στο blogspot. Δημοσίευσα κάποιο υλικό που είχα, ενώ οι Ασκήσεις απευθυνόταν στους μαθητές που αναζητούσαν κάποια βοήθεια. Έτσι ξεκίνησε η ιστορία…

Δεν πίστευα και δεν περίμενα ότι πολλοί συνάδελφοι θα ενδιαφερόντουσαν και θα παρακολουθούσαν την προσπάθεια αυτή. Πολύ δε περισσότερο, δεν περίμενα μια μεγάλη προσφορά θεμάτων προς δημοσίευση από συναδέλφους, αλλά και την ανάπτυξη ενός ζωντανού διαλόγου μεταξύ συναδέλφων, πάνω στα θέματα που έβγαιναν κάθε τόσο μέσω του Blog, κυρίως της Γ΄ Λυκείου.

Αν κάποιος παρακολουθούσε τις αναρτήσεις μετά τα Χριστούγεννα, θα διαπίστωσε ότι πάνω από το 80% αφορούσαν υλικό, προσφορά κάποιου συνάδελφου. Ο οποίος μου έστελνε την άσκηση και εγώ την δημοσίευα. Έτσι στην πράξη το υλικό δεν ήταν πλέον του Μάργαρη, αλλά μιας μεγάλης ομάδας συναδέλφων.

Ο διάλογος ήταν ανοικτός και ελεύθερα κάποιος μπορούσε να κρίνει και να σχολιάζει, ακόμη και ανώνυμα τα πράγματα, με τεχνικούς όμως τρόπους καθόλου εύκολους, μέσω των σχολίων.

Η στάση των περισσοτέρων συναδέλφων που συμμετείχαν στο διάλογο, ήταν έντιμη και υπεύθυνη, χωρίς να απουσιάζουν όμως και περιπτώσεις που αν μη τι άλλο πρόσβαλλαν τον συνομιλητή…


Και τώρα τι κάνουμε; Πώς συνεχίζουμε; Πώς εκμεταλλευόμαστε τις νέες δυνατότητες που μας προσφέρει η εξέλιξη της τεχνολογίας; Πώς λαμβάνουμε υπόψη τη διαμορφωμένη κατάσταση και πώς διορθώνουμε τα πράγματα, ώστε να ελαχιστοποιηθούν τα αρνητικά φαινόμενα που παρουσιάστηκαν, ενώ αντίθετα να προωθηθούν ιδέες και να αναδειχθούν νέες προοπτικές;

Μετά από έντονο προβληματισμό, κατέληξα ότι τη νέα χρονιά θα έπρεπε να κινηθούμε στοχεύοντας στα εξής:


1) Να ανοίξουμε το σύστημα, ώστε να περάσουμε πραγματικά, από ένα Blog του Μάργαρη, σε ένα κοινωνικό δίκτυο συνεργαζομένων Καθηγητών, που γράφουν ισότιμα, ανταλλάσσουν υλικό και ιδέες, αντιπαρατίθενται αν χρειαστεί, υπεύθυνα και ελεύθερα, έχοντας και την ευθύνη των λεγομένων τους.

2) Να βελτιωθεί ο τρόπος σχολιασμού των πραγμάτων, αφού μέσω των σχολίων τα πράγματα δεν ήταν καθόλου εύκολα, αφού κάποιος δε μπορούσε να γράψει ούτε μια εξίσωση, πολύ δε περισσότερο, να απαντήσει αναλυτικά, δίνοντας την δική του εκδοχή ενός φαινομένου.

3) Να αποκλεισθεί, στο μέτρο του δυνατού, η δυνατότητα καθενός κακοήθους, ο οποίος κρυπτόμενος πίσω από την ανωνυμία, μπορούσε να υποβαθμίζει το διάλογο και να προβοκάρει…


Έτσι δημιούργησα το δίκτυο «Υλικό Φυσικής-Χημείας», στο οποίο θα μεταφέρω την αρχική Ιστοσελίδα αφενός και αφετέρου συνέδεσα με επτά (7) νέα blogs στο Blogspot, ένα ανά μάθημα και τάξη, ενώ το 7ο θα περιέχει θέματα μόνο για καθηγητές, αφού η εμπειρία έδειξε ότι εκεί υπάρχει έντονο ενδιαφέρον από συναδέλφους και καλό θα ήταν τα θέματα αυτά να μην τα έβλεπαν μαθητές, μαζί με τα θέματα που απευθυνόταν στους ίδιους.

Στο εξής λοιπόν σταματούν να ενημερώνονται τα υπάρχοντα blogs (για όσο χρόνο χρειαστεί θα υπάρχουν διπλοεγγραφές) και το νέο υλικό θα αναρτάται εκεί. Εκεί, αλλά και πρώτα όμως, στο Ιστολόγιο του δικτύου, όπου θα είναι ευκολότερος ο σχολιασμός των συναδέλφων.


Καλείται κάθε συνάδελφος ο οποίος θεωρεί ότι μπορεί να συμβάλει στην προσπάθεια αυτή, να γραφτεί σαν μέλος του δικτύου και όλοι μαζί να δημιουργήσουμε μια συλλογή θεμάτων, χρήσιμη για κάθε διδάσκοντα, αλλά και για κάθε μαθητή. Καλούνται ιδιαίτερα οι συνάδελφοι Χημικοί να στηρίξουν την προσπάθεια, αφού νομίζω ότι εκεί υπάρχει μικρότερη προσφορά.

Θα αποστείλω προσωπική πρόσκληση για εγγραφή, μόνο στους συναδέλφους οι οποίοι τις προηγούμενες χρονιές μου είχαν αποστείλει υλικό για δημοσίευση, αλλά το δίκτυο είναι ανοικτό για όλους, είτε θέλουν να γράψουν κάτι δικό τους, είτε απλά να σχολιάσουν ή να θέσουν κάποιο ερώτημα.

Υπάρχει βέβαια και η δυνατότητα κάποιος να παρακολουθεί μόνο κάποιο blog και να σχολιάσει σε αυτό κάποιο θέμα, όμως ο σχολιασμός θα είναι και εκεί επώνυμος, αφού δεν δίνεται πλέον η δυνατότητα ανώνυμου σχολιασμού.

Σας περιμένω λοιπόν στη διεύθυνση «Υλικό Φυσικής-Χημείας» συνεχίζοντας την προσπάθεια από εκεί..