Τετάρτη, 29 Φεβρουαρίου 2012

Ο κύλινδρος σε πλάγιο επίπεδο.

Στο μέσον ενός κυλίνδρου μάζας Μ=20kg, ο οποίος συγκρατείται σε κεκλιμένο επίπεδο, κλίσεως θ=30°, υπάρχει μια μικρή εγκοπή στην οποία έχουμε τυλίξει ένα αβαρές νήμα, το οποίο αφού περάσουμε από μια αβαρή τροχαλία, στο άλλο άκρο του δένουμε ένα σώμα Σ μάζας m=2,5kg, όπως στο σχήμα. Αφήνουμε το σύστημα ελεύθερο να κινηθεί. Αν το τμήμα του νήματος μεταξύ κυλίνδρου και τροχαλίας, είναι παράλληλο με το επίπεδο, οι συντελεστής τριβής μεταξύ κυλίνδρου και επιπέδου μ=μs=0,4, η επιτάχυνση της βαρύτητας g=10m/s2, ενώ η ροπή αδράνειας του κυλίνδρου ως προς τον άξονά του Ι= ½ ΜR2.
i)  Να υπολογίστε την επιτάχυνση του σώματος Σ
ii) Να βρεθεί ο ρυθμός μεταβολής της στροφορμής του κυλίνδρου, ως προς τον άξονά του, αν η ακτίνα του είναι R=0,7m.
iii) Να υπολογιστεί η κινητική ενέργεια του κυλίνδρου τη στιγμή που το σώμα Σ έχει ανέβει κατά 1m.

Δευτέρα, 27 Φεβρουαρίου 2012

Κύλινδρος εν γωνία.


Γύρω από έναν κύλινδρο, μάζας 7kg, έχουμε τυλίξει ένα αβαρές νήμα. Τοποθετούμε τον κύλινδρο σε θέση όπως στο σχήμα και τραβώντας το άκρο του νήματος ασκούμε στον κύλινδρο δύναμη F. Η γωνία θ που σχηματίζει το νήμα με την οριζόντια διεύθυνση είναι θ=30°. Ο κατακόρυφος τοίχος είναι λείος, ενώ ο κύλινδρος παρουσιάζει με το έδαφος συντελεστές τριβής μ=μs=0,5, η επιτάχυνση της βαρύτητας g=10m/s2, ενώ η ροπή αδράνειας του κυλίνδρου ως προς τον άξονά του Ι= ½ ΜR2.
i)  Ποια είναι η μέγιστη τιμή της δύναμης που μπορούμε να ασκήσουμε μέσω του νήματος, χωρίς να περιστραφεί ο κύλινδρος;
ii) Αυξάνουμε την ασκούμενη δύναμη, στην τιμή F=30Ν. Πόσο νήμα πρέπει να τραβήξουμε σε χρονικό διάστημα t1=2s, για να εξασφαλίσουμε την εξάσκηση της παραπάνω σταθερής δύναμης στον κύλινδρο;
iii) Συνεχίζουμε να αυξάνουμε το μέτρο της δύναμης F. Ποια η ελάχιστη τιμή του μέτρου της δύναμης F, ώστε ο κύλινδρος να χάσει την επαφή με το οριζόντιο επίπεδο;

Παρασκευή, 24 Φεβρουαρίου 2012

Μια σφαίρα κατά μήκος δύο επιπέδων.

Δίνονται δύο κεκλιμένα επίπεδα Α και Β με την ίδια κλίση. Μια σφαίρα αφήνεται να κινηθεί πρώτα από την κορυφή του επιπέδου Α και ύστερα του επιπέδου Β. Το Α επίπεδο είναι λείο, ενώ στο Β λόγω τριβών η σφαίρα κυλίεται (χωρίς να ολισθαίνει).
i) Η μηχανική ενέργεια διατηρείται κατά την κίνηση:
α) Στο επίπεδο Α,           β) Στο επίπεδο Β                 γ) και στα δύο επίπεδα.
ii) Με μεγαλύτερη κινητική ενέργεια φτάνει η σφαίρα στη βάση του επιπέδου:
      α)  Α      β) Β    γ) φτάνει με την ίδια κινητική ενέργεια και στα δυο επίπεδα.
iii) Πιο σύντομα φτάνει η σφαίρα στην βάση  του επιπέδου:
        α)  Α      β) Β    γ) οι χρόνοι κίνησης είναι ίσοι και στα δύο επίπεδα.

Τετάρτη, 22 Φεβρουαρίου 2012

Κύλινδρος σε λείο και μη επίπεδο.

Διαθέτουμε δύο ίδιους κυλίνδρους (ίδιας μάζας και ακτίνας), στο μέσον των οποίων υπάρχει μικρό αυλάκι, μέσα στο οποίο έχουμε τυλίξει νήμα μήκους ℓ. Αφήνουμε τον πρώτο κύλινδρο Α σε λείο οριζόντιο επίπεδο και τον δεύτερο Β, σε τραχύ οριζόντιο επίπεδο και ασκούμε στα άκρα των νημάτων την ίδια σταθερή οριζόντια δύναμη F, επιταχύνοντας τους κυλίνδρους, μέχρι να ξετυλιχθεί όλο το νήμα. Δίνεται η ροπή αδράνειας ενός κυλίνδρου ως προς τον άξονά του Ι= ½ ΜR2 και ότι ο Β κύλινδρος κυλίεται (χωρίς να ολισθαίνει).
 i) Αν xΑ και xΒ οι μετατοπίσεις των αξόνων των δύο κυλίνδρων, μέχρι να ξετυλιχθεί το νήμα, ισχύει:
α)  xΑ = ½  xΒ,                 β)  xΑ = xΒ,                        γ)  xΑ =2xΒ,
ii) Αν ΚΑ και ΚΒ η κινητική ενέργεια των κυλίνδρων Α και Β αντίστοιχα την στιγμή που ολοκληρώνεται το ξετύλιγμα του νήματος ισχύει:
α) ΚΑ = 0,75 ΚΒ ,                β)  ΚΑ = ΚΒ ,            γ)   ΚΑ =1,25 ΚΒ .
Να δικαιολογήσετε τις απαντήσεις σας.

Τετάρτη, 15 Φεβρουαρίου 2012

Έργο και ενέργεια κατά την κίνηση στερεού. Φ.Ε.

Ένα φύλλο εργασίας

Ο τροχός του σχήματος μπορεί να στρέφεται γύρω από σταθερό άξονα, κάθετο στο επίπεδό του που περνά από το κέντρο του Ο. Σε μια στιγμή δέχεται δύναμη F, εφαπτόμενη στην περιφέρειά του. Μετά από λίγο, ο τροχός έχει στραφεί κατά γωνία dθ και το σημείο εφαρμογής της δύναμης έχει διαγράψει τόξο μήκους ds.

Όλο το φύλλο εργασίας σε Word αλλά και σε pdf.

Τρίτη, 14 Φεβρουαρίου 2012

Ένας κύλινδρος πάνω σε βάση.

Σε οριζόντιο επίπεδο ηρεμεί ένας κύλινδρος, μάζας Μ=50kg και ακτίνας R=0,4m. Ο κύλινδρος μπορεί να στρέφεται γύρω από τον άξονά του, που συνδέει τα κέντρα των δύο βάσεών του,  ο οποίος στηρίζεται σε βάση της ίδιας μάζας Μ. Γύρω από τον κύλινδρο είναι τυλιγμένο αβαρές νήμα, στο άκρο του οποίου ασκούμε σταθερή οριζόντια δύναμη F=120Ν, όπως στο σχήμα, μέχρι να  ξετυλιχθεί νήμα μήκους 9,6m, τη στιγμή t1. Η βάση παρουσιάζει με το επίπεδο συντελεστές τριβής μs=μ=0,1 ενώ η ροπή αδράνειας του κυλίνδρου ως προς τον άξονα περιστροφής του Ι= ½ ΜR2 και g=10m/s2.
i)     Να αποδείξτε ότι η βάση θα ολισθήσει πάνω στο επίπεδο.
ii)    Να βρεθεί η ενέργεια που προσφέρθηκε στον κύλινδρο, μέσω του έργου της δύναμης, καθώς και η κινητική ενέργεια του κυλίνδρου τη στιγμή t1.
iii)   Για τη χρονική στιγμή t1, να βρεθούν η ισχύς της δύναμης F, η ισχύς της τριβής, καθώς και οι ρυθμοί μεταβολής των κινητικών ενεργειών:  
α) βάσης  και           β) του κυλίνδρου.

Σάββατο, 11 Φεβρουαρίου 2012

Υπερπήδηση εμποδίου.

Σαν συμπληρωματικά στοιχεία πάνω στην άσκηση 4.57 του σχολικού βιβλίου, αλλά και σαν συνέχεια της ανάρτησης «Μια ισορροπία κυλίνδρου με εμπόδιο» ας εξετάσουμε πώς επηρεάζεται η υπερπήδηση ενός εμποδίου από ένα κύλινδρο, από το αν αναπτύσσεται ή όχι τριβή μεταξύ κυλίνδρου και εμποδίου.

Εφαρμογή 1η:
Ο τροχός του διπλανού σχήματος, ακτίνας R και βάρους 100Ν, εμποδίζεται να κινηθεί από εμπόδιο ύψους h= ½ R, όταν δέχεται δύναμη στο κέντρο του Ο, μέσω νήματος, στο άλλο άκρο του οποίου έχουμε κρεμάσει ένα σώμα Σ, μάζας m=4kg.
Δίνεται ότι ο τροχός δεν παρουσιάζει τριβές ούτε με το επίπεδο, ούτε με το εμπόδιο.
i)  Να βρεθεί η δύναμη (μέτρο και κατεύθυνση) που ασκείται στον τροχό από το εμπόδιο.
ii) Αν αντικαταστήσουμε το σώμα Σ, με άλλο βαρύτερο, μπορεί ο τροχός να υπερπηδήσει το εμπόδιο;
Η συνέχεια σε pdf.

Πέμπτη, 9 Φεβρουαρίου 2012

Μια ισορροπία κυλίνδρου με εμπόδιο

Γύρω από ένα κύλινδρο ακτίνας R=0,4m και μάζας Μ=10kg τυλίγουμε ένα αβαρές νήμα, το οποίο αφού περάσουμε από μια αβαρή τροχαλία, στο άλλο άκρο του δένουμε ένα σώμα Σ μάζας m1=1kg.
Αφήνουμε το σώμα Σ ελεύθερο και το σύστημα ισορροπεί, αφού ο κύλινδρος εμποδίζεται να κινηθεί, από ένα εμπόδιο ύψους h=R. Οι συντελεστές τριβής μεταξύ κυλίνδρου και εδάφους είναι μs=μ=0,2, ενώ δεν εμφανίζεται τριβή μεταξύ κυλίνδρου και εμποδίου. Το νήμα μεταξύ κυλίνδρου και τροχαλίας είναι οριζόντιο, g=10m/s2, ενώ η ροπή αδράνειας του κυλίνδρου ως προς τον άξονά του Ι= ½ ΜR2.
i)  Να υπολογιστούν όλες οι δυνάμεις που ασκούνται στον κύλινδρο.
ii) Αντικαθιστούμε το σώμα Σ με άλλο Σ΄ μάζας m2=3kg και παρατηρούμε ότι κινείται προς τα κάτω.
α) Να βρεθεί η επιτάχυνση που αποκτά το σώμα Σ΄.
β) Ποιος ο ρυθμός μεταβολής της στροφορμής του κυλίνδρου ως προς τον άξονα περιστροφής του;
γ) Να βρεθεί ο ρυθμός μεταβολής της κινητικής ενέργειας του κυλίνδρου μετά από 2s από τη στιγμή που άρχισε να στρέφεται.

Κυριακή, 5 Φεβρουαρίου 2012

Σφαίρα κατά μήκος δύο τεταρτοκυκλίων.


Μια σφαίρα μάζας 0,5kg και ακτίνας r=5cm, αφήνεται να κινηθεί στο σημείο Α του αριστερού τεταρτοκυκλίου με το οποίο παρουσιάζει μικρή τριβή, με αποτέλεσμα να κινηθεί προς τα κάτω στρεφόμενη μεν, αλλά και ολισθαίνοντας. Έτσι φτάνει στην βάση των τεταρτοκυκλίων Β έχοντας ταχύτητα κέντρου μάζας υcm=2m/s και γωνιακή ταχύτητα ω=20rad/s, όπου και συνεχίζει την κίνησή της στο δεξιό τεταρτοκύκλιο, με το οποίο εμφανίζει συντελεστή τριβής ολίσθησης  μ=0,4.  Τα δύο τεταρτοκύκλια έχουν το ίδιο κέντρο Ο και ακτίνες R=1m, ενώ η ροπή αδράνειας της σφαίρας ως προς μια διάμετρό της είναι Ι=2/5 mr2 και g=10m/s2. Για τη θέση, αμέσως μόλις μπει στο δεξί τεταρτοκύκλιο, ζητούνται:
i)   Η ιδιοστροφορμή (spin) της σφαίρας ως προς τον άξονά της.
ii)   Η τροχιακή της στροφορμή ως προς οριζόντιο άξονα x που περνά από το κέντρο Ο του τεταρτοκυκλίου.
iii)  Η (συνολική) στροφορμή της σφαίρας ως προς τον άξονα x.
iv) Ο ρυθμός μεταβολής της στροφορμής της σφαίρας ως προς:
α) τον άξονα ιδιοπεριστροφής της
β) τον άξονα x.