Δευτέρα, 30 Απριλίου 2012

Σύγκρουση ράβδων και στροφορμές.


Δίνονται  δύο ομογενείς ράβδοι της ίδιας μάζας και με μήκη ℓ και 2ℓ, οι οποίες μπορούν να στρέφονται γύρω από οριζόντιους σταθερούς άξονες, που διέρχονται από το ένα άκρο τους και οι οποίες ισορροπούν σε κατακόρυφη θέση, όπως στο σχήμα, όπου η απόσταση μεταξύ τους είναι 1mm.  Εκτρέπουμε την μικρή από τη θέση ισορροπίας της και την αφήνουμε να κινηθεί. Φτάνοντας στην θέση ισορροπίας της έχει αποκτήσει γωνιακή ταχύτητα ω0=2rad/s και συγκρούεται ελαστικά με την δεύτερη. Εξαιτίας της μικρής μεταξύ τους απόστασης, το άκρο Α της πρώτης, συγκρούεται με το άκρο Β της δεύτερης. 
Να βρεθούν οι γωνιακές ταχύτητες των δύο ράβδων μετά την κρούση. 
Δίνεται η ροπή αδράνειας μιας ράβδου, ως προς κάθετο άξονα που περνά από το ένα της άκρο Ι= 1/3 Μℓ2.
Απάντηση:

Κυριακή, 29 Απριλίου 2012

Ισχύουν οι αρχές διατήρησης; Πώς εφαρμόζονται;


- Ένα βλήμα σφηνώνεται σε ένα ξύλο που είναι πακτωμένο στο έδαφος.
   Για την κρούση αυτή ισχύει η αρχή διατήρησης της ορμής (Α.Δ.Ο.) για το σύστημα βλήμα-ξύλο;;
- Όχι κύριε. Το σύστημα των σωμάτων δε είναι μονωμένο.
- Και λοιπόν;
- Δεν ισχύει η Α.Δ.Ο.
- Μα, τι λέει η Α.Δ.Ο. Γιάννη;
Υπάρχουν μερικά πράγματα που περνάμε συνήθως ελαφρά. Έχει δίκιο ο Γιάννης στην απάντησή του; Και αν έπεφτε ένα τέτοιο ερώτημα στις εξετάσεις, τι θα έπρεπε να απαντήσει ο κάθε Γιάννης;
Είναι η ίδια απάντηση, με αυτήν που θα έπρεπε να δώσει στο ερώτημα:
Η ορμή του συστήματος βλήμα-ξύλο παραμένει σταθερή κατά την κρούση;
Συνήθως θεωρούμε ότι οι δυο ερωτήσεις είναι ταυτόσημες. Και όμως δεν είναι!!!
Η Α.Δ.Ο. ισχύει πάντα. Τι λέει; Ότι αν ένα σύστημα σωμάτων είναι μονωμένο η ορμή του παραμένει σταθερή. Και τι δεν λέει, αλλά υπονοεί; Ότι αν το σύστημα δεν είναι μονωμένο η ορμή του δεν παραμένει σταθερή. Στην περίπτωση, ας πούμε του παραπάνω παραδείγματος, παραβιάζεται η αρχή; Όχι βέβαια. Το σύστημα δεν είναι μονωμένο και η συνολική ορμή του συστήματος δεν παραμένει σταθερή. Δεν διατηρείται.
Μα, αυτό μας λέει και η Α.Δ.Ο.!!!
----------------------------
Αλλά με την ευκαιρία ας εξετάσουμε μερικές περιπτώσεις διατήρησης ή μη (ορμής-στροφορμής) σε περιπτώσεις κρούσεων, δίνοντας κάποιες εφαρμογές.
Εφαρμογή 1:
Ένα σώμα Σ μάζας Μ κρέμεται στο άκρο αβαρούς νήματος. Ένα βλήμα μάζας m συγκρούεται πλαστικά με το σώμα Σ. Για την παραπάνω κρούση:
i)   Η ορμή του βλήματος διατηρείται.
ii)  Η ορμή του συστήματος διατηρείται.
iii) Η συνολική στροφορμή ως προς το σημείο ανάρτησης Ο διατηρείται.
iv) Η συνολική στροφορμή ως προς ένα τυχαίο σημείο Α, διατηρείται.

Η συνέχεια σε pdf.

Παρασκευή, 27 Απριλίου 2012

Δύο τρέχοντα κύματα και η συμβολή τους.

Κατά μήκος ενός γραμμικού ελαστικού μέσου, διαδίδονται δύο εγκάρσια κύματα με αντίθετες κατευθύνσεις. Τα κύματα φτάνουν τη στιγμή t=0, σε ένα σημείο του μέσου Σ, στη θέση xΣ=4m. Το σημείο αυτό εξαιτίας κάθε κύματος ξεκινά να ταλαντώνεται με εξίσωση y=0,2·ημπt  (S.Ι.). Αν η ταχύτητα διάδοσης των κυμάτων είναι υ=2m/s, ζητούνται:
i)   Η περίοδος και το μήκος κύματος κάθε κύματος.
ii)  Να βρεθούν οι εξισώσεις των δύο κυμάτων.
iii) Να βρεθεί η εξίσωση του στάσιμου που προκύπτει από την συμβολή των δύο παραπάνω κυμάτων.
iv) Πόσοι δεσμοί έχουν σχηματιστεί πάνω στο μέσο τη χρονική στιγμή t1=1,5s;
v)  Να σχεδιάστε τη μορφή του μέσου την στιγμή t1.
vi) Δύο υλικά σημεία Μ και Ν βρίσκονται δεξιά και αριστερά της θέσης x=7m και έχουν ίσες απομακρύνσεις, από τη θέση ισορροπίας τους.Το σημείο Μ είναι το πλησιέστερο στη θέση x=7m σημείο με την παραπάνω ιδιότητα. Ποιο υλικό σημείο τη στιγμή t1 έχει:
α) Μεγαλύτερη ταχύτητα ταλάντωσης.
β) Μεγαλύτερη ενέργεια ταλάντωσης.
Απάντηση:

Τετάρτη, 25 Απριλίου 2012

Προσπαθώντας να ανασηκώσουμε μια ράβδο.


Μια λεπτή ομογενής ράβδος μήκους 8m και μάζας 6kg, ηρεμεί σε λείο οριζόντιο επίπεδο. Μέσω ενός νήματος, το οποίο έχουμε δέσει στο άκρο της Β, ασκούμε πάνω της μια κατακόρυφη δύναμη F, όπως στο σχήμα.
i)  Αν το μέτρο της δύναμης είναι F=20Ν, παρατηρούμε ότι η ράβδος ισορροπεί. Να σχεδιάστε τις δυνάμεις που ασκούνται πάνω της, βρίσκοντας και την ροπή καθεμιάς, ως προς το μέσον της Ο.
ii) Αυξάνουμε το μέτρο της ασκούμενης δύναμης στην τιμή F=30Ν. Σχεδιάστε ξανά τις δυνάμεις που ασκούνται στη ράβδο.
iii) Αν αυξήσουμε το μέτρο της δύναμης στην τιμή F=32Ν, παρατηρούμε ότι η ράβδος αρχίζει να ανασηκώνεται από το έδαφος.
 α) Να βρεθεί η αρχική επιτάχυνση του μέσου της Ο της ράβδου.
 β) Σε μια στιγμή t1 το άκρο Β της ράβδου, βρίσκεται σε ύψος h=4m από το έδαφος, ενώ το Α σε επαφή με το έδαφος. Για την θέση αυτή να υπολογίσετε την ταχύτητα του Ο και την ταχύτητα  του άκρου Α της ράβδου.
γ) Πόσο έχει μετατοπιστεί το άκρο Α της ράβδου από 0-t1;
Δίνεται η ροπή αδράνειας της ράβδου ως προς κάθετο σε αυτήν άξονα που περνά από το μέσο της Ι= Μℓ2/12 και g=10m/s2.

Δευτέρα, 23 Απριλίου 2012

Μη μετωπική πλαστική κρούση και ενέργειες.


Το σώμα Α, μάζας m1=1kg ηρεμεί στο κάτω άκρο ενός ιδανικού ελατηρίου, σε επαφή με το σώμα Β, μάζας m2=0,4kg που ηρεμεί σε λείο οριζόντιο επίπεδο, στη θέση Ο. Στη θέση αυτή δεν ασκείται δύναμη μεταξύ των δύο σωμάτων, ενώ το ελατήριο, σταθεράς k=40Ν/m, έχει μήκος 0,8m. Ανεβάζουμε το Α σώμα, κατακόρυφα κατά h=1/2π m και μετακινούμε το σώμα Β, προς τα αριστερά, κατά d. Σε μια στιγμή αφήνουμε το σώμα Α ελεύθερο, ενώ ταυτόχρονα εκτοξεύουμε με κατάλληλη ταχύτητα υ0, το Β σώμα, προς την αρχική του θέση Ο. Τα δύο σώματα συγκρούονται πλαστικά φτάνοντας στο Ο και κατόπιν το  συσσωμάτωμα συνεχίζει οριζόντια, φτάνοντας μέχρι το σημείο Ρ, σε απόσταση (ΟΡ)=0,6m, όπου και σταματά στιγμιαία, πριν  κινηθεί ξανά προς το Ο. Τα δύο σώματα θεωρούνται υλικά σημεία αμελητέων διαστάσεων, ενώ π2≈10 και g=10m/s2.
i)   Να υπολογιστεί η κοινή ταχύτητα του συσσωματώματος αμέσως μετά την κρούση.
ii)   Ποια η αρχική ταχύτητα υ0 του σώματος Β και από ποια απόσταση d είχε εκτοξευθεί το Β σώμα;
iii)  Να βρεθεί η μεταβολή της ορμής του σώματος Α που οφείλεται στην κρούση.
iv)  Αν είχαμε ανεβάσει το Α σώμα κατά h΄=2h= 1/π, πόσο θα έπρεπε να γινόταν η αρχική ταχύτητα του Β σώματος, ώστε από την ίδια απόσταση d, να είχαμε ξανά παρόμοια κρούση;

Σάββατο, 21 Απριλίου 2012

Μια ταλάντωση σώματος σε πλάγια σανίδα.


Η σανίδα του σχήματος, μήκους 2m και μάζας Μ=4kg, έχει αρθρωθεί στο άκρο της Α, ενώ το άλλο της άκρο Β είναι δεμένο με κατακόρυφο νήμα και ισορροπεί σχηματίζοντας γωνία θ με την οριζόντια διεύθυνση, όπου ημθ=0,6. Πάνω στη σανίδα, δεμένο στο άκρο ελατηρίου σταθεράς k=20Ν/m, ο άξονας του οποίου είναι παράλληλος με τη ράβδο, ισορροπεί ένα σώμα Σ, αμελητέων διαστάσεων, μάζας m=2kg. Η θέση ισορροπίας του σώματος Σ είναι το μέσον Ο της σανίδας.
i)   Να βρεθεί το μέτρο της τάσης του νήματος.
ii)  Μετακινούμε το σώμα Σ, προς τα πάνω κατά μήκος της σανίδας, κατά 0,2m και σε μια στιγμή που θεωρούμε t=0, το αφήνουμε να κινηθεί.
α)  Να αποδείξτε ότι η κίνηση του σώματος είναι ΑΑΤ.
β)  Θεωρώντας θετική την αρχική απομάκρυνση, να γράψετε την εξίσωση της ταχύτητας του Σ σε συνάρτηση με το χρόνο.
γ)  Να βρεθεί η εξίσωση της τάσης του νήματος σε συνάρτηση με το χρόνο και να γίνει η γραφική της παράσταση.
δ)  Να υπολογιστούν οι ρυθμοί μεταβολής της ορμής και της κινητικής ενέργειας του σώματος Σ, τη χρονική στιγμή t1=0,5s.
Δίνονται π2≈10 και g=10m/s2.

Πέμπτη, 19 Απριλίου 2012

Κίνηση δύο δίσκων σε επαφή.

Δύο οριζόντιοι δίσκοι Α και Β βρίσκονται σε επαφή, ενώ μπορούν να στρέφονται χωρίς τριβές γύρω από κατακόρυφο άξονα  z, ο οποίος περνά από τα κέντρα τους. Οι δίσκοι ηρεμούν. Γύρω από τον δίσκο Α τυλίγουμε ένα αβαρές νήμα, μέσω του οποίου, τη στιγμή t=0, του ασκούμε μια σταθερή οριζόντια δύναμη F=12Ν, προσδίδοντας σταθερή επιτάχυνση στο άκρο Ε του νήματος, μέχρι τη στιγμή t1=2s, οπότε έχει ξετυλιχθεί νήμα μήκους x=4,8m. Ο  Β δίσκος «παρασύρεται» και περιστρέφεται από τη ροπή της τριβής που δέχεται από τον Α δίσκο.  Τη στιγμή t1 παύουμε την άσκηση της δύναμης. Για τους  δίσκους Α και Β δίνονται m1=8,5kg, m2=4kg, R1=0,8m και R2=0,6m αντίστοιχα, ενώ η ροπή αδράνειας ενός δίσκου, ως προς κάθετο άξονα που περνά από το κέντρο του Ι= ½ ΜR2.
i)   Να βρεθεί η γωνιακή επιτάχυνση του Α δίσκου.
ii)  Να υπολογιστεί η ροπή της τριβής που ασκήθηκε στον Α δίσκο από τον Β.
iii) Ποια η γωνιακή ταχύτητα κάθε δίσκου τη στιγμή t1;
iv) Να βρεθεί ο ρυθμός μεταβολής της στροφορμής κάθε δίσκου, αλλά και του συστήματος των δύο δίσκων, ως προς τον άξονα z, τη χρονική στιγμή t=1s.
v) Να υπολογισθεί η μηχανική ενέργεια που μετετράπη σε θερμική, εξαιτίας της τριβής που αναπτύχθηκε μεταξύ των δύο  δίσκων, μέχρι τη στιγμή t1.
vi)  Να βρεθεί η τελική γωνιακή ταχύτητα των δίσκων.

Τρίτη, 17 Απριλίου 2012

Κρούση μιας σφαίρας με κύβο.

Από την κορυφή ενός λείου τεταρτοκυκλίου ακτίνας R=2,5m, αφήνεται να ολισθήσει μια σφαίρα Α μάζας Μ=0,3kg και ακτίνας r=5cm, η οποία φτάνει στο οριζόντιο επίπεδο με ταχύτητα υ. Η σφαίρα παρουσιάζει με το επίπεδο συντελεστές τριβής μ=μs=0,2 και αφού κινηθεί επί χρονικό διάστημα Δt=2s, συγκρούεται μετωπικά και ελαστικά με ακίνητο κύβο ακμής α=0,1m και μάζας m=0,2kg.
i)   Ποιο το μέτρο της ταχύτητας υ, με την οποία αρχίζει να κινείται η σφαίρα στο οριζόντιο επίπεδο.
ii)  Ποια η ταχύτητα της σφαίρας ελάχιστα πριν την κρούση.
iii) Πόσο απέχει ο κύβος Β από την βάση του τεταρτοκυκλίου;
iv) Με δεδομένο ότι η δύναμη που ασκείται από τη σφαίρα στον κύβο στη διάρκεια της κρούσης είναι οριζόντια, να βρεθεί το % ποσοστό της κινητικής ενέργειας της σφαίρας, που μεταφέρεται στον κύβο.
Δίνεται η ροπή αδράνειας της σφαίρας ως προς μια διάμετρό της Ι= 0,4ΜR2 και g=10m/s2.

Τρίτη, 10 Απριλίου 2012

Μια περιστροφή και μια α.α.τ.

Η ράβδος ΑΓ έχει μήκος 3m, μάζα Μ=10kg και μπορεί να στρέφεται σε κατακόρυφο επίπεδο, αρθρωμένη στο άκρο της Α. Η ράβδος ισορροπεί οριζόντια, με το άλλο της άκρο Γ, δεμένο μέσω κατακόρυφου νήματος, με σώμα Σ μάζας m=5kg, το οποίο ηρεμεί στο κάτω άκρο κατακόρυφου ελατηρίου. Το ελατήριο έχει φυσικό μήκος 1m και σταθερά 200Ν/m.
i) Πόση δύναμη δέχεται η ράβδος στο σημείο Α και πόσο είναι στην ισορροπία το μήκος του ελατηρίου;
ii) Σε μια στιγμή t=0, κόβουμε το νήμα που συνδέει το σώμα Σ με τη ράβδο, οπότε το Σ εκτελεί α.α.τ. ενώ η ράβδος στρέφεται γύρω από το άκρο της Α. Να βρείτε:        
α) Την ενέργεια ταλάντωσης του σώματος Σ,    
β) Την αρχική επιτάχυνση (για t=0) τόσο του σώματος Σ, όσο και του σημείου Γ της ράβδου.
γ) Την μέγιστη ταχύτητα του σώματος Σ και την μέγιστη ταχύτητα του σημείου Γ.
Δίνονται η ροπή αδράνειας της ράβδου ως προς το κέντρο μάζας της Ιcm = ml2/12 , π2≈10, g=10m/s2 ενώ δεν αναπτύσσονται τριβές στην άρθρωση στο άκρο Α κατά την πτώση της ράβδου.

Δευτέρα, 9 Απριλίου 2012

Δύο σφαίρες στα άκρα ίσων νημάτων.

Δυο μικρές σφαίρες Α και Β με ίσες ακτίνες και μάζες m1 και m2 αντίστοιχα, κρέμονται με  δύο νήματα ίσου μήκους, από το ίδιο σημείο. Εκτρέπουμε την Α σφαίρα, ώστε το νήμα να σχηματίσει γωνία θ με την κατακόρυφο, ανεβάζοντάς την κατά Η και την αφήνουμε να κινηθεί. Μετά την ελαστική και μετωπική μεταξύ τους κρούση, οι σφαίρες φτάνουν ταυτόχρονα στο ίδιο ύψος h, όπως στο σχήμα.


1)     Ποιες προτάσεις είναι σωστές και ποιες λανθασμένες:
i)       Μεγαλύτερη μάζα έχει η Β σφαίρα.
ii)      Οι ταχύτητες μετά την κρούση των δύο σφαιρών, είναι αντίθετες.
iii)    Οι δύο σφαίρες έχουν ίσες κατά μέτρο ορμές, αμέσως μετά την κρούση.
iv)   Η ορμή που θα αποκτήσει η Β σφαίρα λόγω κρούσης, είναι μικρότερη από την αρχική ορμή της σφαίρας Α πριν την κρούση.
   Να δικαιολογήσετε τις απαντήσεις σας.
2)     Αν Η=4h, όπου Η το αρχικό ύψος από το οποίο αφέθηκε η Α σφαίρα και h το τελικό μέγιστο ύψος στο οποίο θα ανέβουν, τότε:
i)  Οι μάζες των δύο σφαιρών ικανοποιούν τη σχέση:  
α) m1=m2       β) m1=2m1      γ) m2=2m1     δ) m2=3m1
ii)  Σε μια στιγμή, στη διάρκεια της κρούσης, το μέτρο της τάσης του νήματος που κρέμεται η Α σφαίρα, γίνεται ίση με το βάρος της. Τότε η Β σφαίρα έχει κινητική ενέργεια:
α)  1/3 m1gh.   β)  ½ m1gh    γ) 2/3 m1gh    δ) m1gh

Κυριακή, 8 Απριλίου 2012

Μια οριζόντια εκτόξευση σφαίρας.

Από ορισμένο ύψος εκτοξεύουμε οριζόντια μια σφαίρα με αρχική ταχύτητα υ0 και χωρίς γωνιακή ταχύτητα. Στο σχήμα φαίνεται η τροχιά της σφαίρας, αλλά και η σφαίρα σε διάφορες θέσεις. Παρατηρείστε ότι στις θέσεις μετά την πρώτη κρούση, στο σημείο Α,  η σφαίρα περιστρέφεται, ενώ μετά από κάθε αναπήδηση, φτάνει στο αρχικό ύψος h.
i)        Η κίνηση της σφαίρας μεταξύ της αρχικής θέσης Ο και της θέσης Α είναι:
α)  Μεταφορική           β) Στροφική
ii)      Μπορείτε να ερμηνεύσετε:
α)  Γιατί η σφαίρα, ενώ αρχικά δεν στρέφεται, μετά την πρώτη κρούση, αποκτά γωνιακή ταχύτητα;
β) Γιατί η γωνιακή ταχύτητα περιστροφής, μεταξύ πρώτης και δεύτερης κρούσης (θέσεις Α-Β), παραμένει σταθερή;
iii)    Πάρτε τη σφαίρα σε επαφή με το έδαφος (θέση Α). Να σχεδιάστε τις δυνάμεις που ασκούνται πάνω της. Ποιο είναι το αποτέλεσμα της δράσης κάθε δύναμης;
iv)   Παίρνοντας τη γραφική παράσταση της οριζόντιας συνιστώσας της ταχύτητας υx σε συνάρτηση με το χρόνο, προκύπτει η γραφική παράσταση, του διπλανού σχήματος. Γιατί μειώνεται η ταχύτητα κατά την πρώτη κρούση; Γιατί στις επόμενες κρούσεις δεν συμβαίνει κάτι αντίστοιχο; Σχεδιάστε τις δυνάμεις που ασκούνται στη σφαίρα στη θέση Β, στη διάρκεια της 2ης κρούσης.
v)    Η μεταβολή της ορμής της σφαίρας στη διάρκεια της 2ης κρούσης:
α) Είναι κατακόρυφη με φορά προς τα πάνω.
β) Είναι πλάγια με φορά προς τα πάνω.
γ) Έχει μέτρο 2m√2gh.
δ) Έχει μέτρο μικρότερο από 2m√2gh.
Ποιες από τις προτάσεις αυτές είναι σωστές και ποιες όχι.

Σάββατο, 7 Απριλίου 2012

Ένας κύλινδρος και ένα κέλυφος.

1)     Η ροπή αδράνειας ενός κυλίνδρου ως προς άξονα, ο οποίος διέρχεται από τα κέντρα των βάσεών του,  δίνεται από την εξίσωση  Ι= ½ ΜR2. Από ένα ομογενή κύλινδρο, έχει αφαιρεθεί ένας ομοαξονικός κύλινδρος, με αποτέλεσμα να πάρουμε ένα κυλινδρικό κέλυφος. Η ροπή αδράνειας του κελύφους δίνεται από την εξίσωση:
i) Ι2=  1/3 mR2    ii)  Ι2= ½ mR2   iii) Ι2= 2/3 mR2   iv) Ι2= mR2
2)     Σε δύο κεκλιμένα επίπεδα αφήνονται να κινηθούν από το ίδιο ύψος, ένας κύλινδρος Α και ένα κυλινδρικό κέλυφος της ίδιας μάζας και της ίδιας ακτίνας Β. Τα δύο σώματα κυλίονται χωρίς να ολισθαίνουν. Ποιες προτάσεις είναι σωστές και ποιες λάθος:
i)   Μεγαλύτερη ροπή αδράνειας παρουσιάζει το κέλυφος Β.
ii)  Μεγαλύτερη επιτάχυνση αποκτά ο κύλινδρος Α.
iii) Ο κύλινδρος Α θα φτάσει στη βάση του επιπέδου με μεγαλύτερη ταχύτητα από το Β.
iv) Ο κύλινδρος Α θα φτάσει στη βάση του επιπέδου με μεγαλύτερη κινητική ενέργεια από το σώμα Β.
Να δικαιολογήσετε τις απαντήσεις σας.

Τετάρτη, 4 Απριλίου 2012

Μια περισσότερο ιδιόμορφη «κρούση».

Πάνω σε λείο οριζόντιο επίπεδο ηρεμεί μια λεπτή σανίδα μάζας Μ. Εκτοξεύουμε  οριζόντια, από το άκρο της σανίδας, μια σφαίρα ίδιας μάζας Μ με αρχική ταχύτητα υ0 και με κινητική ενέργεια 40J, η οποία δεν περιστρέφεται. Παρατηρούμε ότι η σφαίρα αρχίζει να περιστρέφεται, ενώ ταυτόχρονα η σανίδα κινείται προς τα δεξιά επιταχυνόμενη για λίγο, ενώ στη συνέχεια τόσο η σφαίρα, όσο και η σανίδα κινούνται με σταθερές ταχύτητες.
i)  Μπορείτε να ερμηνεύσετε τις παραπάνω παρατηρήσεις;
ii) Αποδείξτε ότι όταν τα σώματα αποκτήσουν σταθερές ταχύτητες ισχύει υcm-ωR=υ1, όπου υcm η ταχύτητα του άξονα της σφαίρας, ω η γωνιακή της ταχύτητα και υ1 η ταχύτητα της σανίδας.
iii) Ας πάρουμε ένα νοητό σταθερό οριζόντιο άξονα z, ο οποίος ταυτίζεται με την αρχική θέση του άξονα περιστροφής της σφαίρας. Να κάνετε τη γραφική παράσταση της στροφορμής του συστήματος σφαίρα-σανίδα, ως προς τον άξονα z, σε συνάρτηση με το χρόνο.
iv)Να υπολογιστεί η μηχανική ενέργεια που μετατρέπεται σε θερμική εξαιτίας της τριβής που αναπτύχθηκε μεταξύ σφαίρας και σανίδας.

Τρίτη, 3 Απριλίου 2012

Ένα μολύβι που πέφτει.

Τοποθετούμε τη μύτη ενός μολυβιού  μήκους ℓ στο νύχι του χεριού μας και φέρνουμε το μολύβι σε κατακόρυφη θέση. Το αφήνουμε να πέσει, οπότε η μύτη του εγκαταλείπει το νύχι σε μια θέση που σχηματίζει γωνία θ με την κατακόρυφη. Στη θέση αυτή η γωνιακή ταχύτητα του μολυβιού είναι ω. Να χαρακτηρίστε ως σωστές ή λανθασμένες τις παρακάτω προτάσεις, δικαιολογώντας τις απαντήσεις σας.
i)  Ελάχιστα πριν χαθεί η επαφή με το χέρι, η ταχύτητα του άκρου Α είναι μηδενική, ενώ του άκρου Β είναι υΒ=ω∙ℓ.
ii) Αμέσως μετά το χάσιμο της επαφής, το άκρο Α έχει ταχύτητα υΑ=ω∙ℓ/2, ενώ το άκρο Β υΒ=ω∙ℓ/2.
iii) Ποια από τις παρακάτω εικόνες δείχνει τη θέση του μολυβιού μετά από λίγο χρόνο t1;

Δευτέρα, 2 Απριλίου 2012

Μια ιδιόμορφη "κρούση".

Σε λείο οριζόντιο επίπεδο ηρεμεί μια λεπτή και μακριά σανίδα μήκους ℓ και μάζας Μ=4kg. Ένα σώμα Α, το οποίο θεωρούμε υλικό σημείο, μάζας m=2kg, εκτοξεύεται από το ένα άκρο της σανίδας με αρχική ταχύτητα υ0=10m/s. Αν το μισό μήκος της σανίδας είναι λείο, ενώ ο συντελεστής τριβής μεταξύ του Α και του υπόλοιπου μισού της σανίδας είναι μ=0,4, ενώ η τελική ταχύτητα του Α, τη στιγμή που εγκαταλείπει την σανίδα, είναι  υ1=6m/s, να βρεθούν:
i)   Η ταχύτητα την οποία αποκτά η σανίδα.
ii)  Η επιτάχυνση την οποία απέκτησε η σανίδα, καθώς και το χρονικό διάστημα της επιτάχυνσής της.
iii) Η μηχανική ενέργεια που μετετράπη σε θερμική εξαιτίας της τριβής.
iv) Το χρονικό διάστημα που το σώμα Α είναι σε επαφή με την σανίδα.
Δίνεται g=10m/s2.