Κυριακή, 13 Μαΐου 2012

Μια πλάγια πλαστική κρούση αλλά μετά τι;


Σε ένα λείο οριζόντιο επίπεδο ηρεμεί ένα σώμα Σ1 μάζας m1=1kg δεμένο στο άκρο οριζόντιου ιδανικού ελατηρίου σταθεράς k=100Ν/m και φυσικού μήκους ℓ0=0,6m, το άλλο άκρο του οποίου είναι δεμένο σε σταθερό σημείο Ο. Σε απόσταση s=0,628m ηρεμεί ένα δεύτερο σώμα Σ2, της ίδιας μάζας, όπως στο σχήμα. Τα δύο σώματα θεωρούνται υλικά σημεία αμελητέων διαστάσεων. Μετακινούμε το σώμα Σ1 συσπειρώνοντας το ελατήριο κατά 0,4m  και σε μια στιγμή t0=0 το αφήνουμε να ταλαντωθεί, ενώ ταυτόχρονα εκτοξεύουμε οριζόντια με ταχύτητα υ2 το σώμα Σ2. Μόλις το σώμα Σ1 φτάσει στην θέση ισορροπίας του, τα  δύο σώματα συγκρούονται πλαστικά.
i)   Με ποια ταχύτητα κινήθηκε το σώμα Σ2 πριν την κρούση;
ii)  Να βρεθεί η ταχύτητα του συσσωματώματος Σ  αμέσως μετά την κρούση.
iii) Πόση είναι η απώλεια της μηχανικής ενέργειας κατά την κρούση;
iv) Μετά από λίγο το ελατήριο έχει δυναμική ενέργεια 4J. Για τη θέση αυτή:
α)  Να υπολογιστεί η ταχύτητα του συσσωματώματος Σ.
β)  Ποιος ο ρυθμός μεταβολής της στροφορμής του Σ, ως προς κατακόρυφο άξονα που περνά από το άκρο Ο του ελατηρίου;
γ) Να βρεθεί η απόσταση του σημείου Ο, από τον φορέα της ταχύτητας του συσσωματώματος.

Σάββατο, 12 Μαΐου 2012

Και αν σπάσει ο άξονας;


Μια μη ομογενής ράβδος μήκους ℓ=4m και μάζας 6kg, μπορεί να στρέφεται γύρω από οριζόντιο άξονα, ο οποίος διέρχεται από το άκρο της Α. Στο άλλο άκρο της έχει δεθεί ένα σώμα Σ, που θεωρείται υλικό σημείο μάζας m=4kg. Έτσι έχουμε δημιουργήσει ένα στερεό S, με κέντρο μάζας Κ, όπου (ΚΒ)=1m. Φέρνουμε το στερεό σε οριζόντια θέση, όπως στο σχήμα και σε μια στιγμή το αφήνουμε να κινηθεί, οπότε η αρχική επιτάχυνση του σώματος Σ είναι α0=12m/s2.  Το στερεό δεν παρουσιάζει τριβές με τον άξονα, ενώ g=10m/s2.
i)  Να βρεθεί η ροπή αδράνειας του στερεού S, ως προς τον άξονα περιστροφής του.
Μετά από λίγο, η ράβδος σχηματίζει γωνία θ=30° με την οριζόντια διεύθυνση. Για την θέση αυτή, να βρεθούν:
ii)   Ο ρυθμός μεταβολής της κινητικής ενέργειας του στερεού S
iii)  Η στροφορμή και ο ρυθμός μεταβολής της στροφορμής του στερεού S, ως προς τον άξονα περιστροφής του.
iv)  Η στροφορμή και ο ρυθμός μεταβολής της στροφορμής της ράβδου, ως προς τον άξονα περιστροφής.
v)  Στην παραπάνω θέση, σπάει ο άξονας περιστροφής, οπότε το στερεό πέφτει ελεύθερα και κτυπάει στο έδαφος με το άκρο του Β και με τη ράβδο κατακόρυφη, χωρίς να έχει ολοκληρώσει μια περιστροφή. Πόσο χρόνο διαρκεί η ελεύθερη πτώση του στερεού;

Τετάρτη, 9 Μαΐου 2012

Ακροβατώντας μεταξύ ενιαίου στερεού και ράβδων.


Διαθέτουμε τρεις όμοιες ομογενείς ράβδους μάζας m=3kg και μήκους ℓ=4/3m η καθεμιά. Τις ενώνουμε στα άκρα, σχηματίζοντας ένα ισόπλευρο τρίγωνο ΑΒΓ (στερεό S). Το στερεό S, μπορεί να στρέφεται, χωρίς τριβές, γύρω από σταθερό οριζόντιο άξονα, ο οποίος περνά από την κορυφή Α, ισορροπεί δε σε θέση όπου η πλευρά ΑΓ είναι κατακόρυφη, δεμένο με κατακόρυφο νήμα στην κορυφή Β. Το άλλο άκρο του νήματος είναι δεμένο στο υλικό σημείο Σ, το οποίο ηρεμεί στο κάτω άκρο κατακόρυφου ελατηρίου, σταθεράς k=100Ν/m, όπως στο σχήμα.
i)  Να βρεθεί η τάση του νήματος μεταξύ της κορυφής Β και σώματος Σ.
Σε μια στιγμή κόβουμε το νήμα.
    ii) Να υπολογίστε τη ροπή αδράνειας  του στερεού S ως προς τον άξονα περιστροφής του.
iii) Να υπολογίστε τις αρχικές επιταχύνσεις της κορυφής Β και του μέσου Μ της πλευράς ΒΓ. Να σχεδιάστε στο σχήμα τις παραπάνω επιταχύνσεις.
iv) Να βρεθούν οι ρυθμοί μεταβολής της στροφορμής των ράβδων ΑΓ και ΒΓ, αμέσως μετά το κόψιμο του νήματος.
v)  Να βρεθεί η μέγιστη κινητική ενέργεια του στερεού S.
vi) Να υπολογιστεί η μέγιστη κινητική ενέργεια του σώματος Σ.
Δίνεται η ροπή αδράνειας μιας ράβδου ως προς κάθετο άξονα που περνά από το μέσον της Ιcm=m2/12 και g=10m/s2.

Δευτέρα, 7 Μαΐου 2012

Κίνηση κυλίνδρου σε λείο επίπεδο με χρήση αβαρούς τροχαλίας.


Γύρω από έναν κύλινδρο μάζας Μ=26,4kg και ακτίνας R=1m έχουμε τυλίξει ένα αβαρές νήμα, το οποίο αφού περάσει από μια αβαρή τροχαλία, στο άλλο του άκρο κρέμεται ένα σώμα Σ μάζας m=10/9 kg. Ο κύλινδρος συγκρατείται ακίνητος σε λείο οριζόντιο επίπεδο και το νήμα σχηματίζει γωνία θ με την οριζόντια διεύθυνση, όπου ημθ=0,6 (συνθ=0,8). Σε μια στιγμή αφήνουμε το σύστημα ελεύθερο να κινηθεί. Η τροχαλία έχει ακτίνα r=0,1m και το κέντρο της Κ απέχει 1m από το οριζόντιο επίπεδο, όπως φαίνεται και στο σχήμα.
i)  Να εξηγείστε γιατί ο κύλινδρος θα εκτελέσει σύνθετη κίνηση. Να εξετάσετε αν πρόκειται:
α)  να ολισθήσει,    β) να κυλήσει           γ) να «σπινάρει»
ii) Να βρείτε μια σχέση που να συνδέει την αρχική επιτάχυνση του άξονα Ο του κυλίνδρου με την επιτάχυνση του σώματος Σ.
iii)  Να υπολογίσετε την αρχική επιτάχυνση του σώματος Σ.
iv) Να βρεθεί ο αρχικός ρυθμός μεταβολής της στροφορμής:
α) Του κυλίνδρου ως προς τον άξονα περιστροφής  του.
β) Του συστήματος κύλινδρος-σώμα Σ, ως προς το άξονα περιστροφής της τροχαλίας.
Δίνεται η ροπή αδράνειας του κυλίνδρου ως προς τον άξονα περιστροφής του Ι= ½ ΜR2 και g=10m/s2.

Σάββατο, 5 Μαΐου 2012

Μια κρούση σώματος με οριζόντιο κυκλικό τραπέζι.


Ένα τραπέζι σχήματος δίσκου, μάζας Μ=19,5kg και ακτίνας R=0,4m στρέφεται γύρω από σταθερό άξονα z, ο οποίος περνά από το κέντρο του Ο, όπως στο διπλανό σχήμα, με σταθερή γωνιακή ταχύτητα. Πάνω από το τραπέζι συγκρατείται ένα σώμα Σ, αμελητέων διαστάσεων, μάζας m=1kg, το οποίο είναι δεμένο στο άκρο κατακόρυφου ελατηρίου σταθεράς k=100Ν/m και φυσικού μήκους ℓ0=0,2m. Το ελατήριο κρέμεται από σημείο Κ, το οποίο απέχει 0,3m από το τραπέζι, ο άξονάς του απέχει 0,2m από τον άξονα z και στη θέση αυτή έχει το φυσικό μήκος του. Αφήνουμε το σώμα τη στιγμή t0=0, να κινηθεί και προσκολλάται στο τραπέζι. Αν αμέσως μετά την κρούση το σώμα Σ έχει ταχύτητα υ1=0,6m/s, ζητούνται:
i)   Η επιτάχυνση και η ταχύτητα του σώματος Σ, ελάχιστα πριν την κρούση.
ii) Η μεταβολή της ορμής του σώματος Σ που οφείλεται στην πλαστική του κρούση με το τραπέζι. Ποια η αντίστοιχη μεταβολή της στροφορμής του ως προς (κατά) τον άξονα z;
iii) Να βρεθεί η κινητική ενέργεια του σώματος Σ, τη στιγμή που θα έχει εκτελέσει μισή περιστροφή.
iv) Η γωνία κατά την οποία στρέφεται το τραπέζι από τη στιγμή t0=0, μέχρι τη στιγμή της κρούσης.
Δίνεται ότι παρόλη την κρούση το τραπέζι δεν παύει να στρέφεται γύρω από τον ίδιο κατακόρυφο άξονα z χωρίς να «παλαντζάρει», η ροπή αδράνειάς του ως προς τον άξονα z  Ι= ½ ΜR2 και g=10m/s2.

Παρασκευή, 4 Μαΐου 2012

Μια σανίδα σε παγωμένη λίμνη.


Σε μια παγωμένη λίμνη ηρεμεί μια σανίδα μήκους ℓ=6m και μάζας 8kg. Σε μια στιγμή, t=0, ασκούμε πάνω της δυο οριζόντιες παράλληλες σταθερού μέτρου δυνάμεις F1=F2=12π Ν, όπως στο σχήμα, όπου (ΜΒ)= 1,5m, οι οποίες παραμένουν συνεχώς κάθετες στη σανίδα.
i) Η σανίδα θα περιστραφεί οριζόντια γύρω από κατακόρυφο άξονα, ο οποίος περνά από το:
α) Το άκρο Α,        β) Το μέσον της Ο,   γ) Το μέσον της ΜΒ.
ii)  Να βρείτε τις ταχύτητες (μέτρο και κατεύθυνση) του μέσου Ο και του άκρου Β τη στιγμή t1=2s.
iii) Για τη στιγμή t1 να βρεθούν:
 α) Η στροφορμή της σανίδας και ο ρυθμός μεταβολής της στροφορμής της, ως προς   κατακόρυφο άξονα που περνά από το μέσον της Ο.
 β) Η κινητική ενέργεια και ο ρυθμός μεταβολής της κινητικής ενέργειας της σανίδας.
Δίνεται η ροπή αδράνειας μιας ομογενούς ράβδου, ως προς κάθετο άξονα που περνά από το μέσον της  Ι=Μ2/12.

Πέμπτη, 3 Μαΐου 2012

Άνοδος σφαίρας σε κεκλιμένο επίπεδο.

Δύο όμοιες σφαίρες κυλίονται (χωρίς να ολισθαίνουν) σε οριζόντιο επίπεδο με την ίδια ταχύτητα κέντρου μάζας υ0. Στην πορεία τους συναντούν δύο κεκλιμένα επίπεδα, στα οποία συνεχίζουν να ανέρχονται. Η Α σφαίρα ανεβαίνει στο πρώτο επίπεδο που είναι λείο, ενώ η Β συνεχίζει να κυλίεται κατά μήκος του δεύτερου.
Σε μεγαλύτερο ύψος θα φτάσει:
   i) Η Α σφαίρα.
   ii)  Η Β σφαίρα.
   iii) Οι δυο σφαίρες θα φτάσουν στο ίδιο ύψος.
Απάντηση:


Για δοκίμασε εδώ.

Τετάρτη, 2 Μαΐου 2012

Ταλάντωση και δυο ελαστικές κρούσεις.


Τα σώματα Β και Γ, τα οποία θεωρούμε υλικά σημεία, αμελητέων διαστάσεων, με μάζες m1=1kg και m2=3kg ηρεμούν σε επαφή σε λείο οριζόντιο επίπεδο, ενώ το Β είναι δεμένο στο άκρο οριζόντιου ελατηρίου σταθεράς k=400Ν/m, όπως στο σχήμα. Μετακινούμε τα σώματα προς τα αριστερά, συμπιέζοντας το ελατήριο κατά 0,4m και τη στιγμή t0=0, αφήνουμε ελεύθερο το σύστημα να κινηθεί.
i)   Ποια η αρχική επιτάχυνση που θα αποκτήσουν τα σώματα και ποιο το μέτρο της δύναμης που ασκεί το Β στο Γ σώμα;
ii)  Ποια χρονική στιγμή τα δυο σώματα θα χάσουν την επαφή;
iii) Το σώμα Γ αφού συγκρουστεί ελαστικά με τον κατακόρυφο τοίχο, ξανασυγκρούεται ελαστικά με το σώμα Α τη στιγμή t2= 3π/20s. Ποια η αρχική απόσταση d του σώματος Γ από τον τοίχο;
iv) Να παρασταθεί γραφικά η ενέργεια ταλάντωσης του σώματος Β σε συνάρτηση με το χρόνο, μέχρι τη χρονική στιγμή t3=π/5s.

Τρίτη, 1 Μαΐου 2012

Μια ελαστική κρούση ράβδων.



Προσοχή: Η άσκηση αυτή δεν προσφέρεται για μαθητές.
-------------------------
Σε λείο οριζόντιο επίπεδο κινείται με σταθερή ταχύτητα υ0=7m/s μια ομογενής ράβδος (α) μάζας Μ και μήκους ℓ=1m, χωρίς να στρέφεται, όπως στο σχήμα. Σε μια στιγμή συγκρούεται ελαστικά με δεύτερη όμοια ράβδο (β), το μέσον Μ της οποίας βρίσκεται σε ευθεία ε, παράλληλης προς την ταχύτητα υ0, η οποία περνά από το άκρο Β της πρώτης ράβδου. Το σημείο σύγκρουσης είναι το μέσον της (ΟΒ) και κατά τη διάρκεια της κρούσης δεν αναπτύσσεται δύναμη τριβής μεταξύ των δύο ράβδων. Να υπολογιστούν οι ταχύτητες και οι γωνιακές ταχύτητες των δύο ράβδων μετά την κρούση.
Δίνεται η ροπή αδράνειας μιας ράβδου ως προς κάθετο άξονα που περνά από το μέσον της Ι=Μℓ2/12.