Κυριακή, 31 Μαρτίου 2013

Μέχρι να πέσει το σώμα…

Γύρω από έναν κύλινδρο μάζας Μ=20kg και ακτίνας R=0,5m είναι τυλιγμένο ένα νήμα, στο άκρο του οποίου έχει δεθεί ένα σώμα Σ μάζας 1kg το οποίο θεωρούμε υλικό σημείο. Το σώμα Σ είναι τοποθετημένο σε  τραπέζι, ενώ ο κύλινδρος στο λείο έδαφος, με τέτοιο τρόπο ώστε το νήμα που συνδέει τα δυο σώματα να είναι οριζόντιο και τεντωμένο. Το σώμα Σ απέχει κατά d=1m από το άκρο του τραπεζιού, ενώ παρουσιάζει συντελεστή τριβή μ=0,09 με την επιφάνεια του τραπεζιού. Σε μια στιγμή t0=0 ασκούμε στο κέντρο του κυλίνδρου οριζόντια σταθερή δύναμη F=5Ν. Να υπολογιστούν:
i)  Η επιτάχυνση του σώματος Σ και η επιτάχυνση του άξονα του κυλίνδρου.
ii) Το έργο της δύναμης F, μέχρι τη στιγμή που το σώμα Σ εγκαταλείπει το τραπέζι.
iii) Την κινητική ενέργεια κάθε σώματος την παραπάνω στιγμή.
Δίνεται η ροπή αδράνειας του κυλίνδρου ως προς τον άξονά του Ι= ½ ΜR2 και g=10m/s2.

Πέμπτη, 28 Μαρτίου 2013

Συμπαγής κύλινδρος και κυλινδρικό κέλυφος.

Σε ένα κεκλιμένο επίπεδο αφήνονται δύο κύλινδροι Α και Β από το ίδιο υλικό και της ίδιας ακτίνας. Ο Α είναι συμπαγής,  ενώ από τον δεύτερο έχει αφαιρεθεί ένας ομοαξονικός κύλινδρος με ακτίνα r= ½ R. Οι δυο κύλινδροι κυλίονται χωρίς ολίσθηση και παρατηρούμε ότι μετά από λίγο οι κύλινδροι συγκρούονται. Οι αρχικές θέσεις των δύο κυλίνδρων είναι αυτή του σχήματος (α) ή του σχήματος (β);
Δίνεται η ροπή αδράνειας ενός ομογενούς κυλίνδρου Ι= ½ ΜR2.
ή

Συμπαγής κύλινδρος και κυλινδρικό κέλυφος.


Τρίτη, 26 Μαρτίου 2013

Ένας κύλινδρος σε κεκλιμένο επίπεδο.



Γύρω από έναν ομογενή κύλινδρο μάζας Μ=2kg και ακτίνας R=0,1m έχουμε τυλίξει ένα αβαρές νήμα. Τοποθετούμε τον κύλινδρο σε κεκλιμένο επίπεδο κλίσεως θ, όπου ημθ=0,8 και τη στιγμή t0=0 τον αφήνουμε να κινηθεί, ασκώντας σταθερή δύναμη μέτρου F=5Ν, στο άκρο Α του νήματος παράλληλη στο επίπεδο, όπως στο σχήμα. Αν ο κύλινδρος παρουσιάζει με  το επίπεδο συντελεστές τριβής μ=μs=0,25, για τη στιγμή t1=1s. Ζητούνται:
i)  Να διερευνήσετε προς τα που θα κινηθεί ο κύλινδρος, αν θα ολισθαίνει ή αν θα κυλίεται και τη φορά περιστροφής του.
ii)  Η επιτάχυνση του κέντρου μάζας του κυλίνδρου και η μετατόπιση του άξονά του.
iii) Η ταχύτητα του κέντρου μάζας και η γωνιακή ταχύτητα του κυλίνδρου.
iv) η ισχύς κάθε δύναμης που ασκείται στον κύλινδρο.
v) Οι ρυθμοί μεταβολής:
 α) της στροφορμής του κυλίνδρου, ως προς τον άξονα περιστροφής του.
 β) της κινητικής ενέργειας του κυλίνδρου.
 γ) της κινητικής ενέργειας λόγω περιστροφής του κυλίνδρου
Δίνεται η ροπή αδράνειας του κυλίνδρου ως προς τον άξονά του Ιcm= ½ MR2 και g=10m/s2.
ή

Δευτέρα, 25 Μαρτίου 2013

Ένα δεύτερο θέμα με δυο κυλίνδρους.

Διαθέτουμε δύο κυλίνδρους Α και Β ίσων ακτίνων, από το ίδιο υλικό, αλλά ο Β έχει διπλάσιο ύψος του Α. Αφήνουμε την ίδια στιγμή τους  δύο κυλίνδρους να κυλίσουν κατά μήκος του ίδιου επιπέδου από ύψος h. Οι κύλινδροι κυλίονται χωρίς να ολισθαίνουν ενώ η ροπή αδράνειας ενός κυλίνδρου ως προς τον άξονα που συνδέει τα κέντρα των δύο βάσεων είναι Ιcm= ½ ΜR2.
i) Πρώτος θα φτάσει στη βάση του επιπέδου:
α) ο κύλινδρος Α                  β) ο κύλινδρος Β      γ) θα φτάσουν ταυτόχρονα.
ii) Μεγαλύτερη ταχύτητα κέντρου μάζας θα αποκτήσει:
α) ο κύλινδρος Α                  β) ο κύλινδρος Β      γ) θα αποκτήσουν ίσες ταχύτητες cm.
iii) Μεγαλύτερη κινητική ενέργεια θα αποκτήσει:
α) ο κύλινδρος Α                  β) ο κύλινδρος Β      γ) θα αποκτήσουν ίσες κινητικές ενέργειες.
iv) Σε μια στιγμή στη διάρκεια της καθόδου, μεγαλύτερη στροφορμή, ως προς τον άξονά του έχει:
α) ο κύλινδρος Α                  β) ο κύλινδρος Β      γ) θα έχουν ίσες στροφορμές.
v) Σε μια στιγμή στη διάρκεια της καθόδου, μεγαλύτερο ρυθμό μεταβολής της στροφορμής, ως προς τον άξονά του έχει:
α) ο κύλινδρος Α                  β) ο κύλινδρος Β      γ) οι δυο ρυθμοί είναι ίσοι.
ή

Σάββατο, 23 Μαρτίου 2013

Μια πτώση σφαίρας.


Μια σφαίρα μάζας Μ=20kg και ακτίνας R=0,5m έχει προσκολληθεί  στο άκρο ομογενούς ράβδου μάζας m=16kg μήκους ℓ=0,75m, με αποτέλεσμα να έχει σχηματισθεί ένα στερεό Σ, το οποίο μπορεί να στρέφεται χωρίς τριβές, γύρω από σταθερό οριζόντιο άξονα ο οποίος περνά από το άκρο Ο της ράβδου. Φέρνουμε το στερεό σε τέτοια θέση, ώστε η ράβδος να είναι οριζόντια και το αφήνουμε να κινηθεί.
i) Να βρεθεί η μέγιστη ταχύτητα του κέντρου Κ της σφαίρας.
ii) Αν μειώσουμε τη μάζα της ράβδου, θα αυξηθεί ή θα μειωθεί η μέγιστη ταχύτητα της  σφαίρας;
iii) Σε ποια τιμή τείνει η ταχύτητα του κέντρου Κ της σφαίρας, αν η ράβδος θεωρηθεί αβαρής;
iv) Να βρεθεί η μέγιστη ταχύτητα του κέντρου Κ της σφαίρας στην περίπτωση που, η αβαρής ράβδος αντικατασταθεί με αβαρές νήμα  μήκους ℓ=1,25m. (Το νήμα συνδέεται στα άκρα μιας διαμέτρου, που ουσιαστικά είναι ισοδύναμο με το να έχει συνδεθεί στο κέντρο της σφαίρας).
Δίνεται για την σφαίρα Ιcm= 2/5ΜR2, για τη ράβδο Ιcm= 1/12 m2  και g=10m/s2.
ή

Πέμπτη, 21 Μαρτίου 2013

Ένα δεύτερο θέμα με τροχούς.

Διαθέτουμε δύο όμοιους τροχούς σε μη λείο οριζόντιο επίπεδο. Στον Α μπορούμε μέσω νήματος να ασκούμε δύναμη στο κέντρο μάζας Ο, στον Β έχουμε  τυλίξει γύρω του ένα νήμα, οπότε μπορούμε να ασκούμε δύναμη τραβώντας το νήμα, όπως στο σχήμα. Ασκούμε ίσες δυνάμεις F στα άκρα Ν των δύο νημάτων, μέχρι να μετακινήσουμε το άκρο του νήματος κατά x=1m, ενώ οι τροχοί κυλίονται χωρίς να ολισθαίνουν.
i) Μεγαλύτερη κινητική ενέργεια αποκτά:
 α) Ο τροχός Α           β) ο τροχός Β,         γ) αποκτούν ίσες κινητικές ενέργειες.
ii) Σε μια στιγμή η κινητική ενέργεια του Β τροχού αυξάνεται με ρυθμό 4J/s. Την ίδια στιγμή η κινητική ενέργεια του Α τροχού αυξάνεται με ρυθμό:
α) 1J/s              β) 2J/s          γ) 4J/s,                   δ) 8J/s.
iii) Να κάνετε στο ίδιο διάγραμμα τις γραφικές παραστάσεις της ισχύος κάθε δύναμης σε συνάρτηση με το χρόνο.
Να δικαιολογήσετε τις απαντήσεις σας.
ή

Τρίτη, 19 Μαρτίου 2013

Ένα τρίωρο επαναληπτικό διαγώνισμα στη Φυσική Γ΄Τάξης

Ένας τροχός ο οποίος στρέφεται με κάποια γωνιακή ταχύτητα, εκτοξεύεται με αρχική ταχύτητα σε μη λείο οριζόντιο επίπεδο. Στο διπλανό σχήμα φαίνεται η ταχύτητα του ανώτερου σημείου Α, τριπλάσια της ταχύτητας του κέντρου μάζας του τροχού, αμέσως μετά την εκτόξευση. Ποιο από τα παρακάτω διαγράμματα περιγράφει σωστά την ταχύτητα του κέντρου μάζας Ο του τροχού, σε συνάρτηση με το χρόνο;


Δείτε όλο το διαγώνισμα από εδώ.

Δευτέρα, 18 Μαρτίου 2013

Η δύναμη και η επιπλέον ροπή ζεύγους.

Η συνέχεια της ανάρτησης «Μια ορθή γωνία στρέφεται», είναι ένα θέμα που δεν απευθύνεται σε μαθητές. Είναι «αυστηρώς ακατάλληλη» γι’ αυτούς!!!
Ας ξεκινήσουμε από κάτι απλούστερο και που θα μας βοηθήσει να κάνουμε τους σωστούς συλλογισμούς, για την παραπέρα μελέτη μας.
Παράδειγμα:
Δυο όμοιες ομογενείς ράβδοι ΟΑ και ΑΒ είναι κολλημένες στο κοινό τους άκρο Α, έχοντας δημιουργήσει μια νέα ράβδο ΟΒ μήκους 2ℓ=2m και μάζας Μ=2m=2kg, η οποία στρέφεται γύρω από σταθερό οριζόντιο άξονα ο οποίος περνά από το άκρο της Ο. Σε μια στιγμή βρίσκεται σε οριζόντια θέση, όπως στο σχήμα, έχοντας γωνιακή ταχύτητα ω=2rad/s. Για την θέση αυτή:
i)    Να υπολογιστεί η γωνιακή επιτάχυνση της ράβδου.
ii)   Να υπολογιστούν η οριζόντια και κατακόρυφη συνιστώσα της δύναμης που ασκεί η ράβδος ΟΑ στην ράβδο ΑΒ.
iii)   Να υπολογιστεί η ροπή που ασκεί η ράβδος ΟΑ στην ΑΒ (εκτός της δύναμης).
Για μια ομογενή ράβδο Ιcm=1/12 M2 , ενώ  g=10m/s2.
ή

Πέμπτη, 14 Μαρτίου 2013

Μια ορθή γωνία στρέφεται.


Διαθέτουμε δύο όμοιες ομογενείς ράβδους με μήκος ℓ=1m και μάζα Μ=3kg η καθεμιά. Τις καρφώνουμε ενώνοντας το ένα τους άκρο Α σχηματίζοντας γωνία 90°, δημιουργώντας ένα στερεό Σ, το οποίο μπορεί να στρέφεται γύρω από σταθερό οριζόντιο άξονα που περνά από το άκρο Ο της ράβδου ΟΑ, όπως στο σχήμα, χωρίς τριβές. Φέρνουμε το στερεό Σ σε τέτοια θέση, ώστε η ράβδος ΑΒ να είναι οριζόντια και το αφήνουμε να κινηθεί.
i)  Να βρεθεί η ροπή αδράνειας του στερεού Σ καθώς και  η αρχική επιτάχυνση του άκρου Β της ράβδου ΑΒ.
ii) Για την θέση (2) που η ράβδος ΑΒ γίνεται ξανά οριζόντια, να υπολογιστούν:
α) η ταχύτητα του άκρου Β και ο ρυθμός μεταβολής του μέτρου της ταχύτητάς του.
β) η στροφορμή του στερεού Σ και η στροφορμή κάθε ράβδου, ως προς (κατά)  τον άξονα περιστροφής.
γ) Ο ρυθμός μεταβολής της στροφορμής ως προς (κατά) τον άξονα περιστροφής του στερεού Σ και οι αντίστοιχοι ρυθμοί για κάθε ράβδο.
δ) Η ροπή που ασκείται  στην ράβδο ΑΒ από την ράβδο ΟΑ ως προς τον άξονα περιστροφής στο Ο.
ή

Δευτέρα, 11 Μαρτίου 2013

Στροφορμή στερεού και γωνιακή ταχύτητα.


Στο άκρον Β μιας ομογενούς δοκού ΑΒ μήκους ℓ1 =2m και μάζας Μ1=3kg, έχει προσδεθεί το μέσον μιας δεύτερης ομογενούς δοκού ΓΔ, μήκους ℓ2=4m και μάζας Μ2=3kg, οπότε έχουμε δημιουργήσει ένα στερεό Σ, το οποίο μπορεί να στρέφεται χωρίς τριβές, γύρω από οριζόντιο άξονα, ο οποίος περνά από το άκρο Α της πρώτης δοκού. Φέρνουμε το στερεό στη θέση που φαίνεται στο διπλανό σχήμα, έτσι ώστε η ράβδος ΑΒ να είναι οριζόντια και σε μια στιγμή το αφήνουμε να περιστραφεί.
i) Να βρεθεί η αρχική γωνιακή επιτάχυνση του στερεού, καθώς και οι επιταχύνσεις του κέντρου μάζας Κ του στερεού, καθώς και των σημείων Γ και Δ.
ii) Να υπολογιστεί η μέγιστη ταχύτητα του σημείου Γ.
iii) Τη στιγμή που το σημείο Γ έχει τη μέγιστη ταχύτητά του να βρεθούν:
  α) Η στροφορμή του στερεού Σ ως προς (κατά) τον άξονα περιστροφής του στο Α.
  β) Η στροφορμή της δοκού ΑΒ ως προς (κατά) τον άξονα περιστροφής της στο Α.
  γ) Η στροφορμή της δοκού ΓΔ ως προς (κατά) τον άξονα περιστροφής της στο Α.
iv) Την παραπάνω στιγμή η δοκός ΓΔ λύνεται και κινείται πλέον ελεύθερα. Να βρεθεί η Κινητική ενέργεια  της  δοκού ΓΔ μετά από χρονικό διάστημα 1s.
Δίνεται g=10m/s2 και η ροπή αδράνειας μιας δοκού ως προς κάθετο άξονα που περνά από το μέσον της Ιcm=1/12 M2.
ή

Πέμπτη, 7 Μαρτίου 2013

Έστω ότι συμβαίνει … άρα συμβαίνει;

Πριν λίγες μέρες έγινε μια μεγάλη συζήτηση στην ανάρτηση του Νίκου Ανδρεάδη «Με αφορμή το Δ1 του 2011». Στη συζήτηση αυτή είχα γράψει ένα σχόλιο: «Μελετώντας την, σε βλέπω να κάνεις κριτική στην ανάρτηση (και λύση), Μια δοκός ακουμπά σε κοντύτερο τοίχο....»  και περίμενα μια τοποθέτηση που να αμφισβητεί τη λύση που είχα δώσει. Η τοποθέτηση δεν ήρθε, οπότε ας μιλήσουμε ξανά πάνω στον τρόπο μιας απόδειξης και κατά πόσο είναι αποδεκτή.
Ας πάρουμε το παρακάτω παράδειγμα.
Μια ομογενής δοκός μάζας Μ=10kg και μήκους ℓ=4m ισορροπεί όπως στο σχήμα, δεμένη με νήμα, ενώ στηρίζεται στο έδαφος, σχηματίζοντας γωνία φ=60° με την οριζόντια διεύθυνση. Η δοκός παρουσιάζει με το έδαφος συντελεστές τριβής μs=μ=0,5.  Σε μια στιγμή κόβουμε το νήμα. Να βρεθούν η επιτάχυνση του κέντρου μάζας Ο και η γωνιακή επιτάχυνση της δοκού, αμέσως μετά το κόψιμο του νήματος.
Δίνεται για τη δοκό Icm=1/12 Mℓ2 και g=10m/s2.
(Η άσκηση ουσιαστικά είναι η ανάρτηση του Δημήτρη Αναγνώστου «Και τώρα κάτι διαφορετικό (ίσως και πρωτότυπο:-)!): Δοκός, ισορροπί...», την οποία ας χρησιμοποιήσουμε σαν βάση της παραπέρα συζήτησης).
Απάντηση:
Μόλις κοπεί το νήμα η δοκός θα κινηθεί. Το ερώτημα που ανακύπτει είναι αν θα ολισθήσει ή όχι το άκρον της Β, αμέσως μόλις κόψουμε το νήμα. Αυτό δεν είναι δεδομένο και γνωστό, οπότε είμαστε υποχρεωμένοι να δουλέψουμε ξεκινώντας με μια υπόθεση. Ποια;
Υπάρχουν δυο εναλλακτικοί τρόποι να προχωρήσουμε:
Η συνέχεια σε pdf.

Δευτέρα, 4 Μαρτίου 2013

Κατακόρυφη δύναμη σε σανίδα.


Μια ομογενής σανίδα μήκους 2m και μάζας 1kg ηρεμεί σε λείο οριζόντιο επίπεδο. Ασκούμε στο ένα της άκρο Α μια κατακόρυφη δύναμη F=2Ν και βλέπουμε ότι η σανίδα ισορροπεί.
i)   Να υπολογίσετε την δύναμη που ασκεί το επίπεδο στη σανίδα και τη ροπή της ως προς το μέσον Ο της σανίδας.
ii) Αυξάνουμε το μέτρο της δύναμης στην τιμή F=4Ν και η ράβδος συνεχίζει να ισορροπεί. Πόσο απέχει ο φορέας της αντίδρασης του επιπέδου από το μέσον Ο της ράβδου;
iii) Ποια είναι η μέγιστη τιμή της ασκούμενης δύναμης, χωρίς να αρχίσει να σηκώνεται η σανίδα;
iv) Αυξάνουμε το μέτρο της δύναμης στην τιμή F=6Ν. Να βρεθεί η αρχική επιτάχυνση του μέσου Ο της  και του άκρου Α της ράβδου.
v) Αν η δύναμη F παραμένει σταθερή, να υπολογιστεί η κινητική ενέργεια της σανίδας τη στιγμή που σχηματίζει γωνία θ=30ο με το επίπεδο.
vi) Να υπολογιστεί η ταχύτητα του μέσου Ο και του άκρου Β της σανίδας στην παραπάνω θέση.
Δίνεται g=10m/s2 και η ροπή αδράνειας της σανίδας ως προς κάθετο άξονα που περνά από το κέντρο μάζας της  Ιcm= ΜL2/12.
ή

Παρασκευή, 1 Μαρτίου 2013

Πιο γρήγορα, πιο σύντομα…

Δυο όμοιες ομογενείς ράβδοι  μήκους ℓ και μάζας m, μπορούν να στρέφονται σε κατακόρυφο επίπεδο, γύρω από οριζόντιο άξονα που περνά από το ένα τους άκρο. Στο άλλο άκρο της δεύτερης ράβδου, έχει προσδεθεί ένα μικρό σώμα, αμελητέων διαστάσεων, της ίδιας μάζας m, οπότε έτσι έχουμε δυο στερεά (1) και (2). Τα δυο στερεά ηρεμούν σε κατακόρυφη θέση, όπως στο σχήμα. Εκτρέπουμε τα στερεά φέρνοντάς τα σε οριζόντια θέση και σε μια στιγμή τα αφήνουμε ταυτόχρονα να κινηθούν.
i) Μεγαλύτερη γωνιακή επιτάχυνση θα αποκτήσει αμέσως μετά, το στερεό:
α)  (1)     β)  (2)     γ) θα αποκτήσουν ίσες γωνιακές επιταχύνσεις.
ii) Πρώτο θα φτάσει στην αρχική κατακόρυφη θέση ισορροπίας το στερεό:
α)  (1)     β)  (2)     γ) θα φτάσουν. ταυτόχρονα.
iii) Μεγαλύτερη κινητική ενέργεια θα αποκτήσει το στερεό:
α)  (1)     β)  (2)     γ) θα αποκτήσουν ίσες κινητικές ενέργειες.
iv) Μεγαλύτερη γωνιακή ταχύτητα θα αποκτήσει το στερεό:
α)  (1)     β)  (2)     γ) θα αποκτήσουν ίσες μέγιστες γωνιακές ταχύτητες.
Δίνεται η ροπή αδράνειας μιας ομογενούς ράβδου ως προς κάθετο άξονα που περνά από το μέσον της Ιcm=ml2/12.
ή