Σάββατο, 30 Νοεμβρίου 2013

Αν δίνεται η εξίσωση ενός εγκάρσιου αρμονικού κύματος

Ένα εγκάρσιο αρμονικό κύμα διαδίδεται κατά μήκος  ενός γραμμικού ελαστικού μέσου από αριστερά προς τα δεξιά, το οποίο περιγράφεται από τη μαθηματική εξίσωση:
y= 0,2∙ημ2π(t-2,5x+4,5)  με tϵR και  t ≥ 2,5x-4,5   μονάδες στο S.Ι.
i)   Να υπολογισθεί η ταχύτητα διάδοσης του κύματος.
ii)  Να βρεθεί  η φάση της απομάκρυνσης της ταλάντωσης του σημείου Ο, στη θέση x=0, σε συνάρτηση με το χρόνο και να γίνει η γραφική της παράσταση.
iii) Να βρεθεί η θέση μέχρι την οποία έχει διαδοθεί το κύμα στη στιγμή t1=1s.
iii) Να βρεθούν οι θέσεις των σημείων, τα οποία τη στιγμή t2=0 έχουν μέγιστη κατά μέτρο ταχύτητα ταλάντωσης, στην περιοχή -0,5m ≤ x ≤ 0,5 m.
iv) Να σχεδιάστε το στιγμιότυπο του κύματος τη χρονική στιγμή t1=1s.
Η κατεύθυνση προς τα δεξιά, αλλά και η απομάκρυνση προς τα πάνω, θεωρούνται θετικές.
ή


Παρασκευή, 29 Νοεμβρίου 2013

Ένα μονωμένο σύστημα και ολίγον από ΑΑΤ.

Σε λείο οριζόντιο επίπεδο (1) ηρεμούν δυο σώματα Σ1 και Σ2, με μάζες m1=1kg και m2=2kg αντίστοιχα, δεμένα στα άκρα ιδανικού ελατηρίου, σταθεράς k=50Ν/m και φυσικού μήκους ℓ0=0,7m. Μετακινούμε το Σ1, μέχρι το ελατήριο να αποκτήσει μήκος ℓ1=0,3m και σε μια στιγμή αφήνουμε τα σώματα να κινηθούν. Στο σώμα Σ2 έχει προσαρμοστεί ένα καρφάκι και μόλις περάσει στο οριζόντιο επίπεδο (2), όπου δεν είναι λείο, συγκρούεται με ένα ξύλινο σώμα Σ3, μάζας m3=4kg, το οποίο κινείται αντίθετα και το οποίο, τη στιγμή της κρούσης έχει ταχύτητα μέτρου υ3=0,5m/s. Κατά τη διάρκεια της κρούσης το καρφάκι καρφώνεται στο ξύλο, οπότε δημιουργείται συσσωμάτωμα, το οποίο έχει μηδενική ταχύτητα, αμέσως μετά την κρούση.
Δίνονται οι συντελεστές τριβής μεταξύ του επιπέδου (2) και του συσσωματώματος μ=μs=0,2, τα σώματα θεωρούνται υλικά σημεία αμελητέων διαστάσεων και g=10m/s2.
i)   Να υπολογιστούν τα μέτρα των ταχυτήτων των σωμάτων Σ1 και Σ2 ελάχιστα πριν την κρούση (να μην ληφθεί υπόψη η ανάπτυξη τριβής στο Σ2 κατά την είσοδό του στο (2) επίπεδο).
ii)  Ποια η απόσταση των σωμάτων Σ12 τη στιγμή της κρούσης;
iii)  Να υπολογιστεί η τριβή που θα ασκηθεί στο συσσωμάτωμα, αμέσως μετά την κρούση.
iii)  Να υπολογιστεί η ταχύτητα του Σ1, τη στιγμή που θα αρχίσει η ολίσθηση του συσσωματώματος.
ή



Δευτέρα, 25 Νοεμβρίου 2013

Από ένα στιγμιότυπο φάσεις και εξισώσεις κύματος.

Κατά μήκος ενός γραμμικού ελαστικού μέσου διαδίδεται ένα αρμονικό κύμα, από τα αριστερά προς τα δεξιά, με συχνότητα 0,5 Ηz και στο σχήμα βλέπετε ένα στιγμιότυπο  του κύματος, κάποια στιγμή t0. Δίνονται οι αποστάσεις (ΑΒ)=(ΒΓ)=(ΓΔ)=(ΔΕ)= d=1 m, ενώ η απόσταση μεταξύ των δύο ακραίων θέσεων της ταλάντωσης του σημείου Α είναι 0,4 m.
i) Να σχεδιάστε το στιγμιότυπο του κύματος μετά από χρονικό διάστημα 2,5 s.
ii) Να βρεθεί η φάση των σημείων Α, Β, Γ, Δ και Ε τη στιγμή t0, καθώς και τη χρονική στιγμή t0+2,5 s.
iii) Αν το παραπάνω στιγμιότυπο δείχνει την εικόνα του μέσου τη χρονική στιγμή t0=0, ενώ για να γράψουμε την εξίσωση του κύματος, ορίζουμε ως αρχή του άξονα (x=0) το σημείο Α, να βρεθεί η εξίσωση του κύματος.
iv) Ποια θα ήταν αντίστοιχα η εξίσωση του κύματος, αν αλλάζαμε την αρχή του άξονα και παίρναμε x=0, το σημείο Γ;
ή

Η ταλάντωση μιας μεμβράνης.

Όταν μπροστά από ένα μικρόφωνο πάλλεται μια ηχητική πηγή Π1, η μεμβράνη του μικροφώνου, μάζας 2g, εκτελεί ταλάντωση με εξίσωση απομάκρυνσης  x1=3∙ημ(20πt)  (mm). Αν ταυτόχρονα φέρουμε δίπλα και μια δεύτερη ηχητική πηγή Π2 και θέσουμε ταυτόχρονα σε λειτουργία και τις  δύο πηγές, τότε η μεμβράνη εκτελεί ταλάντωση με εξίσωση απομάκρυνσης x=4∙ ημ(20πt+3π/2)  (mm).
i)  Να βρεθεί η εξίσωση της απομάκρυνσης της μεμβράνης, αν αντί να πάλλονται και οι δύο, σιγήσει η πρώτη πηγή.
ii) Να υπολογιστεί η μέγιστη κινητική ενέργεια της μεμβράνης, όταν:
α) πάλλεται μόνο η πηγή Π1.
β) πάλλεται μόνο η πηγή Π2.
γ) πάλλονται και οι δύο πηγές.
iii) Να βρεθεί ο ρυθμός μεταβολής της κινητικής ενέργειας της μεμβράνης, στην περίπτωση που πάλλονται και οι δύο πηγές, τη χρονική στιγμή t1=1/30s.
ή


Παρασκευή, 22 Νοεμβρίου 2013

Μια περίεργη περιοδική κίνηση σαν σύνθεση ταλαντώσεων.

Ένα σώμα μάζας 0,5kg κινείται με εξίσωση κίνησης:
x= 0,1∙ημ(20πt+5π/3) +  0,1∙ημ(22πt)   (S.Ι.)
i) Να αποδείξετε ότι το σώμα εκτελεί μια περιοδική αλλά όχι αρμονική κίνηση, της οποίας να βρείτε τη συχνότητα.
ii) Να βρεθεί η χρονική στιγμή t1 που το «πλάτος» μηδενίζεται για πρώτη φορά, καθώς και η στιγμή t2 που μεγιστοποιείται επίσης για πρώτη φορά.
iii) Να βρεθεί η ταχύτητα του σώματος τη χρονική στιγμή t1=4/3s.
iv) Ποιος ο ρυθμός μεταβολής της κινητικής ενέργειας του σώματος την παραπάνω χρονική στιγμή;
Δίνεται π2≈10.
ή

Τετάρτη, 20 Νοεμβρίου 2013

Μια κίνηση και η μελέτη της σαν σύνθετη Ταλάντωση.

Ένα σώμα μάζας 0,2kg κινείται παλινδρομικά γύρω από μια θέση Ο και η εξίσωση κίνησής του είναι:
x= 0,5∙συν(20t) + 0,53∙ημ(20t)   μονάδες στο S.Ι.
όπου x η απομάκρυνση από το σημείο Ο.
i) Ν’ αποδειχθεί ότι η κίνηση του σώματος είναι αρμονική συνάρτηση του χρόνου.
ii) Να υπολογιστεί η ταχύτητα του σώματος τη χρονική στιγμή t1= π/12 s.
iii) Αν επιπλέον η κίνηση του σώματος είναι ΑΑΤ, να υπολογιστεί η ενέργεια ταλάντωσής του. Μπορεί η παραπάνω κίνηση να μην είναι ΑΑΤ, αλλά κάποια άλλη κίνηση; Εξηγείστε.
ή

Σάββατο, 16 Νοεμβρίου 2013

Απώλεια ενέργειας σε μια φθίνουσα ταλάντωση


Ένα ελατήριο σταθεράς k=40Ν/m  κρέμεται κατακόρυφα έχοντας φυσικό μήκος l0=0,5m. Δένουμε στο κάτω άκρο του ένα σώμα μάζας 2kg και το αφήνουμε να κινηθεί, οπότε αυτό εκτελεί φθίνουσα ταλάντωση, εξαιτίας της αντίστασης του αέρα. Σε μια στιγμή t1 το σώμα κινείται προς τα κάτω και το ελατήριο έχει μήκος l1=1,2m. Στη θέση αυτή το σώμα έχει ταχύτητα υ1= 2m/s ενώ επιβραδύνεται με ρυθμό 4,1m/s2. Να βρείτε:
i)  Την μηχανική ενέργεια που μετατράπηκε σε θερμική από 0-t1.
ii) Τη σταθερά απόσβεσης b.
iii) Την ενέργεια ταλάντωσης τη στιγμή t1.
iv) Τον ρυθμό με τον οποίο μειώνεται η ενέργεια ταλάντωσης τη στιγμή t1.
Θεωρείται γνωστό ότι για την ταλάντωση που θα επακολουθήσει D=k και g=10m/s2.
ή

Τετάρτη, 6 Νοεμβρίου 2013

Αμείωτη και φθίνουσα ηλεκτρική ταλάντωση.

Για το κύκλωμα του διπλανού σχήματος δίνονται ότι Ε=100V, C=80μF, το ιδανικό πηνίο έχει συντελεστή αυτεπαγωγής L=0,2Η, ενώ R=5Ω, και οι διακόπτες δ1, δ2 είναι κλειστοί για μεγάλο χρονικό διάστημα. Υπενθυμίζεται ότι κλειστός διακόπτης δ2 σημαίνει βραχυκυκλωμένη αντίσταση, άρα σαν να μην υπάρχει στο κύκλωμα.
i)  Πόση ενέργεια είναι αποθηκευμένη στο πηνίο και πόση στον πυκνωτή;
ii) Σε μια στιγμή που θεωρούμε t0=0, ανοίγουμε τον διακόπτη δ1.
α)  Εξηγείστε γιατί θα φορτιστεί ο πυκνωτής. Ποιος από τους οπλισμούς  του πυκνωτή θα αποκτήσει πρώτος θετικό φορτίο;
β)  Βρείτε την εξίσωση της έντασης του ρεύματος που διαρρέει το κύκλωμα σε συνάρτηση με το χρόνο, θεωρώντας θετική την αρχική ένταση.
iii)  Τη χρονική στιγμή t1=134π/3 ms ανοίγουμε και το διακόπτη δ2. Για αμέσως μετά το άνοιγμα του διακόπτη, να βρεθούν:
 α) Το φορτίο του πυκνωτή και η ένταση του ρεύματος που διαρρέει τον αντιστάτη.
 β) Ο ρυθμός μεταβολής της έντασης του ρεύματος που διαρρέει τον αντιστάτη με αντίσταση R1=10√3Ω.
 γ) Οι ρυθμοί μεταβολής των ενεργειών του πηνίου και του πυκνωτή.
ή