Τρίτη, 31 Δεκεμβρίου 2013

Φάσεις και γραφικές παραστάσεις στην επιφανειακή συμβολή.

Στην επιφάνεια ενός ηρεμούντος υγρού, τη στιγμή t0=0 τίθενται σε ταλάντωση ταυτόχρονα δυο πηγές με συχνότητα 1Ηz και με πλάτος 3mm, οπότε δημιουργούν κύματα τα οποία θεωρούμε ότι διαδίδονται με σταθερό πλάτος. Κάθε σημείο στο οποίο φτάνει ένα κύμα ξεκινά την ταλάντωσή του προς τα πάνω. Ένα σημείο Σ απέχει αποστάσεις 0,6m και 1,2m από τις πηγές και το πρώτο κύμα, φτάνει στο Σ τη στιγμή t1=3s.
i)  Να υπολογιστούν η ταχύτητα διάδοσης του κύματος και το μήκος του κύματος.
ii) Αφού βρεθούν οι εξισώσεις των δύο κυμάτων, να βρεθεί η εξίσωση της απομάκρυνσης της ταλάντωσης του σημείου Σ, μετά τη συμβολή των δύο κυμάτων.
iii) Να γίνουν οι γραφικές παραστάσεις:
 α) της απομάκρυνσης του σημείου Σ και
 β) της φάσης της απομάκρυνσης του Σ
μέχρι τη χρονική στιγμή t3=10s.
ή



Παρασκευή, 27 Δεκεμβρίου 2013

Μια λίγο διαφορετική συμβολή.

Στην επιφάνεια ενός ηρεμούντος υγρού, βρίσκονται δυο πηγές κυμάτων Α και Β, οι οποίες ηρεμούν. Σε μια στιγμή θέτουμε σε κατακόρυφη ταλάντωση την Α πηγή, με συχνότητα f=1Ηz, οπότε διαδίδεται στην επιφάνεια του υγρού ένα κύμα, το οποίο μετά από 3s φτάνει σε ένα σημείο Μ, που βρίσκεται στην μεσοκάθετη της απόστασης των δύο πηγών απέχοντας d=1,5m από τις πηγές, το οποίο ξεκινά την ταλάντωσή του κινούμενο με κατεύθυνση προς τα πάνω. Το πλάτος του κύματος μειώνεται καθώς απομακρυνόμαστε από την πηγή και μετρώντας βρήκαμε ότι το πλάτος ταλάντωσης του σημείου Μ είναι 4mm.
Σταματάμε την Α πηγή και θέτουμε σε παρόμοια ταλάντωση τη Β πηγή, οπότε εξαιτίας του νέου κύματος που δημιουργείται το σημείο Μ ταλαντώνεται με πλάτος  3mm και με συχνότητα 1Ηz.
i)   Να υπολογίστε την ταχύτητα διάδοσης του πρώτου κύματος και να κάνετε τη γραφική παράσταση της φάσης της απομάκρυνσης του Μ σε συνάρτηση με το χρόνο, όταν ταλαντώνεται μόνο η Α πηγή.
Κάποια στιγμή t0=0, θέτουμε την Α πηγή σε νέα ταλάντωση και τη στιγμή t1=1,5s θέτουμε σε ταλάντωση και τη πηγή Β. Και οι δυο πηγές ξεκινούν την ταλάντωσή τους κινούμενες αρχικά με φορά προς τα πάνω.
ii)  Να βρείτε την εξίσωση της απομάκρυνσης της ταλάντωσης του σημείου Μ, μετά τη συμβολή των δύο κυμάτων.
iii) Να κάνετε τις γραφικές παραστάσεις:
α) της φάσης της απομάκρυνσης του Μ και
β) της απομάκρυνσης της ταλάντωσης του σημείου Μ,
για όλο το χρόνο ταλάντωσής του και μέχρι τη στιγμή t2=6s
ή


Πέμπτη, 26 Δεκεμβρίου 2013

Αν δίνεται μια κυματομορφή σεμια περιοχή.

Στο σχήμα δίνεται μια περιοχή ενός γραμμικού ελαστικού μέσου κάποια στιγμή t0, όπου η ταχύτητα του σημείου Ο έχει τιμή υο=0,4π m/s.
i)  Η κυματομορφή αυτή αντιστοιχεί σε τρέχον ή στάσιμο κύμα και γιατί; Να σχεδιάστε τη στιγμή αυτή την ταχύτητα ταλάντωσης του σημείου Β.
ii)  Να υπολογιστεί η ταχύτητα διάδοσης ενός τρέχοντος κύματος κατά μήκος του παραπάνω μέσου.
iii) Να σχεδιάσετε τη μορφή της ίδιας περιοχής του μέσου τη χρονική στιγμή t0+0,75s.
iv)  Στην περίπτωση που τη στιγμή t0, οι ταχύτητες ταλάντωσης των σημείων Β και Ο είναι μηδενικές, να σχεδιάστε ξανά τη μορφή του μέσου τη στιγμή t0+0,75s.
ή

Σάββατο, 21 Δεκεμβρίου 2013

Αν δίνονται άλλες πληροφορίες για ένα εγκάρσιο αρμονικό κύμα.

Ένα εγκάρσιο αρμονικό κύμα διαδίδεται κατά μήκος  ενός γραμμικού ελαστικού μέσου, προς την θετική κατεύθυνση (από αριστερά προς τα δεξιά) και τη στιγμή t=0 φτάνει στο σημείο Κ στη θέση x=1,8m. Το σημείο Κ ξεκινά την ταλάντωσή κινούμενο προς τα πάνω (θετική φορά) και φτάνει στην ακραία θέση του, σε απόσταση 0,2m σε χρονικό διάστημα Δt=0,25m, ενώ στο μεταξύ το κύμα έχει διαδοθεί φτάνοντας στο σημείο Λ, όπου (ΚΛ)=0,1m.
i)   Να υπολογισθεί η ταχύτητα διάδοσης του κύματος, καθώς και η εξίσωση του κύματος.
ii)  Να βρεθεί  η φάση της απομάκρυνσης της ταλάντωσης του σημείου Ο, στη θέση x1=0, σε συνάρτηση με το χρόνο και να γίνει η γραφική της παράσταση.
iii) Να βρεθεί η θέση μέχρι την οποία έχει διαδοθεί το κύμα στη στιγμή t1=1s.
iii) Να βρεθούν οι θέσεις των σημείων, τα οποία τη στιγμή t2=0 έχουν μέγιστη κατά μέτρο ταχύτητα ταλάντωσης, στην περιοχή -0,5m x ≤ 0,5 m.
iv) Να σχεδιάστε το στιγμιότυπο του κύματος τη χρονική στιγμή t1=1s.
ή


Πέμπτη, 19 Δεκεμβρίου 2013

Μια εναλλακτική θεμελίωση των κυμάτων…

Τα κύματα δεν είναι η συνέχεια των ταλαντώσεων, όπως για διδακτικούς λόγους κάνουμε…
1.  Η διάδοση ενός παλμού.
Έστω ότι έχουμε ένα ελαστικό μέσο, π.χ. μια τεντωμένη οριζόντια χορδή. Εκτρέποντας το αριστερό άκρο της για ένα μικρό χρονικό διάστημα κατακόρυφα, μπορούμε να δημιουργήσουμε έναν παλμό, ο οποίος μπορούμε να τον δούμε να διαδίδεται κατά μήκος της χορδής. Τέτοιοι παλμοί φαίνονται στο παρακάτω σχήμα να διαδίδονται προς τα δεξιά πάνω στην χορδή.
Οι παλμοί αυτοί μπορούν να έχουν διάφορες μορφές, όπως π.χ. τριγωνικοί ή και αρμονικοί.
Ας πάρουμε τώρα ένα παλμό όπως στο διπλανό σχήμα, ο οποίος διαδίδεται προς τα δεξιά και στο σχήμα δίνονται δύο θέσεις του που διαφέρουν χρονικά κατά Δt = t2-t1.  Ορίζουμε την ταχύτητα διάδοσης του παλμού:
υ=s/Δt
Και αν θέλουμε να δώσουμε μια μαθηματική συνάρτηση για την διάδοση του παλμού αυτού; Αν θέλουμε δηλαδή μια κυματοσυνάρτηση  για να περιγράψουμε τόσο τη μορφή του παλμού, όσο και τη θέση του κάποια στιγμή, τι κάνουμε;

ή

Κυριακή, 15 Δεκεμβρίου 2013

Έχουμε διάδοση ενέργειας;

Κατά μήκος ενός γραμμικού ελαστικού μέσου κινούνται αντίθετα δύο όμοια κύματα, πλάτους Α, με ταχύτητες 1m/s και σε μια στιγμή t=0 έχουμε την εικόνα του παραπάνω σχήματος.
Α) Αν (ΑΜ)=(ΜΟ)=(ΟΝ)=(ΝΒ) να  εξετάσετε την ορθότητα των παρακάτω προτάσεων.
i)   Τη στιγμή t1=1s η απομάκρυνση του σημείου Μ είναι ίση με Α.
ii)  Τη στιγμή t2=1,5s η απομάκρυνση του σημείου Ο, είναι ίση με 2 Α.
iii) Μετά τη στιγμή t2=1,5s το σημείο Ν παραμένει διαρκώς ακίνητο.
iv) Το κύμα που κινείται προς τα αριστερά μεταφέρει με σταθερό ρυθμό ενέργεια στο τμήμα ΟΝ του μέσου.
Β) Να σχεδιάστε τη μορφή του μέσου τη χρονική στιγμή t3=2s. Πάνω στο σχήμα να σχεδιάστε τις ταχύτητες των σημείων του μέσου μεταξύ των θέσεων Α και Β.
ή

Παρασκευή, 13 Δεκεμβρίου 2013

Ένα normal!!! κύμα…

Κατά μήκος γραμμικού ομογενούς ελαστικού μέσου, το οποίο εκτείνεται στη διεύθυνση του άξονα x, διαδίδεται εγκάρσιο αρμονικό κύμα κατά τη θετική κατεύθυνση. Θεωρούμε αρχή του άξονα το σημείο Ο του ελαστικού μέσου το οποίο τη χρονική στιγμή t = 0 αρχίζει να εκτελεί αμείωτη αρμονική ταλάντωση με θετική ταχύτητα. Το πλάτος της ταλάντωσης είναι 0,1m, ενώ η μέγιστη επιτάχυνση των μορίων του μέσου είναι  0,25m/s2. Ένα σημείο B του ελαστικού μέσου που βρίσκεται  στη θέση x = 0,3 m τη χρονική στιγμή t = 8 s βρίσκεται για 2η φορά στη μέγιστη θετική απομάκρυνση.
Να βρεθούν:
i)  Το μήκος κύματος και την ταχύτητα διάδοσης του κύματος.
ii)  Την εξίσωση του κύματος.
iii)  Την ταχύτητα ταλάντωσης του σημείου B τη χρονική στιγμή t1 = 11/3 s.
iv)  Για πόσο χρόνο ταλαντώνεται μέχρι τη στιγμή t=8s, ένα σημείο Γ του θετικού ημιάξονα, που έχει απομάκρυνση από τη θέση ισορροπίας του -5 cm και ταχύτητα θετική για πρώτη φορά.
v)  Να παρασταθεί γραφικά η φάση του σημείου Δ για το χρονικό διάστημα 0 έως 12 s, αν γνωρίζουμε ότι το σημείο Δ έχει μικρότερη φάση από το σημείο Β κατά π/2 rad τη χρονική στιγμή t.
Δίνεται π2≈10.
ή

Δευτέρα, 9 Δεκεμβρίου 2013

Ταλάντωση ενός σημείου κατά την διάδοση κύματος.

.Στην άκρη Ο μιας ομογενούς χορδής βρίσκεται πηγή κύματος η οποία ταλαντώνεται σύμφωνα με την εξίσωση y= 0,1 ημ(4πt)  (μονάδες στο S.I.). Το εγκάρσιο κύμα που παράγεται διαδίδεται με ταχύτητα 2m/s. Ένα σημείο Σ απέχει 1,25m από το άκρο Ο.
i)  Να βρεθεί η φάση της απομάκρυνσης της ταλάντωσης που πραγματοποιεί το σημείο Σ, καθώς  και η ταχύτητά του τις χρονικές στιγμές:
   α) t1=0,5s και  β) t2= 1,5s
ii)  Βρείτε την κινητική ενέργεια και τη συνισταμένη δύναμη που ασκείται σε μια στοιχειώδη μάζα της χορδής 10-6kg, η οποία βρίσκεται στο Σ τη χρονική στιγμή t3=2s.
ή

Σάββατο, 7 Δεκεμβρίου 2013

Ένα κύμα οδεύει προς τ’ αριστερά.


Κατά μήκος ενός γραμμικού ελαστικού μέσου και από δεξιά προς τα αριστερά διαδίδεται ένα κύμα με ταχύτητα υ=2m/s. Το κύμα για t=0 φτάνει στο σημείο Ρ, στη θέση xΡ=2m, το οποίο ξεκινά την ταλάντωσή του κινούμενο προς την θετική κατεύθυνση (προς τα πάνω). Τη στιγμή t΄=0,375s το σημείο Ρ έχει μηδενική ταχύτητα, για δεύτερη φορά, ενώ έχει διανύσει απόσταση d=0,3m.
i)  Ποια η εξίσωση του κύματος;
ii) Να σχεδιάστε την μορφή του ελαστικού μέσου (στιγμιότυπο του κύματος), μέχρι τη θέση x2=3m τη χρονική στιγμή t2=1,5s.
ή

Τρίτη, 3 Δεκεμβρίου 2013

Και μια άλλη εξίσωση κύματος.

Ένα εγκάρσιο αρμονικό κύμα διαδίδεται κατά μήκος  ενός γραμμικού ελαστικού μέσου από αριστερά προς τα δεξιά, το οποίο περιγράφεται από τη μαθηματική εξίσωση:
y= 0,5∙ημ2π(t-x/2+7/4) με tϵR και  t ≥ 0,5x-1,25   μονάδες στο S.Ι.
i)   Να υπολογισθεί η ταχύτητα διάδοσης του κύματος.
ii)  Να βρεθεί  η φάση της απομάκρυνσης της ταλάντωσης του σημείου Ο, στη θέση x=0, σε συνάρτηση με το χρόνο και να γίνει η γραφική της παράσταση.
iii) Να βρεθεί η θέση μέχρι την οποία έχει διαδοθεί το κύμα στη στιγμή t1=1s.
iv) Να γίνει η γραφική παράσταση της απομάκρυνσης ενός σημείου Μ, στη θέση xΜ=1m, σε συνάρτηση με το χρόνο, μέχρι τη χρονική στιγμή t2=3s.
v) Να σχεδιάστε το στιγμιότυπο του κύματος τη χρονική στιγμή t1=1s.
Η κατεύθυνση προς τα δεξιά, αλλά και η απομάκρυνση προς τα πάνω, θεωρούνται θετικές.
ή