Πέμπτη, 27 Φεβρουαρίου 2014

Μια δοκός σε λείο οριζόντιο επίπεδο.

Σε ένα λείο οριζόντιο επίπεδο ηρεμεί μια ομογενής δοκός. Σε μια στιγμή ασκούμε πάνω της μια σταθερή οριζόντια δύναμη F, κάθετη στη δοκό και στο σχήμα φαίνονται τρεις διαφορετικές εκδοχές για το σημείο εφαρμογής της δύναμης.
i)   Να χαρακτηρίστε ως σωστές ή λανθασμένες τις παρακάτω προτάσεις:
α) Η ράβδος θα εκτελέσει σύνθετη κίνηση και στις τρεις περιπτώσεις.
β) Το μέσον Μ της δοκού θα αποκτήσει την ίδια επιτάχυνση και στις τρεις περιπτώσεις.
γ) Η επιτάχυνση του σημείου Α (στο (α) σχήμα), θα είναι μεγαλύτερη από την επιτάχυνση του σημείου Β (στο (β) σχήμα).
ii)  Επαναλαμβάνουμε το πείραμα, ασκώντας τώρα μια ίσου μέτρου (F1=F2) αντιπαράλληλη δύναμη στο μέσον Β της ΜΑ, όπως στο σχήμα.
α) Η δοκός θα εκτελέσει σύνθετη κίνηση
β) Το μέσον Μ θα παραμείνει ακίνητο.
γ)  Το άκρο Α θα αποκτήσει επιτάχυνση, με φορά ίδια με τη δύναμη που δέχεται.
iii) Προκειμένου να ισορροπήσει η παραπάνω ράβδος προτείνεται σε ένα σημείο της δοκού Γ, να ασκηθεί μια ακόμη οριζόντια δύναμη F3. Να εξετάσετε αν υπάρχει αυτή η δυνατότητα, και αν ναι, να βρεθεί η θέση του σημείου Γ.
iv) Στο διπλανό σχήμα, στη δοκό ασκούνται οι δυνάμεις F1, F2 και F3, όπου F1=F2=10Ν και F3= ½ F1 . Να εξετάσετε αν, ασκώντας μια ακόμη δύναμη F4 πάνω της, η δοκός μπορεί  να ισορροπήσει, και αν ναι, να βρεθούν τα χαρακτηριστικά της (μέτρο, κατεύθυνση και σημείο εφαρμογής της).
Απάντηση:
ή


Δευτέρα, 24 Φεβρουαρίου 2014

Ένας κύβος σε ημικυλινδρική κοίλη επιφάνεια.


Ένας κύβος ακμής 2α και μάζας m, τοποθετείται στο εσωτερικό μιας κοίλης ημικυλινδρικής επιφάνειας ακτίνας R=10α, σε τέτοια θέση, ώστε η ακτίνα που περνά από το κέντρο μάζας του, να σχηματίζει γωνία θ με την κατακόρυφη, όπου ημθ=0,6 και συνθ=0,8.
 i) Αν για το συντελεστή οριακής στατικής τριβής, μεταξύ κύβου και επιφάνειας ισχύει μs=0,5, τότε ο κύβος:
α) Θα ισορροπήσει.
β) Θα ανατραπεί.
γ) Θα ολισθήσει κατά μήκος της επιφάνειας.
δ) Θα ολισθήσει και ταυτόχρονα θα ανατραπεί.
ii) Αν τη στιγμή που η ακτίνα που περνά από το κέντρο μάζας Κ του κύβου, γίνεται κατακόρυφη, το μέτρο της ταχύτητας του Κ, είναι υ1=√gα/5, τότε η μηχανική ενέργεια που μετατρέπεται σε θερμική, κατά την κάθοδο του κύβου, είναι:
α) μικρότερη από 0,08mgα,   β) ίση με 0,08mgα     γ) μεγαλύτερη από 0,08mgα.
Να δικαιολογήσετε τις απαντήσεις σας.
Θεωρείστε την απόσταση του κέντρου Κ του κύβου από το κέντρο της τροχιάς Ο ίση με R-α=9α.
ή


Τετάρτη, 19 Φεβρουαρίου 2014

Η ράβδος γλιστράει…

Μια ομογενής δοκός ΑΒ μάζας 12kg και μήκους ℓ ισορροπεί όπως στο σχήμα, δεμένη στο άκρο κατακόρυφου νήματος, ενώ το άκρο της Β στηρίζεται στο έδαφος,  σχηματίζοντας με αυτό γωνία θ, όπου ημθ=0,8. Η δοκός εμφανίζει με το έδαφος συντελεστές τριβής μ=μs=0,2. Σε μια στιγμή κόβουμε το νήμα. Για τη στιγμή, αμέσως μετά το κόψιμο του νήματος να βρεθούν οι επιταχύνσεις του κέντρου μάζας Κ και του άκρου Α της δοκού.
Δίνεται g=10m/s2, ενώ η ροπή αδράνειας της δοκού ως προς κάθετο άξονα που περνά από το μέσον της Κ ισχύει  Ι= 1/12 Μℓ2.


Κυριακή, 16 Φεβρουαρίου 2014

Ισορροπία και επιτάχυνση μιας δοκού.

Μια ομογενής δοκός μάζας 12kg και μήκους ℓ ισορροπεί όπως στο σχήμα, δεμένη στο ένα της άκρο Α με την βοήθεια οριζόντιου νήματος, με κατακόρυφο τοίχο, ενώ στο άλλο της άκρο στηρίζεται στο οριζόντιο έδαφος, με το οποίο εμφανίζει συντελεστές τριβής μ=0,5 και  μs=0,6,  σχηματίζοντας με αυτό γωνία θ, όπου ημθ=0,8.
i)   Να υπολογιστούν οι δυνάμεις που ασκούνται από το νήμα και το έδαφος στη δοκό.
ii)  Σε μια στιγμή κόβουμε το νήμα. Για τη στιγμή, αμέσως μετά το κόψιμο του νήματος να βρεθούν οι επιταχύνσεις του κέντρου μάζας Κ και του άκρου Α της δοκού.
Δίνεται g=10m/s2, ενώ η ροπή αδράνειας της δοκού ως προς κάθετο άξονα που περνά από το μέσον της Κ ισχύει Ι= 1/12 Μℓ2.
ή

Σάββατο, 15 Φεβρουαρίου 2014

Μια κρεμασμένη δοκός.

Δύο ερωτήσεις Β΄ Θέματος που αναφέρονται στην ισορροπία και κίνηση μιας ράβδου.
1.  Στα παρακάτω σχήματα η ίδια ομογενής ράβδος ισορροπεί, δεμένη στο ένα της άκρο με νήμα.

Το επίπεδο στο οποίο στηρίζεται η ράβδος μπορεί να είναι λείο στα σχήματα:
i) Μόνο στο (α)  
ii) Μόνο στο (β).
iii) Μόνο στο (γ)
iv) Σε όλα τα σχήματα
v) Σε καμιά περίπτωση το επίπεδο δεν είναι λείο.
ή

Πέμπτη, 13 Φεβρουαρίου 2014

Μια σανίδα σε ημικυκλική τροχιά.


Μια ομογενής σανίδα μήκους 1m και μάζας 2kg, αφήνεται να κινηθεί από μια ορισμένη θέση ενός λείου κοίλου ημισφαιρίου, κατά μήκος της ημικυκλικής τροχιάς του σχήματος, κέντρου Ο και ακτίνας R=1m. Μετά από λίγο, η σανίδα γίνεται οριζόντια (δεξιό σχήμα). Τη στιγμή αυτή τα άκρα της Α και Β έχουν ταχύτητες ίσου μέτρου υ=2m/s.
Για την οριζόντια αυτή θέση ζητούνται:
i) Η ταχύτητα του μέσου Μ της σανίδας.
ii) Η κινητική της ενέργεια.
iii) Η στροφορμή της σανίδας, ως προς άξονα κάθετο στο επίπεδο της σελίδας, που περνά από το κέντρο Ο της τροχιάς.
Δίνεται η ροπή αδράνειας της σανίδας ως προς κάθετο άξονα, ο οποίος περνά από το κέντρο μάζας της Ιcm= Μℓ2/12
ή



Τρίτη, 11 Φεβρουαρίου 2014

Κύλινδρος και σκαλοπάτι.

Στο διπλανό σχήμα, ο κύλινδρος ακτίνας R, ισορροπεί ενώ δέχεται οριζόντια δύναμη F, ασκούμενη στο σημείο Α, όπου η ακτίνα ΟΑ σχηματίζει γωνία φ=60° με την κατακόρυφη. Το λείο σκαλοπάτι, ύψους h > R εμποδίζει την κίνηση του κυλίνδρου. Αν F= ½ w, όπου w το βάρος του κυλίνδρου:
i)  Να υπολογίστε την δύναμη που δέχεται ο κύλινδρος από το σκαλοπάτι.
ii)  Να αποδείξτε ότι ο κύλινδρος δέχεται τριβή από το οριζόντιο επίπεδο και στη συνέχεια να υπολογίστε την τιμή της.
iii) Ποιος ο ελάχιστος συντελεστής οριακής στατικής τριβής μεταξύ κυλίνδρου και οριζοντίου επιπέδου ώστε να εξασφαλίζεται η ισορροπία του κυλίνδρου;
iv) Αν σε μια στιγμή αυξήσουμε το μέτρο της ασκούμενης δύναμης στην τιμή F΄= ¾ w ενώ ο συντελεστής τριβής ολίσθησης μεταξύ κυλίνδρου και οριζοντίου επιπέδου, είναι ίσος με την ελάχιστη τιμή του συντελεστή οριακής τριβής του προηγούμενου ερωτήματος, να υπολογίσετε την αρχική γωνιακή επιτάχυνση που θα αποκτήσει ο κύλινδρος.
Εφαρμογή:  R=0,5m, g=10m/s2, ενώ για τον κύλινδρο ως προς τον άξονά του Ι= ½ ΜR2.
ή


Δευτέρα, 10 Φεβρουαρίου 2014

Ολίσθηση ή ανατροπή του κυλίνδρου;

Ένας ομογενής κύλινδρος μάζας Μ, ακτίνας βάσης R και ύψους h=4R ηρεμεί σε οριζόντιο επίπεδο, με το οποίο εμφανίζει συντελεστές τριβής μs=μ, όπου 0,3<μ<0,5.
Σε μια στιγμή δέχεται μια δύναμη F, μέτρου F=μΜg√2, η οποία ασκείται σε ένα σημείο Α της παράπλευρης επιφάνειάς του, το οποίο απέχει κατά R από την πάνω έδρα του και ο φορέας της περνά από το κέντρο μάζας του Ο.

  

i)  Ο κύλινδρος θα:
α) παραμείνει ακίνητο.
β) ολισθήσει χωρίς να ανατραπεί.
γ) ανατραπεί, χωρίς να ολισθήσει.
δ) θα ολισθήσει και θα ανατραπεί.
ii)  Στο σημείο Β της πάνω έδρας ασκούμε οριζόντια δύναμη F1, η οποία έχει την διεύθυνση της ακτίνας ΚΒ. Αν το μέτρο της ασκούμενης δύναμης αυξάνεται (ξεκινώντας από μηδενική τιμή), τι θα συμβεί πρώτα,  ολίσθηση του κυλίνδρου ή ανατροπή του;
ή

Κυριακή, 9 Φεβρουαρίου 2014

Μια ράβδος και ένας κύλινδρος σε ισορροπία.

Μια ομογενής ράβδος ΑΒ μήκους 4m και βάρους 400Ν, ισορροπεί σε επαφή με κύλινδρο, όπως στο σχήμα, όπου (ΑΓ)=1m, δεμένη στο άκρο της Α, με νήμα. Το νήμα σχηματίζει γωνία 90° με τη ράβδο, η οποία σχηματίζει γωνία θ, (ημθ=0,6) με την οριζόντια διεύθυνση. Ο κύλινδρος βρίσκεται πάνω σε οριζόντιο επίπεδο, σε επαφή με ένα λείο εμπόδιο ύψους h.
i)  Να υπολογίσετε την τάση του νήματος.
ii)  Να βρεθεί ο ελάχιστος συντελεστής οριακής στατικής τριβής μεταξύ ράβδου και κυλίνδρου για την παραπάνω ισορροπία.
iii) Να βρεθεί η τριβή που δέχεται ο κύλινδρος από το έδαφος.
iv)  Σε σημείο Δ, όπου (ΒΔ)=1m αφήνουμε τη στιγμή t0=0, ένα σώμα Σ μάζας 2kg, το οποίο θεωρούμε υλικό σημείο. Το σώμα ολισθαίνει κατά μήκος της ράβδου, χωρίς τριβές και εγκαταλείπει τη ράβδο από το άκρο Α. Να κάνετε τη γραφική παράσταση της τάσης του νήματος που συγκρατεί ακίνητη τη ράβδο, σε συνάρτηση με το χρόνο.
ή


Παρασκευή, 7 Φεβρουαρίου 2014

Μια ισορροπία ράβδου σε κύλινδρο που μπορεί και να στρέφεται.

Ο κύλινδρος του σχήματος μπορεί να στρέφεται γύρω από τον άξονά του, που ενώνει τα κέντρα των δύο βάσεών του ΟΟ΄ και είναι ακινητοποιημένος, μη επιτρέποντάς του την περιστροφή. Στηρίζουμε στον κύλινδρο μια ομογενή ράβδο (ΑΒ) μήκους 4m και μάζας Μ=30kg  στο σημείο Γ, όπου (ΑΓ)=1m ενώ το άλλο της άκρο Β ακουμπά σε λείο οριζόντιο επίπεδο, σχηματίζοντας γωνία θ=30°, με το επίπεδο. Η ράβδος εμφανίζει με τον κύλινδρο συντελεστές τριβής μ=μs=0,8 και αφήνοντάς την στη θέση αυτή, βλέπουμε ότι ισορροπεί.
i) Να υπολογιστούν οι δυνάμεις που δέχεται η ράβδος στα σημεία στήριξής της, Β και Γ.
ii) Να υπολογιστεί η τριβή που θα δεχτεί ο κύλινδρος από την ράβδο.
iii) Θέτουμε έναν όμοιο κύλινδρο σε περιστροφή με γωνιακή ταχύτητα κάθετη στο επίπεδο του σχήματος με φορά προς τον αναγνώστη. Στηρίζουμε ξανά τη ράβδο στον κύλινδρο σε τέτοια θέση, ώστε να πετύχουμε ξανά ισορροπία με το ίδιο σημείο επαφής Γ της ράβδου. Να βρεθεί η γωνία που πρέπει να σχηματίζει τώρα η ράβδος με το λείο οριζόντιο επίπεδο.
Δίνεται  g=10m/s2.
ή


Πέμπτη, 6 Φεβρουαρίου 2014

Μια δοκός κρέμεται από δυο νήματα.

Η ομογενής δοκός ΑΒ του σχήματος ισορροπεί όπως στο σχήμα, δεμένη με δυο κατακόρυφα νήματα, διαφορετικού μήκους.
i) Για τις δυνάμεις F1 και F2, που δέχεται η δοκός από τα δυο νήματα, ισχύει:
α) F1< F2,    β) F1= F2,     γ) F1> F2.
ii) Τοποθετούμε πάνω στη δοκό ένα σώμα Σ, το οποίο δεν κινείται. Ποιο από τα παρακάτω σχήματα δείχνει την μορφή των νημάτων, κατά την ισορροπία;


iii) Τοποθετούμε ένα άλλο σώμα πάνω στη δοκό, το οποίο αρχίζει να ολισθαίνει. Ποιο από τα παραπάνω σχήματα μπορεί να δείχνει τη μορφή των νημάτων στη διάρκεια της ολίσθησης;
ή



Τρίτη, 4 Φεβρουαρίου 2014

Οι ταχύτητες σημείων μιας σανίδας.

Μια ομογενής σανίδα μήκους ℓ=2m ηρεμεί σε λείο οριζόντιο επίπεδο. Μέσω ενός νήματος ασκούμε μια κατακόρυφη δύναμη στο άκρο Α της σανίδας, οπότε μετά από λίγο η σανίδα σχηματίζει γωνία 60° με το επίπεδο, όπως στο σχήμα, ενώ η ταχύτητα του μέσου Ο της σανίδας είναι κατακόρυφη με μέτρο υο= 2m/s.
i) Η κίνηση της σανίδας είναι:
α) μεταφορική,      β) στροφική,     γ) σύνθετη.
Να δικαιολογήσετε την απάντησή σας.
ii) Να βρεθούν οι ταχύτητες των άκρων Α και Β της ράβδου, στην παραπάνω θέση.
ή


Δευτέρα, 3 Φεβρουαρίου 2014

Οι ταχύτητες και οι επιταχύνσεις σε ένα σύστημα.

Στο σχήμα γύρω από έναν τροχό, ακτίνας R, ο οποίος κυλίεται χωρίς να ολισθαίνει σε οριζόντιο επίπεδο, έχουμε τυλίξει ένα νήμα, στο άλλο άκρο του οποίου έχουμε δέσει ένα σώμα Σ. Το νήμα που συνδέει τον τροχό με το σώμα Σ είναι οριζόντιο. Σε μια στιγμή το σώμα Σ έχει ταχύτητα υ1 και επιτάχυνση α1.
i) Η ταχύτητα του άξονα του τροχού, που περνά από το κέντρο του Ο, είναι:
α) ½ υ1,     β)  υ1,    γ) 2υ1.
ii) Ο τροχός έχει γωνιακή επιτάχυνση μέτρου:
α) αγων=0,   β) αγων= ½ α1/R,    γ) αγων= α1/R.
Να δικαιολογήσετε τις απαντήσεις σας.
ή




Σάββατο, 1 Φεβρουαρίου 2014

Ταχύτητες και επιταχύνσεις σημείων μιας ράβδου σε πτώση.

Μια ομογενής ράβδος ΑΒ μήκους ℓ=2m, πέφτει από κάποιο ύψος και σε μια στιγμή είναι οριζόντια. Στη θέση αυτή το κέντρο της Κ, έχει ταχύτητα μέτρου υ1=4m/s η οποία σχηματίζει γωνία θ=30° με την οριζόντια διεύθυνση, ενώ το άκρο Α έχει ταχύτητα μέτρου υ2=4√3 m/s σχηματίζοντας αντίστοιχα με την οριζόντια διεύθυνση γωνία φ=60°, όπως στο διπλανό σχήμα.
i)   Η κίνηση της ράβδου είναι απλή ή σύνθετη; Να δικαιολογήσετε την απάντησή σας.
ii)  Να βρεθεί η ταχύτητα του άκρου Β της ράβδου στην θέση αυτή.
iii)  Να υπολογίσετε την επιτάχυνσης του άκρου Α τη στιγμή που η ράβδος, αφού περιστραφεί κατά π/2, έρθει σε κατακόρυφη θέση.
Δίνεται g=10m/s2.
ή