Κυριακή, 30 Μαρτίου 2014

Μια κινούμενη τροχαλία.

Γύρω από μια τροχαλία μάζας Μ=0,8kg έχουμε τυλίξει ένα αβαρές νήμα, στο άκρο του οποίου έχουμε δέσει ένα σώμα Σ μάζας m=0,1kg. Συγκρατούμε τα δυο σώματα με τα χέρια μας, ώστε το νήμα να είναι τεντωμένο (χωρίς να ασκεί δυνάμεις στα σώματα) και σε μια στιγμή t0=0,  αφήνουμε το σώμα Σ να κινηθεί, ενώ συγκρατούμε σταθερή την τροχαλία. Τη στιγμή t1=1s αυξάνουμε το μέτρο της δύναμης στην τιμή F2=11Ν, μέχρι τη στιγμή t2 που η τροχαλία αποκτά ταχύτητα υ2=1m/s.
i) Να υπολογιστεί το μέτρο της δύναμης την οποία ασκούσαμε στην τροχαλία από 0-t1.
ii) Να βρεθεί η χρονική στιγμή t2.
iii) Να κάνετε τη γραφική παράσταση της ταχύτητας του σώματος Σ σε συνάρτηση με το χρόνο από 0-t2.
iv) Ποιες ενεργειακές μεταβολές εμφανίζονται στο χρονικό διάστημα Δt=t2-t1; Πώς συνδέονται οι μεταβολές αυτές με τα έργα των δυνάμεων που ασκούνται στα σώματα;
Για την τροχαλία ως προς τον άξονα περιστροφής της Ι= ½ ΜR2, ενώ g=10m/s2.
ή

Παρασκευή, 28 Μαρτίου 2014

Οι ενέργειες σε ένα σύστημα και σε έναν "τροχό".

Στην κορυφή ενός λείου κεκλιμένου επιπέδου έχει στερεωθεί μια τροχαλία μάζας m=3kg και ακτίνας R=0,2m, στο αυλάκι της οποίας έχουμε τυλίξει ένα αβαρές μη ελαστικό νήμα, στο άλλο άκρο του οποίου δένουμε έναν κύβο μάζας Μ=m. Σε μια στιγμή αφήνουμε ελεύθερο τον κύβο να γλιστρήσει από ένα σημείο Α. Το νήμα είναι παράλληλο στο κεκλιμένο επίπεδο, ενώ δίνεται η ροπή αδράνειας της τροχαλίας ως προς τον άξονά της Ι= ½ mR2 και g=10m/s2.
i)   Να βρεθεί η κινητική ενέργεια του κύβου και της τροχαλίας, τη στιγμή που  ο κύβος περνά από σημείο Β, τέτοιο ώστε το κέντρο μάζας του να απέχει κατακόρυφα κατά h=2m από τη θέση Α.
ii)  Επαναλάβουμε το πείραμα, αντικαθιστώντας τον κύβο με κύλινδρο ίσης μάζας, όπου το νήμα, με κατάλληλο μηχανισμό, συνδέεται στον άξονά του. Να εξετάσετε αν υπάρξει κάποια αλλαγή, στην κίνηση των σωμάτων.

ii) Σε ένα άλλο κεκλιμένο επίπεδο ίδιας κλίσης, αφήνουμε ελεύθερη την παραπάνω τροχαλία (μόνο το δίσκο), η οποία κυλίεται και μετά από λίγο περνά από ένα σημείο Β, τέτοιο ώστε το κέντρο μάζας της να βρίσκεται 2m χαμηλότερα από την αρχική θέση που ξεκίνησε. Να βρεθεί η κινητική της ενέργεια στη θέση Β. Ποιο μέρος της ενέργειας αυτής αντιστοιχεί στην μεταφορική και ποιο στην περιστροφική της κίνηση;

ή



Τετάρτη, 26 Μαρτίου 2014

Ολίσθηση κύβου και περιστροφή τροχαλίας.

Στην κορυφή ενός κεκλιμένου επιπέδου έχει στερεωθεί μια τροχαλία μάζας m=2kg και ακτίνας R=0,2m, στο αυλάκι της οποίας έχουμε τυλίξει ένα αβαρές μη ελαστικό νήμα, στο άλλο άκρο του οποίου δένουμε έναν κύβο μάζας Μ=4kg, ο οποίος παρουσιάζει με το επίπεδο συντελεστή τριβής μ=0,25. Σε μια στιγμή αφήνουμε ελεύθερο τον κύβο να γλιστρήσει. Αν το νήμα είναι παράλληλο στο κεκλιμένο επίπεδο, η κλίση του οποίου είναι θ, όπου ημθ=0,6 και g=10m/s2, να βρεθούν:
i)  Η επιτάχυνση με την οποία θα κινηθεί ο κύβος.
ii) Η γωνιακή ταχύτητα της τροχαλίας, τη στιγμή που θα έχει ξετυλιχθεί νήμα μήκους 1,25m.
iii) Ο ρυθμός μεταβολής της κινητικής ενέργειας κύβου και τροχαλίας την παραπάνω χρονική  στιγμή.
iv) Το ποσοστό της αρχικής δυναμικής ενέργειας του κύβου, που μεταφέρεται στην τροχαλία μέχρι τη στιγμή που ο κύβος φτάνει στο έδαφος.
Δίνεται η ροπή αδράνειας της τροχαλίας ως προς τον άξονά της Ι= ½ mR2.
ή



Τρίτη, 25 Μαρτίου 2014

Η στροφορμή σε ένα σύστημα σωμάτων.

Κάτοψη
Σε ένα λείο οριζόντιο επίπεδο κινούνται, αφενός ένας δίσκος μάζας Μ=10kg και ακτίνας R=0,4m ο οποίος έχει ταχύτητα υ1=1m/s και γωνιακή ταχύτητα ω1=1rad/s, κατακόρυφη με φορά προς τα κάτω, αφετέρου μια ομογενής ράβδος μήκους ℓ=2m μάζας m=3kg, η οποία δέχεται μια σταθερή οριζόντια δύναμη F=10Ν στη διεύθυνση της ταχύτητας του δίσκου. Σε μια στιγμή τα σώματα συγκρούονται ελαστικά. Τη στιγμή της κρούσης (δεύτερο σχήμα) η ράβδος έχει ταχύτητα κέντρου μάζας υcm2=1m/s κάθετη στην ταχύτητα υ1 και γωνιακή ταχύτητα ω2=2rαd/s, κατακόρυφη με φορά προς τα πάνω, ενώ και το σημείο σύγκρουσης Α απέχει 0,5m από το μέσον Κ της ράβδου.
Α) Ποια η συνολική στροφορμή του συστήματος ελάχιστα πριν την κρούση;
Β) Για τη στιγμή ελάχιστα πριν την κρούση και για το σύστημα των δύο σωμάτων να βρεθούν:
 i) Η συνολική στροφορμή ως προς το κέντρο Ο του δίσκου.
 ii) Η συνολική στροφορμή ως προς το μέσον Κ της ράβδου.
iii) Η συνολική στροφορμή ως προς το σημείο κρούσης Α.
iv) Η συνολική στροφορμή ως προς το σημείο Β το οποίο απέχει κατά 1,5m από το κέντρο του δίσκου και κατά 0,4m από τη ράβδο.
v) Ο ρυθμός μεταβολής της στροφορμής του συστήματος ως προς το σημείο Β.
Γ) Αν στη διάρκεια της κρούσης  δεν αναπτύσσονται δυνάμεις τριβής μεταξύ των δύο σωμάτων ενώ η ώθηση της δύναμης F θεωρηθεί αμελητέα, να υπολογιστούν οι ταχύτητες των κέντρων μάζας και οι γωνιακές ταχύτητες των δύο στερεών, αμέσως μετά την κρούση.
Δίνονται οι ροπές αδράνειας ως προς κατακόρυφους άξονας που περνάνε από το κέντρο μάζας κάθε στερεού Ι1= ½ ΜR2 και Ι2= 1/12 Μℓ2.
ή




Κυριακή, 23 Μαρτίου 2014

Και αν ο τροχός ολισθαίνει….

Ο τροχός του σχήματος, μάζας 20kg και ακτίνας R=0,4m, ηρεμεί σε οριζόντιο επίπεδο, με το οποίο εμφανίζει τριβή, με συντελεστές τριβής μs=μ=0,1. Γύρω του έχουμε τυλίξει ένα αβαρές με μη  εκτατό νήμα, το άλλο άκρο του οποίου είναι δεμένο σε κατακόρυφο τοίχο σε τέτοια θέση, ώστε το νήμα να είναι οριζόντιο.
Σε μια στιγμή t0=0, ασκούμε στο κέντρο του τροχού μια οριζόντια δύναμη F, το μέτρο της οποίας αυξάνεται σε συνάρτηση με το χρόνο σύμφωνα με τη σχέση F=20+2t ( μονάδες στο S.Ι.), όπως στο σχήμα.
i)  Να βρεθεί ποια χρονική στιγμή ο τροχός θα κινηθεί.
ii)  Να γίνει η γραφική παράσταση της τάσης του νήματος σε συνάρτηση με το χρόνο, μέχρι τη στιγμή t2 που η ταχύτητα του κέντρου μάζας πάρει τιμή υcm=10/3 m/s.
iii) Για τη στιγμή t2 να βρεθεί η ισχύς κάθε δύναμης που ασκείται στον τροχό, καθώς και ο ρυθμός μεταβολής της κινητικής του ενέργειας.
Δίνεται η ροπή αδράνειας του τροχού ως προς τον άξονα περιστροφής του που περνά από το Ο Ιcm= ½ ΜR2 και g=10m/s2.
ή

Τετάρτη, 19 Μαρτίου 2014

Στροφορμή. Μερικές όψεις…

Ένα φυλλάδιο θεωρίας και μερικών εφαρμογών.

Με βάση το σχολικό μας βιβλίο, ορίζουμε τη στροφορμή ενός υλικού σημείου το οποίο εκτελεί κυκλική κίνηση κέντρου  Ο,  το διάνυσμα L το οποίο είναι κάθετο στο επίπεδο της κυκλικής τροχιάς, στο κέντρο Ο και έχει μέτρο L=mυr, ενώ η φορά της προσδιορίζεται με τον κανόνα του δεξιού χεριού.
Αλλά η παραπάνω τοποθέτηση, αφήνει στο μυαλό του μαθητή την αντίληψη ότι για έχει ένα υλικό σημείο στροφορμή, θα πρέπει να εκτελεί κυκλική κίνηση, πράγμα που προφανώς δεν είναι σωστό. Αρκεί να δούμε την περίπτωση του παρακάτω σχήματος:
κάτοψη
Το υλικό σημείο μάζας m διαγράφει την οριζόντια κυκλική τροχιά του σχήματος και τη στιγμή που διέρχεται από το σημείο Α, το νήμα κόβεται. Τι θα κάνει; Προφανώς θα κινηθεί ευθύγραμμα.
Πόση είναι η στροφορμή του ως προς το σημείο Ο, ελάχιστα πριν κοπεί το νήμα και πόση αμέσως μετά; Πόση είναι η στροφορμή του ως προς το σημείο Ο, τη στιγμή που περνά από το σημείο Β;
Ασκήθηκε κάποια ροπή στο σώμα που του άλλαξε τη στροφορμή στη θέση Α; Προφανώς όχι.
Οπότε αν, πριν κοπεί το νήμα το υλικό σημείο έχει στροφορμή ως προς το σημείο Ο, κάθετη στο επίπεδο του σχήματος με φορά προς τον αναγνώστη και μέτρο L=mυr, τότε και μετά το κόψιμο του νήματος και στη θέση Β, θα έχει την ίδια στροφορμή.
Αλλά τότε θα ήταν πολύ προτιμότερο, να ορίζαμε τη στροφορμή υλικού σημείου ως προς σημείο Ο, με βάση το διπλανό σχήμα, ως το διάνυσμα το κάθετο στο επίπεδο που ορίζουν το σημείο Ο και ο φορέας της ταχύτητας (ευθεία ε) και r η απόσταση του Ο από την (ε).

Αλλά πέρα από ορισμούς και συμβάσεις, ας εξετάσουμε και δυο περιπτώσεις για δούμε πόσο κατανοούμε την αναγκαιότητα «ανοίγματος» του ορισμού του βιβλίου μας.
Στο παρακάτω σχήμα το υλικό σημείο (1) εκτελεί κυκλική κίνηση κέντρου Ο, ενώ το (2) κινείται ευθύγραμμα από τη θέση Α μέχρι τη θέση Β.
Για έναν παρατηρητή στο Ο και τα δυο υλικά σημεία στρέφονται γύρω από το Ο,  αφού θα πρέπει να «στρίψει» το πρόσωπό του, για να παρακολουθήσει, τόσο την μετακίνηση του κινητού (1) όσο και του κινητού (2).
Αλλά ας έρθουμε τώρα σε μια ράβδο (ένα στερεό) που εκτελεί μεταφορική κίνηση, κινούμενο ευθύγραμμα όπως στο σχήμα.
Για ένα παρατηρητή που βρίσκεται στο σημείο Ο «βλέπει» τη ράβδο να «στρέφεται» κατά γωνία θ παρότι αυτή δεν αλλάζει προσανατολισμό, οπότε υπολογίζει στροφορμή οφειλόμενη στη μεταφορική κίνηση με μέτρο Lο=Μυcm∙d. Αντίθετα για έναν παρατηρητή Κ στον φορέα της ταχύτητας, δεν υπάρχει καμιά «στροφή» συνεπώς η στροφορμή είναι μηδενική.
ή

Δευτέρα, 17 Μαρτίου 2014

Ένας «οδοστρωτήρας» σε κεκλιμένο επίπεδο.


Διαθέτουμε ένα ομογενή κύλινδρο μάζας m=20kg και ακτίνας R=0,5m, τον οποίο προσαρμόζουμε σε ένα δοκάρι, μάζας Μ=40kg και μήκους ℓ= 1m, στο οποίο έχουμε δημιουργήσει μια εγκοπή, όπως στο σχήμα:

Έτσι κατασκευάζουμε έναν «οδοστρωτήρα» τον οποίο τοποθετούμε σε ένα κεκλιμένο επίπεδο, με γωνία κλίσεως θ=30ο.
Το κέντρο μάζας Κ της δοκού απέχει από το άκρο Α απόσταση (ΑΚ)=0,3m. Αφήνουμε ελεύθερο το σύστημα, το οποίο αρχίζει να κινείται προς τα κάτω με τον κύλινδρο να κυλίεται και να διανύει απόσταση 2m σε χρονικό διάστημα 2s.
Δίνονται η ροπή αδράνειας του κυλίνδρου ως προς τον άξονα περιστροφής του Ι= ½ mR2, g=10m/s2 ενώ να θεωρείστε ότι ημθ=0,5 και συνθ=0,87.
i) Να υπολογίσετε την επιτάχυνση του άξονα του κυλίνδρου, καθώς και την γωνιακή του επιτάχυνση.
ii) Να υπολογίσετε την τριβή που θα ασκηθεί στη δοκό, στο άκρο της Α.
iii) Να βρεθεί η δύναμη που δέχεται η δοκός από τον άξονα του κυλίνδρου στο άκρο της Ο.
iv) Ποιο στερεό, ο κύλινδρος ή η δοκός συνεισφέρει περισσότερο στο «στρώσιμο» του δρόμου;


Πέμπτη, 13 Μαρτίου 2014

Ένας κύλινδρος πάνω σε μια δοκό.

Η ομογενής δοκός ΑΔ μήκους 4m και μάζας Μ=13kg, ισορροπεί σε οριζόντια θέση, δεμένη στο άκρο κατακόρυφου νήματος στο άκρο της Α, ενώ στηρίζεται σε τρίποδο στο σημείο Γ, όπου (ΓΔ)=1m, ενώ πάνω  της ηρεμεί ένας κύλινδρος ακτίνας R=0,25m και μάζας m=10kg, σε σημείο Β, όπου (ΑΒ)=1m.
Σε μια στιγμή t0=0 ασκούμε στο κέντρο του κυλίνδρου οριζόντια σταθερή δύναμη F, με αποτέλεσμα ο κύλινδρος να κυλίσει και να εγκαταλείψει τη δοκό από το άκρο της Δ τη χρονική στιγμή t1=2s, οπότε και παύει να ασκείται η δύναμη F. Στη διάρκεια της παραπάνω κίνησης η δοκός παραμένει ακίνητη.
i)    Να υπολογιστεί το μέτρο της ασκούμενης δύναμης F.
ii)   Να βρεθεί ο συνολικός αριθμός των περιστροφών του κυλίνδρου μέχρι τη στιγμή που φτάνει στο έδαφος, αν το ύψος που βρίσκεται η δοκός είναι h=2m.
iii)  Να κάνετε τη γραφική παράσταση της τάσης του νήματος σε συνάρτηση με το χρόνο.
iv)  Ποιος ο ελάχιστος συντελεστής οριακής τριβής μεταξύ τριπόδου και δοκού για την ισορροπία της δοκού;
Δίνεται για τον κύλινδρο Ι= ½ mR2, ως προς τον άξονα περιστροφής του, ενώ g=10m/s2.


Απάντηση:
ή

Τρίτη, 11 Μαρτίου 2014

Ο τροχός και το τυλιγμένο νήμα.


Ο τροχός του σχήματος, μάζας 20kg και ακτίνας R=0,4m, ηρεμεί σε λείο οριζόντιο επίπεδο, ενώ γύρω του έχουμε τυλίξει ένα αβαρές με μη  εκτατό νήμα, το άλλο άκρο του οποίου είναι δεμένο σε κατακόρυφο τοίχο σε τέτοια θέση, ώστε το νήμα να είναι οριζόντιο.
Σε μια στιγμή t0=0, ασκούμε στο κέντρο του τροχού μια σταθερή οριζόντια δύναμη F=12Ν.
i)  Να βρεθεί η επιτάχυνση του κέντρου μάζας του τροχού καθώς και η γωνιακή του επιτάχυνση.
ii)  Να υπολογιστεί η επιτάχυνση των σημείων επαφής του τροχού με το έδαφος (στην εικόνα του σημείου Α) τη χρονική στιγμή t1=2s.
iii) Αν το επίπεδο δεν ήταν λείο, αλλά ο συντελεστής τριβής ολίσθησης μεταξύ τροχού και εδάφους ήταν μ=0,2, να βρεθεί η τάση του νήματος μετά την εξάσκηση της δύναμης F.
Δίνεται η ροπή αδράνειας του τροχού ως προς τον άξονα περιστροφής του που περνά από το Ο Ιcm= ½ ΜR2 και g=10m/s2.
ή



Παρασκευή, 7 Μαρτίου 2014

Η ράβδος, ο άξονας και το ζεύγος δυνάμεων.

Σε λείο οριζόντιο επίπεδο ηρεμεί μια λεπτή ομογενής ράβδος ΑΒ, μήκους ℓ=4m και μάζας Μ=10kg, η οποία μπορεί να περιστρέφεται χωρίς τριβές γύρω από κατακόρυφο άξονα z, ο οποίος περνά από ένα σημείο της Ο, όπου (ΟΒ)=1m. Σε μια στιγμή t0=0 ασκούνται πάνω της δυο δυνάμεις F1 και F2, σταθερού μέτρου F1=F2= 10π Ν οι οποίες είναι διαρκώς κάθετες στη ράβδο, όπου η πρώτη ασκείται στο άκρο της Α, ενώ η δεύτερη σε σημείο Γ, όπου (ΑΓ)=1m, όπως στο σχήμα (δεξιά σε κάτοψη).

i)  Να υπολογιστεί η γωνιακή επιτάχυνση που θα αποκτήσει η ράβδος.
ii) Κατά ποια γωνία έχει περιστραφεί η ράβδος και ποια η γωνιακή της ταχύτητα τη χρονική στιγμή  t1=√14 s≈ 3,7s.
iii) Ποια δύναμη (μέτρο και κατεύθυνση) ασκεί στη ράβδο ο άξονας z τη στιγμή t1;
iv) Τη στιγμή t1 ο άξονας σπάει και η ράβδος μπορεί πλέον να κινείται ελεύθερα. Να βρεθεί η θέση της και η γωνιακή της ταχύτητα τη χρονική στιγμή t2=5,7s.
Δίνεται η ροπή αδράνειας της ράβδου ως προς κάθετο άξονα που περνά από το μέσον της Κ, 
Ι= Μℓ2/12.



Πέμπτη, 6 Μαρτίου 2014

Οι κινήσεις πάνε και έρχονται….

Διαθέτουμε ένα στερεό Σ (ένα καρούλι), αποτελούμενο από δυο δίσκους οι οποίοι συνδέονται με κύλινδρο, γύρω από τον οποίο έχουμε τυλίξει ένα αβαρές νήμα. Η μάζα του Σ είναι Μ=20kg και η εξωτερική του ακτίνα R=0,4m. Τοποθετούμε το στερεό Σ λείο οριζόντιο επίπεδο και σε μια στιγμή ασκούμε στο κέντρο μάζας του Ο μια σταθερή οριζόντια  δύναμη F1=20Ν, ενώ ταυτόχρονα τραβάμε το άκρο Α του νήματος ασκώντας διαρκώς μια σταθερή κατακόρυφη δύναμη F2=16Ν, όπως στο σχήμα.
Μετά από λίγο ο άξονας του στερεού (που διέρχεται από το κέντρο Ο) έχει μετατοπισθεί κατά x=2m, ενώ έχει ξετυλιχθεί νήμα μήκους 0,25m. Για την θέση αυτή ζητούνται:
i) Η ταχύτητα του κέντρου μάζας του στερεού Σ.
ii) Η γωνιακή του ταχύτητα.
iii) Η ταχύτητα ενός σημείου Β, επαφής του στερεού με το έδαφος.
Δίνεται η ροπή αδράνειας του στερεού γύρω από τον άξονα περιστροφής του Ι= 0,4ΜR2.


Δευτέρα, 3 Μαρτίου 2014

Προκαλώντας την τριβή να εμφανιστεί …..

Μια ομογενής σφαίρα μάζας Μ=20kg και ακτίνας R=0,4m ηρεμεί σε επαφή με λείο κατακόρυφο τοίχο. Η σφαίρα παρουσιάζει με το έδαφος συντελεστές τριβής μ=μs=0,2 και σε μια στιγμή δέχεται μια δύναμη F, μέτρου 100Ν η οποία σχηματίζει με την οριζόντια διεύθυνση γωνία θ, όπου ημθ=0,6 και συνθ=0,8 και με κατεύθυνση προς το κέντρο Ο της σφαίρας, όπως στο σχήμα.
i) Ποια πρόταση είναι σωστή:
α)  Η σφαίρα δέχεται δύναμη τριβής με φορά προς τα αριστερά.
β)  Η σφαίρα δέχεται δύναμη τριβής με φορά προς τα δεξιά.
γ)  Η τριβή που ασκείται στη σφαίρα είναι στατική, η οποία μπορεί να μετατραπεί σε τριβή ολίσθησης, αν αυξηθεί το μέτρο της ασκούμενης δύναμης.
δ) Η σφαίρα δεν δέχεται δύναμη τριβής από το έδαφος.
Να δικαιολογήσετε την απάντησή σας.
ii) Να βρείτε τις δυνάμεις που δέχεται η σφαίρα από τον τοίχο και το έδαφος.
iii) Αλλάζουμε την ασκούμενη δύναμη, ασκώντας τώρα την δύναμη F1, μέτρου επίσης F1= 100Ν η οποία κατευθύνεται στο σημείο επαφής Α της σφαίρας με το έδαφος, όπως στο σχήμα. Να υπολογίσετε την τριβή που θα ασκηθεί στη σφαίρα.
iv) Απομακρύνουμε τη σφαίρα ώστε να μην εφάπτεται του τοίχου και στη συνέχεια της ασκούμε ξανά την παραπάνω δύναμη F, όπως στο πρώτο σχήμα. Να υπολογιστεί η τριβή που ασκείται τώρα στη σφαίρα, βρίσκοντας την επιτάχυνση του κέντρου της Ο, καθώς και τη γωνιακή επιτάχυνση που θα αποκτήσει.

Δίνεται g=10m/s2 και η ροπή αδράνειας της σφαίρας ως προς μια διάμετρό της Ι=2/5R2.