Σάββατο, 28 Νοεμβρίου 2015

Η ροή στο στένωμα του σωλήνα.

Ένας οριζόντιος κυλινδρικός σωλήνας ακτίνας R1=8cm κάποια στιγμή παρουσιάζει ένα στένωμα (σχήματος κόλουρου κώνου), μήκους d=0,4m, καταλήγοντας σε δεύτερο κυλινδρικό σωλήνα ακτίνας R2=4cm. Στο σύστημα έχουμε μια μόνιμη και στρωτή ροή, όπου η ταχύτητα ροής στο σημείο Α είναι υ1=0,9m/s ενώ η πίεση p1=8.000Ν/m2.
i)  Να υπολογιστεί η ταχύτητα ροής καθώς και η πίεση στο σημείο Β του στενού σωλήνα.
ii) Ένα σημείο Γ, βρίσκεται στον άξονα των δύο σωλήνων, στο μέσον του στενώματος, απέχοντας κατά x=0,2m από το τέλος του φαρδιού σωλήνα.
α) Να υπολογισθεί η ταχύτητα ροής στο σημείο Γ.
β) Να βρεθεί η μεταβολή της κινητικής ενέργειας μιας μικρής ποσότητας ρευστού, όγκου 0,2cm3 κατά την μετακίνησή της, από το σημείο Α στο Γ.
γ) Ποια η τιμή της πίεσης στο σημείο Γ;
Το ρευστό θεωρείται ασυμπίεστο και ιδανικό, έχοντας πυκνότητα ρ=1.000kg/m3.
ή



Πέμπτη, 26 Νοεμβρίου 2015

Παίζοντας με μια σύριγγα.

Έχουμε γεμίσει μια κατακόρυφη σύριγγα με νερό, κλείνοντάς την στο κάτω μέρος με έμβολο εμβαδού Α=1cm2 και βάρους 0,2Ν, το οποίο δεν παρουσιάζει τριβές με τα τοιχώματα. Το ύψος της στήλης του νερού είναι h=10cm.
i)  Να υπολογιστεί η απαραίτητη δύναμη F που πρέπει να ασκούμε στο έμβολο για την ισορροπία του.
ii) Κλείνουμε με το δάκτυλο το άνω άνοιγμα της σύριγγας, διατομής ίσης με το 1/5 της διατομής του κύριου σωλήνα και αυξάνουμε την τιμή της δύναμης σε F1=2,2Ν. Πόση δύναμη πρέπει να ασκούμε με το δάκτυλο στο άνοιγμα για να μην έχουμε διαρροή νερού και ποια η πίεση στην πάνω επιφάνεια του εμβόλου;
iii) Κάποια στιγμή (t=0) τραβάμε το δάκτυλο και μεταβάλλοντας κατάλληλα την ασκούμενη δύναμη F στο έμβολο, πετυχαίνουμε το έμβολο να κινείται με σταθερή u=0,1m/s. Με τον τρόπο αυτό το νερό εκτινάσσεται κατακόρυφα προς τα πάνω.
α) Σε πόσο ύψος πάνω από την σύριγγα  θα φτάσει το νερό, αν αγνοήσουμε την αντίσταση του αέρα;

β) Να βρεθεί η πίεση στην πάνω πλευρά του εμβόλου σε συνάρτηση με το χρόνο.
Δίνεται η ατμοσφαιρική πίεση pατ=105Ν/m2, η πυκνότητα του νερού ρ=1.000kg/m3 και η επιτάχυνση της βαρύτητας g=10m/s2. Με το τράβηγμα του δακτύλου, να θεωρείστε ότι αποκαθίσταται, σχεδόν άμεσα, μόνιμη και στρωτή ροή, χωρίς εσωτερικές τριβές ή τριβές του νερού με τα τοιχώματα, ενώ καθ' όλη τη διάρκεια του πειράματος η σύριγγα συγκρατείται σε σταθερή θέση.
ή






Κυριακή, 22 Νοεμβρίου 2015

Μια στρωτή ροή.

Σε ένα οριζόντιο σωλήνα σταθερής διατομής 100cm2 έχουμε μια στρωτή ροή νερού. Σε δύο σημεία Β και Γ, τα οποία απέχουν οριζόντια απόσταση x=4m, συνδέονται δυο λεπτοί κατακόρυφοι σωλήνες, στους οποίους το νερό ανέρχεται σε ύψη h1=40cm και h2=39,6cm αντίστοιχα, όπως στο διπλανό σχήμα. Κάποια στιγμή, την οποία θεωρούμε t=0, η παροχή του σωλήνα, είναι Π0=0,2L/s.
i) Να βρεθούν οι ταχύτητες ροής στα σημεία Β και Γ τη στιγμή t=0.
ii) Να υπολογιστούν οι τιμές της πίεσης στα σημεία Β και Γ, καθώς και η διαφορά πίεσης μεταξύ τους.
iii) Να βρεθεί η επιτάχυνση της ποσότητας του νερού, μεταξύ των σημείων Β και Γ.
iv) Να υπολογιστεί η ταχύτητα του νερού στο σημείο Β τη στιγμή t1=10s , καθώς και ο όγκος του νερού που εξέρχεται από το δεξιό άκρο του σωλήνα μέχρι τη στιγμή t1, θεωρώντας σταθερά τα ύψη του νερού στους δύο κατακόρυφους σωλήνες.
Το νερό να θεωρηθεί ιδανικό  ασυμπίεστο ρευστό το οποίο δεν εμφανίζει εσωτερική τριβή ή τριβή με τα τοιχώματα του σωλήνα. Δίνονται επίσης η ατμοσφαιρική πίεση pατ=105Ν/m2,  η πυκνότητα του νερού ρ=1.000kg/m3 και g=10m/s2.
ή



Πέμπτη, 19 Νοεμβρίου 2015

Τρεις ανοικτές βρύσες και η αντλία.

Μια τριώροφη κατοικία τροφοδοτείται με νερό από μια δεξαμενή, στην επιφάνεια του εδάφους, με την βοήθεια μιας αντλίας (Μ), όπως στο σχήμα.  Ο κεντρικός σωλήνας τροφοδοσίας έχει ορισμένη διατομή Α1, ενώ με πλήρως ανοικτές τις βρύσες, το νερό εξέρχεται σχηματίζοντας φλέβες  με διατομές Α=0,3cm2. Η βρύση στο ισόγειο, βρίσκεται στο ίδιο ύψος με την αντλία, ενώ κάθε όροφος έχει ύψος h=4m. Η αντλία λειτουργεί αυτόματα, εξασφαλίζοντας στην έξοδό της, σταθερή πίεση. Ανοίγουμε ταυτόχρονα και πλήρως τις τρεις βρύσες,  οπότε η παροχή της βρύσης του ισογείου είναι 0,45L/s. Θεωρώντας μηδενικό το συντελεστή ιξώδους, ενώ δεν υπάρχουν τριβές του νερού με τα τοιχώματα και τις ροές μόνιμες και στρωτές:
i)  Να βρεθούν οι παροχές στους δύο ορόφους.
ii) Ποια η ισχύς τη αντλίας;
iii) Βέβαια στην πραγματικότητα, η παραπάνω ροή δεν είναι στρωτή αλλά τυρβώδης, αφού το νερό δεν έχει μηδενικό συντελεστή ιξώδους. Έτσι λειτουργώντας η αντλία με την παραπάνω ισχύ, οι τρεις παροχές είναι ΠΑ=0,42L/s, ΠΒ=0,3L/s και ΠΓ=0,18L/s. Να βρεθεί η ισχύς που μετατρέπεται σε θερμική εξαιτίας της εσωτερικής τριβής που εμφανίζεται.
Δίνεται  η ατμοσφαιρική πίεση pατ=105Ν/m2 , η  πυκνότητα του νερού ρ=1.000kg/m3 και η επιτάχυνση της βαρύτητας g=10m/s2 .
ή



Κυριακή, 15 Νοεμβρίου 2015

Μια σύνθετη ταλάντωση και φάσεις.

Ένα σώμα μάζας 0,2kg έχει εξίσωση κίνησης, γύρω από μια θέση y=0:
y=0,1∙ημ(2πt+5π/6)+0,1∙ημ(3πt)   (μονάδες στο S.Ι.).
i)  Υ­πο­λο­γί­στε το «πλά­τος» και την α­πο­μά­κρυν­ση της κί­νη­σης για t=0. Ποια είναι η αρχική φάση της απομάκρυνσης;
ii) Ποι­α εί­ναι η μέ­γι­στη τι­μή του «πλά­τους» και ποια χρονική στιγμή t1 το πλάτος μεγιστοποιείται για πρώτη φορά;
iii) Να βρεθεί η ταχύτητα και η επιτάχυνση του σώματος τη στιγμή t2=2s.
iv) Να βρεθούν η κινητική ενέργεια και ο ρυθμός μεταβολής της κινητικής ενέργειας του σώματος την παραπάνω στιγμή.
ή






Κυριακή, 8 Νοεμβρίου 2015

Από τη σύνθεση σε μια εξαναγκασμένη!

Ένα  σώμα μάζας m=0,1kg έχει εξίσωση κίνησης x=2συν(20t) – 2∙ημ(20t)  (μονάδες στο S.Ι.).
i)  Να υπολογίστε την κινητική ενέργεια του σώματος τη στιγμή t1=π/40s. Έχει δυναμική ενέργεια το σώμα τη στιγμή αυτή και αν ναι, πόση είναι αυτή;
ii) Το ίδιο σώμα, δένεται στο άκρο ιδανικού ελατηρίου σταθεράς k=8Ν/m και με την επίδραση μιας αρμονικής εξωτερικής δύναμης, εκτελεί ταλάντωση με απομάκρυνση x=0,5∙ημ(10t)   (S.Ι.), ενώ δέχεται και δύναμη απόσβεσης της μορφής Fαπ=-0,2∙υ  (S.Ι.).
α) Να βρεθούν οι εξισώσεις της ταχύτητας και της επιτάχυνσης σε συνάρτηση με το χρόνο.
β) Ποιες οι αντίστοιχες εξισώσεις της δύναμης επαναφοράς και της δύναμης απόσβεσης, σε συνάρτηση με το χρόνο;
γ) Να βρεθεί η εξίσωσης της εξωτερικής δύναμης, σε συνάρτηση με το χρόνο (Fεξ-t).
δ) Για τη χρονική στιγμή t1=π/30s, να βρεθεί η ισχύς της εξωτερικής δύναμης, καθώς και ο ρυθμός με τον οποίο η μηχανική ενέργεια μετατρέπεται σε θερμική εξαιτίας της δύναμης απόσβεσης.
Δίνεται ημ(π/12) ≈ 0,26 .

ή



Πέμπτη, 5 Νοεμβρίου 2015

Μια πλάκα σε φθίνουσα ταλάντωση.

Στο κάτω άκρο ενός κατακόρυφου ιδανικού ελατηρίου σταθεράς k=100Ν/m και φυσικού μήκους l0=0,4m, δένουμε μια πλάκα μάζας m=1kg και την αφήνουμε να κινηθεί τη στιγμή t=0. Στη διάρκεια της κίνησης, στην πλάκα ασκείται από τον αέρα δύναμη απόσβεσης της μορφής Fαπ=-2,5∙10-3υ  (μονάδες στο S.Ι.).  Κάποια στιγμή t1 η πλάκα κινείται προς τα πάνω με ταχύτητα μέτρου υ1=0,8m/s, ενώ το μήκος του ελατηρίου είναι l1=0,5m. Για τη στιγμή αυτή t1 να βρεθούν:
i)  Οι δυνάμεις που ασκούνται στην πλάκα, καθώς και η επιτάχυνσή της.
ii) Η ενέργεια ταλάντωσης καθώς και η δυναμική ενέργεια του ελατηρίου.
iii) Η ισχύς της δύναμης απόσβεσης. Τι εκφράζει η ισχύς αυτή;
iv) Οι ρυθμοί μεταβολής της κινητικής και της δυναμικής ενέργειας ταλάντωσης.
v) Πόση μηχανική ενέργεια έχει μετατραπεί σε θερμική στο χρονικό διάστημα 0-t1 και πόση θα μετατραπεί μέχρι η πλάκα να ηρεμήσει;
Δίνεται g=10m/s2.
ή






Τρίτη, 3 Νοεμβρίου 2015

Η ταλάντωση της σανίδας λόγω τριβής.

Μια σανίδα μάζας Μ=2kg και μήκους ℓ, ηρεμεί σε λείο κεκλιμένο επίπεδο κλίσεως θ, δεμένη στο ένα άκρο της με το άκρο ιδανικού ελατηρίου σταθεράς k=20Ν/m, όπως στο σχήμα. Σε μια στιγμή (t0=0) αφήνουμε στο πάνω άκρο της, ένα σώμα Σ, μάζας m=1kg, αμελητέων διαστάσεων, το οποίο παρουσιάζει με τη σανίδα συντελεστές τριβής μ=μs=3/8.
i)  Να δείξετε ότι το σώμα Σ θα ολισθήσει πάνω στη σανίδα, υπολογίζοντας στη συνέχεια και την επιτάχυνση που θα αποκτήσει.
ii) Να αποδείξτε ότι και η σανίδα θα κινηθεί, υπολογίζοντας την αρχική επιτάχυνση που θα αποκτήσει.
iii) Να αποδειχθεί ότι, για όσο χρόνο το σώμα Σ κινείται σε επαφή με τη σανίδα, αυτή εκτελεί αρμονική ταλάντωση, υπολογίζοντας την περίοδο και το πλάτος ταλάντωσης.
iv) Αν το Σ εγκαταλείπει τη σανίδα τη στιγμή t1=1s, να βρεθούν:
α) Το μήκος ℓ της σανίδας.
β) Η ενέργεια της νέας ταλάντωσης που θα πραγματοποιήσει η σανίδα, μετά την απομάκρυνση του σώματος Σ.
γ)  Η μηχανική ενέργεια που μετατρέπεται σε θερμική κατά την κίνηση του σώματος Σ πάνω στη σανίδα.
Δίνονται ημθ=0,6, συνθ=0,8, π2≈10 και g=10m/s2.
ή