Τετάρτη, 30 Μαρτίου 2016

Η στεφάνη και η σημειακή μάζα.

Μια στεφάνη ακτίνας 0,2m και μάζας m=1kg, η οποία θεωρείται συγκεντρωμένη στην περιφέρειά της, μπορεί να στρέφεται, χωρίς τριβές, σε κατακόρυφο επίπεδο, γύρω από σταθερό οριζόντιο άξονα ο οποίος περνά από ένα σημείο Ο της περιφέρειάς της. Σε ένα σημείο Α της περιφέρειας της  στεφάνης, όπου η γωνία ΟΚΑ είναι ορθή, έχει προσδεθεί ένα σώμα Σ, ίσης μάζας με τη στεφάνη, το οποίο θεωρείται υλικό σημείο, δημιουργώντας έτσι το στερεό s.  Στρέφουμε το στερεό s, ώστε η ακτίνα της στεφάνης ΚΑ να είναι κατακόρυφη και σε μια στιγμή (t0=0) το αφήνουμε να περιστραφεί.
i)  Να βρεθεί η ροπή αδράνειας του στερεού s, ως προς τον άξονα περιστροφής στο Ο.
ii) Ποια η αρχική επιτάχυνση του σώματος Σ, μόλις αφήσουμε το στερεό να κινηθεί;
iii) Μετά από λίγο, τη στιγμή t1, η ακτίνα ΚΑ γίνεται οριζόντια για πρώτη φορά.
Για τη στιγμή αυτή να βρεθούν:
α) Η γωνιακή ταχύτητα του στερεού και η ταχύτητα του σώματος Σ.
β) Η  στροφορμή και ο ρυθμός μεταβολής της στροφορμής του στερεού s,  ως προς τον άξονα περιστροφής του.
γ) Η  στροφορμή και ο ρυθμός μεταβολής της στροφορμής του σώματος Σ,  ως προς το σημείο Ο.
δ) Η κινητική ενέργεια και ο ρυθμός μεταβολής της κινητικής ενέργειας, του στερεού s.
ε) Η κινητική ενέργεια και ο ρυθμός μεταβολής της κινητικής ενέργειας, του σώματος Σ.
Δίνεται g=10m/s2.
ή

Τρίτη, 29 Μαρτίου 2016

Ένας περιστρεφόμενος δίσκος αποδεσμεύεται.

Ένας ομογενής δίσκος, μάζας Μ=6kg και ακτίνας R=0,6m μπορεί να περιστρέφεται, χωρίς τριβές, γύρω από σταθερό οριζόντιο άξονα, ο οποίος διέρχεται από ένα σημείο Ο της περιφέρειάς του, σε ύψος Η=1,6m από το έδαφος. Φέρνουμε το δίσκο στη θέση του πρώτου σχήματος, ώστε η διάμετρος ΟΒ να είναι οριζόντια και τον αφήνουμε να κινηθεί.
i)  Να υπολογιστεί η αρχική γωνιακή επιτάχυνση του δίσκου, καθώς και η αρχική επιτάχυνση του σημείου Α, στο άκρο της κατακόρυφης διαμέτρου του.
ii) Μετά από λίγο η διάμετρος ΟΒ γίνεται κατακόρυφη, όπως στο δεύτερο σχήμα. Για την θέση αυτή να βρεθούν:
α) Η στροφορμή του δίσκου κατά (ως προς) τον άξονα περιστροφής του.
β) Ο αντίστοιχος ρυθμός μεταβολής της στροφορμής του δίσκου.
γ) η επιτάχυνση του σημείου Α.
iii) Αν τη στιγμή που ο δίσκος βρίσκεται στην παραπάνω θέση, αποδεσμεύεται από τον άξονα περιστροφής του και πέφτει ελεύθερα να υπολογίσετε την κινητική του ενέργεια τη στιγμή που φτάνει στο έδαφος.
Δίνεται η επιτάχυνση της βαρύτητας g=10m/s2, ενώ η ροπή αδράνειας του δίσκου ως προς κάθετο άξονα που περνά από το κέντρο του Ι= ½ ΜR2.
ή



Google

Κυριακή, 27 Μαρτίου 2016

Μια κύλιση με μεταβλητή επιτάχυνση.

Γύρω από έναν τροχό, μάζας m=20kg και ακτίνας R=0,6m, ο οποίος βρίσκεται ακίνητος σε οριζόντιο επίπεδο, έχουμε τυλίξει ένα αβαρές νήμα. Σε μια στιγμή t0=0, ασκούμε στο άκρο του νήματος Α, μια οριζόντια δύναμη F το μέτρο της οποίας μεταβάλλεται με το χρόνο, σύμφωνα με την εξίσωση F=0,9t (μονάδες στο S.Ι.). Ο τροχός αρχίζει να κυλίεται τη στιγμή t΄=10s σταματάμε να τραβάμε το νήμα και να ασκούμε δύναμη .
i)  Να υπολογίσετε την επιτάχυνση του κέντρου Ο του τροχού σε συνάρτηση με το χρόνο και να κάνετε τη γραφική της παράσταση, μέχρι τη χρονική στιγμή t2=12s.
ii)  Να υπολογιστεί η στροφορμή του τροχού κατά (ως προς) τον άξονα περιστροφής του τροχού ο οποίος διέρχεται από το κέντρο του Ο, τις χρονικές στιγμές:
   α) t1=5s  και  β) t2=12s.
iii) Να υπολογιστεί ο ρυθμός μεταβολής της στροφορμής του τροχού κατά (ως προς) τον άξονα περιστροφής του τροχού ο οποίος διέρχεται από το κέντρο του Ο, τις παραπάνω χρονικές στιγμές.
iv) Πόση ενέργεια μεταφέρθηκε στον τροχό μέσω της ασκούμενης δύναμης F και ποια η ισχύς της δύναμης τη στιγμή t1;
Δίνεται η ροπή αδράνειας ως προς κάθετο άξονα που περνά από το κέντρο του Ι= ½ mR2.
ή


Τετάρτη, 23 Μαρτίου 2016

Μεγαλύτερες περιπέτειες…

Μετά την ανάρτηση «Ένα σύστημα σωμάτων σε περιπέτειες…» ας πάμε ένα βήμα παρακάτω, στη μελέτη του συστήματος σωμάτων και της εφαρμογής του γενικευμένου νόμου του Νεύτωνα.
--------------------------------------
Μια οριζόντια κυκλική πλατφόρμα μάζας Μ=20kg και ακτίνας R=1m, μπορεί να στρέφεται γύρω από κατακόρυφο άξονα z, χωρίς τριβές, ο οποίος περνά από το κέντρο της Ο. Πάνω στην πλατφόρμα ηρεμεί ένα σώμα Σ μάζας m=2kg, δεμένο στο άκρο νήματος μήκους ℓ=0,8m, το άλλο άκρο του οποίου μέσω ενός δακτυλίου  δένεται στον άξονα z, έτσι ώστε το σώμα Σ μπορεί να περιστρέφεται χωρίς να τυλίγεται το νήμα στον άξονα. Σε μια στιγμή (t0=0) ασκείται στην περιφέρεια της πλατφόρμας, εφαπτομενικά, μια οριζόντια σταθερού μέτρου δύναμη F=21,6Ν, με αποτέλεσμα τη στιγμή t1=5s η πλατφόρμα να έχει αποκτήσει γωνιακή ταχύτητα ω1=10rad/s.
i)  Να εξετάσετε αν υπάρχει τριβή μεταξύ σώματος Σ και πλατφόρμας, με αποτέλεσμα να τεθεί σε περιστροφή και το σώμα Σ.
ii) Να βρεθεί ο ρυθμός μεταβολής της στροφορμής κατά (ως προς) τον άξονα z:
    α) του συστήματος  β)  της πλατφόρμας  και  γ) του σώματος Σ.
στο χρονικό διάστημα 0-5s.
iii) Να υπολογιστεί τη χρονική στιγμή t1 η στροφορμής κατά (ως προς) τον άξονα z:
     α) του συστήματος  β)  της πλατφόρμας  και  γ) του σώματος Σ.
iv) Τη στιγμή t1 η δύναμη F καταργείται, οπότε μετά από λίγο παρατηρούμε ότι το σώμα Σ δεν γλιστράει πάνω στην πλατφόρμα. Να υπολογιστεί τότε η ταχύτητα του σώματος Σ.
 Δίνεται η ροπή αδράνειας της πλατφόρμας, ως προς τον άξονά της Ι= ½ ΜR2.
ή




Τρίτη, 22 Μαρτίου 2016

Ένα σύστημα σωμάτων σε περιπέτειες…

Μια οριζόντια κυκλική πλατφόρμα μάζας Μ=20kg και ακτίνας R=2m, στρέφεται γύρω από κατακόρυφο άξονα z, χωρίς τριβές, ο οποίος περνά από το κέντρο της Ο με σταθερή γωνιακή ταχύτητα ω=2rad/s. Πάνω στην πλατφόρμα είναι τοποθετημένη μια μικρή σφαίρα (αμελητέων διαστάσεωνκαι μάζας m=2kg, η οποία είναι δεμένη στο ένα άκρο ιδανικού ελατηρίου σταθεράς k=100Ν/m και φυσικού μήκους l0=92cm, το άλλο άκρο του οποίου δένεται στον άξονα περιστροφής. Μεταξύ σφαίρας και πλατφόρμας δεν αναπτύσσονται τριβές, ενώ η σφαίρα στρέφεται μαζί με την πλατφόρμα, χωρίς να μεταβάλλεται η θέση της ως προς αυτήν.
i) Το μήκος του ελατηρίου είναι:
 α) ℓ < ℓ0,   β) ℓ = ℓ0,   γ) ℓ > ℓ0.
Να δικαιολογήσετε την απάντησή σας.
ii) Να υπολογιστεί η στροφορμή κάθε σώματος (πλατφόρμα-σφαίρα), καθώς και η στροφορμή του συστήματος κατά (ως προς) τον άξονα z.
Σε μια στιγμή t0=0, ασκείται εφαπτομενικά στην πλατφόρμα μια οριζόντια, σταθερού μέτρου δύναμη F=10Ν, όπως στο παραπάνω σχήμα.
iii) Να βρεθούν οι ρυθμοί μεταβολής της στροφορμής κατά (ως προς) τον άξονα z:
α) του συστήματος,  β) της σφαίρας,   γ) της πλατφόρμας.
iv) Να υπολογιστεί η στροφορμή κάθε σώματος (πλατφόρμα-σφαίρα), καθώς και η στροφορμή του συστήματος κατά (ως προς) τον άξονα z, τη στιγμή t1=5s.
ή



Κυριακή, 20 Μαρτίου 2016

Η επιτάχυνση και ο ρυθμός μεταβολής της στροφορμής.

Ένας οριζόντιος δίσκος μάζας Μ=4m μπορεί να στρέφεται χωρίς τριβές γύρω από τον κατακόρυφο άξονα z, ο οποίος διέρχεται από το κέντρο του Ο. Στην περιφέρεια του δίσκου προσκολλάται ένα αμελητέων διαστάσεων μικρό σώμα Σ, μάζας m, δημιουργώντας έτσι το  στερεό s.
Ασκούμε στο σώμα Σ μια σταθερού μέτρου οριζόντια δύναμη F, με αποτέλεσμα να προκαλέσουμε την περιστροφή του  στερεού.
i) Το σώμα Σ θα αποκτήσει:
α) σταθερού μέτρου επιτάχυνση.
β) επιτάχυνση που θα αυξάνεται καθώς περνά ο χρόνος.
ii) Το σώμα Σ θα αποκτήσει επιτάχυνση στη διεύθυνση της δύναμης F, μέτρου:
α) α=F/m,   β) α=F/2m,   γ) α=F/3m,   δ) α=F/4m,   ε) α=F/5m.
iii) Ο ρυθμός μεταβολής της στροφορμής του σώματος Σ, κατά (ως προς) τον άξονα z:
α) είναι σταθερός,  β) είναι ανάλογος του χρόνου.
iv) Ο ρυθμός μεταβολής της στροφορμής του δίσκου, κατά (ως προς) τον άξονα z, έχει μέτρο:
α) dL/dt= FR/5,     β) dL/dt= 4FR/5,    γ) dL/dt= 2FR/3,    δ) dL/dt= FR.
Να δικαιολογήσετε τις απαντήσεις σας.
Δίνεται η ροπή αδράνειας του δίσκου ως προς τον άξονά του Ι= ½ ΜR2.
ή




Πέμπτη, 17 Μαρτίου 2016

Δυο κυλίσεις και οι τριβές.

Ένας τροχός μάζας Μ κυλίεται σε οριζόντιο επίπεδο με την επίδραση σταθερής οριζόντιας δύναμης F1 η οποία ασκείται στον άξονά του Ο. Κάποια στιγμή ο τροχός συναντά κεκλιμένο επίπεδο κλίσεως θ, όπου συνεχίζει την κύλισή του με την ίδια επιτάχυνση κέντρου μάζας, αλλά αφού χρειάστηκε να μεταβάλλουμε το μέτρο της δύναμης στην τιμή F2, με διεύθυνση παράλληλη στο επίπεδο.
i) Η τριβή η οποία ασκείται στον τροχό, κατά την κίνησή του:
 α) Έχει μεγαλύτερο μέτρο, στο οριζόντιο επίπεδο.
 β) Έχει μεγαλύτερο μέτρο, στο κεκλιμένο επίπεδο.
 γ) Και στα δυο επίπεδα η τριβή έχει το ίδιο μέτρο.
ii) Η παραπάνω κίνηση μπορεί να επιτευχθεί αν αυξήσουμε το μέτρο της δύναμης (από F1 σε F2) κατά:
 α) ¼ Μgημθ,   β)  1/3 Μgημθ,  γ)  ½  Μgημθ,  δ)  Μgημθ

Να δικαιολογήσετε τις απαντήσεις σας.

Απάντηση:
ή



Δευτέρα, 14 Μαρτίου 2016

Ένας κυλινδρικός φλοιός επιταχύνεται.

Ένας λεπτός κυλινδρικός φλοιός, μάζας Μ=20kg και ακτίνας R=50cm, φέρει σχισμή βάθους y=10cm, εντός της οποίας έχουμε τυλίξει ένα αβαρές νήμα και ηρεμεί σε οριζόντιο επίπεδο. Σε μια στιγμή ασκούμε μια οριζόντια δύναμη F στο άκρο Α του νήματος, με αποτέλεσμα το σημείο Α να αποκτά μια σταθερή επιτάχυνση αΑ=0,9m/s2, ενώ ο φλοιός κυλίεται.
i) Να βρεθεί η επιτάχυνση του άξονα του κυλινδρικού φλοιού.
ii) Να υπολογιστεί η μετατόπιση του άξονα Ο του φλοιού, τη στιγμή t1 που το άκρο Α του νήματος έχει μετατοπιστεί κατά xΑ=4,5m;  Πόσο νήμα έχει ξετυλιχθεί μέχρι τη στιγμή αυτή;
iii) Να βρεθεί το μέτρο της ασκούμενης δύναμης F.
iv) Τη στιγμή t2=4s, ο κυλινδρικός φλοιός, περνά σε ένα δεύτερο λείο οριζόντιο επίπεδο, όπου συνεχίζει την κίνησή του, ενώ συνεχίζει να ασκείται η ίδια δύναμη F στο άκρο Α του νήματος. Να υπολογιστεί η ταχύτητα του σημείου επαφής του φλοιού με το επίπεδο, σημείο Γ, τη χρονική στιγμή t3=7s.
Δίνεται η ροπή αδράνειας του κυλίνδρου Ι= ½ ΜR2 και g=10m/s2.
ή




Σάββατο, 12 Μαρτίου 2016

Θα συνεχιστεί η κύλιση;

Ένας λεπτός κυλινδρικός φλοιός ακτίνας R, φέρει σχισμή βάθους y, εντός της οποίας έχουμε τυλίξει ένα αβαρές νήμα και ηρεμεί σε λείο οριζόντιο επίπεδο. Σε μια στιγμή τραβάμε το άκρο Α του νήματος, ασκώντας του οριζόντια δύναμη F, όπως στο σχήμα, με αποτέλεσμα ο κύλινδρος να κυλίεται.
i) Το βάθος της σχισμής είναι ίσο με:
α)  y= ¼ R,   β) y= 1/3 R,   γ)  y= ½ R
ii) Χωρίς να μεταβάλουμε το μέτρο της ασκούμενης δύναμης, μεταβάλουμε τη διεύθυνση του νήματος, έτσι ώστε να σχηματίζει γωνία θ με την αρχική διεύθυνση:
α) Ο κύλινδρος θα συνεχίσει να κυλίεται.
β) Ο κύλινδρος θα πάψει να κυλίεται και θα ολισθήσει.
γ) Ο κύλινδρος θα σπινάρει.
Να δικαιολογήσετε τις απαντήσεις σας.
Δίνεται η ροπή αδράνειας του κυλίνδρου Ι= ½ ΜR2.
ή




Πέμπτη, 10 Μαρτίου 2016

Ισορροπία, πτώση και μήκος νήματος.

Δύο ομόκεντροι ομογενείς δίσκοι με ακτίνες R1=0,2m και R2=0,3m είναι κολλημένοι δημιουργώντας ένα στερεό s. Το στερεό s μπορεί να περιστρέφεται χωρίς τριβές, γύρω από σταθερό οριζόντιο άξονα, ο οποίος έχει στερεωθεί σε κατακόρυφο τοίχο και διέρχεται από τα κέντρα των δίσκων, ως προς τον οποίο, το στερεό s παρουσιάζει ροπή αδράνειας Ι=0,24kg∙m2. Πάνω στον μεγάλο δίσκο στηρίζεται μια ομογενής οριζόντια λεπτή δοκός μήκους 4m, η οποία είναι αρθρωμένη στο άκρο της Α, μάζας Μ=3kg. Η δοκός στηρίζεται στο σημείο Β, όπου (ΑΒ)=3m. Γύρω από τον μικρό δίσκο ακτίνας R1, τυλίγουμε ένα μακρύ αβαρές νήμα, στο άκρο του οποίου δένουμε ένα σώμα Σ, το οποίο απέχει h=0,5m από το έδαφος.
i)  Αν η μάζα του σώματος Σ είναι m=1,5kg, αυτό ισορροπεί. Ποιος ο ελάχιστος συντελεστής οριακής στατικής τριβής μεταξύ δοκού και δίσκου, για την ισορροπία αυτή;
ii) Αν το σώμα Σ έχει μάζα m=2kg, τότε κινείται προς τα κάτω, φτάνοντας στο έδαφος με ταχύτητα υ=1m/s, όπου και προσκολλάται.
α) Να υπολογιστεί η επιτάχυνση με την οποία κινήθηκε το σώμα Σ.
β) Να υπολογιστεί η τριβή που ασκείται στη δοκό από τον δίσκο κατά την πτώση του σώματος Σ, καθώς και ο συντελεστής τριβής ολίσθησης μεταξύ δοκού και δίσκου.
γ) Να κάνετε τη γραφική παράσταση της γωνιακής ταχύτητας του στερεού s, μέχρι τη στιγμή t΄=2s.
δ) Πόσο θα είναι τελικά το μήκος του νήματος που θα παραμείνει σε επαφή με το έδαφος;
Δίνεται ότι το νήμα δεν γλιστρά στο μικρό δίσκο ενώ και g=10m/s2.
ή



Δευτέρα, 7 Μαρτίου 2016

Μια ισορροπία και οι αρχικές επιταχύνσεις.

Μια ομογενής  δοκός μήκους 2m και μάζας Μ=30kg, μπορεί να στρέφεται χωρίς τριβές γύρω από άρθρωση στο άκρο της Α και ισορροπεί οριζόντια δεμένη με κατακόρυφο νήμα στο σημείο Ρ, όπου (ΡΒ)=0,5m και με οριζόντιο νήμα, το οποίο αφού περάσει από αβαρή τροχαλία, με την οποία δεν εμφανίζει τριβές, στο άλλο του άκρο ισορροπεί ένα σώμα Σ,  όπως στο σχήμα.
i)  Υποστηρίζεται ότι το κατακόρυφο νήμα δεν είναι απαραίτητο, αρκεί το σώμα Σ να έχει κατάλληλο βάρος που να εξασφαλίζει την ισορροπία της δοκού. Να εξεταστεί αν  αυτό είναι μια λογική υπόθεση.
ii) Αν η μάζα του σώματος Σ είναι ίση με m=10kg, να βρεθεί η δύναμη που ασκείται στη δοκό από την άρθρωση.
iii) Σε μια στιγμή t=0, κόβουμε το κατακόρυφο νήμα. Αμέσως μετά (για t=0+) να υπολογιστούν:
α) Επιτάχυνση του μέσου Ο της δοκού και του σώματος Σ.
β) Η δύναμη που ασκείται στη δοκό από την άρθρωση.
Δίνεται η ροπή αδράνειας της  δοκού ως προς κάθετο άξονα που περνά από το ένα της άκρο Ι= 1/3 Μl2 και g=10m/s2.
ή





Σάββατο, 5 Μαρτίου 2016

Η επιτάχυνση και η επιβράδυνση της δοκού.

Σε λείο οριζόντιο επίπεδο ηρεμεί μια ομογενής δοκός (ΑΒ) μήκους 4m και μάζας 30kg, η οποία μπορεί να στρέφεται, χωρίς τριβές, γύρω από κατακόρυφο άξονα ο οποίος διέρχεται από το σημείο Ο της δοκού. Σε μια στιγμή, ασκούνται στη δοκό δυο οριζόντιες δυνάμεις F1=F2=28Ν, ίδιας διεύθυνσης και αντίθετης φοράς και διαρκώς κάθετες στη δοκό, όπως στο σχήμα (κάτοψη), όπου (ΑΓ)=d=1m. Η γραφική παράσταση της γωνιακής ταχύτητας της  ράβδου σε συνάρτηση με το χρόνο, δίνεται στο διπλανό σχήμα, όπου τη στιγμή t1=10s μεταβάλλεται το μέτρο της μιας από τις παραπάνω δυνάμεις.
i)  Να βρεθεί η γωνιακή επιτάχυνση της δοκού από 0-10s, καθώς και η γωνία που στρέφεται η δοκός στο παραπάνω χρονικό διάστημα.
ii) Να υπολογιστεί η ροπή αδράνειας της δοκού ως προς τον άξονα περιστροφής στο Ο, καθώς και η απόσταση του Ο από το άκρο Β της δοκού.
iii) Να βρεθεί η επιτάχυνση του κέντρου μάζας Κ της δοκού της χρονικές  στιγμές:
α) t0=0   και   β) t2=5s.
iv) Ποιας δύναμης μειώσαμε το μέτρο μετά το 10ο δευτερόλεπτο; Αφού δικαιολογήσετε την απάντησή  σας, στη συνέχεια να υπολογίστε το νέο μέτρο της δύναμης αυτής.
Δίνεται η ροπή αδράνειας της δοκού ως προς κάθετο άξονα που περνά από το μέσον της Κ,
Ιcm= 1/12 ml2.
ή

Πέμπτη, 3 Μαρτίου 2016

Πώς πρόκειται να κινηθούν οι ράβδοι;

Σε λείο οριζόντιο επίπεδο ηρεμεί μια ομογενής ράβδος ΑΒ. Κάποια στιγμή ασκούνται πάνω της δύο οριζόντιες δυνάμεις ίσου μέτρου F1=F2 οι οποίες είναι κάθετες στη ράβδο. Στα παρακάτω σχήματα (κατόψεις),  βλέπετε τέσσερις  διαφορετικές εκδοχές της κατάστασης, όπου στην (4η) στο άκρο Β έχει συνδεθεί σημειακή σφαίρα με μάζα, όση και η μάζα της ράβδου.
i) Αναφερόμενοι στο (1) σχήμα η ράβδος:
α) θα εκτελέσει σύνθετη κίνηση στρεφόμενη όπως οι δείκτες του ρολογιού.
β) θα εκτελέσει στροφική κίνηση γύρω από το μέσον της Ο στρεφόμενη αντίθετα από τους δείκτες του ρολογιού.
γ) τίποτα από τα παραπάνω.
ii) Αναφερόμενοι στο (2) σχήμα η ράβδος:
α) θα εκτελέσει στροφική κίνηση γύρω από κατακόρυφο άξονα που περνά από το Ο και με γωνιακή ταχύτητα προς τον αναγνώστη.
β) θα εκτελέσει στροφική κίνηση γύρω από οριζόντιο άξονα που περνά από το Ο, στρεφόμενη αντίθετα από τους δείκτες του ρολογιού.
γ) θα εκτελέσει στροφική κίνηση γύρω από κατακόρυφο άξονα που περνά από το μέσον της ΟΒ, στρεφόμενη….
Δείτε τη συνέχεια σε pdf.
ή


Τετάρτη, 2 Μαρτίου 2016

Οι επιταχύνσεις τη στιγμή μηδέν.

Ένας λεπτός ομογενής δίσκος μάζας Μ=6kg και ακτίνας R=0,5m, κρέμεται από ένα μη ελαστικό νήμα, το οποίο έχει δεθεί σε σημείο Α της περιφέρειάς του. Δένουμε σε ένα άλλο σημείο Γ της περιφέρειας του δίσκου, στο άκρο μιας οριζόντιας ακτίνας ΚΓ,  ένα άλλο αβαρές και μη ελαστικό νήμα, στο άλλο άκρο του οποίου δένουμε ένα σώμα Σ μάζας m=1kg, το οποίο θεωρούμε υλικό σημείο. Συγκρατούμε τα δυο σώματα, ώστε τα νήματα να είναι κατακόρυφα και τεντωμένα και τη στιγμή t=0, τα αφήνουμε ελεύθερα να κινηθούν. Για τη στιγμή, αμέσως μόλις αφεθούν τα σώματα ελεύθερα (t=0+) να βρεθούν:
i)  Η επιτάχυνση του κέντρου Κ του δίσκου και η επιτάχυνση του σώματος Σ.
ii)  Οι τάσεις των δύο νημάτων.
iii) Η γωνιακή επιτάχυνση του δίσκου.
iii) Οι επιταχύνσεις των σημείων Α και Γ που έχουν δεθεί τα δυο νήματα.
Δίνεται η ροπή αδράνειας του δίσκου ως προς τον άξονά του Ι= ½ ΜR2 και g=10m/s2.
ή



Τρίτη, 1 Μαρτίου 2016

Ισορροπία με οριζόντιο νήμα.

Μια ομογενής ράβδος βάρους 100Ν είναι αρθρωμένη στο ένα της άκρο Α, ενώ είναι δεμένη στο άκρο οριζόντιου νήματος στο μέσον της Μ, όπως στο πρώτο από τα παρακάτω  σχήματα.
i)  Να αποδειχτεί ότι η δύναμη που δέχεται η ράβδος από την άρθρωση έχει την διεύθυνση του άξονα κατά μήκος της ράβδου.
ii) Αν η ράβδος σχηματίζει γωνία 45° με την οριζόντια διεύθυνση να υπολογίσετε την δύναμη που ασκεί ο άξονας στη ράβδο στο άκρο της Α.
iii) Σε μια άλλη ισορροπία, το νήμα είναι κάθετο στη ράβδο, όπως στο δεύτερο σχήμα. Να βρεθεί η γωνία που σχηματίζει η ράβδος με την οριζόντια διεύθυνση, αν η δύναμη που δέχεται η ράβδος από τον άξονα έχει μέτρο 50Ν. Πόση είναι τώρα η τάση του νήματος;
ή