Η κύλιση τροχού και η επιτάχυνση σημείου.

 

Ένας τροχός κυλίεται (χωρίς να ολισθαίνει) σε ανηφορικό δρόμο. Σε μια στιγμή t1, ένα σημείο Α της περιφέρειάς του, έχει επιτάχυνση κάθετη στην ακτίνα ΚΑ, όπως στο σχήμα.

Να χαρακτηρίσετε ως σωστές ή λανθασμένες τις παρακάτω προτάσεις, δίνοντας και σύντομες δικαιολογήσεις.

i)  Η κύλιση γίνεται με σταθερή ταχύτητα του κέντρου (και κέντρου μάζας) Κ.

ii) Το κέντρο Κ του τροχού,  επιταχύνεται προς τα πάνω κατά μήκος του δρόμου.

iii) Η ταχύτητα του κέντρου μάζας τη στιγμή t1 δεν είναι μηδενική.

iv) Η επιτάχυνση του σημείου Α έχει μεγαλύτερο μέτρο από την επιτάχυνση του κέντρου Κ.

Απάντηση:

ή

Η κύλιση τροχού και η επιτάχυνση σημείου.

Η κύλιση τροχού και η επιτάχυνση σημείου.

Η κύλιση τροχού και η επιτάχυνση σημείου.

Η ισορροπία και η περιστροφή ενός στερεού.

 

Ένα στερεό s αποτελείται από μια ομογενή ράβδο μάζας Μ=3kg, μήκους (ΑΒ)= l=4m, στο άκρο Β της οποίας έχει προσδεθεί ένα σημειακό υλικό σημείο Σ μάζας m=1kg. Το στερεό s μπορεί να περιστρέφεται σε κατακόρυφο επίπεδο, γύρω από σταθερό οριζόντιο άξονα ο οποίος περνά από το σημείο Ο, το οποίο απέχει 1m από το άκρο Α της ράβδου, όπως στο σχήμα. Το στερεό s ισορροπεί με τη ράβδο οριζόντια, δεμένο με νήμα στο σημείο Γ, όπου (ΟΓ)=2m, δεμένο σε ταβάνι. Το νήμα σχηματίζει γωνία θ με τη ράβδο, όπου ημθ=0,8 και συνθ=0,6.

i)  Να υπολογισθεί η τάση του νήματος και η δύναμη που ασκείται στη ράβδο από το υλικό σημείο Σ.

Ελευθερώνουμε το στερεό από το νήμα, το φέρνουμε στη θέση (1) του διπλανού σχήματος και το αφήνουμε να περιστραφεί. Μετά από λίγο το στερεό περνά από την θέση (2) με τη ράβδο οριζόντια, έχοντας  γωνιακή ταχύτητα μέτρου ω=2rαd/s και γωνιακή επιτάχυνση αγ=15/4 rad/s2, της ίδιας κατεύθυνσης. Για τη στιγμή αυτή να βρεθούν:

ii)  Η ταχύτητα του υλικού σημείου Σ, καθώς και η οριζόντια και κατακόρυφη επιτάχυνσή του. 

iii) Η δύναμη που το σώμα Σ ασκεί στη ράβδο. 

iv) Η στροφορμή και ο ρυθμός μεταβολής της στροφορμής του υλικού σημείου Σ ως προς τον άξονα περιστροφής.

Δίνεται g=10m/s2.

Απάντηση:

ή

Η ισορροπία και η περιστροφή ενός στερεού.

Η ισορροπία και η περιστροφή ενός στερεού.

Η ισορροπία και η περιστροφή ενός στερεού.

Θα γλιστρήσει, δεν θα γλιστρήσει;

 

Ένα  σώμα Α μάζας m=1kg κινείται σε ένα λείο οριζόντιο επίπεδο Χ με σταθερή ταχύτητα υ0=3m/s, κατευθυνόμενο προς ένα σώμα Β, το οποίο ηρεμεί σε μια περιοχή Υ του επιπέδου, η οποία δεν είναι λεία, με αποτέλεσμα να αναπτύσσονται τριβές. Στο σώμα Β έχει προσκολληθεί ένα ιδανικό ελατήριο σταθεράς k=100Ν/m και το σώμα Α κινείται στην διεύθυνση του άξονα του ελατηρίου, όπως  στο σχήμα. Αν τη στιγμή t0=0 το σώμα Α έρχεται σε επαφή με το ελατήριο το οποίο αρχίζει να συσπειρώνει, ζητούνται:

i)   Ποια η μέγιστη συσπείρωση του ελατηρίου, αν το σώμα Β παραμείνει ακίνητο στη θέση του;

ii)  Να γίνει η γραφική παράσταση της τριβής που ασκείται στο σώμα Β σε συνάρτηση με το χρόνο.

iii) Αν το σώμα Β έχει μάζα Μ=4kg, να βρεθεί η ελάχιστη τιμή του συντελεστή οριακής στατικής τριβής μεταξύ του σώματος Β και του επιπέδου Υ, ώστε αυτό να παραμείνει ακίνητο.

iv) Αν το σώμα Β έχει μάζα Μ1=2,5kg, ενώ παρουσιάζει με το επίπεδο συντελεστή τριβής μ1=0,8, να υπολογιστεί η ταχύτητα υ1 του σώματος Α, τη στιγμή που αρχίζει η ολίσθηση του σώματος Β.

Θεωρήσετε την προς τα δεξιά κατεύθυνση θετική, η οριακή τριβή, ίση με την τριβή ολίσθησης, ενώ g=10m/s2.

Απάντηση:

ή

Θα γλιστρήσει,  δεν θα γλιστρήσει;

Θα γλιστρήσει,  δεν θα γλιστρήσει;

Θα γλιστρήσει,  δεν θα γλιστρήσει;

Μια οριζόντια βολή δίσκου.

 

Από ορισμένο ύψος, εκτοξεύεται για t=0, οριζόντια ένας ομογενής δίσκος, ακτίνας R=0,4m, με αρχική ταχύτητα υ0=2m/s και ορισμένη γωνιακή ταχύτητα ω, η οποία παραμένει σταθερή στη διάρκεια της πτώσης. Το επίπεδο του δίσκου ταυτίζεται με το επίπεδο της σελίδας του διπλανού σχήματος. Τη στιγμή t1=0,4s, το κάτω άκρο Α μιας κατακόρυφης διαμέτρου ΑΒ, έχει μόνο κατακόρυφη ταχύτητα υ1. Για τη στιγμή t1 ζητούνται:

i) Να υπολογίσετε την ταχύτητα του κέντρου (και κέντρου μάζας) του δίσκου Ο.

ii) Να βρεθεί η γωνιακή ταχύτητα περιστροφής του δίσκου, καθώς και η επιτάχυνση του σημείου Α, τη στιγμή t1.

iii) Η ταχύτητα και η επιτάχυνση του σημείου Β, του ανώτερου σημείου της κατακόρυφης διαμέτρου.

Δίνεται g=10m/s2, ενώ η αντίσταση του αέρα θεωρείται αμελητέα.

Απάντηση:

ή

Μια οριζόντια βολή δίσκου.

Μια οριζόντια βολή δίσκου.

Ισορροπία αγωγού με δύο ελατήρια

 

Ο ευθύγραμμος αγωγός AΓ του σχήματος έχει μάζα m=0,2kg, μήκος l=1m και κρέμεται κατακόρυφα από δύο όμοια ελατήρια σταθεράς k=20Ν/m, παραμένοντας σε οριζόντια θέση.
Όλο το σύστημα βρίσκεται μέσα σε ομογενές μαγνητικό πεδίο Β=0,1Τ με δυναμικές γραμμές κάθετες στο επίπεδο του σχήματος (στο επίπεδο της σελίδας). Αν ο αγωγός διαρρέεται ρεύμα με φορά από το Α στο Γ, με ένταση Ι1=8Α τα ελατήρια έχουν επιμηκυνθεί κατά 3cm.

i)   Να σχεδιάσετε την φορά και να υπολογίσετε το μέτρο της έντασης Β του πεδίου.

ii) Τι θα συμβεί με το μήκος του ελατηρίου, αν διπλασιάσουμε την ένταση του ρεύματος που διαρρέει τον αγωγό ΑΓ, με την ίδια φορά;

iii) Να βρεθεί η ένταση του ρεύματος που πρέπει να διαρρέει τον αγωγό, αν θέλουμε τα ελατήρια να παρουσιάζουν επιμήκυνση 7cm.

Δίνεται g=10m/s2, ενώ τα σύρματα σύνδεσης με τον αγωγό δεν συνεισφέρουν στο βάρος του αγωγού.

Απάντηση:

ή

Ισορροπία αγωγού με δύο ελατήρια

 Ισορροπία αγωγού με δύο ελατήρια

Ισορροπία αγωγού με δύο ελατήρια

Δύο κλάδοι κυκλώματος με αυτεπαγωγή.

 

Για το κύκλωμα του σχήματος δίνονται R1=R, R2=2R, ενώ τα ιδανικά πηνία έχουν συντελεστές αυτεπαγωγής L1=L και L2=2L. Η πηγή έχει ΗΕΔ Ε (r=0), Σε μια στιγμή t=0 κλείνουμε το  διακόπτη δ.

i)  Σε ποιο πηνίο αναπτύσσεται μεγαλύτερη (κατά απόλυτο τιμή) ΗΕΔ λόγω αυτεπαγωγής, αμέσως μετά το κλείσιμο του διακόπτη;

ii)  Αν α1=di1/dt o αρχικός ρυθμός μεταβολής της έντασης του ρεύματος που διαρρέει την αντίσταση R1, τότε ο αντίστοιχος ρυθμός μεταβολής της έντασης του ρεύματος α, που διαρρέει την πηγή είναι ίση:

a) α=0,5α1,   b) α=1,5α1,        c) α=2,5α1.

iii)Αν U1 και U2 οι μέγιστες ενέργειες μαγνητικού πεδίου, που αποθηκεύονται στα δύο πηνία αντίστοιχα, ισχύει:

a) U2=0,5U1,  b) U2=U1,         c) U2=1,5U1,      d) U2=2U1.

Ερώτημα Μόνο για καθηγητές:

iv) Μόλις σταθεροποιηθούν οι εντάσεις των ρευμάτων που διαρρέουν τα δύο πηνία, ανοίγουμε το διακόπτη δ. Λίγο μετά το άνοιγμα του διακόπτη η αντίσταση R1:

α) διαρρέεται από ρεύμα έντασης i με φορά από το Α προς το Β.

β) Διαρρέεται από ρεύμα έντασης i με φορά από το Β προς το Α.

γ) Αμέσως μετά το άνοιγμα του διακόπτη μηδενίζεται η ένταση του ρεύματος που διαρρέει την αντίσταση R1.

Να δικαιολογήσετε τις απαντήσεις σας.

Απάντηση:

ή

 Δύο κλάδοι κυκλώματος με αυτεπαγωγή.

Δύο κλάδοι κυκλώματος με αυτεπαγωγή.

Η ΑΔΟ και η διατήρηση της μαγνητικής ροής

 Ας ακολουθήσουμε ένα μονοπάτι, διερευνώντας ομοιότητες μεταξύ της μελέτης κίνησης υλικού σημείου και ενός κυκλώματος που περιλαμβάνει αυτεπαγωγή. Μην φοβηθείτε να το ακολουθείστε, δεν πρόκειται να καταλήξει στις ηλεκτρικές ταλαντώσεις!!!

Εφαρμογή 1η :

Σε ένα λείο οριζόντιο επίπεδο ηρεμεί ένα σώμα μάζας 2kg. Σε μια στιγμή δέχεται μια σταθερή οριζόντια δύναμη μέτρου F=1Ν, Να μελετηθεί η κίνηση και να γίνει η γραφική παράσταση υ=υ(t), μέχρι τη στιγμή t=10s, αν η δύναμη σταματά να ασκείται στο σώμα τη στιγμή t1=6s.

 

Εφαρμογή 2η :

Ένα ιδανικό πηνίο με αυτεπαγωγή L=0,4Η συνδέεται όπως στο κύκλωμα με ιδανική πηγή ΗΕΔ Ε=0,2V. Τη στιγμή t0=0 κλείνουμε το διακόπτη δ1 και τη στιγμή t1=6s τον ανοίγουμε κλείνοντας ταυτόχρονα τον διακόπτη δ2. Να μελετηθεί το κύκλωμα και να γίνει η γραφική παράσταση της έντασης του ρεύματος που διαρρέει το πηνίο σε συνάρτηση με το χρόνο, i=i(t), μέχρι τη στιγμή t2=10s.

 

Διαβάστε τη συνέχεια:

Η ΑΔΟ και η διατήρηση της μαγνητικής ροής

Η ΑΔΟ και η διατήρηση της μαγνητικής ροής

Η ΑΔΟ και η διατήρηση της μαγνητικής ροής

Η ΑΔΟ και η διατήρηση της μαγνητικής ροής

Η ΑΔΟ και η διατήρηση της μαγνητικής ροής

Η αλλαγή της ακτίνας περιφοράς

 

Ένα σώμα Σ, το οποίο θεωρούμε υλικό σημείο, μάζας m=1kg εκτελεί ομαλή κυκλική κίνηση σε λείο οριζόντιο επίπεδο, δεμένο στο άκρο οριζόντιου ιδανικού ελατηρίου, σταθεράς k=80Ν/m, το άλλο άκρο του οποίου είναι δεμένο σε σταθερό σημείο Ο (το σχήμα σε κάτοψη). Το ελατήριο έχει φυσικό μήκος lο=0,4m, ενώ η ακτίνα της κυκλικής τροχιάς είναι R1=0,5m.

i)  Να υπολογισθεί η ταχύτητα του σώματος Σ και η στροφορμή του ως προς το κέντρο Ο της τροχιάς.

ii)  Σε μια στιγμή t0=0, ασκούμε στο σώμα μια οριζόντια μεταβλητή δύναμη F, η οποία αρχικά έχει μέτρο F0=1,5Ν και κατεύθυνση ίδια με την ταχύτητα υ1, με αποτέλεσμα να αυξάνουμε την ακτίνα της κυκλικής τροχιάς. Για τη στιγμή t0+, αμέσως μετά την άσκηση της δύναμης, να βρεθούν:

α) Η ισχύς της δύναμης F.

β) Η γωνιακή  επιτάχυνση του σώματος Σ.

γ) Ο ρυθμός μεταβολής της στροφορμής του σώματος, ως προς το κέντρο Ο της κυκλικής τροχιάς.

iii) Αν τελικά το σώμα Σ κινείται σε μια νέα κυκλική τροχιά με ακτίνα R2=0,6m, όταν παύει να ασκείται πάνω του η μεταβλητή δύναμη F, να υπολογιστεί το έργο της δύναμης F.

Απάντηση:

ή

Η αλλαγή της ακτίνας περιφοράς

Η αλλαγή της ακτίνας περιφοράς

Η αλλαγή της ακτίνας περιφοράς