Δύο ελαστικές κρούσεις.

Σε λείο οριζόντιο επίπεδο ηρεμούν, σε ευθεία γραμμή, τρεις σφαίρες Α, Β και Γ με ίσες ακτίνες. Σε μια στιγμή εκτοξεύουμε την Α σφαίρα, μάζας m₁=1,5kg με ταχύτητα μέτρου υ₁=2m/s προς την σφαίρα Β, πάνω στην ευθεία που ενώνει τις τρεις σφαίρες. Οι σφαίρες Α και Β συγκρούονται για  t=0 κεντρικά και ελαστικά. Η Β σφαίρα, μάζας m₂=0,5kg, αφού διανύσει απόσταση d=3m συγκρούεται επίσης κεντρικά και ελαστικά με την σφαίρα Γ η οποία κρέμεται στο άκρο νήματος μήκους l=2m , το άλλο άκρο του οποίου έχει προσδεθεί σε σταθερό σημείο. Μετά την κρούση παρατηρούμε ότι το νήμα, το οποίο συγκρατεί την σφαίρα Γ, εκτρέπεται μέχρι μια γωνία θ για την οποία βρίσκουμε ότι συν θ=0,9.

i)  Ποια χρονική στιγμή t₁ συγκρούονται οι σφαίρες Β και Γ και πόσο απέχουν οι τρεις σφαίρες μεταξύ τους, τη στιγμή αυτή; (οι ακτίνες των τριών σφαιρών είναι πολύ μικρές και μπορούν να θεωρηθούν αμελητέες, ενώ το επίπεδο δεν παρεμποδίζει την εκτροπή της σφαίρας Γ μετά την κρούση).

ii)  Να υπολογιστεί η μάζα της σφαίρας Γ.

iii) Πόση είναι η ορμή του συστήματος των τριών σφαιρών, τη στιγμή που έχουμε μέγιστη εκτροπή της σφαίρας Γ;

iv) Να βρεθεί η χρονική στιγμή που οι σφαίρες Α και Β θα συγκρουστούν για 2η φορά. Ποιες οι ταχύτητές τους μετά την 2η κρούση, αν και αυτή είναι ελαστική;

Δίνεται g=10m/s².

Απάντηση:

ή

Δύο ελαστικές κρούσεις.

Δύο ελαστικές κρούσεις.

Για να μην υπάρξει ολίσθηση

 

Μια σφαίρα μάζας m=0,1kg κινείται οριζόντια με ταχύτητα μέτρου υ₀=20m/s  και συγκρούεται πλαστικά με ακίνητο σώμα Σ₁ μάζας m₁=4,9kg το οποίο βρίσκεται πάνω στο σώμα Σ₂, όπως στο σχήμα (α). Μεταξύ των σωμάτων Σ₁ και Σ₂ υπάρχει τριβή, με συντελεστή οριακής  στατικής τριβής μ_s=0,2 ενώ το δάπεδο είναι λείο. H κρούση διαρκεί Δt=0,1s και θεωρούμε ότι στη διάρκεια αυτής, οι εσωτερικές δυνάμεις αλληλεπίδρασης μεταξύ των σωμάτων είναι σταθερές:

i) Να υπολογισθεί η μέγιστη μάζα του σώματος Σ₂ ώστε να παρασυρθεί από το Σ₁, χωρίς να παρατηρηθεί ολίσθηση μεταξύ τους.

ii) Να εξετασθεί το αντίστοιχο πρόβλημα, αν το σώμα Σ₂  βρίσκεται πάνω στο Σ₁, όπως στο σχήμα (β).

Δίνεται η επιτάχυνση της βαρύτητας g=10m/s².

Απάντηση:

ή

Για να μην υπάρξει ολίσθηση.

Για να μην υπάρξει ολίσθηση.

Για να μην υπάρξει ολίσθηση.

Για να μην υπάρξει ολίσθηση.

Μια ακόμη κρούση δύο σφαιρών.

 

Δύο σφαίρες, με ίσες ακτίνες, κινούνται σε λείο οριζόντιο επίπεδο, χωρίς να στρέφονται. Η σφαίρα Α, μάζας m1=2kg τη στιγμή t=0, περνά από μια θέση Ο, την οποία θεωρούμε ως αρχή ενός προσανατολισμένου άξονα  (x=0) και στο διάγραμμα δίνεται η θέση της σε συνάρτηση με το χρόνο, όπου τη στιγμή t1=4s, οι δύο σφαίρες συγκρούονται κεντρικά.

i) Να υπολογιστεί η μεταβολή της ορμής κάθε σφαίρας, που οφείλεται στην κρούση.

Αν η κρούση είναι ελαστική

ii) Να υπολογιστεί η μεταβολή της κινητικής ενέργειας κάθε σφαίρας, λόγω κρούσης.

iii) Αν η Β σφαίρα έχει μάζα m2=0,4kg:

α)  Ποια η θέση της Β σφαίρας τη στιγμή t=0.

β) Να γίνει η γραφική παράσταση της θέσης της Β σφαίρας σε συνάρτηση με το χρόνο, μέχρι τη στιγμή t2=10s.

iv) Αν η απόσταση των δυο σφαιρών τη στιγμή t=0 είναι d=3m, να υπολογιστεί η μάζα της Β  σφαίρας.

Απάντηση:

ή

Μια ακόμη κρούση δύο σφαιρών.

Μια ακόμη κρούση δύο σφαιρών.

Ελαστική κρούση, ορμή και στροφορμή.

 

Μια σφαίρα Α, μάζας Μ=3kg ηρεμεί στη θέση (1), δεμένη στο κάτω άκρο ενός κατακόρυφου μη ελαστικού νήματος μήκους l=08m, το άλλο άκρο του οποίου έχε δεθεί σε σταθερό σημείο Ο. Σε μια στιγμή μια δεύτερη σφαίρα Β, μάζας m=1kg, συγκρούεται κεντρικά και  ελαστικά με τη σφαίρα Α, έχοντας οριζόντια ταχύτητα υ0 ελάχιστα πριν την κρούση. Μετά την κρούση, η Α σφαίρα φτάνει με μηδενική ταχύτητα στη θέση (2), με το νήμα οριζόντιο.

i)  Να υπολογισθεί η ορμή και ο ρυθμός μεταβολής της ορμής της Α σφαίρας, ελάχιστα μετά την κρούση στη θέση (1), καθώς και στη θέση (2).

ii) Τι ποσοστό της αρχικής κινητικής ενέργειας της σφαίρας Β, μεταφέρεται στην σφαίρα Α κατά την κρούση;

iii) Να υπολογιστεί η στροφορμή και ο ρυθμός μεταβολής της στροφορμής της σφαίρας Α, ως προς το σημείο Ο, στη θέση (3) όπου απέχει κατακόρυφα κατά h=0,6m από τη θέση (1), κατά την άνοδό της.

Δίνεται g=10m/s2.

Απάντηση:

ή

 Ελαστική κρούση, ορμή και στροφορμή.

Ελαστική κρούση, ορμή και στροφορμή.

Μια σφαίρα στο άκρο ελατηρίου.

 Μια σφαίρα μάζας 0,2kg είναι δεμένη στο άκρο οριζόντιου ιδανικού ελατηρίου με μήκος , το άλλο άκρο του οποίου δένεται σε σταθερό σημείο Ο και ηρεμεί σε λείο οριζόντιο επίπεδο, στη θέση Α. Σε μια στιγμή δέχεται μια ώθηση, με αποτέλεσμα να αποκτήσει οριζόντια αρχική ταχύτητα, κάθετη στον άξονα του ελατηρίου, μέτρου υ0=4m/s. Μετά από λίγο η σφαίρα φτάνει στη θέση Β, όπου ο άξονας του ελατηρίου έχει διαγράψει γωνία 90°, με ταχύτητα υ1 κάθετη στην ΟΒ, όπως στο σχήμα (σε κάτοψη), ενώ το ελατήριο έχει μήκος .

i)   Να εξετάσετε την ορθότητα ή μη της πρότασης: «η ταχύτητα υ1 είναι η ελάχιστη ταχύτητα της σφαίρας στη διάρκεια της κίνησης».

ii) Να υπολογιστούν για τη σφαίρα οι μεταβολές ορμής και στροφορμής ως προς το Ο,  μεταξύ των θέσεων Α και Β.

iii) Ένας μαθητής βρίσκει την κεντρομόλο δύναμη στη θέση Β και από αυτήν υπολογίζει στη συνέχεια την σταθερά του ελατηρίου. Να εξετάσετε αν αυτή είναι μια ορθή μέθοδος και στη  συνέχεια να υπολογιστεί η σταθερά k του ελατηρίου.

Απάντηση:

ή

Μια σφαίρα στο άκρο ελατηρίου.

Μια σφαίρα στο άκρο ελατηρίου.

Μια ταλάντωση ή μια ΑΑΤ;

Δύο σημειακά ίσα αρνητικά φορτία Q1=Q2=Q=-1μC είναι στερεωμένα στα σημεία Α και Β, όπου (ΑΒ)=2α=8cm. Ένα μεταλλικό σφαιρίδιο μάζας m=1g το οποίο φέρει φορτίο q=+1nC, αφήνεται ελεύθερο στο σημείο Γ, πάνω στην μεσοκάθετο Οy του τμήματος ΑΒ, σε απόσταση (ΟΓ)=x1=3cm, όπως στο σχήμα. Αν το πείραμα γίνεται εκτός πεδίου βαρύτητας και k=9∙109Nm2/C2:

i)  Να αποδείξετε ότι η σφαίρα θα κινηθεί πάνω στην μεσοκάθετο της ΑΒ, υπολογίζοντας και την αρχική της επιτάχυνση.

ii) Να υπολογιστεί η μέγιστη ταχύτητα που θα αποκτήσει η σφαίρα (την ταχύτητα αυτή την αποκτά σε χρόνο t1=0,12s).

iii) Υποστηρίζεται ότι η παραπάνω κίνηση της σφαίρας είναι ΑΑΤ. Να εξηγήσετε γιατί η άποψη αυτή δεν είναι σωστή.

iv) Να αποδείξετε ότι αν το σημείο Γ πλησιάσει αρκετά το Ο, τότε η κίνηση μπορεί να θεωρηθεί ΑΑΤ, με καλή προσέγγιση.

v) Να υπολογιστεί το % σφάλμα στον υπολογισμό της μέγιστης ταχύτητας που αποκτά η σφαίρα και στον χρόνο απόκτησής της, αν η αρχική κίνηση θεωρηθεί ΑΑΤ.

Απάντηση:

ή

 Μια ταλάντωση ή μια ΑΑΤ;

Μια ταλάντωση ή μια ΑΑΤ;

 Μια ταλάντωση ή μια ΑΑΤ;

Μια πλάκα και η κάθετη αντίδραση.

 Ας δούμε την  ισορροπία μιας επίπεδης πλάκας, με το επίπεδό της κατακόρυφο, σε δύο περιπτώσεις, όπου από τη στήριξη σε δύο σημεία, περνάμε στην στήριξη από το επίπεδο.

Άσκηση 1η:

Μια τετράγωνη επίπεδη ομογενής πλάκα, πλευράς α=0,4m και βάρους w= 200Ν, ισορροπεί με το επίπεδό της κατακόρυφο, στηριζόμενη σε  δύο μικρούς κώνους, πολύ κοντά στις κάτω κορυφές της Α και Β, όπως στο σχήμα.

i) Να υπολογίσετε τις δυνάμεις στήριξης στην πλάκα από τους δυο κώνους.

ii) Να υπολογιστούν οι κάθετες αντιδράσεις που θα ασκήσουν οι κώνοι, αν ασκήσουμε στην  κορυφή Γ, μια οριζόντια δύναμη μέτρου F=68Ν και η πλάκα συνεχίζει να ισορροπεί.

iii) Ποια η ελάχιστη τιμή του μέτρου της δύναμης , ώστε  η πλάκα να πάψει να στηρίζεται στην κορυφή Α, ενώ συνεχίζει να ισορροπεί; Στην περίπτωση αυτή, ποια η ελάχιστη τιμή του συντελεστή οριακής…

Διαβάστε τη συνέχεια…

ή

Μια πλάκα και η κάθετη αντίδραση.

Μια πλάκα και η κάθετη αντίδραση.

Μια πλάκα και η κάθετη αντίδραση.

Μια ισορροπία και… μισή.

Μια ομογενής λεπτή δοκός ΑΒ, μήκους L και βάρους w, ισορροπεί σε ορι­ζόντια θέση όπως στο σχήμα, στηριζόμενη σε κατακόρυφο τοίχο, ενώ είναι δεμένη με νήμα στο μέσον της Μ, νήμα το οποίο σχηματίζει γωνία θ=45° με τη ράβδο.

i  Να εξετάσετε αν ο τοίχος μπορεί να είναι λείος ή απαιτείται να είναι τραχύς για να ασκηθεί στη ράβδο δύναμη τριβής. 

ii) Να μελετήσετε την ισορροπία του τμήματος ΜΒ της ράβδου, αντιμετωπίζοντάς το σαν ένα ανεξάρ­τητο στερεό σώμα, το οποίο δεν δένεται με το νήμα.

Απάντηση:

ή

Μια ισορροπία και… μισή.

Μια ισορροπία και… μισή.

Μια ισορροπία και… μισή.