Η ενέργεια στη διάρκεια άσκησης της δύναμης

Ένα σώμα μάζας 2kg ηρεμεί σε λείο οριζόντιο επίπεδο, στη θέση Β,  δεμένο στο άκρο οριζόντιου ιδανικού  ελατηρίου σταθεράς k, το άλλο άκρο του οποίου έχει προσδεθεί σε κατακόρυφο τοίχο, όπως στο σχήμα. Κάποια στιγμή t0=0 ασκούμε στο σώμα μια σταθερή οριζόντια δύναμη F μέτρου F=16Ν, μέχρι να φτάσει το σώμα σε μια θέση Γ με μηδενική ταχύτητα, τη στιγμή t₁=0,5s, οπότε και παύουμε να ασκούμε τη δύναμη.

i)   Να αποδειχτεί ότι στη διάρκεια της εξάσκησης της δύναμης F,  το σώμα εκτελεί μια αρμονική ταλάντωση, της οποίας να υπολογίσετε το πλάτος Α₁ και την περίοδο Τ₁.

ii)  Να υπολογιστεί ο μέγιστος ρυθμός, με τον οποίο μεταφέρεται ενέργεια στο σώμα, μέσω του έργου της ασκούμενης δύναμης F.

iii) Στο διπλανό διάγραμμα δίνεται η ισχύς της ασκούμενης δύναμης F, σε συνάρτηση με το χρόνο.

α)  Να υπολογιστεί η ισχύς της δύναμης και ο ρυθμός μεταβολής της κινητικής ενέργειας του σώματος τη στιγμή t₁= 1/6 s, κατά την οποία περνά από μια θέση Δ.

β)  Να βρεθεί η ενέργεια που μεταφέρθηκε στο σώμα, μέσω του έργου της δύναμης F, από 0-t₁.

iv) Να βρείτε το πλάτος και την ενέργεια της ταλάντωσης που θα πραγματοποιήσει το σώμα, μόλις σταματήσει η δράση της δύναμης F. Να υπολογιστεί επίσης η κινητική και η δυναμική ενέργεια τη στιγμή που το σώμα περνά ξανά από τη θέση Δ.

Απάντηση:

ή

  Η ενέργεια στη διάρκεια άσκησης της δύναμης

Η ενέργεια στη διάρκεια άσκησης της δύναμης

Μετά την άσκηση μεταβλητής δύναμης.

Ένα σώμα ηρεμεί στο κάτω άκρο ενός ιδανικού ελατηρίου σταθεράς k=200Ν/m, όπως στο σχήμα. Σε μια στιγμή ασκούμε στο σώμα, μια κατακόρυφη μεταβλητή  δύναμη F, με φορά προς τα κάτω, το μέτρο της οποίας μεταβάλλεται σύμφωνα με την εξίσωση F=400y+20 (S.Ι.), όπου y η μετατόπιση του σώματος από τη θέση ισορροπίας του. Η δύναμη ασκείται στο σώμα, μέχρι αυτό να μετατοπισθεί κατά y₁=0,1m, φτάνοντας σε σημείο Ρ, οπότε η δύναμη καταργείται και το σώμα μένει ελεύθερο να εκτελέσει μια απλή αρμονική ταλάντωση, με σταθερά επαναφοράς D=k. Θεωρώντας την προς τα κάτω κατεύθυνση ως θετική και t=0 τη στιγμή που σταματά η εξάσκηση της δύναμης F, στη θέση Ρ, ενώ g=10m/s², ζητούνται:

i)    Να υπολογιστεί η ενέργεια της ταλάντωσης, καθώς και το πλάτος ταλάντωσης.

ii)  Η δυναμική και η κινητική ενέργεια του σώματος, τη στιγμή που το σώμα περνά από το σημείο Ρ, κινούμενο προς τα πάνω, για πρώτη φορά.

iii) Αν το σώμα επανέρχεται στο σημείο Ρ, κινούμενο προς τα πάνω (για πρώτη φορά), τη χρονική στιγμή t₁=π/15 (s), να υπολογιστούν:

α)  Η μάζα του σώματος

β)  Η ταχύτητα του σώματος τη στιγμή t₁.

iv) Να υπολογιστούν η δυναμική ενέργεια ταλάντωσης, η δυναμική ενέργεια του ελατηρίου καθώς και οι ρυθμοί μεταβολής τους, τη χρονική στιγμή t₂=π/10 (s).

Απάντηση:

ή

  Μετά την άσκηση μεταβλητής δύναμης.

Μετά την άσκηση μεταβλητής δύναμης.

Ας ενισχύσουμε την ταλάντωση

Μια σφαίρα μάζας m=2kg εκτελεί μια απλή αρμονική ταλάντωση, μεταξύ των θέσεων Β και Γ, γύρω από τη θέση ισορροπίας Ο, όπως στο σχήμα, με εξίσωση απομάκρυνσης:

x=0,2∙ημ(2πt)   μονάδες στο S.Ι.

i)   Να υπολογιστεί η ενέργεια ταλάντωσης, καθώς και η ταχύτητα της σφαίρας, τη στιγμή t₁ που περνά από το μέσον Μ της ΟΓ, κινούμενη προς τα δεξιά (θετική κατεύθυνση).

Τη στιγμή t₁ στη σφαίρα ασκείται μια σταθερή δύναμη F₁ μέτρου F₁=21Ν, με κατεύθυνση προς τα δεξιά, όπως στο πάνω σχήμα, μέχρι να φτάσει η σφαίρα στη θέση Ν, έχοντας μετατοπισθεί κατά Δx=0,4m, οπότε η δύναμη παύει να ασκείται. Να βρεθούν:

ii) Η επιτάχυνση της σφαίρας μόλις ασκηθεί η δύναμη F₁.

iii) Η τελική ενέργεια ταλάντωσης της σφαίρας, καθώς και η ταχύτητά της τη στιγμή που παύει να ασκείται πάνω της η δύναμη F₁.

iv) Αν δεν ασκείτο στη σφαίρα η παραπάνω δύναμη F₁, αλλά μια άλλη δύναμη F₂, με μέτρο F₂=8Ν , τη στιγμή που βρίσκεται στην ακραία αρνητική θέση της Β (κάτω σχήμα) και για χρονικό διάστημα Δt=0,5s, ποια θα ήταν τελικά η ενέργεια ταλάντωσης, μετά την κατάργησή της;

Δίνεται π²≈10

Απάντηση:

ή

 Ας ενισχύσουμε την ταλάντωση

Ας ενισχύσουμε την ταλάντωση

Η μηχανική ενέργεια και η ενέργεια ταλάντωσης

Στο σχήμα το ελατήριο είναι ιδανικό και στηρίζεται στο έδαφος σε κατακόρυφη θέση. Αφήνουμε μια πλάκα να πέσει από ορισμένο ύψος και να συμπιέσει το ελατήριο, οπότε στη διάρκεια της συμπίεσης, το σώμα εκτελεί ΑΑΤ, με ενέργεια ταλάντωσης Ε_τ.  Θεωρώντας το οριζόντιο επίπεδο που περνά από το άνω άκρο του ελατηρίου, ως επίπεδο μηδενικής βαρυτικής δυναμικής ενέργειας, το σύστημα σώμα-Γη-ελατήριο έχει μηχανική ενέργεια Ε_Μ.

i)  Για τις παραπάνω δύο ενέργειες ισχύει:

α) Ε_Τ < Ε_Μ,    β)  Ε_Τ = Ε_Μ,    γ) Ε_Τ > Ε_Μ.

ii)  Ποια θα ήταν η απάντηση στο παραπάνω ερώτημα, αν θεωρούσαμε ως επίπεδο μηδενικής βαρυτικής δυναμικής ενέργειας (U=0), το οριζόντιο επίπεδο που περνά από την θέση ισορροπίας του σώματος, στη διάρκεια της ταλάντωσής του;   

Να δικαιολογήσετε τις απαντήσεις σας.

Απάντηση:

ή

   Η μηχανική ενέργεια και η ενέργεια ταλάντωσης

Η μηχανική ενέργεια και η ενέργεια ταλάντωσης

Δυο κρούσεις και στη συνέχεια δυο ΑΑΤ

 

Στο πάνω άκρο ενός κατακόρυφου ιδανικού ελατηρίου, σταθεράς k, το άλλο άκρο του οποίου έχει στερεωθεί στο έδαφος, ηρεμεί μια πλάκα Π₁ μάζας m₁=3m (αριστερό σχήμα). Από ορισμένο ύψος h, πάνω από την πλάκα αφήνεται μια σφαίρα Β μάζας m₂=m να πέσει και να συγκρουσθεί με την πλάκα κεντρικά και ελαστικά. Η σφαίρα Β απομακρύνεται μετά την κρούση, ενώ η πλάκα Π₁ εκτελεί ΑΑΤ με περίοδο Τ₁ και πλάτος Α₁.

Στο δεξιό σχήμα, η πλάκα Π₂ έχει μάζα m₃=m, το ελατήριο την ίδια σταθερά k και από το ίδιο ύψος h αφήνεται ένα σώμα Γ, μάζας m₄=2m να πέσει και να συγκρουσθεί πλαστικά με την πλάκα. Μετά την κρούση ακολουθεί μια κατακόρυφη ΑΑΤ του συσσωματώματος με περίοδο Τ₂ και πλάτος Α₂.

i) Για τις δύο παραπάνω περιόδους ισχύει:

α) Τ₁ < Τ₂,    β) Τ₁ = Τ₂,    γ) Τ₁ > Τ₂.

ii) Για τα αντίστοιχα πλάτη ταλάντωσης ισχύει:

 α) Α₁ < Α₂,    β) Α₁ = Α₂,    γ) Α₁ > Α₂.

Να δικαιολογήσετε τις απαντήσεις σας.

Απάντηση:

ή

   Δυο κρούσεις και στη συνέχεια δυο ΑΑΤ

Δυο κρούσεις και στη συνέχεια δυο ΑΑΤ

Μετά την πλαστική κρούση μια αατ.

Τα σώματα Σ και Σ₁ με μάζες m=4kg και m₁=2kg είναι δεμένα στα άκρα ενός ιδανικού ελατηρίου σταθεράς k=400Ν/m και συγκρατούνται όπως στο αριστερό σχήμα, με τον άξονα του ελατηρίου, που έχει το φυσικό μήκος του l₀=0,4m, κατακόρυφο. Στη θέση αυτή το Σ₁ απέχει κατά h₁=0,15m, από το έδαφος. Κάποια στιγμή, την οποία θεωρούμε ως t₀=0, αφήνουμε ταυτόχρονα τα σώματα, να πέσουν, οπότε μετά από λίγο το Σ₁ προσκολλάται στο έδαφος, χωρίς να αναπηδήσει.

i)  Να βρεθεί η επιτάχυνση κάθε σώματος, καθώς και η χρονική στιγμή που το Σ₁ θα συγκρουσθεί με το έδαφος.

ii) Να αποδειχτεί ότι το σώμα Σ θα εκτελέσει ΑΑΤ, μετά την προσκόλληση του Σ₁ με το έδαφος.

iii) Να υπολογιστεί το κλάσμα της αρχικής μηχανικής ενέργειας του συστήματος, το οποίο εμφανίζεται ως ενέργεια ταλάντωσης του σώματος Σ. Για τον υπολογισμό της μηχανικής ενέργειας θεωρείστε το έδαφος ως επίπεδο μηδενικής δυναμικής ενέργειας.

iv) Να βρείτε μεταξύ ποιων τιμών θα μεταβάλλεται το μήκος του ελατηρίου, κατά τη διάρκεια της ταλάντωσης και να κάνετε τη γραφική παράσταση της δύναμης που ασκεί το ελατήριο στο σώμα Σ, σε συνάρτηση με την απομάκρυνση από τη θέση ισορροπίας, θεωρώντας την προς τα πάνω κατεύθυνση ως θετική.

v)  Να βρείτε επίσης τη συνάρτηση h=h(t), του ύψους από το έδαφος του σώματος Σ, σε συνάρτηση με το χρόνο και να κάνετε τη γραφική της παράσταση.

Δίνεται g=10m/s².     

Απάντηση:

ή

   Μετά την πλαστική κρούση μια αατ.

Μετά την πλαστική κρούση μια αατ.

Ένα σύστημα δύο σωμάτων σε ταλάντωση

Τα σώματα Σ₁ και Σ₂ με μάζες m₁=1kg και m₂=3kg ηρεμούν σε λείο οριζόντιο επίπεδο, σε επαφή, δεμένα στα άκρα δύο οριζόντιων ιδανικών ελατηρίων με σταθερές k₁=100Ν/m και k₂=60Ν/m αντίστοιχα. Το Σ₁ διατηρεί το ελατήριο k₁ συσπειρωμένο κατά Δl₁=0,4m, με τη βοήθεια ενός νήματος που το συνδέει με κατακόρυφο τοίχο, ενώ το δεύτερο ελατήριο έχει το φυσικό μήκος του.

i)  Να υπολογιστεί  η τάση το νήματος, καθώς και η δύναμη F₁₂ που ασκείται στο σώμα Σ₁ από το Σ₂.

Σε μια στιγμή t₀=0 κόβουμε το νήμα.

ii) Να υπολογίστε την αρχική επιτάχυνση α₀ που θα αποκτήσουν τα δυο σώματα, καθώς και το μέτρο της δύναμης F₁₂, αμέσως μόλις κοπεί το νήμα.

iii) Αφού αποδειχθεί ότι το σύστημα  των δύο σωμάτων εκτελεί ΑΑΤ, να υπολογισθεί η περίοδος της ταλάντωσης, καθώς και η μέγιστη ταχύτητα του συστήματος των δύο σωμάτων.

iv) Υποστηρίζεται ότι τα δυο σώματα κάποια στιγμή της διάρκειας της ταλάντωσης αποχωρίζονται. Για να εξετάσουμε την υπόθεση αυτή, βρίσκουμε την δύναμη αλληλεπίδρασης μεταξύ των σωμάτων. Στη θέση που αυτή μηδενίζεται, τα σώματα θα αποχωρίζονται κινούμενα αυτόνομα. Να βρεθεί λοιπόν η δύναμη F₂₁ σε συνάρτηση με την απομάκρυνση από τη θέση ισορροπίας και να γίνει η γραφική της παράσταση. Τι συμπεραίνετε, αποχωρίζονται τα σώματα, εκτελώντας από κάποια θέση και μετά, το καθένα τη δική του ταλάντωση;

Δίνεται π²≈10.

Απάντηση:

ή

 Ένα σύστημα δύο σωμάτων σε ταλάντωση

Ένα σύστημα δύο σωμάτων σε ταλάντωση

Οι ταλαντώσεις και ένα διάγραμμα

Τα σώματα Σ₁ και Σ₂ του  σχήματος, είναι δεμένα στα άκρα δύο οριζόντιων ιδανικών ελατηρίων και ισορροπούν σε επαφή, πάνω σε ένα λείο οριζόντιο επίπεδο.

i)  Αν το πρώτο ελατήριο σταθεράς k₁ έχει το φυσικό μήκος του, να αποδείξτε ότι και το δεύτερο ελατήριο k₂, έχει επίσης το φυσικό του μήκος.

Εκτρέπουμε το σώμα Σ₁ προς τα δεξιά συμπιέζοντας το ελατήριο κατά Α₀ και το αφήνουμε να ταλαντωθεί. Στο κάτω σχήμα δίνεται η απομάκρυνση του σώματος Σ₁ σε συνάρτηση με το χρόνο, όπου τις στιγμές t₁ και t₂ συγκρούεται κεντρικά και ελαστικά με το σώμα Σ₂.

ii) Για τις παραπάνω χρονικές στιγμές ισχύει:

α)  t₂ < 3t₁,    β)  t₂ = 3t₁,    γ)  t₂ > 3t₁.

iii) Για τις μάζες m₁ και m₂ των σωμάτων Σ₁ και Σ₂ αντίστοιχα ισχύει:

α) m₁ < m₂,    β) m₁ = m₂,    γ) m₁ > m₂.

iv) Αν m₂=2m₁ να υπολογίσετε τα πλάτη ταλάντωσης των δύο σωμάτων, μετά την πρώτη μεταξύ τους κρούση, σε συνάρτηση με το αρχικό πλάτος Α₀ του Σ₁.

Δίνεται ότι οι κινήσεις των σωμάτων μεταξύ των δύο κρούσεων είναι τμήματα ΑΑΤ, ενώ ούτε και το σώμα Σ₂ έχει ολοκληρώσει μια πλήρη ταλάντωση μεταξύ πρώτης και δεύτερης κρούσης.

Απάντηση:

ή

 Οι  ταλαντώσεις και ένα διάγραμμα

Οι  ταλαντώσεις και ένα διάγραμμα