Μια χορδή με σταθερό το ένα της άκρο

Το πρόβλημα της δημιουργίας στάσιμου κύματος, πάνω σε μια χορδή με πακτωμένο το ένα της άκρο, όταν το άλλο άκρο τίθεται σε εγκάρσια ταλάντωση, είναι ίσως ένα από τα θέματα που μας έχουν απασχολήσει περισσότερο τα χρόνια ύπαρξης του δικτύου μας. Με πάμπολλες μελέτες αλλά κυρίως συζητήσεις και αντεγκλήσεις. Δημιουργείται πάντα στάσιμο κύμα ή όχι; Είναι σωστές οι εξισώσεις του σχολικού ή χρειάζονται τροποποιήσεις; Τι δημιουργείται στη θέση της πηγής; Δεσμός ή κοιλία; Ή κάτι άλλο;

Ο Γιάννης Κυριακόπουλος έχει επιμείνει (μέχρι και που ο ίδιος μίλησε για εμμονή…), σε πάμπολλες αφορμές, ότι έχουμε πάντα δημιουργία στάσιμου κύματος και μάλιστα το πλάτος του στάσιμου δεν έχει να κάνει καθόλου με αυτό που  διδάσκουμε, δηλαδή ότι στις κοιλίες έχουμε πλάτος 2 Α, όπου Α το πλάτος της πηγής.

Έτσι για παράδειγμα μπορείτε να  διαβάσετε εδώ τις θέσεις του και να δείτε εικόνες με στάσιμα, που τον επιβεβαιώνουν.

Προβλήματα στην διδασκαλία και κατανόηση των στασίμων κυμάτων.

Το προηγούμενο καλοκαίρι, ξεκίνησα μια σειρά άρθρων με πρώτο το «Ενέργεια – ορμή κύματος» στηριζόμενος στις παραδόσεις του Κωνσταντίνου Ευταξία στο ΕΚΠΑ. Ας πιάσουμε λοιπόν το νήμα από εκεί που το αφήσαμε, κάνοντας μια προσπάθεια να ξεδιαλύνουμε κάποια σημεία στα στάσιμα κύματα, μιλώντας όσο γίνεται, λιγότερο για μαθηματικά και περισσότερο  για Φυσική. Ας δούμε λοιπόν κάποιες όψεις, καλοκαίρι έχουμε, μπορούμε να …ασχοληθούμε λίγο!

Κύμα και στάσιμο κύμα σε χορδή. Ποια η διαφορική εξίσωση;

Αναφερόμενοι στα κύματα σε χορδή, συναντάμε τη διαφορική εξίσωση:

Και συνήθως το μυαλό μας την συνδέει με το τρέχον κύμα σε χορδή, πράγμα όχι σωστό. Η παραπάνω εξίσωση αναφέρεται σε ένα στοιχειώδες τμήμα της χορδής, συνδέοντας την καμπυλότητα του τμήματος, με την εγκάρσια επιτάχυνση που αποκτά. Η σωστή γραφή της είναι:

Όπου στην περίπτωση του τρέχοντος κύματος η ποσότητα υ=√(Τ/μ)  μας δίνει την (φασική) ταχύτητα διάδοσης της διαταραχής (ταχύτητα κύματος). Σε κάθε άλλη περίπτωση μένει μια ποσότητα εξαρτώμενη από την αδράνεια και την ελαστικότητα της χορδής, χωρίς να «λειτουργεί» ως ταχύτητα ενός ανύπαρκτου κύματος.

Αλλά τότε η ίδια διαφορική εξίσωση περιγράφει και το τρέχον κύμα σε χορδή (υποτίθεται απείρου μήκους) και το στάσιμο κύμα ή την ταλάντωση μιας χορδής με σταθερά ή μη άκρα.

Δεν υπάρχει δηλαδή κάποια  διαφορά (στο 2^ο  νόμο του Νεύτωνα…), για την επιτάχυνση ενός τμήματος χορδής, ανάλογα με το τι ακριβώς συμβαίνει στη χορδή ή πόσο είναι το μήκος της…

Διαβάστε τη συνέχεια...

ή

 Μια χορδή με σταθερό το ένα της άκρο

Τριβή ολίσθησης και αρμονική ταλάντωση

Μια ομογενής σανίδα ΑΒ μήκους l και μάζας Μ=4kg ηρεμεί σε λείο οριζόντιο επίπεδο, δεμένη στο άκρο οριζόντιου ιδανικού ελατηρίου σταθεράς k=40Ν/m. Τοποθετείται πάνω στη σανίδα, στο άκρο της Α, ένα σώμα Σ, μάζας m=2kg, το οποίο εμφανίζει με τη σανίδα συντελεστή τριβής ολίσθησης μ=0,4. Σε μια στιγμή t=0, το σώμα Σ δέχεται στιγμιαίο κατάλληλο κτύπημα, με αποτέλεσμα να αποκτήσει ταχύτητα υ_ο=6m/s και να κινηθεί κατά μήκος της σανίδας, εγκαταλείποντάς την, μετά από λίγο, από το άκρο της Β, με ταχύτητα υ₁=2m/s, όπως στο σχήμα.

i) Να υπολογιστεί το μήκος της σανίδας.

ii) Αν το άκρο της σανίδας Α βρίσκεται αρχικά στη θέση x=0, να γίνει η γραφική παράσταση x=x(t) της θέσης του σε συνάρτηση με το χρόνο

Δίνεται π²≈10.

Απάντηση:

ή

  Τριβή ολίσθησης και αρμονική ταλάντωση

Τριβή ολίσθησης και αρμονική ταλάντωση

Παράλληλες δυνάμεις, η άνωση και η πλεύση.

Ας δούμε τώρα αν μια ισορροπία είναι ευσταθής ή όχι.

Παράδειγμα 5^ο:

Στην επιφάνεια ενός υγρού ισορροπεί μια ανομοιογενής σφαίρα κέντρου μάζας C, μισοβυθυσμένη και έστω Κ, το κέντρο άνωσης. Η παραπάνω ισορροπία είναι ευσταθής, ασταθής ή αδιάφορη;

Απάντηση:

Και στις τρεις παραπάνω περιπτώσεις η σφαίρα ισορροπεί. Για να χαρακτηρίσουμε την ισορροπία, ας υποθέσουμε ότι οι τρεις σφαίρες, εκτρέπονται λίγο προς τα δεξιά. Η περιστροφή έγινε ως προς άξονα κάθετο στο επίπεδο της σελίδας, που περνά από το κέντρο μάζας C και προφανώς προκλήθηκε από κάποια ροπή.

Διαβάστε τη συνέχεια....
ή

 Παράλληλες δυνάμεις,  η άνωση και η πλεύση.

Παράλληλες δυνάμεις,  η άνωση και η πλεύση.

Πληροφορίες από ένα διάγραμμα ταχύτητας

Ένα σώμα Σ₁ μάζας m₁=1kg εκτελεί ΑΑΤ δεμένο στο άκρο οριζόντιου ελατηρίου, σε λείο οριζόντιο επίπεδο. Τη στιγμή t₁ το σώμα Σ₁ συγκρούεται μετωπικά με δεύτερο σώμα Σ₂, το οποίο κινείται στο ίδιο οριζόντιο επίπεδο. Στο σχήμα δίνεται το διάγραμμα της ταχύτητας του Σ₁ σε συνάρτηση με το χρόνο, θεωρώντας την προς τα δεξιά κατεύθυνση ως θετική. Αντλώντας στοιχεία από το διάγραμμα αυτό, να απαντήσετε στις ακόλουθες ερωτήσεις:

i) Ποια η τιμή της σταθεράς k του  ελατηρίου και ποια η αρχική απομάκρυνση του σώματος Σ₁;

ii) Η κρούση μεταξύ των δύο σωμάτων είναι ελαστική ή όχι; Να δικαιολογήσετε πλήρως την απάντησή σας.

iii) Πόση είναι η μάζα του σώματος Σ₂ και ποια η ταχύτητά του ελάχιστα πριν την κρούση;

iv) Πόσο τοις εκατό μετεβλήθη το πλάτος ταλάντωσης, λόγω της κρούσης;

v) Να δώσετε την εξίσωση της απομάκρυνσης σε συνάρτηση με το χρόνο (x-t) για την νέα ταλάντωση που προκύπτει μετά την κρούση.

Δίνεται π²≈10.

Απάντηση:

ή

   Πληροφορίες από ένα διάγραμμα ταχύτητας
Πληροφορίες από ένα διάγραμμα ταχύτητας

Μια κρούση στη διάρκεια μιας οριζόντιας βολής

Από μια θέση Ο, σε ορισμένο ύψος από το έδαφος, εκτοξεύεται οριζόντια μια σφαίρα μάζας m=1kg με ταχύτητα υ_ο=1m/s. Η σφαίρα στην πορεία της και αφού μετατοπισθεί κατακόρυφα κατά h=0,2m, συναντά μια πλάκα Σ μάζας Μ=2kg. Η πλάκα πριν την κρούση ταλαντώνεται κατακόρυφα με πλάτος Α₁=0,3m, στο πάνω άκρο ιδανικού ελατηρίου, με φυσικό μήκος l_ο=1,2m και σταθερά k=25N/m. Η κρούση είναι ελαστική, χωρίς να εμφανιστούν τριβές στη διάρκειά της. Μετά από λίγο, η σφαίρα φτάνει στο σημείο Μ, στο ίδιο οριζόντιο επίπεδο με το σημείο εκτόξευσης Ο, έχοντας οριζόντια ταχύτητα μέτρου υ_Μ.

i) Να υπολογίσετε την ταχύτητα υ_Μ.

ii) Να βρείτε την μεταβολή της ορμής της σφαίρας, εξαιτίας της κρούσης.

iii) Ποια η ταχύτητα της πλάκας ελάχιστα πριν και αμέσως μετά την κρούση της με τη σφαίρα;

iv) Πόσο απέχει από το έδαφος η πλάκα της στιγμής της κρούσης;

v) Να βρεθεί το νέο πλάτος ταλάντωσης της πλάκας, μετά την κρούση.

Δίνεται g=10m/s².

Απάντηση:

ή

   Μια κρούση στη διάρκεια μιας οριζόντιας βολής

Μια κρούση στη διάρκεια μιας οριζόντιας βολής

Στη διάρκεια της ταλάντωσης έχουμε μια κρούση

Ένα σώμα Σ μάζας Μ=3kg ταλαντώνεται σε λείο οριζόντιο επίπεδο, δεμένο στο άκρο οριζόντιου ελατηρίου, σταθεράς k=375Ν/m, γύρω από μια θέση ισορροπίας Ο, όπως στο σχήμα, έχοντας ενέργεια ταλάντωσης Ε₁=7,5J. Μια  σφαίρα μάζας m=1kg είναι δεμένη στο άκρο νήματος μήκους l=2m, το άλλο άκρο του οποίου είναι σταθερά δεμένο στο σημείο Μ. Η σφαίρα συγκρατείται στη θέση Β, με το νήμα να σχηματίζει με την κατακόρυφο γωνία θ, όπου συνθ=0,6. Κάποια στιγμή αφήνουμε ελεύθερη τη σφαίρα να κινηθεί και αυτή συγκρούεται κεντρικά και ελαστικά με το σώμα Σ, τη στιγμή που το νήμα γίνεται κατακόρυφο και το Σ απέχει κατά d, από τη θέση ισορροπίας του. Μετά την κρούση η σφαίρα επιστρέφει μέχρι τη θέση που το νήμα να σχηματίσει με την κατακόρυφο γωνία φ, όπου συνφ=0,9.

Να υπολογιστούν:

i) Οι ταχύτητες της σφαίρας, ελάχιστα πριν την κρούση και αμέσως μετά από αυτήν.

ii) Οι αντίστοιχες ταχύτητες του σώματος Σ.

iii) Η απόσταση d της θέσης κρούσης, από τη θέση ισορροπίας του σώματος Σ.

iv) Η μέγιστη ταχύτητα που θα αποκτήσει το σώμα Σ, μετά την κρούση.

Απάντηση:

ή

   Στη διάρκεια της ταλάντωσης έχουμε κρούση

Στη διάρκεια της ταλάντωσης έχουμε κρούση

Η απομάκρυνση στις ταλαντώσεις

Ένα σώμα ηρεμεί σε λείο οριζόντιο επίπεδο, δεμένο στο άκρο οριζόντιου ιδανικού ελατηρίου, στη θέση Ο, όπως στο (α) σχήμα.

i) Να εξηγήσετε γιατί το ελατήριο έχει το φυσικό μήκος του.

ii) Εκτρέπουμε το σώμα προς τα δεξιά κατά d και αφήνοντάς το, αυτό εκτελεί απλή αρμονική ταλάντωση. Στο (γ) σχήμα φαίνεται το σώμα σε μια τυχαία θέση. Γράφοντας την εξίσωση της απομάκρυνσης x=Α∙ημ(ωt+φ₀), ποια ακριβώς είναι η απομάκρυνση x; Να σχεδιαστεί το διάνυσμά της πάνω στο
σχήμα.

iii) Σε μια άλλη περίπτωση το σώμα εκτρέπεται κατά d προς τα δεξιά, αλλά αφήνοντάς το, αυτό εκτελεί φθίνουσα ταλάντωση, αφού δέχεται δύναμη απόσβεσης της μορφής F=-bυ. Στη θέση Κ (σχήμα (δ)) F_ελ=F_απ, όπου F_ελ το μέτρο της δύναμης από το ελατήριο και F_απ το μέτρο της δύναμης απόσβεσης. Μας δίνεται τώρα η εξίσωση της απομάκρυνσης, η οποία έχει τη μορφή:

x= Α₀∙e^-Λt∙ημ(ωt+φ₀)

Ποια είναι τώρα η απομάκρυνση x, με βάση το διπλανό σχήμα (ε), το διάνυσμα x₁ ή το διάνυσμα x₂;

iv) Το ίδιο σώμα, τίθεται σε εξαναγκασμένη ταλάντωση, με την επίδραση οριζόντιας εξωτερικής δύναμης της μορφής F_εξ=F₀∙ημ(ω_δt), ενώ ταυτόχρονα δέχεται και δύναμη απόσβεσης F_απ=-bυ. Αν η απομάκρυνση του σώματος δίνεται από την εξίσωση x=Α∙ημ(ω_δt+φ₀), τότε η απομάκρυνση x αντιστοιχεί:

α) στο διάνυσμα x₁, β) στο διάνυσμα x₂,  γ) σε άλλο διάνυσμα

του σχήματος (ε).

v) Ποια θα ήταν η απάντηση στο προηγούμενο ερώτημα, αν η εξωτερική δύναμη είχε τη μορφή:

F_εξ=F₀∙συν(ω_δt);

Απάντηση:

ή

   Η απομάκρυνση στις ταλαντώσεις

Η απομάκρυνση στις ταλαντώσεις

Δυο ελαστικές κρούσεις

Μια σφαίρα μάζας m=0,5kg ηρεμεί στο κάτω άκρο κατακόρυφου νήματος μήκους =1,25m, (θέση 1), το άλλο άκρο του οποίου έχει προσδεθεί σε σταθερό σημείο Ο. Ένα σώμα Σ μάζας m₁=2,5kg κινείται με σταθερή ταχύτητα υ₀ σε λείο οριζόντιο επίπεδο και συγκρούεται κεντρικά και ελαστικά με τη σφαίρα, με αποτέλεσμα αυτή μετά την κρούση, να εκτρέπεται μέχρι τη θέση (2), όπου το νήμα γίνεται οριζόντιο.

i)  Να υπολογιστεί η αρχική ταχύτητα υ₀ του σώματος Σ, καθώς και η μεταβολή της ορμής του, η οποία οφείλεται στην κρούση.

ii) Επαναλαμβάνουμε το πείραμα, αλλά τώρα το σώμα Σ κινείται με ταχύτητα u₀, όταν συγκρούεται ξανά κεντρικά και ελαστικά με τη σφαίρα. Μετά την κρούση, τη στιγμή που η σφαίρα περνά από την θέση (2), η τάση του νήματος είναι ίση με Τ=4,4Ν.

α) Να υπολογιστεί η τάση του νήματος, ελάχιστα πριν και ελάχιστα μετά την κρούση.

β) Να βρεθεί η αρχική ταχύτητα u₀ του σώματος Σ πριν την κρούση.

Δίνεται g=10m/s².

Απάντηση:

ή

    Δυο ελαστικές κρούσεις

Δυο ελαστικές κρούσεις