Ο τροχός σε λείο κεκλιμένο επίπεδο

Ένας τροχός, η μάζα του οποίου θεωρείται συγκεντρωμένη στην περιφέρειά του, αφήνεται σε λείο κεκλιμένο επίπεδο κλίσεως θ, ενώ πάνω του ασκείται ένα ζεύγος δυνάμεων με ροπή, όπως στο σχήμα και μέτρου τ=mgR∙ημθ, όπου m η μάζα και R η ακτίνα του τροχού.

i) Υποστηρίζεται ότι ο τροχός θα κυλίσει (χωρίς να ολισθήσει) προς τα κάτω. Συμφωνείτε ή διαφωνείτε με την θέση αυτή;

ii) Τη στιγμή που ο τροχός έχει κατέλθει κατακόρυφα κατά h, η κινητική του ενέργεια είναι ίση:

α) Κ=mgh,   β) Κ=2mgh,   γ) Κ=3mgh.

Απάντηση:

ή

    Ο τροχός σε λείο κεκλιμένο επίπεδο

Ο τροχός σε λείο κεκλιμένο επίπεδο

Ο τροχός και η ροπή ζεύγους

Ένας τροχός ηρεμεί σε οριζόντιο επίπεδο. Σε μια στιγμή, μέσω ενός ζεύγους δυνάμεων, δέχεται σταθερή οριζόντια ροπή όπως στο σχήμα.

i) Αν το επίπεδο είναι λείο να περιγράψετε την κίνηση που θα πραγματοποιήσει ο τροχός.

ii) Αν το επίπεδο δεν είναι λείο, τότε ο τροχός:

   α) θα εκτελέσει στροφική κίνηση γύρω από οριζόντιο άξονα που περνά από το μέσον του Ο.

   β) Θα κινηθεί προς τα δεξιά, εκτελώντας σύνθετη κίνηση.

iii) Αν ο τροχός, με την επίδραση της παραπάνω ροπής κυλίεται (χωρίς να ολισθαίνει), τότε η κινητική του ενέργεια, μόλις ολοκληρώσει 3 περιστροφές θα είναι ίση:

α) Κ< 6πτ,    β) Κ=6πτ,    γ) Κ >6πτ.

Να δικαιολογήσετε αναλυτικά τις απαντήσεις σας.

Απάντηση:

ή

   
  Ο τροχός και η ροπή ζεύγους

Ο τροχός και η ροπή ζεύγους

Δύο ράβδοι, διαφορετικοί άξονες περιστροφής.

Δυο όμοιες ομογενείς ράβδοι (1) και (2) μήκους l, μπορούν να περιστρέφονται χωρίς τριβές γύρω από κατακόρυφο άξονα, διαγράφοντας οριζόντιο επίπεδο. Ο άξονας z₁ περιστροφής της πρώτης, διέρχεται από το μέσον Κ της ράβδου, ενώ ο αντίστοιχος άξονας z₂ της δεύτερης, περνά από το σημείο Ο, όπου (ΔΟ)= ¼ l. Σε μια στιγμή ασκούνται  στην πρώτη ράβδο, δυο οριζόντιες, σταθερού μέτρου δυνάμεις F₁=F₂=F, διαρκώς κάθετες στη ράβδο, η μια στο άκρο Α και η δεύτερη στο μέσον Ε της (ΚΑ). Την ίδια στιγμή στη δεύτερη ράβδο ασκούνται ίδιες δυνάμεις στα σημεία Η και Ζ, όπου (ΗΖ)= ¼ l.

i)  Για τα χρονικά διαστήματα, t₁ και t₂,  που θα απαιτηθούν για να ολοκληρωθεί η πρώτη περιστροφή των δύο ράβδων, ισχύει:

α) t₁ < t₂,    β) t₁ = t₂,    γ)  t₁ > t₂.

ii) Αν L₁ το μέτρο της στροφορμής της πρώτης ράβδου ως προς τον άξονα περιστροφής της z₁ και L₂ η αντίστοιχη στροφορμή της δεύτερης ως προς τον άξονα z₂, τις στιγμές t₁ και t₂, ισχύει:

α) L₁ < L₂,    β) L₁ = L₂,    γ)  L₁ > L₂.

iii) Τις στιγμές t₁ και t₂, που οι δυο ράβδοι έχουν ολοκληρώσει μια περιστροφή, έχουν κινητικές ενέργειες Κ₁ και Κ₂.  Για τις ενέργειες αυτές ισχύει:

α)   Κ₁ < Κ₂,   β)   Κ₁=Κ₂,    γ)   Κ₁ > Κ₂.

iv) Ο άξονας περιστροφής ασκεί οριζόντια δύναμη:

α) Μόνο στην (1) ράβδο,   β) Μόνο στην (2) ράβδο,   γ) και στις δύο ράβδους,   δ) σε καμιά ράβδο.

Να δικαιολογήσετε τις απαντήσεις σας.

Απάντηση:

ή

Δύο ράβδοι, διαφορετικοί άξονες περιστροφής.

Δύο ράβδοι, διαφορετικοί άξονες περιστροφής.

Ένα ζεύγος δυνάμεων και το έργο του.

Μια λεπτή οριζόντια ομογενής ράβδος ΑΒ μήκους l=2m ηρεμεί σε λείο οριζόντιο επίπεδο. Σε μια στιγμή (t₀=0) στη ράβδο ασκούνται  δύο αντιπαράλληλες δυνάμεις, με σταθερά μέτρα F₁=F₂=5Ν, οι οποίες σχηματίζουν διαρκώς με τον άξονα της ράβδου γωνία θ, όπου ημθ=0,6 και συνθ=0,8. Η F₁ ασκείται στο άκρο Α και η F₂ στο μέσον της Κ της ράβδου.

i) Πόση κινητική ενέργεια έχει η ράβδος τη στιγμή t₁ που έχει περιστραφεί κατά γωνία φ=12rad;

ii) Πόσο είναι το έργο κάθε δύναμης μέχρι τη στιγμή t₁;

iii) Αν η ράβδος έχει μήκος l=2m και μάζα 6kg, να υπολογιστούν:

 α) Οι αρχικές επιταχύνσεις των σημείων εφαρμογής Α και Κ των δύο δυνάμεων.

 β) Η χρονική στιγμή t₁.

 γ) Ο ρυθμός μεταβολής της κινητικής ενέργειας της ράβδου τη στιγμή t₁.

 δ) Το μέτρο της ταχύτητας του άκρου Α, καθώς και η στιγμιαία ισχύς της δύναμης F₁, την παραπάνω στιγμή;

Δίνεται η ροπή αδράνειας της ράβδου ως προς κάθετο άξονα που περνά από το μέσον της  Ι=(1/12)ml².

Απάντηση:

ή

Ένα ζεύγος δυνάμεων και το έργο του.

Ένα ζεύγος δυνάμεων και το έργο του.

Μια κρούση στερεού. Β΄ Θέμα.

Σε λείο οριζόντιο επίπεδο ηρεμεί σε κατακόρυφη θέση μια λεπτή ομογενής ράβδος ΑΒ. Μια μικρή σφαίρα κινείται προς τη ράβδο και συγκρούεται ελαστικά  με αυτήν έχοντας τη στιγμή της κρούσης οριζόντια ταχύτητα υ (σχήμα (1)) . Η σφαίρα προσπίπτει στο σημείο Μ της ράβδου, χαμηλότερα του μέσου της Κ.

i)  Το μέσον Κ της ράβδου, μετά την κρούση, θα αποκτήσει ταχύτητα προς τα δεξιά ή προς τα αριστερά;

ii)  Αν μετά από λίγο η ράβδος γίνεται οριζόντια για πρώτη φορά, ποια από τις παρακάτω εικόνες (α, β, γ, δ), δείχνει τη θέση στην οποία μπορεί να βρίσκεται;

iii) Αν η ράβδος δεν ήταν ομογενής αλλά το κέντρο μάζας της ήταν το σημείο Μ, να περιγράψετε την κίνησή της μετά την κρούση.

iv) Αν η ταχύτητα υ της σφαίρας πριν την κρούση δεν ήταν οριζόντια, αλλά πλάγια (σχήμα (2)), τι θα άλλαζε στις παραπάνω απαντήσεις σας;

Απάντηση:

ή

Μια κρούση στερεού. Β΄ Θέμα.

Μια κρούση στερεού. Β΄ Θέμα.

Η κίνηση της ράβδου στο άκρο νήματος

Η ομογενής ράβδος ΑΒ, μάζας m και μήκους l, κρατείται στη θέση (1) του διπλανού σχήματος, με το άκρο της Α δεμένο στο άκρο (τεντωμένου) αβαρούς και μη εκτατού νήματος, του ίδιου μήκους l, το άλλο άκρο του οποίου έχει δεθεί σε σταθερό σημείο Ο. Σε μια στιγμή αφήνουμε τη ράβδο να κινηθεί σε κατακόρυφο επίπεδο και μετά από λίγο περνά από τη θέση (2) όπου ο άξονας της ράβδου είναι συνέχεια του νήματος σχηματίζοντας γωνία θ με την κατακόρυφο.
Στη θέση αυτή το μέσον Κ της ράβδου έχει ταχύτητα μέτρου υ και το άκρο Α ταχύτητα μέτρου υ_Α=0,4υ. Για τη θέση (2):

i) Να σχεδιάσετε πάνω στο σχήμα τις παραπάνω ταχύτητες των σημείων Α και Κ και να δικαιολογήσετε τις κατευθύνσεις τους.

ii) Η κινητική ενέργεια της ράβδου υπολογίζεται από την εξίσωση:

α) Κ=0,5mυ²,    β) Κ=0,56mυ²,    γ) Κ=1,86mυ²,    δ) Κ=3,36mυ².

iii) Το μέτρο της στροφορμής της ράβδου, ως προς οριζόντιο άξονα που περνά από το μέσον της Κ (η ιδιοστροφορμή της) δίνεται από την εξίσωση:

α) L_Κ=0,1mυl,   β)  L_Κ=0,4mυl,   γ) L_Κ=mυl,   δ) L_Κ=1,6mυl.

iv) Το μέτρο της στροφορμής της ράβδου, ως προς οριζόντιο άξονα που περνά από το άκρο Ο του νήματος, δίνεται από την εξίσωση:

α) Lο=mυl,    β) Lο=1,5mυl,    γ) Lο=1,6mυl,    δ) Lο=1,8mυl.

v) Αν για τη γωνία που σχηματίζει το νήμα με την κατακόρυφο δίνεται ότι ημθ=0,6 και συνθ=0,8, τότε:

   Va) Το μέτρο του ρυθμού μεταβολής της στροφορμής της ράβδου ως προς οριζόντιο άξονα που περνά από το μέσον της Κ είναι:

α) dL_κ/dt=0,   β) dL_κ/dt=0,6mgl,   γ) dL_κ/dt=0,9mgl,    δ) dL_κ/dt=1,2mgl.

 Vb) Το μέτρο του ρυθμού μεταβολής της στροφορμής της ράβδου ως προς οριζόντιο άξονα που περνά από το άκρο Ο του νήματος είναι:

α) dLο/dt=0,   β) dLο/dt=0,6mgl,   γ) dLο/dt=0,9mgl,    δ) dLο/dt=1,2mgl.

Να δικαιολογήσετε τις απαντήσεις σας.

Δίνεται η ροπή αδράνειας της ράβδου ως προς κάθετο άξονα που περνά από το μέσον της Ι=(1/12)ml².

Απάντηση:

ή

Η κίνηση της ράβδου στο άκρο νήματος

Η κίνηση της ράβδου στο άκρο νήματος

Η περιστροφή ενός τριγώνου

Τρεις ομογενείς ράβδοι, μήκους l=2m και μάζας 3kg η καθεμιά, συνδέονται, δημιουργώντας ένα ισόπλευρο τρίγωνο πλευρά l. Το τρίγωνο αυτό (στερεό s) μπορεί να περιστρέφεται, χωρίς τριβές, γύρω από κατακόρυφο άξονα z, ο οποίος περνά από την κορυφή Α και το μέσον της ΒΓ, όπως στο σχήμα.

i)   Αν Ι_ο η ροπή αδράνειας μιας ράβδου ως προς κάθετο άξονα που περνά από το μέσον, να αποδείξετε ότι η ροπή αδράνειας της ράβδου ΑΒ ως προς τον κατακόρυφο άξονα z, δίνεται από την σχέση:

Ι_z=4Ι_ο∙ημ²θ.

    όπου θ η γωνία που σχηματίζει η ράβδος με τον άξονα.

ii) Να υπολογίσετε τη ροπή αδράνειας του στερεού s, ως προς τον άξονα z.

iii) Θέτουμε τη στιγμή t₀=0, το στερεό σε περιστροφή ασκώντας στην κορυφή Γ, οριζόντια δύναμη μέτρου F=4Ν, κάθετη στην πλευρά ΒΓ, με φορά προς τα μέσα στο σχήμα.           
Να υπολογιστούν τη χρονική στιγμή t₁=5s:

α) Η γωνιακή ταχύτητα του στερεού s και η στροφορμή του κατά (ως προς) τον άξονα z.

β) Η κινητική ενέργεια του στερεού, καθώς και ο ρυθμός μεταβολής της κινητικής του ενέργειας.

iv) Σταματάμε την περιστροφή και αφαιρούμε τον άξονα z. Περνάμε την κορυφή Α σε δεύτερο οριζόντιο άξονα x, κάθετο στο επίπεδο του τριγώνου, γύρω από τον οποίο το στερεό s μπορεί να περιστρέφεται χωρίς τριβές. Φέρνουμε το στερεό σε τέτοια θέση ώστε η πλευρά ΒΓ να είναι κατακόρυφη και το αφήνουμε να κινηθεί. Να υπολογιστεί η αρχική επιτάχυνση (μέτρο και κατεύθυνση) της κορυφής Β.

Δίνεται g=10m/s², ενώ η ροπή αδράνειας μιας ομογενούς ράβδου ως προς κάθετο άξονα που περνά από το μέσον της Ι_ο= (1/12)ml².

Απάντηση:

ή

Η περιστροφή ενός τριγώνου

Η περιστροφή ενός τριγώνου

Η κρούση και η διατήρησης της στροφορμής

Μια μικρή σφαίρα μάζας m=1kg, την οποία θεωρούμε υλικό σημείο, κρέμεται στο άκρο αβαρούς νήματος μήκους l₁=5m, από σταθερό σημείο Ο. Στην ίδια κατακόρυφο ισορροπεί μια ομογενής ράβδος ΚΒ, μήκους l=2m και μάζας Μ=6kg, όπου το άκρο της Β εφάπτεται της σφαίρας. Η ράβδος μπορεί να στρέφεται γύρω από οριζόντιο άξονα που περνά από το άκρον της Κ.

Μετακινούμε τη σφαίρα φέρνοντάς την στη θέση Α, όπου το νήμα είναι τεντωμένο και οριζόντιο και την αφήνουμε να κινηθεί. Φτάνοντας στην κατακόρυφο, συγκρούεται με το άκρο της ράβδου και αμέσως μετά, κινείται προς τα αριστερά με ταχύτητα μέτρου υ₁=2m/s.

i)   Να βρεθεί η ταχύτητα της σφαίρας πριν την κρούση, καθώς και η μεταβολή της ορμής της, η οποία οφείλεται στην κρούση.

ii)  Θέλουμε να υπολογίσουμε τη γωνιακή ταχύτητα την οποία αποκτά η ράβδος λόγω της κρούσης. Για το σκοπό αυτό θα εφαρμόσουμε την αρχή διατήρησης της στροφορμής για το σύστημα, ως προς οριζόντιο άξονα, ο οποίος περνά:

α) Από το σημείο Ο,  

β) από το σημείο Κ περιστροφής της ράβδου, 

γ) από το μέσον Μ της ράβδου.

Να δικαιολογήσετε με ποιον ή ποιους από τους παραπάνω άξονες, μπορείτε να δουλέψετε και στη συνέχεια να υπολογίσετε τη γωνιακή ταχύτητα της ράβδου.

iii) Να υπολογιστεί η μεταβολή της ορμής της ράβδου, η οποία οφείλεται στην κρούση. Η ορμή του συστήματος σφαίρα-ράβδος διατηρήθηκε κατά την κρούση αυτή;

iv) Να υπολογιστεί η απώλεια μηχανικής ενέργειας που οφείλεται στην κρούση.

Δίνεται g=10m/s² ενώ η ροπή αδράνειας της ράβδου ως προς τον άξονα περιστροφής της  Ι= 1/3 Μl².

Απάντηση:

ή

Η κρούση και η διατήρησης της στροφορμής

Η κρούση και η διατήρησης της στροφορμής

Τι γίνεται στην ένωση δύο ράβδων;

Σε λείο οριζόντιο επίπεδο ηρεμεί ένα στερεό ΑΒ, το οποίο μπορεί να στρέφεται γύρω από κατακόρυφο άξονα που περνά από το άκρο Α και το οποίο αποτελείται από δυο ομογενείς ράβδους ΑΟ και ΟΒ με ίδιο μήκος l και μάζας m και Μ. Κάποια στιγμή ασκούμε στο άκρο Β μια οριζόντια δύναμη F στο άκρο Β, κάθετη στη ράβδο.

Αμέσως μετά η ράβδος ΑΟ:

α) Δέχεται δύναμη από την ράβδο ΟΒ ίδιας φοράς με την F.

β) Δέχεται δύναμη από την ράβδο ΟΒ αντίθετης φοράς από την F.

γ) Εξαρτάται.

Ποια είναι η φορά της ροπής ζεύγους η οποία ασκείται στη ράβδο ΑΟ, λόγω αλληλεπίδρασης με την ΟΒ;

Απάντηση:

ή

Τι γίνεται στην ένωση δύο ράβδων;

Τι γίνεται στην ένωση δύο ράβδων;

Η «ιδιοστροφορμή» μετατρέπεται σε στροφορμή

Μια οριζόντια ομογενής σανίδα ΑΟ μήκους l=2m και μάζας m=3kg μπορεί να στρέφεται γύρω από κατακόρυφο άξονα z₁, ο οποίος περνά από το άκρο της Α, χωρίς τριβές. Στο άλλο της άκρο Ο, έχει συνδεθεί κατακόρυφος άξονας z₂, γύρω από τον οποίο μπορεί να περιστρέφεται οριζόντιος δίσκος ακτίνας R=1m και μάζας Μ=4kg. Θέτουμε τον δίσκο σε περιστροφή, όπως στο σχήμα (ο δίσκος είναι σε οριζόντιο επίπεδο ελαφρά πάνω από τη σανίδα, οπότε δεν εφάπτεται με αυτήν), με αρχική γωνιακή ταχύτητα 2rαd/s, ενώ η ράβδος συγκρατείται ακίνητη σε οριζόντια θέση και παρατηρούμε ότι εξαιτίας των τριβών μεταξύ του άξονα z₂ και του δίσκου, αυτός επιβραδύνεται και σταματά μετά από χρόνο t₁=40s.

i)  Να υπολογιστούν η αρχική στροφορμή του δίσκου ως προς τον άξονα περιστροφής του z₂ και η ροπή της τριβής που τον επιβραδύνει, θεωρώντας την σταθερή. Να σχεδιάστε πάνω στο σχήμα τα διανύσματα:

α) της αρχικής  στροφορμής και      β) της ροπής που δέχτηκε ο δίσκος από τον άξονα.

ii) Επαναλαμβάνουμε το πείραμα, αλλά τώρα αφήνουμε ελεύθερη τη ράβδο να κινηθεί και παρατηρούμε ότι αυτή αρχίζει να περιστρέφεται.

α) Να ερμηνευθεί η περιστροφή της ράβδου γύρω από τον άξονα z.

β) Να υπολογιστεί η τελική γωνιακή ταχύτητα της ράβδου.

γ) Πόση μηχανική ενέργεια μετατρέπεται σε θερμική εξαιτίας των τριβών;

Δίνεται ότι η ιδιοστροφορμή (το spin) ενός στερεού είναι ίδια ως προς οποιοδήποτε άξονα, παράλληλο προς τον άξονα που περνά από το κέντρο μάζας του. Δίνονται επίσης οι ροπές αδράνειας των στερεών, ως προς τους άξονες περιστροφής τους. Για τη ράβδο Ι₁= (1/3)ml² και για το  δίσκο Ι₂= ½ ΜR²).

Απάντηση:

ή

Η «ιδιοστροφορμή» μετατρέπεται σε στροφορμή

Η «ιδιοστροφορμή» μετατρέπεται σε στροφορμή

Μια σανίδα περιστρέφεται μαζί με τη βάση

Μια λεπτή ομογενής σανίδα ΑΒ μήκους 2m και μάζας m=3kg, μπορεί να στρέφεται γύρω από κατακόρυφο άξονα που περνά από το μέσον της Ο και ο οποίος στηρίζεται σε βάση μάζας Μ, η οποία ηρεμεί σε λείο οριζόντιο επίπεδο (πάνω σχήμα). Η βάση έχει προσδεθεί στο άκρο νήματος, μήκους l₁=2m το άλλο άκρο του οποίου έχει δεθεί σε σταθερό σημείο Κ. Θέτουμε τη σανίδα σε περιστροφή, με ωρολογιακή φορά και με γωνιακή ταχύτητα ω=2rαd/s. Στη συνέχεια ασκώντας στη βάση σταθερού μέτρου οριζόντια δύναμη F=5Ν, η διεύθυνση της οποίας παραμένει διαρκώς κάθετη στο νήμα, την θέτουμε σε κυκλική κίνηση γύρω από το σημείο Κ, μέχρι να διατρέξει (η βάση) μήκος τόξου s=16m αποκτώντας ταχύτητα υ₁=4m/s. Τη στιγμή αυτή η δύναμη παύει να ασκείται. 
Να υπολογιστούν:

i)  Το έργο της δύναμης F και η αύξηση της κινητικής ενέργειας της ράβδου εξαιτίας της κίνησης της βάσης στήριξής της.

ii)  Η μάζα Μ της βάσης.

iii)  Η τελική στροφορμή της σανίδας ως προς κατακόρυφο άξονα ο οποίος περνά από το μέσον της Ο.

iv)  Η τελική στροφορμή της σανίδας  ως προς το κέντρο Κ περιστροφής.

v)  Η ολική στροφορμή του συστήματος βάση-σανίδα ως προς κατακόρυφο άξονα ο οποίος περνά από το κέντρο Κ της κυκλικής τροχιάς.

Δίνεται η ροπή αδράνειας της σανίδας ως προς κάθετο άξονα που περνά από το μέσον της Ι= (1/12)ml².

Απάντηση:

ή

Μια σανίδα περιστρέφεται μαζί με τη βάση

Μια σανίδα περιστρέφεται μαζί με τη βάση

Ο δίσκος περιστρέφεται από μεταβλητή δύναμη

Ο οριζόντιος ομογενής δίσκος του σχήματος, μάζας Μ=(37/8)kg και ακτίνας R=4m, μπορεί να στρέφεται χωρίς τριβές, γύρω από κατακόρυφο άξονα z, ο οποίος περνά από το κέντρο του Ο. Σε απόσταση r=1m από το κέντρο Ο, βρίσκεται κολλημένη μια όρθια πρισματική ράβδος, μήκους l=2m και μάζας m=3kg. Γύρω από τον δίσκο τυλίγουμε ένα αβαρές νήμα και κάποια στιγμή t₀=0, ασκούμε στο άκρο του οριζόντια δύναμη F, το μέτρο της οποίας μεταβάλλεται με το χρόνο, όπως στο διάγραμμα.

i) Για τη χρονική στιγμή t₁=2s, να βρεθούν:

α) Η ροπή αδράνειας του στερεού δίσκος-ράβδος.

β) Η στροφορμή του συστήματος και ο ρυθμός μεταβολής της στροφορμής του, ως προς τον άξονα z.

γ) Η ισχύς της δύναμης F, καθώς και ο ρυθμός μεταβολής της κινητικής ενέργειας της ράβδου και του δίσκου.

ii) Για το χρονικό διάστημα από t₁=2s έως t₂=4s να υπολογιστούν:

α) Η μεταβολή της στροφορμής του συστήματος δίσκος-ράβδος.

β)Το έργο της δύναμης F.

iii) Τη χρονική στιγμή t₃=5s, η ράβδος ανατρέπεται και προσκολλάται πάνω στο δίσκο, στη διεύθυνση μιας ακτίνας, όπως στο σχήμα. Να υπολογιστεί η τελική κινητική ενέργεια της ράβδου.

Δίνεται η ροπή αδράνειας του δίσκου ως προς τον άξονα περιστροφής του Ι_κ= ½ ΜR², ενώ η ροπή αδράνειας της ράβδου ως προς κάθετο άξονα που περνά από το μέσον της Ι_ρ= (1/12)ml².

Απάντηση:

ή

Ο δίσκος περιστρέφεται από μεταβλητή δύναμη

Ο δίσκος περιστρέφεται από μεταβλητή δύναμη

Η στροφορμή και μια κρούση

Ένας οριζόντιος δίσκος μάζας Μ=2kg και ακτίνας R=2m στρέφεται χωρίς τριβές γύρω από κατακόρυφο άξονα z, ο οποίος περνά από το κέντρο του Ο, με γωνιακή ταχύτητα ω=0,5rad/s. Ένα σώμα Σ, που θεωρείται υλικό σημείο μάζας m=1kg, αφήνεται να πέσει από ύψος h=0,8m, πάνω από το δίσκο και προσκολλάται σε αυτόν, στο σημείο Α, σε απόσταση x=1m από το κέντρο Ο του δίσκου.

i)  Να βρεθεί ελάχιστα πριν την κρούση του σώματος Σ με το δίσκο:

α) Η ταχύτητα του σώματος Σ καθώς και η στροφορμή του κατά (ως προς) τον άξονα z.

β) Η στροφορμή του σώματος Σ ως προς το κέντρο Ο του δίσκου, καθώς και ο αντίστοιχος ρυθμός μεταβολής της.

ii) Ποια η γωνιακή ταχύτητα περιστροφής του συστήματος, μετά την προσκόλληση του Σ πάνω στο δίσκο.

iii) Να υπολογιστεί η μεταβολή της στροφορμής:

α) του σώματος Σ   και   β) του δίσκου

που οφείλεται στην κρούση, ως προς το κέντρο Ο του δίσκου.

iv) Να υπολογιστεί η απώλεια μηχανικής ενέργειας που οφείλεται στην κρούση.

Δίνεται g=10m/s² ενώ η ροπή αδράνειας του δίσκου ως προς τον άξονά του z, Ι= ½ ΜR².

Απάντηση:

ή

Η στροφορμή και  μια κρούση

Η στροφορμή και  μια κρούση

Μια σφαίρα σε κεκλιμένο επίπεδο

Μια ομογενής σφαίρα μάζας m=14kg και ακτίνας R=0,1m, αφήνεται να κινηθεί στο σημείο Α  του κεκλιμένου επιπέδου του σχήματος και τη στιγμή t₁, περνά με ταχύτητα κέντρου μάζας υ₁=5m/s από τη θέση Β, όπου διαφοροποιείται η φύση του επιπέδου (διαφορετικός συντελεστής τριβής…), φτάνοντας στη συνέχεια στη θέση Γ, με αντίστοιχη ταχύτητα υ₂=10m/s. (Στο σχήμα, βλέπετε με μπλε γραμμή το πρώτο μέρος του κεκλιμένου επιπέδου και με κόκκινη, το υπόλοιπο).

i)  Αν στο πρώτο τμήμα του επιπέδου, από τη θέση Α μέχρι τη θέση Β η σφαίρα κυλίεται (χωρίς να ολισθαίνει), να βρεθεί η κατακόρυφη απόσταση h₁, μεταξύ των δύο θέσεων.

ii) Αν η κατακόρυφη απόσταση μεταξύ των σημείων Β και Γ είναι h₂=3,75m, να υπολογιστεί η αύξηση της κινητικής ενέργειας της σφαίρας μεταξύ των δύο αυτών θέσεων.

iii) Αν η κλίση του κεκλιμένου επιπέδου είναι θ=30°, να βρεθεί ο ρυθμός μεταβολής της στροφορμής της σφαίρας ως προς τον άξονα περιστροφής της, που περνά από το κέντρο της Ο, για την κίνηση:

 α) Από το Α στο Β,

  β) Από το Β στο Γ.

iv) Να υπολογιστεί η στροφορμή της σφαίρας, ως προς τον ίδιο άξονα, τις χρονικές στιγμές:

 α) t₂=t₁-1s  και β)  t₃=t₁+1s

Δίνεται g=10m/s² και η ροπή αδράνειας της σφαίρας ως προς μια διάμετρό της Ι=(2/5)mR².

Απάντηση:

ή

Μια σφαίρα σε κεκλιμένο επίπεδο

Μια σφαίρα σε κεκλιμένο επίπεδο

Έργα και ροπές σε μια τροχαλία

Η τροχαλία του σχήματος, αποτελείται από δύο κολλημένους ομοαξονικούς δίσκους με ακτίνες R και r=0,2m αντίστοιχα. Στον δίσκο ακτίνας r έχουμε τυλίξει αρκετές φορές ένα αβαρές μη εκτατό νήμα, στο άκρο Α του οποίου ασκούμε μια κατακόρυφη δύναμη μέτρου F₁=4Ν, όπως στο σχήμα. Τη στιγμή που το σημείο Α έχει κατέβει κατά h₁=2,5m, έχει ταχύτητα υ=1m/s.

i) Να υπολογιστεί η ενέργεια που μεταφέρεται στην τροχαλία μέσω της δύναμης F₁, καθώς και η ροπή αδράνειας της τροχαλίας.

ii)  Επαναλαμβάνουμε το πείραμα, αλλά τώρα τυλίγουμε το νήμα στο μεγάλο δίσκο και τραβάμε το άκρο Α πλάγια, ασκώντας σταθερή δύναμη F₂, η ροπή της οποίας ως προς τον άξονα περιστροφής της τροχαλίας είναι τ₂=1,6Ν∙m, μέχρι τη στιγμή t₂ που η τροχαλία ολοκληρώνει (8/π) περιστροφές. Να υπολογιστεί η γωνιακή ταχύτητα της τροχαλίας τη στιγμή t₂.

iii) Τυλίγουμε τώρα δύο παρόμοια νήματα, ένα στον μεγάλο και ένα στο μικρό δίσκο, ασκώντας τις ίδιες δυνάμεις F₁ και F₂ στα άκρα τους Β και Γ, όπως στο τρίτο σχήμα. Να υπολογιστεί η γωνιακή ταχύτητα της τροχαλίας τη στιγμή που το άκρο Β θα έχει μετακινηθεί κατά h₂=0,4m.

Απάντηση:

ή

Έργα και ροπές σε μια τροχαλία

Έργα και ροπές σε μια τροχαλία