Δύο κύματα που διαδίδονται αντίθετα

Σε ένα γραμμικό ελαστικό μέσο διαδίδονται αντίθετα δύο αρμονικά κύματα με το ίδιο μήκος κύματος και στα διπλανά σχήματα έχουμε πάρει στιγμιότυπα τη στιγμή που τα κύματα έχουν φτάσει στα σημεία Α και Β του ελαστικού μέσου.

i)  Να εξηγείστε γιατί τα δυο κύματα θα συμβάλουν στο μέσον Ο του τμήματος ΑΒ.

ii)  Στο σχήμα α, όπου τα δυο κύματα έχουν το ίδιο πλάτος τι θα προκύψει μετά τη συμβολή των δύο κυμάτων στο σημείο Ο;

 α) Θα σχηματισθεί δεσμός,  β) θα σχηματισθεί κοιλία του στάσιμου,   γ) τίποτα από τα δύο.

iii) Ποια η αντίστοιχη απάντηση για τα κύματα του σχήματος β, επίσης ίδιου πλάτους;

iv) Στο σχήμα γ, το πλάτος του κύματος (2) είναι διπλάσιο από το αντίστοιχο πλάτος του (1) κύματος (Α₂=2Α₁=2∙Α ). Να εξετασθεί αν σχηματισθεί στάσιμο κύμα μετά την συμβολή των δύο κυμάτων.

Να δικαιολογείστε αναλυτικά τις απαντήσεις σας.

Απάντηση:

ή

 Δύο κύματα που διαδίδονται αντίθετα

Δύο κύματα που διαδίδονται αντίθετα

Μια συμβολή και ένα στάσιμο χωρίς εξισώσεις.

Κατά μήκος ενός γραμμικού ελαστικού μέσου, διαδίδονται αντίθετα δύο κύματα, με το ίδιο μήκος κύματος και ίδιο πλάτος Α=0,1m, με ταχύτητα υ=1m/s. Στο διπλανό σχήμα βλέπετε τη μορφή του μέσου τη στιγμή t₀=0, όπου τα δυο κύματα φτάνουν στα σημεία Β και Γ.

i)   Να σημειωθούν πάνω στο σχήμα οι ταχύτητες ταλάντωσης των σημείων Β και Γ, στις θέσεις x_Β=0 και x_Γ=1m και να υπολογιστούν τα μέτρα τους τη στιγμή t₀=0.

ii) Να σχεδιάσετε τη μορφή του μέσου τη χρονική στιγμή t₁=1s, σημειώνοντας επίσης στο σχήμα τις ταχύτητες των σημείων Β, Γ καθώς και του μέσου Ο του ευθύγραμμου τμήματος, στη θέση x_ο=0,5m. Με ποιες μορφές εμφανίζεται η ενέργεια, την οποία μεταφέρουν τα δυο κύματα, στο τμήμα ΒΓ;

iii) Ποια η αντίστοιχη απάντηση στο προηγούμενο ερώτημα, τη χρονική στιγμή t₂=1,5s;

Απάντηση:

ή

 Μια συμβολή και  ένα στάσιμο χωρίς εξισώσεις.

Μια συμβολή και ένα στάσιμο χωρίς εξισώσεις.

Δυο πηγές που δεν ξεκίνησαν ταυτόχρονα

Στην επιφάνεια ενός υγρού βρίσκονται δυο πηγές κύματος Ο₁ και Ο₂, οι οποίες μπορούν να ταλαντώνονται σε κατακόρυφη διεύθυνση με το ίδιο πλάτος Α και με περίοδο Τ=2s. Κάποια στιγμή t₀=0, η πηγή Ο₁ αρχίζει την ταλάντωσή της, με εξίσωση απομάκρυνσης y_Ο1=Α∙ημ(πt), οπότε δημιουργείται ένα κύμα το οποίο φτάνει στο σημείο Σ της μεσοκαθέτου του Ο₁Ο₂, τη στιγμή t₁=4s και το θέτει σε ταλάντωση με πλάτος πλάτος Α₁=0,1m.

i) Να βρεθεί η εξίσωση της απομάκρυνσης για την ταλάντωση του σημείου Σ, εξαιτίας του κύματος αυτού.

ii) Η πηγή Ο₂ καθυστέρησε κατά Δt=4,5s να ξεκινήσει μια όμοια ταλάντωση με την πηγή Ο₁ και να δημιουργήσει ένα δεύτερο κύμα που διαδίδεται στην επιφάνεια του υγρού.

α)  Ποια χρονική στιγμή το 2^ο κύμα θα φτάσει στο σημείο Σ και ποια η εξίσωση της απομάκρυνσης του Σ, εξαιτίας του κύματος αυτού, σε συνάρτηση με το χρόνο;

β)  Να βρεθεί η εξίσωση της απομάκρυνσης y=f(t) του σημείου Σ εξαιτίας και των δύο παραπάνω κυμάτων.

iii) Θέλοντας να μελετήσουμε τη σύνθετη ταλάντωση, μπορούμε να θεωρήσουμε ως t₀=0, τη στιγμή που άρχισε η ταλάντωση αυτή του Σ.  Με την υπόθεση αυτή, να γράψετε νέες εξισώσεις για τις δυο επιμέρους ταλαντώσεις καθώς και την εξίσωση της απομάκρυνσης του Σ λόγω συμβολής.

Απάντηση:

ή

 Δυο πηγές που δεν ξεκίνησαν ταυτόχρονα

Δυο πηγές που δεν ξεκίνησαν ταυτόχρονα

Ένα κύμα και το διάγραμμα της φάσης

 Ένα αρμονικό κύμα διαδίδεται κατά μήκος ενός γραμμικού ελαστικού μέσου και στο διάγραμμα δίνεται η φάση της απομάκρυνσης των σημείων του μέσου τη χρονική στιγμή t₁=3,4s, όπου τη στιγμή t₀=0  ξεκίνησε η πηγή του κύματος, την ταλάντωσή της.

i)  Το κύμα αυτό διαδίδεται προς τα δεξιά ή προς τα αριστερά και γιατί;

ii) Να βρεθεί η περίοδος και το μήκος του κύματος.

iii) Ποια είναι η εξίσωση του κύματος, αν το πλάτος του είναι 0,2m;

iv) Να σχεδιάστε το στιγμιότυπο του κύματος την στιγμή t₁.

v) Να γίνει η γραφική παράσταση της φάσης της απομάκρυνσης του σημείου Ο, στη θέση x=0, σε συνάρτηση με το χρόνο.

Απάντηση:

ή

 Ένα κύμα και το διάγραμμα της φάσης

Ένα κύμα και το διάγραμμα της φάσης

Δυο κύματα με την ίδια εξίσωση κύματος.

Κατά μήκος δύο γραμμικών ελαστικών μέσων και από αριστερά προς τα  δεξιά (θετική κατεύθυνση) διαδίδονται δύο αρμονικά κύματα με το ίδιο πλάτος Α=0,2m και την ίδια ταχύτητα διάδοσης υ=2m/s. Τη στιγμή t_ο=0, το πρώτο κύμα (Ι) φτάνει στο σημείο Ο, στη θέση x=0, ενώ το δεύτερο (ΙΙ) στο σημείο Κ, στη θέση x=2m, όπως παρουσιάζονται στο διπλανό σχήμα.

i)   Να υπολογιστεί η περίοδος ταλάντωσης των σημείων των δύο μέσων.

ii)  Ποια η εξίσωσης της απομάκρυνσης σε συνάρτηση με το χρόνο, για την ταλάντωση που πρόκειται να ξεκινήσουν τα σημεία Ο και Κ, στα οποία φτάνουν τα δύο κύματα, με δεδομένο ότι η προς τα πάνω κατεύθυνση θεωρείται θετική;

iii) Να βρεθούν οι εξισώσεις των δύο κυμάτων.

iv) Ποια η εξίσωση της απομάκρυνσης σε συνάρτηση με το χρόνο, του σημείου Ο΄ στη θέση x=0, του δεύτερου κύματος;

Απάντηση:

ή

 Δυο κύματα με την ίδια εξίσωση κύματος.

Δυο κύματα με την ίδια εξίσωση κύματος.

Ένα κύμα σε άπειρο μέσον

Κατά μήκος ενός γραμμικού ελαστικού μέσου, πολύ μεγάλου μήκους, διαδίδεται από αριστερά προς τα δεξιά (θετική φορά) ένα αρμονικό κύμα, πλάτους Α=0,2m και μήκους κύματος λ=2m, με ταχύτητα υ=1m/s. Στο διπλανό σχήμα βλέπετε ένα «παράθυρο» που μας επιτρέπει να βλέπουμε μια μικρή περιοχή του κύματος (το οποίο έχει διαδοθεί πολύ πέρα του δεξιού άκρου του παραθύρου). Για να γράψουμε εξίσωση για το κύμα αυτό, παίρνουμε ένα σύστημα αξόνων x,y με αρχή το σημείο Ο και θεωρούμε επίσης τη στιγμή που έχουμε το παραπάνω στιγμιότυπο, ως αρχή μέτρησης των χρόνων (t₀=0).

i) Να γράψετε την εξίσωση που περιγράφει το παραπάνω κύμα.

ii) Ποια η φάση της απομάκρυνσης των σημείων Ο και Σ τη στιγμή t₀=0;

iii) Να κάνετε τη γραφική παράσταση της φάσης της απομάκρυνσης του σημείου Σ σε συνάρτηση με το χρόνο (φ=f(t)).

iv) Να σχεδιάστε το στιγμιότυπο του κύματος τη χρονική στιγμή t₁=7,5s, για την ίδια περιοχή του μέσου.

v) Να παραστήστε επίσης γραφικά την ταχύτητα ταλάντωσης του σημείου Σ σε συνάρτηση με το χρόνο, από t₀ έως t₁.

Απάντηση:

ή

 Ένα κύμα σε άπειρο μέσον

Ένα κύμα σε άπειρο μέσον

Ένα κύμα και οι φάσεις της απομάκρυνσης σημείων

Κατά μήκος ενός γραμμικού ελαστικού μέσου που ταυτίζεται με έναν προσανατολισμένο άξονα x και από αριστερά προς τα δεξιά (προς τη θετική κατεύθυνση), διαδίδεται ένα αρμονικό κύμα. Η εικόνα του μέσου τη στιγμή t=0, είναι αυτή του διπλανού σχήματος, όπου το κύμα έχει φτάσει στο σημείο Κ, στη θέση x=1,5m. 

Αν η επιτάχυνση, τη στιγμή αυτή, του σημείου Ο, στη θέση x=0, είναι ίση με 12m/s², ζητούνται:

i) Η εξίσωση της απομάκρυνσης σε συνάρτηση με το χρόνο (y=y(t)) των σημείων Κ και Ο.

ii) Η εξίσωση του κύματος.

iii) Η φάση της απομάκρυνσης του σημείου Κ, σε συνάρτηση με το χρόνο και να παρασταθεί γραφικά.

iv) Η γραφική παράσταση της φάσης του σημείου Ο, σε συνάρτηση με το χρόνο.

v) Η γραφική παράσταση της φάσης των διαφόρων σημείων του μέσου τη χρονική στιγμή t₁=3,5s.

Δίνεται π² ≈10.

Απάντηση:

ή

 Ένα κύμα και οι φάσεις της απομάκρυνσης σημείων

Ένα κύμα και οι φάσεις της απομάκρυνσης σημείων

Αν το κύμα οδεύει προς τα αριστερά.

Σε γραμμικό ελαστικό μέσο και από τα δεξιά προς τ’ αριστερά (προς την αρνητική κατεύθυνση) διαδίδεται ένα αρμονικό κύμα με στιγμιότυπο τη στιγμή t₀=0, όπως στο πρώτο από τα διπλανά διαγράμματα. Το αντίστοιχο στιγμιότυπο τη στιγμή t₁=0,5s είναι όπως στο δεύτερο διάγραμμα.

i) Χρησιμοποιώντας πληροφορίες από τα διαγράμματα αυτά να βρείτε:

α) το πλάτος και το μήκος του κύματος,

β) τη συχνότητα και την ταχύτητα διάδοσης του κύματος.

ii) Ποια η εξίσωση του κύματος;

iii) Να σχεδιάστε το στιγμιότυπο του κύματος τη χρονική στιγμή t₂=2,5s και μέχρι τη θέση x_Β=2,5m στον θετικό ημιάξονα.

iv) Για το σημείο Β,  στη θέση x_Β=2,5m:

α)   Να βρεθεί η εξίσωση της απομάκρυνσης σε συνάρτηση με το χρόνο (y-t) και να κάνετε τη γραφική της παράσταση.

β) Να κάνετε τη γραφική παράσταση της ταχύτητας ταλάντωσης του σημείου Β, σε συνάρτηση με το χρόνο.

Απάντηση:

ή

 Αν το κύμα οδεύει προς τα αριστερά.

Αν το κύμα οδεύει προς τα αριστερά.