Καμπυλόγραμμη και όχι κυκλική κίνηση

 

Σε λείο οριζόντιο επίπεδο, στην θέση Α, ηρεμεί μια σφαίρα μάζας 4kg, την οποία θεωρούμε υλικό σημείο, δεμένη στο άκρο ιδανικού ελατηρίου σταθεράς k=50Ν/m, με φυσικό μήκος lο=3m, το άλλο άκρο του οποίου έχει δεθεί σε σημείο Ο του επιπέδου. Σε μια στιγμή η σφαίρα δέχεται ένα στιγμιαίο κτύπημα αποκτώντας ταχύτητα υο=10m/s, κάθετη στον άξονα  του ελατηρίου, όπως στο σχήμα (σε κάτοψη). Η σφαίρα ακολουθώντας μια καμπύλη τροχιά, μετά από λίγο περνά από την θέση Β, όπου το μήκος του ελατηρίου είναι l1=5m.

1. Να υπολογισθεί το μέτρο της ταχύτητας υ1 της σφαίρας στο σημείο Β.
2.  Να βρεθεί η γωνία που σχηματίζει η ταχύτητα υ1 με τον άξονα του ελατηρίου.
3. Να υπολογισθεί η επιτάχυνση της σφαίρας στις θέσεις Α και Β.
4. Να υπολογισθεί η ακτίνα R ενός κύκλου και να προσδιορισθεί το κέντρο του Κ, ο οποίος μπορεί να προσεγγίσει την τροχιά της σφαίρας στη θέση Β (η ακτίνα καμπυλότητας της τροχιάς στο Β).
5. Να εξετάσετε τον ρόλο της επιτάχυνσης στη θέση Β, όπως την ερμηνεύει ένας παρατηρητής στο Ο και ένας άλλος παρατηρητής στο κέντρο Κ της κυκλικής τροχιάς, του παραπάνω κύκλου.
6. Να υπολογισθεί η στροφορμή της σφαίρας και ο ρυθμός μεταβολής της, ως προς το Κ, τη στιγμή που η σφαίρα περνά από την θέση Β.

Δίνεται ότι ένα υλικό σημείο το οποίο κινείται με ταχύτητα υ, ευρισκόμενο σε σημείο Α, που απέχει r από το τυχαίο σημείο Μ παρουσιάζει ως προς το M, στροφορμή μέτρου L=mυ1r, όπου υ1 η συνιστώσα της ταχύτητας η κάθετη στην απόσταση r, με κατεύθυνση όπως στο σχήμα.

Απάντηση:

ή

 Καμπυλόγραμμη και όχι κυκλική κίνηση

 Καμπυλόγραμμη και όχι κυκλική κίνηση

Η κρούση με μια άγνωστη σφαίρα

 

Δυο  μικρές σφαίρες Α και Β, αμελητέων διαστάσεων, είναι δεμένες στα κάτω άκρα δύο αβαρών και μη εκτατών νημάτων, με το ίδιο μήκος l=2m,  τα άλλα άκρα των οποίων έχουν δεθεί σε σταθερό σημείο Ο. Εκτρέπουμε την σφαίρα Α κατά γωνία θ (όπου ημθ=0,8 και συνθ=0,6) και την σφαίρα Β στην αντίθετη πλευρά, ώστε το νήμα να γίνει οριζόντιο, όπως στο σχήμα. Σε μια στιγμή αφήνουμε ελεύθερη την σφαίρα Β και μετά από λίγο και την σφαίρα Α. Οι δυο σφαίρες συγκρούονται στην θέση Κ, όπου τα νήματα γίνονται κατακόρυφα. Η Α σφαίρα έχει μάζα 0,4kg και μετά την κρούση κινείται προς τα αριστερά, με αποτέλεσμα το νήμα εκτρέπεται κατά μια μέγιστη γωνία φ, όπου συνφ=0,75. Ζητούνται:

i)  Ο αρχικός ρυθμός μεταβολής της στροφορμής της σφαίρας Α, αμέσως μόλις αφεθεί να κινηθεί, ως προς το σημείο Ο.

ii)  Η στροφορμή της σφαίρας Α και ο ρυθμός μεταβολής της, ως προς το Ο, ελάχιστα πριν την κρούση των δύο σφαιρών.

iii) Το μέγιστο μέτρο του ρυθμού μεταβολής της στροφορμής της σφαίρας Α, ως προς το Ο, μετά την κρούση.

iv) Η μεταβολή της στροφορμής ως προς το Ο της σφαίρας Β, η οποία οφείλεται στην κρούση.

Δίνεται g=10m/s²

Απάντηση:

ή

 Η κρούση με μια άγνωστη σφαίρα

 Η κρούση με μια άγνωστη σφαίρα