Τέσσερις τρόποι άντλησης νερού.

Στα παραπάνω σχήματα βλέπουμε 4 τρόπους για εκροή νερού από μια μεγάλη δεξαμενή, όπου ο οριζόντιος σωλήνας στο σχήμα (α) και οι τρεις άλλοι σωλήνες (σιφώνια), όπου η άντληση γίνεται με αναρρόφηση, έχουν ίσες διατομές.

i) Για τις ταχύτητες εκροής στα σχήματα (α) και (β) ισχύει:

1) υ_α < υ_β,   2)  υ_α = υ_β,   3) υ_α > υ_β.

ii) Για τις  παροχές στα δοχεία (β) και (γ) ισχύει:

1) Π_β < Π_γ,   2)  Π_β = Π_γ,   3) Π_β > Π_γ.

iii) Η σύγκριση των ταχυτήτων εκροής μεταξύ των δοχείων (γ) και (δ) μας δίνει:

1) υ_γ < υ_δ,   2)  υ_γ = υ_δ,   3) υ_γ > υ_δ.

iv) Να συγκριθούν οι συνολικοί χρόνοι εκροής νερού από τα δοχεία (γ) και (δ).

Να δικαιολογήσετε αναλυτικά τις απαντήσεις σας, θεωρώντας τις ροές ως μόνιμες και στρωτές ροές, ενός ιδανικού ρευστού.

Απάντηση:

ή

 Τέσσερις τρόποι άντλησης νερού.

Τέσσερις τρόποι άντλησης νερού.

Δύο εναλλακτικοί τρόποι άντλησης νερού

 

Από ένα υπερυψωμένο μεγάλο ντεπόζιτο, το οποίο περιέχει νερό σε ύψος h, πρόκειται να αντλήσουμε νερό για να γεμίσουμε ένα άδειο δοχείο όγκου V.  Στο σχήμα βλέπουμε δύο ενδεχόμενα, όπου στο (1) στο κάτω μέρος του δοχείου υπάρχει ένας μικρός οριζόντιος σωλήνας διατομής Α. Στο (2) έχουμε συνδέσει, στην ίδια θέση  ένα λάστιχο εσωτερικής διατομής Α, το οποίο καταλήγει στον πυθμένα του δοχείου.

i) Μόλις αρχίσει η ροή, το νερό θα φτάσει με μεγαλύτερη ταχύτητα στον πυθμένα:

α) του πρώτου δοχείου,  β) του δεύτερου δοχείου,  γ) θα φτάσει με την ίδια ταχύτητα και στα δυο δοχεία.

ii) Η αρχική παροχή θα είναι ίση και στις δυο περιπτώσεις ή όχι;

iii) Η ταχύτητα ανόδου της επιφάνειας του νερού στο πρώτο δοχείο παραμένει σταθερή ή όχι;

iv) Ποιο δοχείο θα γεμίσει πρώτο;

Να δικαιολογήσετε αναλυτικά τις απαντήσεις σας, θεωρώντας τις ροές μόνιμες και στρωτές ροές ενός ιδανικού ρευστού.

Απάντηση:

 ή
  Δύο εναλλακτικοί τρόποι άντλησης νερού
Δύο εναλλακτικοί τρόποι άντλησης νερού

Η τροφοδοσία μιας κατοικίας.

Μια διώροφη κατοικία τροφοδοτείται με νερό μέσω μιας αντλίας, ο ρόλος της οποίας είναι να δημιουργεί σταθερή πίεση p_ο, στην αριστερή άκρη του οριζόντιου σωλήνα (Σ), με διατομή Α=10cm².

Ο σωλήνας (Σ) διαχωρίζεται σε δύο άλλους σωλήνες (1) και (2), όπου ο πρώτος συνεχίζει σε οριζόντια διεύθυνση μεταφέροντας το νερό στο ισόγειο, ενώ ο δεύτερος ανεβάζει νερό στον πρώτο όροφο σε ύψος h=3m. Οι σωλήνες αυτοί, με διατομή Α₁=5cm², κλείνονται στα άκρα τους με τάπες. Ανοίγουμε την τάπα στο άκρο του σωλήνα (1), οπότε το νερό εκρέει με ταχύτητα υ₁= m/s.

i)   Να υπολογιστεί η πίεση που δημιουργεί η αντλία στο σημείο Ο.

ii)  Κλείνουμε την τάπα στο σωλήνα (1) και ανοίγουμε την τάπα στο άκρο του σωλήνα του πρώτου ορόφου. Ποια είναι η παροχή μέσω του  σωλήνα (2), αν η πίεση στο σημείο Ο παραμένει όση στο προηγούμενο ερώτημα;

Ανοίγουμε ταυτόχρονα και τις δύο τάπες και ρυθμίζουμε έτσι την αντλία, ώστε η παροχή του πρώτου ορόφου να γίνει ίση με 1L/s.

iii)  Να βρεθεί η παροχή από το σωλήνα του ισογείου.

iv) Πόση είναι τώρα η πίεση που δημιουργεί η αντλία στην έξοδό της (σημείο Ο);

Δίνεται η ατμοσφαιρική πίεση p_ατ=10⁵Ν/m², η πυκνότητα του νερού ρ=1.000kg/m³, η επιτάχυνση της βαρύτητας g=10m/s², ενώ όλες οι ροές να θεωρηθούν μόνιμες και στρωτές ροές ιδανικού ρευστού.

Απάντηση:

ή

 Η τροφοδοσία μιας κατοικίας.

Η τροφοδοσία μιας κατοικίας.

Η πίεση στο σωλήνα και η σπηλαίωση.

Στο σχήμα βλέπετε ένα υπερυψωμένο μεγάλο ντεπόζιτο, σε ύψος Η=10,8m από το έδαφος,  το οποίο περιέχει νερό σε ύψος h=2m, στη βάση του οποίου έχει συνδεθεί ένας σωλήνας ΑΒ, μήκους l=6m και διατομής Α=21cm², ο οποίος σχηματίζει γωνία θ=30° με την οριζόντια διεύθυνση.

i)  Να υπολογιστεί η ταχύτητα εκροής του νερού από το άκρο Β του σωλήνα, καθώς και η παροχή του σωλήνα.

ii) Πόση είναι η πίεση στην είσοδο Α του σωλήνα;

Αν η πίεση σε κάποια περιοχή στο εσωτερικό του σωλήνα μηδενιστεί, τότε στην περιοχή αυτή εμφανίζονται φυσαλίδες και το φαινόμενο ονομάζεται σπηλαίωση.

iii) Ποιο είναι το μέγιστο μήκος του σωλήνα, ώστε να μην εμφανιστούν φαινόμενα σπηλαίωσης στο εσωτερικό του;

iv) Θέλουμε ο σωλήνας να φτάσει στο έδαφος. Για να μην εμφανιστούν φαινόμενα σπηλαίωσης προτείνεται να αλλάξουμε τη διατομή του σωλήνα, ώστε στο άκρο Α να έχουμε εμβαδόν διατομής Α₁=24cm².

α) Πώς θα μεταβάλλει αυτό την παροχή του σωλήνα;

β) Ποια θα είναι τώρα η τιμή της πίεσης στο άκρο Α του σωλήνα;

Δίνεται η ατμοσφαιρική πίεση p_ατ=10⁵Ρα, g=10m/s², η πυκνότητα του νερού ρ=1.000kg/m³, ενώ οι ροές να θεωρηθούν μόνιμες και στρωτές ροές ιδανικού ρευστού.

Απάντηση:

ή

  Η πίεση στο σωλήνα και η σπηλαίωση.

Η πίεση στο σωλήνα και η σπηλαίωση.

Μια στένωση σε σωλήνα

Στο παραπάνω σχήμα, κοντά στον πυθμένα μιας μεγάλης δεξαμενής, σε βάθος Η, έχει συνδεθεί ένας οριζόντιος σωλήνας, από το άκρο του οποίου εκρέει νερό με ορισμένη ταχύτητα.  Ο σωλήνας παρουσιάζει μια περιοχή με στένωση.

Έστω ένα σημείο Κ στον άξονα του σωλήνα, στην περιοχή του στενώματος.

i) Για την πίεση στο σημείο Κ ισχύει:

α) p_Κ=p_ατμ+ρgΗ,   β) p_Κ >  p_ατμ+ρgΗ,   γ) p_Κ= p_ατμ,   δ) p_Κ < p_ατμ.

ii) Αν p_ατμ=6ρgΗ, ενώ το εμβαδόν της διατομής στο στένωμα (Α₁) είναι το μισό της υπόλοιπης διατομής του οριζόντια σωλήνα (Α), τότε η πίεση στο σημείο Κ, έχει τιμή:

α) p_Κ= 1/3 p_ατμ,   β) p_Κ= ½  p_ατμ,     γ) p_Κ= 3/4 p_ατμ,    δ) p_Κ= 4/3 p_ατμ.

Η παραπάνω ροή να θεωρηθεί μόνιμη και στρωτή ροή ενός ιδανικού ρευστού.

Απάντηση:

ή

  Μια στένωση σε σωλήνα

Μια στένωση σε σωλήνα

Οι ταχύτητες και οι πιέσεις σε ένα δίκτυο ύδρευσης

Σε ένα δίκτυο ύδρευσης ο κεντρικός οριζόντιος σωλήνας δεν έχει σταθερή διατομή. Θέλοντας να υπολογίσουμε την παροχή μέσω του δικτύου αυτού, επιλέγουμε μια περιοχή όπου ο σωλήνας με διατομή Α₁, ενώνεται με δεύτερο σωλήνα μεγαλύτερης διατομής Α₂. Στους δυο σωλήνες συνδέουμε δυο κατακόρυφους σωληνίσκους Α και Β, εντός των οποίων το νερό ανέρχεται σε κάποιο ύψος. Θεωρούμε τη ροή του νερού σαν μόνιμη και στρωτή ροή ενός ιδανικού ρευστού.

i)   Ποια είναι η εικόνα που θα πάρουμε, αυτή του πάνω ή αυτή του κάτω σχήματος; Να δικαιολογήσετε την απάντησή σας.

ii) Αν Α₂=3Α₁ και |h₁-h₂|=h=0,4m να υπολογιστεί η ταχύτητα του νερού στο φαρδύ σωλήνα.

iii) Να υπολογιστεί η παροχή μέσω του δικτύου αν Α₁=200cm².

Απάντηση:

ή

 Οι ταχύτητες και οι πιέσεις σε ένα δίκτυο ύδρευσης

Οι ταχύτητες και οι πιέσεις σε ένα δίκτυο ύδρευσης

Συγκοινωνούντα δοχεία και αποκοπή

Στο παραπάνω σχήμα, βλέπετε μια μεγάλη δεξαμενή με νερό σε ύψος Η=0,8m, κοντά  στη βάση της οποίας συνδέεται οριζόντιος σωλήνας διατομής Α=3cm², ο οποίος κλείνεται στο άκρο του με τάπα. Στον οριζόντιο σωλήνα έχουν συνδεθεί οι σωλήνες (1) και (2), όπου το νερό έχει ανέλθει σε ύψη h₁ και h₂ αντίστοιχα.

i)   Να υπολογιστούν τα ύψη h₁ και h₂ του νερού στους δυο κατακόρυφους σωλήνες (ο σωλήνας (2) στο κάτω άκρο του έχει μια καμπυλότητα, όπως εμφανίζεται στο σχήμα), καθώς και η δύναμη που ασκείται από το νερό στην τάπα.

ii)  Σε μια στιγμή ανοίγουμε την τάπα, οπότε αποκαθίσταται μια μόνιμη και στρωτή ροή του νερού.

α) Σε πόσο χρόνο μπορούμε να γεμίσουμε ένα κενό δοχείο όγκου 48L, με νερό που εξέρχεται από το δεξιά άκρο του οριζόντιου σωλήνα;

β) Να υπολογιστεί η πίεση στα σημεία Α και Β πάνω στον άξονα του οριζόντιου σωλήνα, βρίσκοντας και τα αντίστοιχα ύψη του νερού στους δυο σωλήνες.

Δίνεται η ατμοσφαιρική πίεση p_ατ=10⁵Ρa, το νερό θεωρείται ιδανικό ρευστό πυκνότητας ρ=1.000kg/m³ και g=10m/s².

Απάντηση:

ή

 Συγκοινωνούντα δοχεία και αποκοπή

Συγκοινωνούντα δοχεία και αποκοπή

Μια «ιδιόμορφη ζυγαριά».

Το δεξιό κυλινδρικό δοχείο του σχήματος κλείνεται με έμβολο, εμβαδού Α=0,6m² και αμελητέου βάρους και περιέχει νερό μέχρι ύψος Η. Το δοχείο συνδέεται με λεπτό κατακόρυφο σωλήνα, όπως στο σχήμα, στον οποίο το νερό φτάνει μέχρι ύψος h.

i)  Για το ύψος h του νερού (χωρίς το σώμα Σ στο έμβολο) στον λεπτό σωλήνα, ισχύει:

α) h < Η,     β) h=Η,      γ) h > Η.

Να δικαιολογήσετε την απάντησή σας.

ii)  Τοποθετούμε πάνω στο έμβολο ένα σώμα Σ, βάρους w=600Ν. Για να μην μετακινηθεί το έμβολο, προτείνεται να προσθέσουμε νερό στον σωλήνα. Να υπολογισθεί το νέο ύψος της στήλης h₁ στο σωλήνα, ώστε να μην μετακινηθεί το έμβολο, παραμένοντας σε ύψος Η..

iii) Να υπολογιστεί το βάρος του νερού που προσθέσαμε στο σωλήνα, για να εξισορροπήσει την τοποθέτηση του σώματος Σ, πάνω στο έμβολο, αν ο σωλήνας έχει διατομή με εμβαδόν S=4cm².

Δίνεται η πυκνότητα του νερού ρ=1.000kg/m³ και g=10m/s².

Απάντηση:

ή

 Μια «ιδιόμορφη ζυγαριά».

Μια «ιδιόμορφη ζυγαριά».

Ένας αντεστραμμένος σωλήνας

Σε ένα ανοικτό δοχείο με νερό έχουμε αντιστρέψει έναν κατακόρυφο σωλήνα, όπως στο σχήμα (1), όπου το νερό έχει ανέβει κατά α, όσο είναι και το βυθισμένο μέρος του σωλήνα. Το βάρος του σωλήνα θεωρείται αμελητέο.

i)  Για να συγκρατείται στη θέση του ο σωλήνας, πρέπει να του ασκούμε με το χέρι μας:

α) Κατακόρυφη δύναμη προς τα πάνω, όπως η F₁.

β) Κατακόρυφη δύναμη προς τα κάτω, όπως η F₂.

γ) Δεν απαιτείται η άσκηση κάποιας δύναμης.

ii) Ασκώντας κατάλληλη δύναμη στο σωλήνα τον ανεβάζουμε κατά y, φέρνοντάς τον  στη θέση που δείχνει το σχήμα (2). Τότε η στάθμη του νερού στο εσωτερικό του:

α) Θα ανέβει,    β) θα κατέβει,   γ) θα παραμείνει στο ίδιο ύψος α.

Απάντηση:

ή

 Ένας αντεστραμμένος σωλήνας

Ένας αντεστραμμένος σωλήνας

Όταν η πηγή επιταχύνεται...και φαινόμενο doppler.

Τι γίνεται όταν μια ηχητική πηγή επιταχύνεται; Μπορούμε να υπολογίζουμε τη συχνότητα που ακούει ένας ακίνητος παρατηρητής, χρησιμοποιώντας τις γνωστές εξισώσεις που έχουν προκύψει στην περίπτωση που η πηγή κινείται με σταθερή ταχύτητα;
Ας το δούμε:

1. Μια ηχητική πηγή κινείται ευθύγραμμα με σταθερή ταχύτητα υ₀=40m/s παράγοντας ήχο συχνότητας
   f_s= 600Ηz. Ποια συχνότητα ακούει ένας παρατηρητής που βρίσκεται σε απόσταση d μπροστά από την πηγή; Δίνεται η ταχύτητα του ήχου στον ακίνητο αέρα υ=340m/s.
2. Η παραπάνω πηγή κινείται με σταθερή επιτάχυνση α=4m/s² και σε μια στιγμή t₀=10s, που έχει ταχύτητα υ₀=40m/s, παράγει έναν ήχο. Ποια η συχνότητα του ήχου αυτού, όταν  φτάσει στον παρατηρητή μας Α, στην ίδια απόσταση d;

Απάντηση:
ή
 Όταν η πηγή επιταχύνεται...και φαινόμενο doppler.
  Όταν η πηγή επιταχύνεται...και φαινόμενο doppler.

Η δύναμη στην τάπα

Ένα δοχείο, κλείνεται με αβαρές έμβολο, το οποίο μπορεί να κινείται χωρίς τριβές, εμβαδού S=0,2m² και περιέχει νερό σε ύψος Η=1m. Στο μέσον της στήλης του νερού, σε ύψος h= ½ Η, υπάρχει ένας μικρός οριζόντιος σωλήνας διατομής Α=1cm², ο οποίος κλείνεται με μια τάπα.

Για να μην φεύγει η τάπα, απαιτείται να της ασκήσουμε οριζόντια δύναμη , όπως στο σχήμα.

i)  Να υπολογιστεί το μέτρο της απαραίτητης δύναμης  για την ισορροπία του εμβόλου.

ii) Τοποθετούμε πάνω στο έμβολο ένα βαρύ σώμα Σ, με αποτέλεσμα να απαιτείται να αυξήσουμε την ασκούμενη δύναμη στο έμβολο στην τιμή F₂=0,6Ν. Να υπολογιστεί το βάρος του σώματος Σ.

iii) Αφαιρούμε το σώμα Σ και με τη βοήθεια ενός νήματος που έχουμε δέσει στο έμβολο, του ασκούμε μια κατακόρυφη δύναμη , όπως στο τρίτο σχήμα, μέτρου F=200Ν.

α) Να υπολογιστεί το μέτρο της  δύναμης F₃ που πρέπει να ασκούμε στην τάπα για την ισορροπία της.

β) Πόση δύναμη ασκεί το νερό στον πυθμένα του δοχείου και πόση στο έμβολο;

Δίνεται η ατμοσφαιρική πίεση p_ατ=10⁵Ρa, η πυκνότητα του νερού ρ=1.000kg/m³ και g=10m/s². Σημειώνεται ακόμη ότι, λέγοντας αβαρές έμβολο, εννοούμε ένα έμβολο το οποίο έχει βάρος, απλά το θεωρούμε αμελητέο.

Απάντηση:

ή

 Η δύναμη στην τάπα

Η δύναμη στην τάπα