Κυριακή, 1 Μαΐου 2016

Δύο ενωμένες ράβδοι στρέφονται.

Δύο ομογενείς ράβδοι Α και Β, ίδιου μήκους και της ίδιας μάζας, είναι ενωμένες δημιουργώντας ένα στερεό s, το οποίο μπορεί να στρέφεται χωρίς τριβές, γύρω από οριζόντιο άξονα που περνά από το μέσον Ο της Α. Φέρνουμε το στερεό s σε οριζόντια θέση, όπως στο σχήμα και το αφήνουμε να κινηθεί. Η αρχική επιτάχυνση του σημείου Μ, στο οποίο ενώνονται οι δύο ράβδοι είναι α1, ενώ η μέγιστη ταχύτητα που αποκτά στη διάρκεια της κίνησης είναι υ1.
Αν η ράβδος Α ήταν αβαρής, τότε:
i) Το σημείο Μ αποκτά αρχική επιτάχυνση α2, όπου:
  α) α21,  β) α2 = α   γ) α2 > α1.
ii) Για τη μέγιστη ταχύτητα υ2 του σημείου Μ ισχύει:
  α) υ2 < υ1,  β) υ2 = υ1,  γ)  υ2 > υ1.
Να δικαιολογήσετε τις απαντήσεις σας.
ή





Πέμπτη, 28 Απριλίου 2016

Δυο ενωμένες πλάκες.

Δύο, ίδιων διαστάσεων, πλάκες από διαφορετικά υλικά Α και Β συγκολλούνται δημιουργώντας μια πλάκα, η οποία αφήνεται στην επιφάνεια του νερού που βρίσκεται σε δοχείο, όπως στο σχήμα. Για τις πυκνότητες των υλικών ισχύει ότι ρΑΒ>ρ, όπου ρ η πυκνότητα του νερού. Τι πρόκειται να συμβεί:
i) Η πλάκα θα επιπλεύσει στο νερό.
ii) Η πλάκα θα βυθιστεί εκτελώντας μεταφορική κίνηση.
iii) Η πλάκα θα βυθιστεί εκτελώντας σύνθετη κίνηση.
ή



Τετάρτη, 27 Απριλίου 2016

Ταχύτητες σημείων σε δυο κύματα.

Κατά μήκος ενός γραμμικού ελαστικού μέσου το οποίο ταυτίζεται με τον άξονα x διαδίδονται αντίθετα δύο αρμονικά  κύματα α και β, του ίδιου πλάτους και σε μια στιγμή t0=0 η μορφή του μέσου είναι όπως στο σχήμα:
Τη στιγμή αυτή (t0=0) η ταχύτητα ταλάντωσης του σημείου στη θέση x=0, έχει μέτρο υ0=2m/s.
i)  Η ταχύτητα ταλάντωσης του σημείου στη θέση x4=4m, τη στιγμή t0, είναι ίση με:
α) υ4=-2m/s,    β) υ4=+2m/s,  γ) υ4=-4m/s,    δ) υ4=+4m/s.
ii)  Τη χρονική στιγμή t1 που το κύμα α φτάνει στη θέση x΄=3,5m, η ταχύτητα ταλάντωσης του σημείου Μ στη θέση  xΜ=2,5m είναι ίση με:
α) υΜ=-2m/s,    β) υΜ=+2m/s,  γ) υΜ=-4m/s,    δ) υΜ=+4m/s.
Να δικαιολογήσετε τις απαντήσεις σας.
ή




Δευτέρα, 25 Απριλίου 2016

Ενέργεια και επιτάχυνση σε μια σύνθετη ταλάντωση.

Ένα σώμα μάζας Μ κινείται ευθύγραμμα γύρω από μια θέση y=0 με εξίσωση κίνησης:
  y=Α∙ημ(ωt+2π/3)+Α∙ημ(ωt)  
i) Η μέγιστη κινητική ενέργεια του σώματος είναι ίση:
α) Κ= ¼ Μω2Α2,    β) Κ= ½ Μω2Α2,    γ) Κ=2Μω2Α2,    δ) Κ= 9/2∙Μω2Α2.
ii) Τη χρονική στιγμή t1=π/2ω, η επιτάχυνση του σώματος έχει τιμή:
α) α1= - ¼ ω2Α,    β) α1= ¼ ω2Α,  γ) α1= - ½ ω2Α,   δ) α1= ½ ω2Α.
Να δικαιολογήσετε τις απαντήσεις σας.
Υπενθυμίζεται ότι ημ(π-θ)=ημθ, συν(π-θ)=-συνθ, ημ30°=συν60°= ½ και συν30°=ημ60°=√3/2
ή



Κυριακή, 24 Απριλίου 2016

Η κινητική ενέργεια σε ένα σύστημα.

Τρεις …παρόμοιες ερωτήσεις.
1) Το άκρο Κ μιας ομογενούς ράβδου, μήκους ℓ=4R και μάζας M=3m, έχει καρφωθεί στο κέντρο ενός δίσκου, μάζας m και ακτίνας R, δημιουργώντας ένα στερεό s, το οποίο μπορεί να στρέφεται σε κατακόρυφο επίπεδο γύρω από οριζόντιο άξονα ο οποίος περνάει από το άκρο Ο της ράβδου. Αφήνουμε το στερεό να περιστραφεί από μια θέση που η ράβδος είναι οριζόντια και μετά από λίγο έχει αποκτήσει γωνιακή ταχύτητα ω. Για τη θέση αυτή:
i) Ποιες από τις παρακάτω σχέσεις που δίνουν κινητική ενέργεια είναι σωστές και ποιες λάθος:
α) Κρ= ½ Mυ2cm ,     β) Κρ=  ½ Ι1,Ο∙ω2,     γ) Κρ= ½ Mυ2cm + ½ Ι1cm∙ω2.
δ)  ΚδmυΚ2 ,     ε) Κδ= ½ mυΚ2 + ½ Ι2cm∙ω2,     στ) Κδ=  ½ Ι2,Ο∙ω2.
ii) Ο λόγος της κινητικής ενέργειας του δίσκου προς την κινητική ενέργεια του στερεού Κδs είναι ίσος με:
α) 16/35,   β) 27/55,   γ) 33/65.
Δίνονται οι ροπές αδράνειας των στερεών ως προς κάθετους άξονες που διέρχονται από τα κέντρα μάζας, για τη ράβδο Ι1= mℓ2/12 και για το δίσκο Ι2= ½ ΜR2.
ή



Παρασκευή, 22 Απριλίου 2016

Παίζοντας με ένα γιο-γιο, μετράμε ταχύτητες.

Γύρω από ένα μικρό ομογενή κύλινδρο έχουμε τυλίξει ένα μακρύ νήμα. Δένουμε το άκρο Α του νήματος στο δάκτυλό μας, το οποίο κινούμε κατακόρυφα, έχοντας αφήσει ελεύθερο τον κύλινδρο. Έτσι επιτυγχάνουμε ο κύλινδρος να κινείται κατακόρυφα, με τον άξονά του Ο οριζόντιο (έχουμε δημιουργήσει ένα μικρό γιο-γιο…).
i)  Κάποια στιγμή ο άξονας κινείται προς τα κάτω με ταχύτητα υο, ενώ το σημείο Β, στο άκρο μιας οριζόντιας διαμέτρου, έχει κατακόρυφη ταχύτητα υΒ=3υο. Τη στιγμή αυτή το άκρο Α του νήματος:
α) κινείται προς τα κάτω με ταχύτητα μέτρου υΑο.
β) παραμένει ακίνητο.
γ) κινείται προς τα πάνω με ταχύτητα μέτρου υΑο.
ii)  Επαναλαμβάνουμε το παιχνίδι και κάποια στιγμή ο άξονας έχει ταχύτητα υο, ενώ το σημείο Γ, στο άκρο μιας κατακόρυφης διαμέτρου έχει ταχύτητα μέτρου υΓ=1,2υο, όπως στο δεύτερο σχήμα . Τη στιγμή αυτή το άκρο Α του νήματος:
α) κινείται προς τα κάτω.
β) παραμένει ακίνητο.
γ) κινείται προς τα πάνω
ή





Πέμπτη, 21 Απριλίου 2016

Οι πιέσεις σε σημεία κατά την εκροή.

Στον πυθμένα μιας μεγάλης δεξαμενής νερού με βάθος Η, έχει προσαρμοστεί ένας κατακόρυφος λεπτός σωλήνας σταθερής διατομής και μήκους h, από τον οποίο εκρέει το νερό με σταθερή παροχή.
Θεωρώντας το νερό ιδανικό ασυμπίεστο υγρό:
i) Η ταχύτητα του νερού στο σημείο Β, στην αρχή του λεπτού σωλήνα, είναι ίση:
    α) υ=√(2gΗ),                     β)  υ=√(2gh),
    γ)  υ=√[2g(Η-h)],              δ)  υ=√[2g(Η+h)].
ii) Η σχέση που συνδέει την πίεση στο σημείο Α, της ελεύθερης επιφάνειας του νερού και την πίεση στο σημείο Β, είναι:
  α) pΑ-pΒgΗ,           β) pΒ-pΑgΗ,   
  γ) pΑ-pΒ=ρgh,            δ) pΒ-pΑgh.
Να δικαιολογήσετε τις απαντήσεις σας.
ή




Τετάρτη, 20 Απριλίου 2016

Λυγίζοντας τα γόνατα…

Δυο όμοιες λεπτές ομογενείς ράβδοι Α και Β, μάζας m και μήκους l, συνδέονται με τους δυο τρόπους που φαίνονται στο σχήμα σχηματίζοντας τα στερεά Σ1 και Σ2.
Τα δυο στερεά μπορούν να περιστρέφονται σε κατακόρυφο επίπεδο, γύρω από σταθερό οριζόντιο άξονα, ο οποίος περνά από το άκρο Ο της Α ράβδου. Εκτρέπουμε τα στερεά, ώστε η ράβδος Α να γίνει οριζόντια και τα αφήνουμε να περιστραφούν.
i)  Για τις ροπές αδράνειας  Ι1 και Ι2 των στερεών Σ1 και Σ2 αντίστοιχα, ισχύει:
α) Ι1 < Ι2,     β) Ι1 = Ι2,     γ) Ι1 > Ι2.
ii)  Για τα μέτρα των ροπών που δέχονται τα δύο στερεά, αμέσως μόλις αφεθούν ελεύθερα να περιστραφούν, ισχύει:
α) τ1 < τ2,     β)  τ1 = τ2,     γ) τ1 > τ2.
iii) Αν η ροπή αδράνειας της ράβδου Α ως προς κάθετο άξονα που περνά από το μέσον της, δίνεται από την εξίσωση Ιcm=ml2/12, για τα αντίστοιχα μέτρα των αρχικών γωνιακών επιταχύνσεων των δύο στερεών, αμέσως μόλις αφεθούν ελεύθερα να περιστραφούν, ισχύει:
α) αγων1 < αγων2,    β) αγων1 = αγων2,    γ) αγων1 > αγων2.
ή