Πέμπτη, 18 Σεπτεμβρίου 2014

Αν δίνεται το διάγραμμα της επιτάχυνσης.


Ένα σώμα μάζας 0,2kg, εκτελεί ΑΑΤ και  στο διπλανό σχήμα δίνεται η επιτάχυνσή του σε συνάρτηση με το χρόνο.
i)  Να βρεθεί η εξίσωση της απομάκρυνσης του σώματος από τη θέση ισορροπίας του, σε συνάρτηση με το χρόνο.
ii)  Να υπολογίσετε το εμβαδόν του γραμμοσκιασμένου χωρίου, στο διάγραμμα α-t, μέχρι τη στιγμή t1=5/3s.
iii) Ποιος ο ρυθμός μεταβολής της δυναμικής ενέργειας την παραπάνω χρονική στιγμή t1.
ή

Δευτέρα, 15 Σεπτεμβρίου 2014

Αν κρεμάσουμε και μια πλάκα;


Μια μικρή σφαίρα μάζας m=0,5kg ηρεμεί στο κάτω άκρο ενός κατακόρυφου ελατηρίου, έχοντάς το επιμηκύνει κατά 10cm. Δένουμε τη σφαίρα με μια πλάκα, μάζας Μ=1,5kg, μέσω αβαρούς νήματος και την συγκρατούμε σε τέτοια θέση, ώστε το νήμα να είναι κατακόρυφο και τεντωμένο, χωρίς να προκαλείται μετακίνηση της σφαίρας. Στη θέση αυτή, η πλάκα απέχει κατά d=0,45m από το έδαφος, όπως στο διπλανό σχήμα.
Σε μια στιγμή αφήνουμε ελεύθερη την πλάκα, η οποία μετά από λίγο φτάνει στο έδαφος όπου και προσκολλάται, ενώ αμέσως κόβουμε και το νήμα. Να υπολογιστούν:
i) Η αρχική επιτάχυνση της σφαίρας, καθώς και η επιτάχυνσή της:
α) ελάχιστα πριν και
β) ελάχιστα μετά
την κρούση της πλάκας.
ii) Η μέγιστη ταχύτητα της πλάκας.
iii) Η μηχανική ενέργεια που μετατρέπεται σε θερμική, κατά την κρούση της πλάκας με το έδαφος.
iv) Πόση είναι η ενέργεια ταλάντωσης της σφαίρας, μετά και την αφαίρεση του νήματος;
ή


Σάββατο, 13 Σεπτεμβρίου 2014

Το πλάτος και η περίοδος με μια αλλαγή.

Στο κάτω άκρο ενός κατακόρυφου ελατηρίου, ηρεμεί ένα σώμα Σ μάζας m. Όταν κρεμάσουμε κάτω από το σώμα Σ, ένα δεύτερο σώμα Σ1, μάζας Μ=2m και αφεθεί το σύστημα ελεύθερο, εκτελεί ΑΑΤ πλάτους Α και περιόδου Τ.
Επαναλαμβάνουμε το πείραμα, αλλά τώρα στο κάτω άκρο του ελατηρίου έχει δεθεί το σώμα Σ1 το οποίο ηρεμεί, κάτω από το οποίο κρεμάμε το σώμα Σ. Αφήνουμε το σύστημα ξανά να ταλαντωθεί.
i)  Το νέο πλάτος ταλάντωσης είναι:
α) Α/2       β) Α,        γ) 2Α.
ii) Η νέα περίοδος ταλάντωσης είναι:
  α) Τ/2          β) Τ,          γ) 2Τ.
Να δικαιολογήσετε τις απαντήσεις σας.
ή


Τετάρτη, 10 Σεπτεμβρίου 2014

Δυο ΑΑΤ και μία Ταλάντωση.

Ένα σώμα μάζας 1kg ηρεμεί σε λείο κεκλιμένο επίπεδο κλίσεως θ=30°, δεμένο στο άκρο ελατηρίου σταθεράς k1=40Ν/m, ενώ εφάπτεται στο ελεύθερο άκρο ενός δεύτερου ελατηρίου σταθεράς k2=120Ν/m (χωρίς να έχει δεθεί), το οποίο έχει το φυσικό μήκος του, όπως στο διπλανό σχήμα.
Εκτρέπουμε το σώμα, παράλληλα στο επίπεδο, προς τα πάνω κατά 0,4m και τη στιγμή t=0 αφήνεται να κινηθεί.
i) Να αποδειχθεί ότι το σώμα θα εκτελέσει μια ταλάντωση, αποτελούμενη από τμήματα δυο απλών αρμονικών ταλαντώσεων, της οποίας να υπολογιστεί η περίοδος.
ii) Να βρεθεί η εξίσωσης της απομάκρυνσης x=f(t) από την αρχική θέση ισορροπίας του και να γίνει η γραφική της παράσταση, σε βαθμολογημένους άξονες, μέχρι να ολοκληρωθεί μια ταλάντωση, παίρνοντας την αρχική απομάκρυνση ως θετική.
iii) Για τη στιγμή που το σώμα έχει διανύσει διάστημα s=0,5m, να υπολογιστούν:
α) Η δυναμική ενέργεια ταλάντωσης και
 β) Ο ρυθμός μεταβολής της.
Δίνονται g=10m/s2 και π2≈10.
ή



Τετάρτη, 20 Αυγούστου 2014

Μερικά ερωτήματα σε μια φθίνουσα ταλάντωση.

Ένα σώμα μάζας 0,1kg ηρεμεί στο κάτω άκρο ενός ιδανικού ελατηρίου, σταθεράς k=10Ν/m. Εκτρέπουμε το σώμα κατακόρυφα προς τα κάτω κατά 20cm και σε μια στιγμή t=0, το αφήνουμε να ταλαντωθεί. Παρατηρούμε ότι τη στιγμή t1=0,63s το σώμα σταματά την προς τα κάτω κίνησή του, για πρώτη φορά, αλλά τη στιγμή αυτή απέχει κατά 10,1cm από την αρχική θέση ισορροπίας του. Με δεδομένο ότι το σώμα δέχεται δύναμη απόσβεσης της μορφής Fαπ=-bυ, ενώ η προς τα κάτω κατεύθυνση θεωρείται θετική:
i) Να βρεθεί η ταχύτητα και η θέση του σώματος τη στιγμή t2=1,26s.
ii) Να υπολογιστεί το έργο της δύναμης απόσβεσης από t=0, μέχρι την στιγμή t2.
iii) Σε μια στιγμή t3 το σώμα έχει απομάκρυνση 4cm και ταχύτητα -0,3m/s.
 α) Να υπολογιστεί η απώλεια της ενέργειας ταλάντωσης από τη στιγμή t=0, έως τη στιγμή t3.
 β) Για τη χρονική στιγμή t3 ισχύει:
a) t3 < t1, b) t1 < t< t2,  c) t3 > t2.
Να δικαιολογήσετε την επιλογή σας.
iv) Αν η σχέση μεταξύ των σταθερών Λ και b είναι Λ=b/2m:
 α) Να υπολογιστούν οι τιμές των δύο σταθερών.
 β) Ποια η επιτάχυνση του σώματος τη στιγμή t3;
 γ)  Να βρεθεί ο ρυθμός μείωσης της ενέργειας ταλάντωσης τη στιγμή t3.
Δίνεται ℓn0,5=-0,69.
ή


Πέμπτη, 7 Αυγούστου 2014

Παρασκευή, 18 Ιουλίου 2014

Τα θετικά και τα αρνητικά.

Μια  Καλοκαιρινή βόλτα ακολουθώντας ένα μονοπάτι…
Με 13 σκαλοπάτια!
Ας μιλήσουμε σήμερα για θετικά και αρνητικά μεγέθη, χωρίς να ασχοληθούμε με διανυσματικά φυσικά μεγέθη. Εκεί το πρόσημο είναι αυθαίρετο, αφού καθορίζεται από εμάς μια κατεύθυνση ως θετική, στην προσπάθειά μας να μιλήσουμε με αλγεβρικές τιμές και όχι με τα μέτρα των διανυσμάτων.
Τι ακριβώς σημαίνει ότι ο Α έχει +5€, ενώ ο Β έχει -10€, για να ξεκινήσουμε από ένα παράδειγμα δανεισμένο από την οικονομία;
Θα μπορούσαμε με τον τρόπο αυτό να αποδώσουμε την κατάσταση εκείνη, όπου ο Α έχει 5€, ενώ ο Β όχι απλά δεν έχει χρήματα, αλλά χρωστάει και 10€ ή αν προτιμάτε χρειάζεται και 10€ να πάρει, ώστε να μπορέσει να ξεχρεωθεί.
Το πιο απλό παράδειγμα από το χώρο της επιστήμης που θα μπορούσαμε να αναφέρουμε, είναι το να απαντήσουμε σε πόσο ύψος βρίσκεται ένα σώμα, σε σχέση με την επιφάνεια του τραπεζιού του σχήματος.
Θα μπορούσε η απάντηση να ήταν, ότι η Α σφαίρα βρίσκεται σε μηδενικό ύψος, η Β σφαίρα βρίσκεται 40cm πάνω από το τραπέζι και η Γ 50cm κάτω από την επιφάνεια του τραπεζιού. Αλλά θα μπορούσαμε απλά και να πούμε ότι hΑ=0, hΒ=+40cm και hΓ=-50cm, όπου h το ύψος από την επιφάνεια  του τραπεζιού. Στην περίπτωση αυτή βέβαια το αρνητικό ύψος της σφαίρας Γ, σημαίνει ότι βρίσκεται χαμηλότερα της επιφάνειας και θα πρέπει να το ανεβάσουμε κατά 50cm ώστε να έρθει στην επιφάνεια.
(Στο παράδειγμα αυτό, σε ένα άλλο επίπεδο διαπραγμάτευσης, θα μπορούσαμε να πάρουμε έναν κατακόρυφο άξονα y, όπου το σημείο της επιφάνειας θα αντιστοιχούσε στην αρχή Ο του άξονα και να μιλούσαμε για τη θέση της σφαίρας yΒ=+40cm και yΓ=-50cm, αλλά ας μείνουμε απλά στο ύψος h…).
Έτσι αν μιλάμε για τη δυναμική ενέργεια σώματος m=2kg, θεωρώντας ότι η Α σφαίρα στην επιφάνεια του τραπεζιού έχει μηδενική δυναμική ενέργεια, θα είναι:
UΒ=mghΒ=+8J  και UΓ=mghΓ= -10J.
Όπου η θετική τιμή της στη θέση Β, σημαίνει ότι έχει μεγαλύτερη δυναμική ενέργεια από όση θα είχε πάνω στο τραπέζι ενώ η αρνητική τιμή στη θέση Γ, σημαίνει ότι έχει μικρότερη δυναμική ενέργεια, από όση θα είχε στην επιφάνεια του τραπεζιού.
Ισοδύναμα θα μπορούσαμε να πούμε ότι UΓ=-10J σημαίνει ότι απαιτείται να προσφέρουμε στο σώμα ενέργεια 10J για να το μεταφέρουμε στην επιφάνεια του τραπεζιού.
Η συνέχεια σε pdf.


Τετάρτη, 9 Ιουλίου 2014

Και μια και δύο ΑΑΤ.

Ένα σώμα μάζας 2kg, είναι δεμένο στο άκρο ενός κατακόρυφου ιδανικού ελατηρίου σταθεράς k1=200Ν/m. Ανεβάζουμε το σώμα κατακόρυφα προς τα πάνω φέρνοντάς το σε μια θέση Θ, όπου το ελατήριο έχει συσπειρωθεί κατά Δℓ=0,1m. Κάτω ακριβώς από το σώμα υπάρχει ένα δεύτερο ιδανικό ελατήριο, το πάνω άκρο του οποίου απέχει κατά d=0,2m από το σώμα, όπως στο σχήμα. Σε μια στιγμή tο=0, αφήνουμε το σώμα ελεύθερο να κινηθεί και παρατηρούμε ότι σταματά την προς τα κάτω κίνησή του, αφού μετατοπισθεί κατά 0,3m .
i)  Να αποδείξετε ότι το σώμα θα εκτελέσει ΑΑΤ, μέχρι να έρθει σε επαφή με το κάτω ελατήριο, υπολογίζοντας το πλάτος και την περίοδο ταλάντωσης.
ii) Να αποδείξτε ότι η κίνηση του σώματος, όταν βρίσκεται σε επαφή με το κάτω ελατήριο είναι μια νέα ΑΑΤ, υπολογίζοντας επίσης το πλάτος και την περίοδο ταλάντωσης.
iii) Ποια χρονική στιγμή το σώμα θα επανέρθει για πρώτη φορά στη θέση Θ;
iv) Να υπολογιστούν οι ρυθμοί μεταβολής της ορμής του σώματος στην ανώτερη και στην κατώτερη θέση της τροχιάς του.
Δίνεται g=10m/s2.
ή