Πέμπτη, 24 Απριλίου 2014

Και τα στερεά συγκρούονται……

Εξετάζοντας την ελαστική κρούση υλικών σημείων, ουσιαστικά εξετάζουμε την κρούση μεταξύ δύο στερεών σωμάτων, δύο μικρών σφαιρών, τα οποία εκτελούν μόνο μεταφορική κίνηση. Τι συμβαίνει όμως στην περίπτωση που τα σώματα μπορούν και να περιστρέφονται; Στην περίπτωση αυτή, θα πρέπει να ληφθούν υπόψη οι διαστάσεις των σωμάτων, αλλά και ο συγκεκριμένος τρόπος κρούσης ή για να το πούμε διαφορετικά η Γεωμετρία τη στιγμή τα κρούσης.
Πριν όμως εξετάσουμε μερικές ενδιαφέρουσες περιπτώσεις, αξίζει να τονιστεί ότι όταν μιλάμε για ελαστική κρούση μεταξύ δύο σωμάτων, ουσιαστικά δεχόμαστε ότι δεν αναπτύσσονται δυνάμεις τριβής στη διάρκεια της κρούσης. Έτσι για παράδειγμα, στην περίπτωση που εξετάζει το σχολικό μας βιβλίο, που μια μικρή σφαίρα συγκρούεται με τοίχο, όπως στο σχήμα, η δύναμη που δέχεται από τον τοίχο, είναι κάθετη σε αυτόν, μεταβάλλοντας την συνιστώσα υx της ταχύτητας, αφήνοντας όμως ανεπηρέαστη την συνιστώσα υy,  την παράλληλη στην επιφάνεια επαφής.
Ας εξετάσουμε τώρα βήμα-βήμα μερικές περιπτώσεις ελαστικής κρούσης επίπεδων στερεών, τα οποία συγκρούονται εκτός πεδίου βαρύτητας, ώστε να μην εμπλέκονται τα βάρη.
1)      «Κεντρική» ελαστική κρούση.
Με τον όρο «κεντρική» ας ονομάσουμε την ελαστική εκείνη κρούση, που ανεξάρτητα από άλλα χαρακτηριστικά της, αναπτύσσονται δυνάμεις κρούσης, οι οποίες διέρχονται από τα κέντρα μάζας των στερεών. Ας προσέξουμε ότι δεν μιλάμε για ταχύτητες, αλλά μόνο για τις δυνάμεις που πρόκειται να εμφανιστούν στη διάρκεια της κρούσης.

Ας δούμε μερικά παραδείγματα.
Παράδειγμα 1ο:
Δυο επίπεδα στερεά κυκλικής διατομής συγκρούονται κεντρικά, όπως στο σχήμα. Να βρεθούν οι ταχύτητες και οι γωνιακές ταχύτητες μετά την κρούση.
Η συνέχεια σε pdf,  ή από εδώ ή εδώ.

Αλλά και σε docx ή σε  doc.

Τετάρτη, 16 Απριλίου 2014

Μια ράβδος συγκρούεται με ένα σκαλοπάτι.


Μια ομογενής ράβδος ΑΒ μήκους ℓ και μάζας Μ πέφτει ελεύθερα και σε μια στιγμή το άκρο της Β κτυπά στην πάνω πλευρά ενός λείου σκαλοπατιού. Ελάχιστα πριν την κρούση, το κέντρο μάζας Ο της ράβδου έχει κατακόρυφη  ταχύτητα υcm=2m/s, ενώ το άκρο Α έχει μηδενική ταχύτητα.
i) Ποια η ταχύτητα του άκρου Β της ράβδου ελάχιστα πριν την κρούση;
ii) Κατά τη διάρκεια της κρούσης της ράβδου με το σκαλοπάτι:
α) Η δύναμη που ασκήθηκε στη ράβδο από το σκαλοπάτι, είναι κατακόρυφη.
β) Η ορμή της ράβδου παραμένει σταθερή.
γ) Η στροφορμή της ράβδου παραμένει σταθερή.
δ) Η στροφορμή της ράβδου παραμένει σταθερή ως προς κατάλληλα επιλεγμένο σημείο.
iii)  Αν το άκρο Β, αμέσως μετά την κρούση, έχει κατακόρυφη ταχύτητα με φορά προς τα πάνω μέτρου 1m/s, ενώ το άκρο Α κατακόρυφη ταχύτητα με φορά προς τα κάτω μέτρου 3m/s, να εξετάσετε αν η κρούση είναι ελαστική ή όχι.
Δίνεται η ροπή αδράνειας της ράβδου ως προς κάθετο άξονα που περνά από το μέσον της:
 Ι= 1/12 Μℓ2.
ή

Κυριακή, 13 Απριλίου 2014

Ποσοστά μεταφοράς κινητικής ενέργειας.

1) Σε λείο οριζόντιο επίπεδο κινείται ένα σώμα Α μάζας m με ταχύτητα υ1 και συγκρούεται με ακίνητο σώμα Β μάζας Μ > m. Η κρούση είναι κεντρική και ελαστική και κατά την κρούση μεταφέρεται στο σώμα Β το 75% της κινητικής ενέργειας του Α σώματος. 
i) Για τη μάζα του Β σώματος θα ισχύει:
α) Μ=2m,       β) Μ=3m,   γ) Μ=4m,      δ) Μ=5m
ii)  Αν Μ=4m, τότε το ποσοστό της κινητικής ενέργειας του Α σώματος που μεταφέρεται στο ακίνητο σώμα Β θα είναι:
α) 56%,     β)  64%,      γ) 75%,        δ) 84%.
iii) Τι τιμή πρέπει να πάρει η μάζα Μ του σώματος Β, ώστε το ποσοστό της κινητικής ενέργειας που θα μεταφερθεί από το Α σώμα, στο Β, να είναι το ελάχιστο δυνατόν;
2) Σε λείο οριζόντιο επίπεδο κινούνται στην ίδια ευθεία και προς την ίδια κατεύθυνση δυο σώματα Α και Β με μάζες m και Μ και ταχύτητες 2υ και υ αντίστοιχα, όπως στο σχήμα. Τα σώματα συγκρούονται μετωπικά και ελαστικά. 
i)   Η κινητική ενέργεια του Α σώματος, αυξάνεται, μειώνεται ή παραμένει σταθερή κατά την κρούση;
ii)  Αν m=Μ, ποιο ποσοστό της αρχικής κινητικής ενέργειας του Α σώματος μεταφέρεται στο Β;
iii)  Αν το ποσοστό της κινητικής ενέργειας του Α σώματος που μεταφέρεται  στο Β σώμα είναι 96%, τότε η σχέση των δύο μαζών είναι:
α) Μ=2m,      β) Μ=3m       γ) Μ=4m.
ή


Παρασκευή, 11 Απριλίου 2014

Η ελαστική κρούση μιας σφαίρας με ράβδο.

Σε λείο οριζόντιο επίπεδο ηρεμεί,  σε όρθια θέση, μια ομογενής ράβδος, ενώ μια σφαίρα, μάζας Μ, βρίσκεται σε επαφή μαζί της, ενώ κρέμεται στο άκρο νήματος από σταθερό σημείο Ο. Εκτρέπουμε τη σφαίρα φέρνοντάς την στη θέση Α με το νήμα οριζόντιο, όπως στο σχήμα και την αφήνουμε να κινηθεί. Μετά την ελαστική της κρούση με τη ράβδο, στο μέσον της Κ, η σφαίρα μένει ακίνητη.
i)  Για την μάζα m της ράβδου ισχύει:
α) m < Μ,  β) m=Μ,       γ) m > Μ.
ii)  Να εξετάσετε αν η στροφορμή του συστήματος παραμένει σταθερή, ως προς:
α) Το σημείο Ο,     β) Το σημείο Κ.
iii) Επαναλαμβάνουμε το πείραμα, αλλά προηγουμένως έχουμε ανεβάσει λίγο το σημείο Ο, με αποτέλεσμα τώρα η σφαίρα να κτυπήσει τη σανίδα στο σημείο Λ, όπως στο σχήμα.
Η ταχύτητα της σφαίρας μετά την ελαστική κρούση της με τη σανίδα:
α) θα είναι μηδενική,  β) θα είναι διάφορη του μηδενός.
Να δικαιολογήσετε τις απαντήσεις σας.
ή


Πέμπτη, 10 Απριλίου 2014

Μερικές «αντιφάσεις» στην ελαστική κρούση.

Κατά την μετωπική ελαστική κρούση έχουμε καταλήξει στις σχέσεις:
Για τις ταχύτητες των δύο υλικών σημείων που συγκρούονται ελαστικά και που το δεύτερο σώμα είναι αρχικά ακίνητο.
Οι τελικές ταχύτητες συνεπώς των δύο σωμάτων, εξαρτώνται καθαρά από τις σχέσεις των μαζών τους.
Αλλά τότε ανάλογα με την σχέση των δύο μαζών, θα έχουμε διαφορετικά «πρακτικά» αποτελέσματα και μερικά από αυτά μπορούν να δημιουργούν «εκπλήξεις»!
Ας ξεκινήσουμε από μια πολύ συχνή περίπτωση:

Παράδειγμα 1ο:
 Αν υλικό σημείο Α κινείται σε λείο οριζόντιο επίπεδο με ταχύτητα υ1=4m/s και συγκρούεται με δεύτερο ακίνητο υλικό σημείο Β.
Να βρεθούν μετά την κρούση:
i) Οι ταχύτητες των δύο σωμάτων.
ii) Η ορμή κάθε σώματος
iii) Η κινητική του ενέργεια
Στις δυο περιπτώσεις που εμφανίζονται στο παραπάνω σχήμα, όπου στην πρώτη m1=m και m2=4m, ενώ στη δεύτερη m1=4m και m2=m.
Η συνέχεια σε pdf ή από εδώ.

Η συνέχεια σε docx  ή από εδώ σε doc.

Σάββατο, 5 Απριλίου 2014

Η άνοδος μιας σφαίρας.

Μια σφαίρα μάζας 1kg κυλίεται σε οριζόντιο επίπεδο με ταχύτητα κέντρου μάζας υcm=6m/s και στην πορεία της συναντά ένα κεκλιμένο επίπεδο, κλίσεως θ=30°, κατά μήκος του οποίου συνεχίζει την κίνησή της. Η κορυφή του κεκλιμένου επιπέδου έχει εξομαλυνθεί ώστε να μην διαταραχθεί το ομαλό πέρασμά της από το ένα επίπεδο στο άλλο. Αν η προς τα πάνω κίνηση της σφαίρας σταματήσει όταν το κέντρο της Ο ανέβει κατά h=1m, τότε:
i) Να αποδείξετε ότι κατά την άνοδό της στο κεκλιμένο επίπεδο, η σφαίρα δέχεται δύναμη τριβής από το επίπεδο.
ii) Να υπολογιστεί η κινητική ενέργεια της σφαίρας τη στιγμή που σταματά η άνοδός της στο κεκλιμένο επίπεδο.
iii) Να υπολογιστεί το έργο της ασκούμενης τριβής κατά την άνοδο της σφαίρας.
Για την σφαίρα ως προς μια διάμετρό της Ι=0,4mR2 και g=10m/s2.
ή

Πέμπτη, 3 Απριλίου 2014

Μια ράβδος στρέφεται επιμηκύνοντας το ελατήριο.

Μια ομογενής ράβδος ΑΒ μήκους ℓ=1m και μάζας Μ= 15kg, μπορεί να στρέφεται σε κατακόρυφο επίπεδο, γύρω από άρθρωση στο άκρο της Β και ισορροπεί σε οριζόντια θέση δεμένη στο άκρο κατακόρυφου νήματος σε σημείο της Γ, όπου (ΑΓ)=0,2m. Παίρνουμε ένα ιδανικό ελατήριο με σταθερά k=225Ν/m και φυσικό μήκος ℓο=(4/15)m και τεντώνοντάς το, συνδέουμε τα άκρα του στο άκρο Α της ράβδου και στο σημείο πρόσδεσης του νήματος Δ, οπότε ο άξονας του ελατηρίου σχηματίζει με τη ράβδο γωνία φ, όπου ημφ=0,8 (συνφ=0,6).
i) Να βρεθεί η τάση του νήματος.
ii) Σε μια στιγμή κόβουμε το νήμα. Να υπολογισθεί η αρχική επιτάχυνση του άκρου Α της ράβδου.
iii) Να βρεθεί ως προς το άκρο Β της ράβδου, η στροφορμή και ο ρυθμός μεταβολής της στροφορμής της ράβδου, τη στιγμή που το ελατήριο θα γίνει κατακόρυφο, αν δεν αναπτύσσονται τριβές στην άρθρωση.
Δίνεται η ροπή αδράνειας της ράβδου ως προς την άρθρωση ΙΒ= 1/3 Μℓ2 και g=10m/s2.
ή

Τρίτη, 1 Απριλίου 2014

Μια στρεφόμενη στεφάνη.

Μια στεφάνη μάζας Μ=0,8kg και ακτίνας R=0,5m στρέφεται σε κατακόρυφο επίπεδο, γύρω από οριζόντιο άξονα, ο οποίος περνά από το άκρο Α μιας διαμέτρου της ΑΒ και ο οποίος βρίσκεται σε ύψος h=1,35 από το έδαφος, χωρίς τριβές. Σε μια στιγμή η διάμετρος ΑΒ είναι κατακόρυφη και το άκρο Β έχει ταχύτητα υΒ=4m/s.
i)   Να βρεθεί η κατεύθυνση της δύναμης, που ασκεί ο άξονας στη στεφάνη στη θέση αυτή και στη συνέχεια να υπολογιστεί το μέτρο της.
ii)  Να υπολογιστεί η ταχύτητα του σημείου Β, στη θέση που η διάμετρος ΑΒ γίνεται οριζόντια για πρώτη φορά.
iii)  Στην παραπάνω θέση, η στεφάνη απελευθερώνεται από τον άξονα και πέφτει στο έδαφος. Να βρεθεί η ταχύτητα του κέντρου Ο της στεφάνης τη στιγμή της πρόσκρουσης.
Δίνεται g=10m/s2.
ή