Κυριακή, 17 Μαρτίου 2019

Κόβοντας έναν δίσκο στη μέση


Ένας ομογενής δίσκος, κέντρου Κ, ακτίνας R και μάζας Μ, μπορεί να περιστρέφεται χωρίς τριβές, γύρω από οριζόντιο άξονα, ο οποίος περνά από ένα σημείο Α της περιφέρειάς του, με το επίπεδό του κατακόρυφο. Φέρνουμε το δίσκο στη θέση που δείχνει το διπλανό σχήμα, όπου η ακτίνα ΚΑ είναι οριζόντια και τον αφήνουμε να περιστραφεί, με αποτέλεσμα το σημείο Β, αντιδιαμετρικό του Α, να αποκτά αρχική επιτάχυνση μέτρου α1=4g/3.
i) Η ροπή αδράνειας του δίσκου ως προς τον άξονα περιστροφής του στο Α, δίνεται από την εξίσωση:
α) Ι1= ½ ΜR2,   β) Ι1= ΜR2,   γ) Ι1= 1,5ΜR2,   δ) Ι1= 2 ΜR2.
ii) Κόβουμε το δίσκο κατά μήκος της διαμέτρου ΑΒ, κρατώντας το ένα τμήμα του, το οποίο μπορεί να στρέφεται γύρω από τον ίδιο άξονα στο Α. Φέρνουμε το ημικύκλιο στη θέση του σχήματος, όπου και πάλι η διάμετρος ΑΒ να είναι οριζόντια, οπότε ο φορέας του βάρους διέρχεται ξανά από το κέντρο Κ και το αφήνουμε να περιστραφεί. Η αρχική επιτάχυνση του σημείου Κ θα έχει μέτρο:
α) α2=g/3,   β) α2=2g/3,    γ) α2=g,   δ) α2=4g/3.
όπου g η επιτάχυνση της βαρύτητας.
Να δικαιολογήσετε τις απαντήσεις σας
ή

Τετάρτη, 13 Μαρτίου 2019

Από την τετράγωνη πλάκα στην τριγωνική

Μια ομογενής τετράγωνη πλάκα μάζας Μ και πλευράς α, μπορεί να στρέφεται χωρίς τριβές γύρω από σταθερό οριζόντιο άξονα, ο οποίος διέρχεται από την κορυφή της Α. Συγκρατούμε την πλάκα, στη θέση που φαίνεται στο σχήμα, όπου η πλευρά της ΑΒ είναι οριζόντια, ενώ το επίπεδό είναι κατακόρυφο. Σε μια στιγμή η πλάκα αφήνεται να περιστραφεί, οπότε η κορυφή Β αποκτά αρχική επιτάχυνση μέτρου αΒ= 3g/4=7,5m/s2.

i)  Να υπολογιστούν:
α) Η αρχική επιτάχυνση του κέντρου Κ της πλάκας.
β) η ροπή αδράνειας της πλάκας ως προς τον άξονα περιστροφής της, σε συνάρτηση με τη μάζα Μ και το μήκος της πλευράς α.
ii) Να υπολογιστεί η ροπή αδράνειας της πλάκας ως προς άξονα, κάθετο στο επίπεδο της πλάκας, ο οποίος περνά από το κέντρο Κ του τετραγώνου, αν Μ=12kg και α=1m.
 iii) Κόβουμε την τετράγωνη πλάκα κατά μήκος της διαγωνίου ΒΔ, με αποτέλεσμα να πάρουμε δύο ίσα ορθογώνια και ισοσκελή τρίγωνα. Η τριγωνική πλάκα ΑΒΔ, παραμένει στη θέση της και μπορεί να περιστρέφεται γύρω από τον οριζόντιο άξονα, που περνά από την κορυφή Α. Αφήνουμε ξανά την νέα πλάκα να περιστραφεί από την θέση του σχήματος, όπου η πλευρά ΑΒ είναι οριζόντια.
α) Να υπολογιστεί η ροπή αδράνειας της τριγωνικής πλάκας, ως προς τον άξονα περιστροφής της.
β) Ποια η αρχική επιτάχυνση της κορυφής Β και του μέσου Κ της πλευράς ΒΔ.
Δίνεται g=10m/s2.
ή


Τρίτη, 12 Μαρτίου 2019

Ένας δίσκος και ένα υλικό σημείο.


Ένας ομογενής δίσκος, κέντρου Κ, μάζας Μ=1,2kg και ακτίνας R=1m, μπορεί να στρέφεται χωρίς τριβές, γύρω από σταθερό οριζόντιο άξονα ο οποίος περνά από ένα σημείο Α της περιφέρειάς του. Ο δίσκος ισορροπεί με τη βοήθεια οριζόντιου νήματος ΓΔ, το οποίο δένεται στο άκρο μιας οριζόντιας ακτίνας ΚΓ, ενώ στη θέση Β, σε κατακόρυφη απόσταση (ΑΒ)= x=R, έχει  στερεωθεί ένα μικρό σώμα Σ, το οποίο θεωρούμε αμελητέων διαστάσεων. Έτσι έχουμε δημιουργήσει ένα στερεό s.
Δίνονται για τη  γωνία θ που σχηματίζει η ακτίνα ΚΑ με την κατακόρυφο, ημθ=0,8 και συνθ=0,6, η ροπή αδράνειας του δίσκου ως προς κάθετο άξονα που περνά από το κέντρο του Ιcm= ½ ΜR2 και g=10m/s2.
i)  Να υπολογιστεί η τάση του νήματος.
ii) Σε μια στιγμή κόβουμε το νήμα, με αποτέλεσμα αμέσως μετά, το κέντρο Κ του δίσκου να αποκτήσει επιτάχυνση μέτρου 4,8m/s2. Ζητούνται:
α) Να σχεδιάστε στο σχήμα τις επιταχύνσεις των σημείων Κ και Β, μόλις κοπεί το νήμα.
β) Να προσδιοριστεί η μάζα του σώματος Σ.
iii) Να υπολογιστεί η δύναμη που ασκείται στο δίσκο από τον άξονα περιστροφής, πριν το κόψιμο του νήματος.
ή

Κυριακή, 10 Μαρτίου 2019

Η ράβδος και το ζεύγος δυνάμεων.


Σε λείο οριζόντιο επίπεδο, ηρεμεί μια οριζόντια ομογενής ράβδος ΑΒ, μήκους ℓ=2m και μάζας 6kg, η οποία μπορεί να  στρέφεται γύρω από σταθερό κατακόρυφο άξονα z, ο οποίος περνά από το άκρο της Β. Στη ράβδο ασκείται ένα ζεύγος  δυνάμεων, όπως στο σχήμα και μια οριζόντια σταθερή δύναμη F,  μέτρου F=4Ν η οποία ασκείται κάθετα στη ράβδο στο σημείο Γ, όπου (ΒΓ)=0,5m.
i)  Να σχεδιαστεί η δύναμη F και να υπολογιστεί η ροπή του ζεύγους των δυνάμεων F1 και F2
ii)  Υποστηρίζεται η άποψη, ότι ένα στερεό στο οποίο ασκείται ένα ζεύγος δυνάμεων, δεν μπορεί να ισορροπεί με την άσκηση μιας μόνο επιπλέον δύναμης. Χρειάζεται να ασκηθεί ένα ακόμη ζεύγος δυνάμεων. Να εξετάσετε την ορθότητα ή μη της πρότασης αυτής, χρησιμοποιώντας την παραπάνω ράβδο.
iii) Να υπολογιστεί η αρχική επιτάχυνση (t=0) του άκρου Α της ράβδου, αν η δύναμη F έχει την κατεύθυνση του δεξιού σχήματος, κάθετη στη ράβδο, ενώ η ράβδος ΑΒ:
α) Μπορεί να στρέφεται γύρω από τον άξονα z, στο άκρο Β.
β) Έχει αποδεσμευτεί από τον άξονα αυτόν και είναι ελεύθερη.
Δίνεται η ροπή αδράνειας της ράβδου ως προς κάθετο άξονα ο οποίος περνά από το μέσον της Μ, Ιcm= mℓ2/12.
ή

Παρασκευή, 8 Μαρτίου 2019

Ισορροπία κυλίνδρου σε κεκλιμένο επίπεδο.

Ένας ομογενής κύλινδρος ηρεμεί σε κεκλιμένο επίπεδο κλίσεως θ, με τη βοήθεια νήματος, το οποίο έχουμε τυλίξει γύρω του, με διεύθυνση κάθετη στο επίπεδο, όπως στο πρώτο από τα διπλανά σχήματα. Δίνεται ημθ=0,4 και συνθ≈0,9.
i)  Να αποδείξτε ότι το κεκλιμένο επίπεδο δεν είναι λείο.
ii) Να υπολογιστεί ο ελάχιστος συντελεστής οριακής στατικής τριβής, μεταξύ κυλίνδρου και επιπέδου, για την παραπάνω ισορροπία.
iii) Υποστηρίζεται ως εναλλακτική ισορροπία, αυτή του δεύτερου σχήματος. Να εξετάσετε αν είναι δυνατή η ισορροπία αυτή.
ή

Τρίτη, 5 Μαρτίου 2019

Ομοαξονικοί κύλινδροι σε κεκλιμένο επίπεδο…

Το στερεό του σχήματος, βάρους w, αποτελείται από δύο κολλημένους ομοαξονικούς κυλίνδρους με ακτίνες R και r= ½R  αντίστοιχα. Το στερεό ισορροπεί όπως στο σχήμα σε κεκλιμένο επίπεδο κλίσεως θ, όπου ημθ=0,6, ενώ στον δίσκο ακτίνας r έχουμε τυλίξει αβαρές μη εκτατό νήμα και στο άκρο του Α ασκούμε δύναμη F, παράλληλης στο επίπεδο.

i)  Να εξηγήσετε γιατί το κεκλιμένο επίπεδο δεν είναι λείο.
ii) Να σχεδιάστε την τριβή που ασκείται στο στερεό, δικαιολογώντας και την κατεύθυνσή της.
iii) Το μέτρο της δύναμης F είναι ίσο:
α) F=0,8w,    β) F=w,     γ) F=1,2w.  
iv) Αν για τους συντελεστές οριακής στατικής τριβής και τριβής ολίσθησης ισχύει μ=μs=7/8 και κάποια στιγμή αυξήσουμε το μέτρο της ασκούμενης δύναμης F στην τιμή F=1,5w, τι θα συμβεί με το στερεό:
α) Θα μετακινηθεί προς τα πάνω.
β) Θα περιστραφεί.
γ) Θα εκτελέσει σύνθετη κίνηση.
Να δικαιολογήσετε τις απαντήσεις σας.
ή

Σάββατο, 2 Μαρτίου 2019

Στήριξη σε δύο λεία κεκλιμένα επίπεδα.


Μια μη ομογενής ράβδος ΑΒ, μήκους ℓ και βάρους w, ισορροπεί σε επαφή με δύο λεία κεκλιμένα επίπεδα, με κλίσεις  θ=30° και φ=60°, σε οριζόντια θέση, όπως στο σχήμα. Η ροπή του βάρους της ράβδου, ως προς το κοινό σημείο Ο, της βάσης των δύο επιπέδων, έχει μέτρο:
α) τ=w∙ ¼ ℓ,       β) τ=w∙ 1/3 ℓ,       γ) τ=w∙ ½ ℓ      
ή

Τετάρτη, 27 Φεβρουαρίου 2019

Στο σχήμα βλέπετε δύο κεκλιμένα επίπεδα (1) και (2), με κλίσεις  φ=60° και θ=30° αντίστοιχα. Μια οριζόντια ομογενής ράβδος ΑΒ βάρους w=100Ν, ισορροπεί σε επαφή με τα δύο επίπεδα.
i)   Μπορούν και τα δύο επίπεδα να είναι λεία ή όχι; Να δικαιολογήσετε την απάντησή σας.
ii)  Αν δίνεται ότι το επίπεδο (1) είναι λείο, να βρεθούν:
α)  Η δύναμη που δέχεται η ράβδος στο άκρο της Α από το επίπεδο.
β)  Ο ελάχιστος συντελεστής της οριακής στατικής τριβής μεταξύ ράβδου και επιπέδου (2), για την παραπάνω ισορροπία.
ή