Τετάρτη, 15 Ιουλίου 2020

Μια ράβδος και η κινητική της ενέργεια.

 
Σε λείο οριζόντιο επίπεδο ηρεμεί μια ομογενής ράβδος ΑΒ μάζας m=6kg και μήκους ℓ=4m. Σε μια στιγμή t=0 ασκείται πάνω της μια σταθερή οριζόντια δύναμη, μέτρου F=3Ν, με αποτέλεσμα τη στιγμή t1=2,14s η ράβδος να έχει περιστραφεί κατά 90°, όπως φαίνεται στο σχήμα (σε κάτοψη). Για τη στιγμή t1 ζητούνται:
i) Η κινητική ενέργεια της ράβδου.
ii) Η ταχύτητα του άκρου Α της ράβδου.
iii) Ο ρυθμός μεταβολής της κινητικής ενέργειας της ράβδου.
Δίνεται η ροπή αδράνειας της ράβδου ως προς κάθετο άξονα ο οποίος περνά από το μέσον της Ι=mℓ2/12.
ή

Παρασκευή, 10 Ιουλίου 2020

Όταν το κιβώτιο μετατρέπεται σε σφαίρα

 
Ο κατακόρυφος οδηγός του σχήματος έχει σχήμα κοίλου τεταρτοκύκλιου ακτίνας R=1,4 m και είναι λείος και ακλόνητος. Ομογενής σφαίρα μάζας m και ακτίνας R=0,15m αφήνεται να ολισθήσει χωρίς τριβές από το άνω άκρο Α και φτάνει στο κάτω άκρο Β, οπότε και εγκαταλείπει τον οδηγό με οριζόντια ταχύτητα υΒ.
Να βρεθούν :
i)  ο λόγος της γωνιακής ταχύτητας περιστροφής της σφαίρας προς την γωνιακή ταχύτητα περιφοράς της, σε κάθε σημείο της τροχιάς της.
ii)  όταν φτάσει στη θέση Β, ο λόγος της κινητικής μεταφορικής ενέργειας της σφαίρας προς την συνολική κινητική της ενέργεια.
iii) Η ταχύτητα της σφαίρας στο Β.
 Δίνεται g=10m/s2.
ή

Δευτέρα, 6 Ιουλίου 2020

Η περιφορά και η περιστροφή ενός δίσκου

 

Στο σχήμα βλέπετε μια αβαρή ράβδο ΓΔ μήκους l=2m, στα άκρα της οποίας έχουν συνδεθεί δύο ομογενείς δίσκοι Α και Β με ακτίνες r=0,5m. Ο δίσκος Α μπορεί να στρέφεται χωρίς τριβές γύρω από άρθρωση στο άκρο Γ της ράβδου, ενώ αντίθετα ο δίσκος Β έχει καρφωθεί, με το κέντρο του να ταυτίζεται με το δεξιό άκρο Δ, χωρίς δυνατότητα περιστροφής, παρά μόνο μαζί με την ράβδο. Ο Α έχει μάζα Μ=12,25kg και στρέφεται ωρολογιακά με γωνιακή ταχύτητα ω0=4rad/s, ο Β έχει μάζα m=8kg, ενώ η ράβδος συγκρατείται σε οριζόντια θέση. Σε μια στιγμή t0=0 αφήνουμε το σύστημα να κινηθεί, οπότε η ράβδος ΓΔ στρέφεται, χωρίς τριβές, γύρω από σταθερό οριζόντιο άξονα ο οποίος περνά από το μέσον της Κ. 
i)  Να υπολογιστεί η κινητική ενέργεια  του  δίσκου Β τη χρονική στιγμή t1=1,3s, όπου η ράβδος γίνεται κατακόρυφη, για πρώτη φορά.
ii) Πόσες περιστροφές έχει εκτελέσει κάθε δίσκος, μέχρι τη στιγμή t1;
iii) Ποιες οι αντίστοιχες απαντήσεις αν αρχικά ο δίσκος Α ηρεμούσε;
Δίνεται η ροπή αδράνειας ενός δίσκου ως προς κάθετο άξονα ο οποίος διέρχεται από το κέντρο του Ιcm= ½ mR2 και g=10m/s2.
ή


Πέμπτη, 2 Ιουλίου 2020

Από την ευθύγραμμη τροχιά στην τεθλασμένη

  

Και από εκεί ξανά στο τεταρτοκύκλιο!!!
2) Ο παραπάνω δρόμος «σπάει» σε δύο άλλους ευθύγραμμους που σχηματίζουν ορθή γωνία, με μήκη L1+L2=L=14πr, όπου το τμήμα ΑΒ είναι κατακόρυφο και το ΒΓ οριζόντιο. Ένας δίσκος ξεκινά από το άκρο Α και φτάνει στο άκρο Γ, ενώ σε όλη τη διάρκεια της κίνησής του κυλίεται (προφανώς η μετακίνηση αυτή γίνεται προγραμματισμένα, περιστρέφοντας εμείς το δίσκο και όχι αφήνοντάς τον ελεύθερο να κινηθεί…).
Ο δίσκος θα πραγματοποιήσει 7 περιστροφές ή όχι και γιατί;


ή

Δευτέρα, 29 Ιουνίου 2020

Μήπως ήρθε η ώρα να συμφωνήσουμε;

 
Κάθε σύνθετη κίνηση στερεού (κίνηση που δεν μπορεί να μελετηθεί ως μεταφορική ή ως στροφική), έχουμε το δικαίωμα να την θεωρήσουμε ότι αποτελείται από επιμέρους απλές κινήσεις.
Σε προηγούμενες ενασχολήσεις με το θέμα, τόσο στην ανάρτηση «και όμως κινείται», όσο και στην «Μια σύνθετη κίνηση και οι επιμέρους κινήσεις…» η σύνθετη κίνηση μελετήθηκε ως επαλληλία δύο στροφικών κινήσεων με γωνιακές ταχύτητες ω1 και ω2, η σύνθεση των οποίων οδηγεί στην μία και μοναδική γωνιακή ταχύτητα περιστροφής του δίσκου.
Σήμερα θα ακολουθήσουμε διαφορετική οδό. Πιο «λυκειακή», πιο κοντά σε αυτό που διδάσκουμε στα σχολεία. Η σύνθετη κίνηση θα μελετηθεί αυστηρά ως επαλληλία μιας μεταφορικής και μιας στροφικής γύρω από νοητό άξονα ο οποίος περνά από το κέντρο μάζας του δίσκου.
Αλλά ας τονισθεί από την αρχή ότι, δεν θα παίξουμε με το τι βλέπει ο ένας ή ο άλλος παρατηρητής, αλλά τι βλέπει και πώς μελετά την κίνηση ο ακίνητος αδρανειακός παρατηρητής.

Συνέχεια 
ή


Πέμπτη, 11 Ιουνίου 2020

Η δύναμη Laplace σε τετράγωνο πλαίσιο.

 
 Σε ένα ομογενές οριζόντιο μαγνητικό πεδίο έντασης Β, βρίσκεται ένα οριζόντιο τετράγωνο μεταλλικό πλαίσιο, πλευράς ℓ, το οποίο διαρρέεται από ηλεκτρικό ρεύμα έντασης Ι, όπως στο σχήμα, όπου η ένταση του μαγνητικού πεδίου Β είναι παράλληλη στην πλευρά ΑΒ.
i)  Η συνισταμένη  δύναμη που ασκείται από το μαγνητικό πεδίο στο πλαίσιο έχει μέτρο:
α) F=0 ,    β) F= ΒΙℓ,   γ) F= 2ΒΙℓ,   δ) F=4ΒΙℓ.
ii) Η συνολική ροπή η οποία τείνει να περιστρέψει το πλαίσιο, έχει μέτρο:
α) τ=0,  β) τ=ΒΙℓ2,   γ)  τ=2ΒΙℓ2,    δ) τ=4ΒΙℓ2.
iii) Να σχεδιάστε στο σχήμα την δύναμη  η οποία ασκείται σε κάθε πλευρά του πλαισίου, καθώς και το  διάνυσμα της συνολικής ροπής ως προς το κέντρο του τετραγώνου.
Να δικαιολογήσετε πλήρως τις απαντήσεις σας.
ή

Τετάρτη, 10 Ιουνίου 2020

Μια οριζόντια εκτόξευση αγωγού.

 
Ο αγωγός ΑΓ μπορεί να κινείται οριζόντια χωρίς τριβές, σε επαφή με δύο παράλληλους οριζόντιους αγωγούς xx΄και yy΄, μέσα και ένα κατακόρυφο ομογενές μαγνητικό πεδίο, σταθερής έντασης Β. Η μόνη αντίσταση είναι η R1, η οποία συνδέει τα δύο άκρα των παραλλήλων αγωγών. Κάποια στιγμή t0=0 εκτοξεύουμε οριζόντια τον αγωγό ΑΓ, ο οποίος κινείται σε επαφή με τους παράλληλους αγωγούς και στο διάγραμμα Φ-t η καμπύλη α δείχνει τον τρόπο με μεταβάλλεται η μαγνητική ροή στο ορθογώνιο xΑΓy.
i)    Η αρχική ταχύτητα υ0 εκτόξευσης του αγωγού ΑΓ, έχει φορά προς τα δεξιά ή προς τα αριστερά και γιατί;
ii) Αν Ρ0 η αρχική ηλεκτρική ισχύς στον αντιστάτη R1 και Ρ1 η αντίστοιχη ισχύς τη στιγμή t1 ισχύει:
α) Ρ0 < Ρ1,   β) Ρ0 = Ρ1,    γ) Ρ0 > Ρ1.
iii) Επαναλαμβάνουμε ξανά την εκτόξευση του αγωγού, αλλά προηγούμενα έχουμε αλλάξει την αντίσταση με άλλη με τιμή R2, με αποτέλεσμα η γραφική παράσταση Φ-t να πάρει τη μορφή της καμπύλης β.  Για τις τιμές των δύο αντιστάσεων ισχύει:
α) R2 <  R1,       β) R2 >  R1.
Να δικαιολογήσετε τις απαντήσεις σας
ή

Δευτέρα, 8 Ιουνίου 2020

Περί του  νόμου του Neumann.

 
Ένα μεταλλικό ορθογώνιο πλαίσιο, με αντίσταση R=1Ω βρίσκεται μέσα σε ένα ομογενές μαγνητικό πεδίο κάθετα στις δυναμικές γραμμές, όπως στο σχήμα. Στα παρακάτω σχήματα δίνονται οι γραφικές παραστάσεις της μαγνητικής ροής που περνά από το πλαίσιο σε συνάρτηση με το χρόνο, θεωρώντας t=0 τη στιγμή που αρχίζει να μεταβάλλεται η ένταση του μαγνητικού πεδίου.
 
i)  Να υπολογιστεί το συνολικό φορτίο που διέρχεται από μια διατομή στη θέση Α του πλαισίου στις περιπτώσεις των σχημάτων  (α) και (β).
ii) Ποια η αντίστοιχη απάντηση για την περίπτωση του (γ) σχήματος, αν η συνάρτηση της ροής είναι:
Φ = 2- ½ t2     (μονάδες στο S.Ι.)
Καθώς και την περίπτωση του σχήματος (δ) όπου Φ=2∙συνωt (S.Ι.)
iii) Να υπολογιστεί επίσης το ολικό φορτίο στις περιπτώσεις των σχημάτων, (ε) και (στ) όπου οι συναρτήσεις  της ροής είναι αρμονικές.
ή