Παρασκευή 3 Δεκεμβρίου 2021

Τρεις αρθρώσεις, η μία με τριβή.

 

Το σώμα Σ, μάζας m=1kg μπορεί να κινείται χωρίς τριβές, κατά μήκος οριζόντιας ράβδου στην οποία έχει αρθρωθεί.  Μια αβαρής ράβδος έχει αρθρωθεί στο σώμα Σ και στο κάτω άκρο της, έχει επίσης αρθρωθεί μια σφαίρα Α, μάζας Μ=5kg. Η ράβδος ηρεμεί στην κατακόρυφη θέση, ενώ δίνεται ότι η άρθρωση της σφαίρας δεν εμφανίζει τριβές, ενώ αντίθετα η άρθρωση μεταξύ του σώματος Σ και της αβαρούς ράβδου παρουσιάζει τριβές. Κάποια στιγμή μια δεύτερη σφαίρα Β μάζας m1=0,5kg η οποία κινείται οριζόντια με ταχύτητα υ1=4,5m/s, όπως στο σχήμα, συγκρούεται κεντρικά και ελαστικά με τo σώμα Σ. Ζητούνται:

i)  Η ταχύτητα του σώματος Σ, αμέσως μετά την κρούση.

ii)  Η ταχύτητα του σώματος Σ, μόλις σταματήσει η ταλάντωση της σφαίρας Α, εξαιτίας της τριβής που θα αναπτυχθεί στην άρθρωση μεταξύ του Σ και της αβαρούς ράβδου.

iii) Η απώλεια της μηχανικής ενέργειας, εξαιτίας της τριβής που αναπτύσσεται στην άρθρωση.

Απάντηση:

ή



Τρίτη 30 Νοεμβρίου 2021

Μια κρούση στο βάθος ενός ημισφαιρίου

 

Από το άκρο ενός λείου ημισφαιρίου κέντρου Κ και ακτίνας R=1,25m, αφήνεται μια μικρή σφαίρα Α, μάζας m=0,1kg και αμελητέων διαστάσεων, να κινηθεί. Η σφαίρα φτάνοντας στο κατώτερο σημείο του ημισφαιρίου, συγκρούεται κεντρικά και ελαστικά με δεύτερη σφαίρα Β, ίδιας ακτίνας. Μετά την κρούση οι δυο σφαίρες φτάνουν στο ίδιο h, πριν κινηθούν ξανά προς τα κάτω.

Αν g=10m/2  ζητούνται:

i) Ποια σφαίρα αποκτά μεγαλύτερη, κατά μέτρο, ταχύτητα μετά την κρούση;

ii) Να βρεθεί η μάζα Μ της Β σφαίρας.

iii) Να υπολογιστεί το ύψος h.

iv) Αν οι δύο σφαίρες συγκρούονται ξανά για δεύτερη φορά στο χαμηλότερο σημείο του ημισφαιρίου, να βρεθεί το ύψος h1 στο οποίο θα φτάσει η σφαίρα Α, μετά την κρούση.

Απάντηση:

ή

Παρασκευή 26 Νοεμβρίου 2021

Μετρώντας χρόνους βρίσκουμε ενέργειες

 

Ένα σώμα Α εκτελεί αατ, δεμένο στο άκρο οριζόντιου ιδανικού ελατηρίου, σταθεράς k=80Ν/m, με εξίσωση απομάκρυνσης x=0,25∙ημ(2πt)  (μονάδες στο S.Ι. και θετική κατεύθυνση προς τα δεξιά). Ένα δεύτερο σώμα μάζας 2kg κινείται κατά μήκος του άξονα του ελατηρίου προς τα αριστερά, όπως στο σχήμα και  συγκρούεται κεντρικά και ελαστικά με το σώμα Α τη χρονική στιγμή t1=5/4s. Αν η ταχύτητα του σώματος Α, μηδενίζεται για πρώτη φορά, μετά την κρούση, τη στιγμή t2= 19/12s, να βρεθούν:

i)  Η ταχύτητα και η επιτάχυνση του σώματος Α, ελάχιστα πριν την κρούση.

ii) Η επιτάχυνση του σώματος Α τη στιγμή t2.

iii) Ποια χρονική στιγμή πρόκειται να συγκρουσθούν τα σώματα για δεύτερη φορά.

iv) Να υπολογισθεί η ενέργεια ταλάντωσης του σώματος Α, καθώς και η κινητική ενέργεια του Β σώματος, μετά την δεύτερη μεταξύ τους κρούση.

Δίνεται π2≈10.

Απάντηση:

ή

Δευτέρα 22 Νοεμβρίου 2021

Αφήνουμε ένα σώμα, πάνω στο δίσκο

 

Ένας δίσκος μάζας m=1kg ταλαντώνεται στο πάνω άκρο ενός ιδανικού ελατηρίου, σταθεράς k=100Ν/m, το άλλο άκρο του οποίου στηρίζεται στο έδαφος. Σε μια στιγμή t0, ο δίσκος βρίσκεται στο ανώτερο σημείο της τροχιάς του έχοντας επιτάχυνση μέτρου |α1|. Τη στιγμή αυτή αφήνεται πάνω στο δίσκο (με μηδενική ταχύτητα) ένα σώμα Σ, μάζας Μ=3kg, το οποίο αποκτά επίσης αρχική επιτάχυνση μέτρου |α1|.

i)  Να υπολογιστεί το μέτρο της επιτάχυνση |α1|.

ii) Να βρεθεί το πλάτος ταλάντωσης του δίσκου, πριν και μετά την τοποθέτηση του σώματος Σ.

iii) Ποιο το μέτρο της μέγιστης δύναμης που ο δίσκος ασκεί στο σώμα Σ, στη διάρκεια της ταλάντωσής τους;

iv)  Να κάνετε τις γραφικές παραστάσεις της δυναμικής ενέργειας ταλάντωσης, σε συνάρτηση με την ταχύτητα του  δίσκου, για την αρχική ταλάντωση του δίσκου και, για την ταλάντωση του συστήματος μετά την τοποθέτηση του σώματος Σ, στο  ίδιο διάγραμμα.

Δίνεται g=10m/s2.

Απάντηση:

ή

 

Παρασκευή 19 Νοεμβρίου 2021

Μια ελαστική κρούση και δύο αατ

 

Ένα σώμα Σ1 μάζας m1 είναι δεμένο στο άκρο οριζόντιου ιδανικού ελατηρίου σταθεράς k=100Ν/m και ταλαντώνεται με εξίσωση x=0,5∙ημ(10t+π/2) (μονάδες στο S.Ι.), με θετική την προς τα δεξιά κατεύθυνση. Ένα δεύτερο σώμα Σ2 μάζας m2=1,5kg κινείται με ταχύτητα υ2 κατά μήκος του άξονα του ελατηρίου, πλησιάζοντας το σώμα Σ1. Αν τη  χρονική στιγμή t0=0 τα δυο σώματα απέχουν απόσταση d1=(π/8+0,5)m, ενώ τα σώματα συγκρούονται κεντρικά και ελαστικά τη χρονική στιγμή t1=π/20 s.

i)  Να υπολογιστεί η μάζα του σώματος Σ1 και η θέση της κρούσης, μεταξύ των δύο σωμάτων.

ii) Να βρεθούν οι ταχύτητες των δύο σωμάτων ελάχιστα πριν την κρούση.

iii) Ποια η μεταβολή της ορμής του σώματος Σ1 που οφείλεται στην κρούση;

iv) Αφού βρείτε τη συνάρτηση x=f(t) για την ταλάντωση του σώματος Σ1 μετά την κρούση, αν αυτή έχει αμελητέα διάρκεια, να γίνει η γραφική παράσταση της απομάκρυνσης του Σ1 σε συνάρτηση με το χρόνο από τη στιγμή t0=0, μέχρι τη στιγμή t2= π/4 s.

Απάντηση:

ή

Δευτέρα 15 Νοεμβρίου 2021

Μια πλάγια ελαστική κρούση στον αέρα.

  

Μια μικρή σφαίρα Α μάζας m1=0,3kg, εκτοξεύεται τη στιγμή t0=0 οριζόντια, με αρχική ταχύτητα μέτρου u1=10m/s, από ύψος Η=8,75m, όπως στο σχήμα. Μετά από λίγο, μια δεύτερη σφαίρα μάζας m2=0,2kg, εκτοξεύεται από το σημείο Ρ του εδάφους, κατακόρυφα με αρχική ταχύτητα μέτρου u2=10m/s. Τη χρονική στιγμή t1= 1s, καθώς ανεβαίνει η Β σφαίρα, συναντά την Α με την οποία συγκρούεται ελαστικά στον αέρα, στο σημείο Σ.

i)  Να υπολογιστεί η ταχύτητα της Β σφαίρας, ελάχιστα πριν την κρούση.

ii) Αν η κρούση μεταξύ των δύο σφαιρών διαρκεί απειροελάχιστα, να υπολογιστούν οι ταχύτητες των σφαιρών ελάχιστα μετά την κρούση.

iii) Να βρεθεί η μεταβολή της ορμής κάθε σφαίρας που οφείλεται στην κρούση.

iv) Ποια η τελική κινητική ενέργεια με την οποία η Α σφαίρα φτάνει στο έδαφος;

Δίνεται g=10m/s2.

Απάντηση:

ή

  Μια πλάγια ελαστική κρούση  στον αέρα.

Πέμπτη 11 Νοεμβρίου 2021

Ψάχνοντας να βρούμε το είδος της κρούσης

 Μια σφαίρα Α μάζας m1=2kg κινείται σε λείο οριζόντιο επίπεδο, κατά μήκος μιας ευθείας (ε) και την στιγμή t1=6s συγκρούεται με δεύτερη σφαίρα Β ίδιας ακτίνας, συνεχίζοντας να κινείται στην ίδια ευθεία (ε). Λαμβάνοντας το σημείο Ο στο οποίο βρίσκεται η σφαίρα τη στιγμή t=0, ως αρχή ενός προσανατολισμένου άξονα x΄x, με θετική την προς τα δεξιά κατεύθυνση, σχεδιάσαμε τη γραφική παράσταση θέσης χρόνου, παίρνοντας το παρακάτω διάγραμμα.

i) Αν μετά την κρούση η Β σφαίρα κινείται στην ίδια  ευθεία (ε), η κρούση μεταξύ των δύο σφαιρών είναι ή όχι κεντρική;

ii) Να υπολογίσετε την ορμή της σφαίρας Α, πριν και μετά την κρούση, καθώς και την μεταβολή της ορμής της που οφείλεται στην κρούση.

iii) Να αποδείξετε ότι η σφαίρα Β πριν την κρούση κινείται.

iv) Αν η σφαίρα Β έχει μάζα m2=3kg και πριν την κρούση έχει ταχύτητα μέτρου |υ2|=3m/s:

α) Ποιο από τα σχήματα (δεξιά στην εικόνα), δείχνει τις θέσεις και τις ταχύτητες των σφαιρών, ελάχιστα πριν την κρούση; Να δικαιολογήσετε την απάντησή σας.

β) Να υπολογίσετε την ταχύτητα της Β σφαίρας μετά την κρούση.

v) Αφού υπολογίσετε την μεταβολή της κινητικής ενέργειας κάθε σφαίρας, λόγω κρούσης, να αποδείξετε ότι η παραπάνω κρούση είναι ανελαστική.

Απάντηση:

ή

 

Κυριακή 7 Νοεμβρίου 2021

Δυο συσκευές που λειτουργούν κανονικά

 Διαθέτουμε έναν μετασχηματιστή, ο οποίος συνδέεται στο δίκτυο, δίνοντας  στην έξοδό του τάση της μορφής υ=141∙ημ314t (S.Ι.), ανεξάρτητα της συσκευής που συνδέεται σε αυτόν. Έχουμε επίσης δύο θερμικές συσκευές (οι οποίες θεωρούνται αντιστάτες) Α και Β, με στοιχεία κανονικής λειτουργίας  (150W,100V) και (120W,60V) αντίστοιχα.

i)  Να εξετάσετε αν συνδέοντας κάποια συσκευή στην έξοδο του μετασχηματιστή, θα λειτουργήσει κανονικά.

ii) Θέλουμε να συνδέσουμε ταυτόχρονα και τις δύο συσκευές, ώστε να λειτουργούν κανονικά. Για να το πετύχουμε αυτό, μπορούμε να συνδεσμολογήσουμε τα κυκλώματα:

 

α) Οι συσκευές λειτουργούν κανονικά στο πρώτο κύκλωμα.

β) Οι συσκευές λειτουργούν κανονικά στο δεύτερο κύκλωμα.

γ) Δεν μπορούν και οι δύο συσκευές να λειτουργήσουν κανονικά, σε καμιά από τις παραπάνω συνδεσμολογίες.

iii) Ένας συμμαθητής σας υποστηρίζει ότι πέτυχε να λειτουργήσουν κανονικά και οι δύο  συσκευές, με την χρήση μιας αντίστασης R=20Ω.

α) Να εξετάσετε αν αυτό μπορεί να είναι αλήθεια, σχεδιάζοντας και το κύκλωμα που συναρμολόγησε.

β)  Τι ποσοστό της ισχύος που παρέχει ο μετασχηματιστής στο κύκλωμα, καταναλώνεται πάνω στην αντίσταση R;

Απάντηση:

ή