Πέμπτη, 19 Απριλίου 2018

Η περιστροφή ενός τριγώνου

Τρεις ομογενείς ράβδοι, μήκους l=2m και μάζας 3kg η καθεμιά, συνδέονται, δημιουργώντας ένα ισόπλευρο τρίγωνο πλευρά l. Το τρίγωνο αυτό (στερεό s) μπορεί να περιστρέφεται, χωρίς τριβές, γύρω από κατακόρυφο άξονα z, ο οποίος περνά από την κορυφή Α και το μέσον της ΒΓ, όπως στο σχήμα.
i)   Αν Ιο η ροπή αδράνειας μιας ράβδου ως προς κάθετο άξονα που περνά από το μέσον, να αποδείξετε ότι η ροπή αδράνειας της ράβδου ΑΒ ως προς τον κατακόρυφο άξονα z, δίνεται από την σχέση:
Ιz=4Ιο∙ημ2θ.
    όπου θ η γωνία που σχηματίζει η ράβδος με τον άξονα.
ii) Να υπολογίσετε τη ροπή αδράνειας του στερεού s, ως προς τον άξονα z.
iii) Θέτουμε τη στιγμή t0=0, το στερεό σε περιστροφή ασκώντας στην κορυφή Γ, οριζόντια δύναμη μέτρου F=4Ν, κάθετη στην πλευρά ΒΓ, με φορά προς τα μέσα στο σχήμα.           
Να υπολογιστούν τη χρονική στιγμή t1=5s:
α) Η γωνιακή ταχύτητα του στερεού s και η στροφορμή του κατά (ως προς) τον άξονα z.
β) Η κινητική ενέργεια του στερεού, καθώς και ο ρυθμός μεταβολής της κινητικής του ενέργειας.
iv) Σταματάμε την περιστροφή και αφαιρούμε τον άξονα z. Περνάμε την κορυφή Α σε δεύτερο οριζόντιο άξονα x, κάθετο στο επίπεδο του τριγώνου, γύρω από τον οποίο το στερεό s μπορεί να περιστρέφεται χωρίς τριβές. Φέρνουμε το στερεό σε τέτοια θέση ώστε η πλευρά ΒΓ να είναι κατακόρυφη και το αφήνουμε να κινηθεί. Να υπολογιστεί η αρχική επιτάχυνση (μέτρο και κατεύθυνση) της κορυφής Β.
Δίνεται g=10m/s2, ενώ η ροπή αδράνειας μιας ομογενούς ράβδου ως προς κάθετο άξονα που περνά από το μέσον της Ιο= (1/12)ml2.
ή

Η περιστροφή ενός τριγώνου



Τετάρτη, 18 Απριλίου 2018

Η κρούση και η διατήρησης της στροφορμής

Μια μικρή σφαίρα μάζας m=1kg, την οποία θεωρούμε υλικό σημείο, κρέμεται στο άκρο αβαρούς νήματος μήκους l1=5m, από σταθερό σημείο Ο. Στην ίδια κατακόρυφο ισορροπεί μια ομογενής ράβδος ΚΒ, μήκους l=2m και μάζας Μ=6kg, όπου το άκρο της Β εφάπτεται της σφαίρας. Η ράβδος μπορεί να στρέφεται γύρω από οριζόντιο άξονα που περνά από το άκρον της Κ.
Μετακινούμε τη σφαίρα φέρνοντάς την στη θέση Α, όπου το νήμα είναι τεντωμένο και οριζόντιο και την αφήνουμε να κινηθεί. Φτάνοντας στην κατακόρυφο, συγκρούεται με το άκρο της ράβδου και αμέσως μετά, κινείται προς τα αριστερά με ταχύτητα μέτρου υ1=2m/s.
i)   Να βρεθεί η ταχύτητα της σφαίρας πριν την κρούση, καθώς και η μεταβολή της ορμής της, η οποία οφείλεται στην κρούση.
ii)  Θέλουμε να υπολογίσουμε τη γωνιακή ταχύτητα την οποία αποκτά η ράβδος λόγω της κρούσης. Για το σκοπό αυτό θα εφαρμόσουμε την αρχή διατήρησης της στροφορμής για το σύστημα, ως προς οριζόντιο άξονα, ο οποίος περνά:
α) Από το σημείο Ο,  
β) από το σημείο Κ περιστροφής της ράβδου, 
γ) από το μέσον Μ της ράβδου.
Να δικαιολογήσετε με ποιον ή ποιους από τους παραπάνω άξονες, μπορείτε να δουλέψετε και στη συνέχεια να υπολογίσετε τη γωνιακή ταχύτητα της ράβδου.
iii) Να υπολογιστεί η μεταβολή της ορμής της ράβδου, η οποία οφείλεται στην κρούση. Η ορμή του συστήματος σφαίρα-ράβδος διατηρήθηκε κατά την κρούση αυτή;
iv) Να υπολογιστεί η απώλεια μηχανικής ενέργειας που οφείλεται στην κρούση.
Δίνεται g=10m/s2 ενώ η ροπή αδράνειας της ράβδου ως προς τον άξονα περιστροφής της  Ι= 1/3 Μl2.
ή

Η κρούση και η διατήρησης της στροφορμής


Κυριακή, 15 Απριλίου 2018

Τι γίνεται στην ένωση δύο ράβδων;


Σε λείο οριζόντιο επίπεδο ηρεμεί ένα στερεό ΑΒ, το οποίο μπορεί να στρέφεται γύρω από κατακόρυφο άξονα που περνά από το άκρο Α και το οποίο αποτελείται από δυο ομογενείς ράβδους ΑΟ και ΟΒ με ίδιο μήκος l και μάζας m και Μ. Κάποια στιγμή ασκούμε στο άκρο Β μια οριζόντια δύναμη F στο άκρο Β, κάθετη στη ράβδο.
Αμέσως μετά η ράβδος ΑΟ:
α) Δέχεται δύναμη από την ράβδο ΟΒ ίδιας φοράς με την F.
β) Δέχεται δύναμη από την ράβδο ΟΒ αντίθετης φοράς από την F.
γ) Εξαρτάται.
Ποια είναι η φορά της ροπής ζεύγους η οποία ασκείται στη ράβδο ΑΟ, λόγω αλληλεπίδρασης με την ΟΒ;
ή

Τι γίνεται στην ένωση δύο ράβδων;



Σάββατο, 14 Απριλίου 2018

Η «ιδιοστροφορμή» μετατρέπεται σε στροφορμή


Μια οριζόντια ομογενής σανίδα ΑΟ μήκους l=2m και μάζας m=3kg μπορεί να στρέφεται γύρω από κατακόρυφο άξονα z1, ο οποίος περνά από το άκρο της Α, χωρίς τριβές. Στο άλλο της άκρο Ο, έχει συνδεθεί κατακόρυφος άξονας z2, γύρω από τον οποίο μπορεί να περιστρέφεται οριζόντιος δίσκος ακτίνας R=1m και μάζας Μ=4kg. Θέτουμε τον δίσκο σε περιστροφή, όπως στο σχήμα (ο δίσκος είναι σε οριζόντιο επίπεδο ελαφρά πάνω από τη σανίδα, οπότε δεν εφάπτεται με αυτήν), με αρχική γωνιακή ταχύτητα 2rαd/s, ενώ η ράβδος συγκρατείται ακίνητη σε οριζόντια θέση και παρατηρούμε ότι εξαιτίας των τριβών μεταξύ του άξονα z2 και του δίσκου, αυτός επιβραδύνεται και σταματά μετά από χρόνο t1=40s.
i)  Να υπολογιστούν η αρχική στροφορμή του δίσκου ως προς τον άξονα περιστροφής του z2 και η ροπή της τριβής που τον επιβραδύνει, θεωρώντας την σταθερή. Να σχεδιάστε πάνω στο σχήμα τα διανύσματα:
α) της αρχικής  στροφορμής και      β) της ροπής που δέχτηκε ο δίσκος από τον άξονα.
ii) Επαναλαμβάνουμε το πείραμα, αλλά τώρα αφήνουμε ελεύθερη τη ράβδο να κινηθεί και παρατηρούμε ότι αυτή αρχίζει να περιστρέφεται.
α) Να ερμηνευθεί η περιστροφή της ράβδου γύρω από τον άξονα z.
β) Να υπολογιστεί η τελική γωνιακή ταχύτητα της ράβδου.
γ) Πόση μηχανική ενέργεια μετατρέπεται σε θερμική εξαιτίας των τριβών;
Δίνεται ότι η ιδιοστροφορμή (το spin) ενός στερεού είναι ίδια ως προς οποιοδήποτε άξονα, παράλληλο προς τον άξονα που περνά από το κέντρο μάζας του. Δίνονται επίσης οι ροπές αδράνειας των στερεών, ως προς τους άξονες περιστροφής τους. Για τη ράβδο Ι1= (1/3)ml2 και για το  δίσκο Ι2= ½ ΜR2).
ή

Η «ιδιοστροφορμή» μετατρέπεται σε στροφορμή



Πέμπτη, 12 Απριλίου 2018

Μια σανίδα περιστρέφεται μαζί με τη βάση

Μια λεπτή ομογενής σανίδα ΑΒ μήκους 2m και μάζας m=3kg, μπορεί να στρέφεται γύρω από κατακόρυφο άξονα που περνά από το μέσον της Ο και ο οποίος στηρίζεται σε βάση μάζας Μ, η οποία ηρεμεί σε λείο οριζόντιο επίπεδο (πάνω σχήμα). Η βάση έχει προσδεθεί στο άκρο νήματος, μήκους l1=2m το άλλο άκρο του οποίου έχει δεθεί σε σταθερό σημείο Κ. Θέτουμε τη σανίδα σε περιστροφή, με ωρολογιακή φορά και με γωνιακή ταχύτητα ω=2rαd/s. Στη συνέχεια ασκώντας στη βάση σταθερού μέτρου οριζόντια δύναμη F=5Ν, η διεύθυνση της οποίας παραμένει διαρκώς κάθετη στο νήμα, την θέτουμε σε κυκλική κίνηση γύρω από το σημείο Κ, μέχρι να διατρέξει (η βάση) μήκος τόξου s=16m αποκτώντας ταχύτητα υ1=4m/s. Τη στιγμή αυτή η δύναμη παύει να ασκείται. 
Να υπολογιστούν:
i)  Το έργο της δύναμης F και η αύξηση της κινητικής ενέργειας της ράβδου εξαιτίας της κίνησης της βάσης στήριξής της.
ii)  Η μάζα Μ της βάσης.
iii)  Η τελική στροφορμή της σανίδας ως προς κατακόρυφο άξονα ο οποίος περνά από το μέσον της Ο.
iv)  Η τελική στροφορμή της σανίδας  ως προς το κέντρο Κ περιστροφής.
v)  Η ολική στροφορμή του συστήματος βάση-σανίδα ως προς κατακόρυφο άξονα ο οποίος περνά από το κέντρο Κ της κυκλικής τροχιάς.
Δίνεται η ροπή αδράνειας της σανίδας ως προς κάθετο άξονα που περνά από το μέσον της Ι= (1/12)ml2.
ή

Μια σανίδα περιστρέφεται μαζί με τη βάση



Τετάρτη, 11 Απριλίου 2018

Ο δίσκος περιστρέφεται από μεταβλητή δύναμη

Ο οριζόντιος ομογενής δίσκος του σχήματος, μάζας Μ=(37/8)kg και ακτίνας R=4m, μπορεί να στρέφεται χωρίς τριβές, γύρω από κατακόρυφο άξονα z, ο οποίος περνά από το κέντρο του Ο. Σε απόσταση r=1m από το κέντρο Ο, βρίσκεται κολλημένη μια όρθια πρισματική ράβδος, μήκους l=2m και μάζας m=3kg. Γύρω από τον δίσκο τυλίγουμε ένα αβαρές νήμα και κάποια στιγμή t0=0, ασκούμε στο άκρο του οριζόντια δύναμη F, το μέτρο της οποίας μεταβάλλεται με το χρόνο, όπως στο διάγραμμα.
i) Για τη χρονική στιγμή t1=2s, να βρεθούν:
α) Η ροπή αδράνειας του στερεού δίσκος-ράβδος.
β) Η στροφορμή του συστήματος και ο ρυθμός μεταβολής της στροφορμής του, ως προς τον άξονα z.
γ) Η ισχύς της δύναμης F, καθώς και ο ρυθμός μεταβολής της κινητικής ενέργειας της ράβδου και του δίσκου.
ii) Για το χρονικό διάστημα από t1=2s έως t2=4s να υπολογιστούν:
α) Η μεταβολή της στροφορμής του συστήματος δίσκος-ράβδος.
β)Το έργο της δύναμης F.
iii) Τη χρονική στιγμή t3=5s, η ράβδος ανατρέπεται και προσκολλάται πάνω στο δίσκο, στη διεύθυνση μιας ακτίνας, όπως στο σχήμα. Να υπολογιστεί η τελική κινητική ενέργεια της ράβδου.
Δίνεται η ροπή αδράνειας του δίσκου ως προς τον άξονα περιστροφής του Ικ= ½ ΜR2, ενώ η ροπή αδράνειας της ράβδου ως προς κάθετο άξονα που περνά από το μέσον της Ιρ= (1/12)ml2.
ή

Ο δίσκος περιστρέφεται από μεταβλητή δύναμη


Δευτέρα, 9 Απριλίου 2018

Η στροφορμή και μια κρούση

Ένας οριζόντιος δίσκος μάζας Μ=2kg και ακτίνας R=2m στρέφεται χωρίς τριβές γύρω από κατακόρυφο άξονα z, ο οποίος περνά από το κέντρο του Ο, με γωνιακή ταχύτητα ω=0,5rad/s. Ένα σώμα Σ, που θεωρείται υλικό σημείο μάζας m=1kg, αφήνεται να πέσει από ύψος h=0,8m, πάνω από το δίσκο και προσκολλάται σε αυτόν, στο σημείο Α, σε απόσταση x=1m από το κέντρο Ο του δίσκου.
i)  Να βρεθεί ελάχιστα πριν την κρούση του σώματος Σ με το δίσκο:
α) Η ταχύτητα του σώματος Σ καθώς και η στροφορμή του κατά (ως προς) τον άξονα z.
β) Η στροφορμή του σώματος Σ ως προς το κέντρο Ο του δίσκου, καθώς και ο αντίστοιχος ρυθμός μεταβολής της.
ii) Ποια η γωνιακή ταχύτητα περιστροφής του συστήματος, μετά την προσκόλληση του Σ πάνω στο δίσκο.
iii) Να υπολογιστεί η μεταβολή της στροφορμής:
α) του σώματος Σ   και   β) του δίσκου
που οφείλεται στην κρούση, ως προς το κέντρο Ο του δίσκου.
iv) Να υπολογιστεί η απώλεια μηχανικής ενέργειας που οφείλεται στην κρούση.
Δίνεται g=10m/s2 ενώ η ροπή αδράνειας του δίσκου ως προς τον άξονά του z, Ι= ½ ΜR2.
ή

Η στροφορμή και  μια κρούση



Δευτέρα, 2 Απριλίου 2018

Μια σφαίρα σε κεκλιμένο επίπεδο


Μια ομογενής σφαίρα μάζας m=14kg και ακτίνας R=0,1m, αφήνεται να κινηθεί στο σημείο Α  του κεκλιμένου επιπέδου του σχήματος και τη στιγμή t1, περνά με ταχύτητα κέντρου μάζας υ1=5m/s από τη θέση Β, όπου διαφοροποιείται η φύση του επιπέδου (διαφορετικός συντελεστής τριβής…), φτάνοντας στη συνέχεια στη θέση Γ, με αντίστοιχη ταχύτητα υ2=10m/s. (Στο σχήμα, βλέπετε με μπλε γραμμή το πρώτο μέρος του κεκλιμένου επιπέδου και με κόκκινη, το υπόλοιπο).
i)  Αν στο πρώτο τμήμα του επιπέδου, από τη θέση Α μέχρι τη θέση Β η σφαίρα κυλίεται (χωρίς να ολισθαίνει), να βρεθεί η κατακόρυφη απόσταση h1, μεταξύ των δύο θέσεων.
ii) Αν η κατακόρυφη απόσταση μεταξύ των σημείων Β και Γ είναι h2=3,75m, να υπολογιστεί η αύξηση της κινητικής ενέργειας της σφαίρας μεταξύ των δύο αυτών θέσεων.
iii) Αν η κλίση του κεκλιμένου επιπέδου είναι θ=30°, να βρεθεί ο ρυθμός μεταβολής της στροφορμής της σφαίρας ως προς τον άξονα περιστροφής της, που περνά από το κέντρο της Ο, για την κίνηση:
 α) Από το Α στο Β,
  β) Από το Β στο Γ.
iv) Να υπολογιστεί η στροφορμή της σφαίρας, ως προς τον ίδιο άξονα, τις χρονικές στιγμές:
 α) t2=t1-1s  και β)  t3=t1+1s
Δίνεται g=10m/s2 και η ροπή αδράνειας της σφαίρας ως προς μια διάμετρό της Ι=(2/5)mR2.
ή

Μια σφαίρα σε κεκλιμένο επίπεδο