Άλλο ένα στάσιμο κύμα…

Πάνω σε μια χορδή μήκους 10m έχει δημιουργηθεί ένα στάσιμο κύμα. Για να το μελετήσουμε μαθηματικά, παίρνουμε ένα σύστημα αξόνων x-y, όπου σε ένα σημείο Ο, που απέχει 3m από το αριστερό άκρο του και είναι κοιλία, θεωρούμε x=0, ενώ θεωρούμε t=0 τη στιγμή που το σημείο Ο βρίσκεται στην μέγιστη θετική απομάκρυνσή του, ίση με 0,4m. Έτσι η εξίσωση του στάσιμου παίρνει τη μορφή:

y= 2Α συν(πx/2+φ₀)∙ημ(2πt+θ₀)   (μονάδες στο S.Ι.)

i)   Να βρεθούν τα φ₀, θ₀ και Α.

ii)  Να βρείτε τις θέσεις των δεσμών του στάσιμου κύματος.

iii)  Να σχεδιάστε στο ίδιο σύστημα αξόνων στιγμιότυπα του στάσιμου τις χρονικές στιγμές:

α) t₁=0  και  β)  t₂=0,75s

Σημειώστε πάνω στο διάγραμμα την ταχύτητα του σημείου Ο, τις παραπάνω χρονικές στιγμές.

iv)  Να κάνετε τις γραφικές παραστάσεις της φάσης  της απομάκρυνσης σε συνάρτηση με το χρόνο, δύο σημείων Β και Γ, που βρίσκονται στις θέσεις x₁=1,5m και x₂=3,5m αντίστοιχα, στους ίδιους άξονες.

Απάντηση:

Άλλο ένα στάσιμο κύμα…

Δείτε και ένα animation

Στάσιμο κύμα σε χορδή. Φύλλο εργασίας.

Δίνεται μια χορδή με δεμένο το ένα της άκρο Μ, ενώ στο άλλο της άκρο υπάρχει μια πηγή κύματος η οποία ταλαντώνεται κάθετα στη διεύθυνση της χορδής. Κάποια στιγμή t₁η μορφή της χορδής είναι αυτή του παρακάτω σχήματος (οι αποστάσεις σε μέτρα). Ας δεχτούμε ότι το κύμα διαδίδεται με σταθερό πλάτος.

1. Με βάση το σχήμα βρίσκουμε το μήκος κύματος λ=………..,  το πλάτος του κύματος είναι Α=………… ενώ η πηγή του κύματος ξεκίνησε της ταλάντωσή της προς τα ………… (πάνω, κάτω).

Απάντηση:

Στάσιμο κύμα σε χορδή. Φύλλο εργασίας

Κύματα σε γραμμικό ελαστικό μέσο.

Δύο σύγχρονες πηγές Ο₁ και Ο₂ παράγουν αρμονικά κύματα που διαδίδονται με ταχύτητα υ=2m/s κατά μήκος ενός γραμμικού ελαστικού μέσου με άκρα τα σημείο Ο₁ και Ο₂ όπου (Ο₁Ο₂)=4m.

Η εξίσωση ταλάντωσης των πηγών είναι:

y= 5 ημ2πt (y! cm, t ! s)

i)   Να βρεθούν οι εξισώσεις των δύο κυμάτων που παράγονται θεωρώντας x=0 τη θέση της πηγής Ο₁.

ii)  Να σχεδιάστε στιγμιότυπα που να δείχνει την απομάκρυνση των διαφόρων σημείων του μέσου, σε συνάρτηση με την θέση τους x, τις χρονικές στιγμές:

α)   t₁= 0,75s.                   β)  t₂= 1,25s και

Απάντηση:

Κύματα σε γραμμικό ελαστικό μέσο.

Συμβολή κυμάτων και φάσεις.

Στην επιφάνεια ενός υγρού, βρίσκονται δύο σύγχρονες πηγές Ο₁ και Ο₂ που  απέχουν μεταξύ τους d=0,4m, δημιουργώντας κύματα που διαδίδονται με μήκος κύματος λ=0,2m, τα οποία θεωρούμε ότι διατηρούν σταθερό πλάτος  Α=1cm.

i)   Ένα σημείο Σ απέχει από τις πηγές αποστάσεις r₁=0,3m και r₂=0,5m αντίστοιχα.

α) Ποιο το πλάτος ταλάντωσης του σημείου Σ μετά τη συμβολή των δύο κυμάτων;

β)  Ποια η διαφορά φάσης μεταξύ των δύο κυμάτων που συμβάλλουν στο σημείο Σ;

ii)  Σε ένα άλλο σημείο Ρ, τα δύο κύματα συμβάλλουν παρουσιάζοντας διαφορά φάσης 4π (rad). Ποια η διαφορά των αποστάσεων του σημείου Ρ από τις πηγές; Πού μπορεί να βρίσκεται το σημείο Ρ;

iii)  Να εξετάσετε αν μπορεί να έχουμε διαφορά φάσης μεταξύ των δύο κυμάτων τη στιγμή της συμβολής ίση με 6π (rad).

Απάντηση:

ή

Συμβολή κυμάτων και φάσεις.

Συμβολή από σύγχρονες πηγές. Φύλλο εργασίας.

Στην επιφάνεια ενός υγρού, βρίσκονται δύο σύγχρονες πηγές Ο₁ και Ο₂ που  απέχουν μεταξύ τους d=0,4m και οι οποίες για t=0, αρχίζουν να ταλαντώνονται με εξισώσεις y₁=y₂=1∙ημ4πt (το y σε cm, t σε s). Έτσι δημιουργούνται κύματα τα οποία θεωρούμε ότι διατηρούν σταθερό πλάτος. Το πρώτο κύμα φτάνει σε ένα σημείο Μ της μεσοκαθέτου της Ο₁Ο₂ σε απόσταση (Ο₁Μ)=0,6m τη στιγμή t₁=1,5s.

Δείτε όλο το φύλλο εργασίας από εδώ.

Συμβολή από σύγχρονες πηγές. Φύλλο εργασίας.

Δυο ταλαντώσεις και δυο ελατήρια.

Τα σώματα Σ₁ και Σ₂, που θεωρούνται υλικά σημεία, με μάζες m₁=1kg και m₂=2kg ηρεμούν σε λείο οριζόντιο επίπεδο, δεμένα στα άκρα δύο οριζοντίων ελατηρίων με σταθερές k₁=100Ν/m και k₂=300Ν/m αντίστοιχα, όπως στο σχήμα, απέχοντας μεταξύ τους κατά d=0,4m.

Εκτρέπουμε το σώμα Σ₁ προς τ’ αριστερά κατά 0,5m και για t=0, το αφήνουμε να εκτελέσει ΑΑΤ.

 i)   Ποια χρονική στιγμή το σώμα Σ₁ θα αποκτήσει για πρώτη φορά μέγιστη κατά μέτρο ταχύτητα; Να υπολογιστεί το μέτρο της ταχύτητας αυτής.

ii)  Πόση ταχύτητα θα έχει το σώμα Σ₁ πριν τη πλαστική κρούση του με το σώμα Σ₂;

iii) Να βρεθεί η θέση, ως προς το φυσικό μήκος του ελατηρίου σταθεράς k₁, γύρω από την οποία  θα ταλαντωθεί το συσσωμάτωμα μετά την κρούση.

iv) Να βρεθεί η μέγιστη τιμή του μέτρου της δύναμης επαναφοράς που ασκείται στο συσσωμάτωμα.

Απάντηση:

Δυο ταλαντώσεις και δυο ελατήρια

Διαγώνισμα στις ταλαντώσεις 2 ωρών.

Το σώμα του διπλανού σχήματος εκτελεί εξαναγκασμένη ταλάντωση με την επίδραση εξωτερικής δύναμης της μορφήςF_εξ=F₀∙ημ(2πft). Αυξάνοντας τη συχνότητα της δύναμης αυτής παρατηρούμε ότι ξεκινώντας από την τιμή f=6Ηz, το πλάτος ταλάντωσης αυξάνεται και παίρνει τη μέγιστη τιμή του για την τιμή f₁=10Ηz. Αν αντικαταστήσουμε το ελατήριο με άλλο σταθεράς k₂= ¼ k₁ και μεταβάλουμε με τον ίδιο τρόπο τη συχνότητα της δύναμης, τότε το πλάτος ταλάντωσης του σώματος:

α) Αυξάνεται διαρκώς                

β) μειώνεται διαρκώς       

γ) αρχικά αυξάνεται και μετά μειώνεται.

Να δικαιολογήστε την απάντησή σας.

Δείτε όλο το διαγώνισμα από εδώ.

Διαγώνισμα στις ταλαντώσεις 2 ωρών

Ένα κύμα, το στιγμιότυπο και άλλα..

Κατά μήκος ενός γραμμικού ελαστικού μέσου και από τα αριστερά προς τα δεξιά διαδίδεται ένα κύμα με ταχύτητα υ=48cm/s. Η μορφή του μέσου τη χρονική στιγμή t=0 φαίνεται στο παρακάτω σχήμα.

i)     Να βρεθεί η εξίσωση του κύματος.

ii)  Να κάνετε τη γραφική παράσταση της φάσης των διαφόρων σημείων του μέσου με x>0 τη χρονική στιγμή t₁=0,75s.

iii)  Ένα σημείο Μ βρίσκεται στη θέση x₁=0,5m. Να βρείτε την επιτάχυνση ταλάντωσης του σημείου Μ σε συνάρτηση με το χρόνο και να κάνετε τη γραφική της παράσταση. π²≈10.

Απάντηση

Ένα κύμα, το στιγμιότυπο και άλλα..

Υπερβολές ενίσχυσης και απόσβεσης κατά τη συμβολή.

Με αφορμή την ανάρτηση Συμβολή κυμάτων από σύγχρονες πηγές. και τα σχόλια που ακολούθησαν, ας δούμε πιο αναλυτικά ποια σημεία στην επιφάνεια ενός υγρού, στην οποία διαδίδονται δύο κύματα από σύγχρονες πηγές ταλαντώνονται με μέγιστο πλάτος και ποια παραμένουν ακίνητα.

Στην επιφάνεια ενός υγρού διαδίδονται (ας υποθέσουμε με σταθερό πλάτος!!!) δύο κύματα που προέρχονται από δύο σύγχρονες πηγές, με μήκος κύματος λ=20cm.

α)Να βρεθούν τα σημεία που ταλαντώνονται με μέγιστο πλάτος και να σημειωθούν πάνω στο σχήμα, όταν η απόσταση των πηγών είναι:

i)  d= 39cm    ii)  d= 40cm      iii)  d= 41cm,                   iv) 30 cm

β)  Πάνω στα παραπάνω σχήματα να σχεδιαστούν και οι αντίστοιχες γραμμές που να εμφανίζουν τα σημεία που παραμένουν διαρκώς ακίνητα.

Απάντηση.

Υπερβολές ενίσχυσης και απόσβεσης κατά τη συμβολή

Συμβολή κυμάτων από σύγχρονες πηγές.

Στο σχήμα βλέπετε δύο σύγχρονες πηγές O₁ και O₂, οι οποίες απέχουν d=1m, ταλαντώνονται με συχνότητα 10Ηz και παράγουν κύματα στην επιφάνεια ενός υγρού, με πλάτος ταλάντωσης 1cm. Οι λευκοί κύκλοι αποτελούν ισοφασικές γραμμές με φάση 2κπ και οι μαύροι κύκλοι με φάση (2κ+1)π.

i)   Ποια η διαφορά φάσης μεταξύ των δύο κυμάτων που συμβάλουν στο σημείο Α; Ποιο το πλάτος ταλάντωσης του σημείου αυτού;

ii)   Ποιες οι αντίστοιχες απαντήσεις για το σημείο Β;

iii) Πόσο είναι το μήκος κύματος των δύο κυμάτων και πόσα σημεία μεταξύ των δύο πηγών ταλαντώνονται με μέγιστο πλάτος;

iv)  Για το σημείο Σ του σχήματος ποια η διαφορά r₂-r₁ των αποστάσεών του από τις δύο  πηγές; Επιβεβαιώστε, μετρώντας τις δύο αποστάσεις με βάση το σχήμα.

vi) Πόσα τόξα ενισχυτικής συμβολής σχηματίζονται στην επιφάνεια του υγρού;

vii) Αν αυξηθεί η συχνότητα ταλάντωσης των πηγών στην τιμή f₁=12,5Ηz, να σχεδιάστε τα τόξα ενισχυτικής συμβολής στην επιφάνεια του υγρού, μεταξύ των δύο πηγών.

Μπορείτε να παρακολουθήσετε σε ένα αρχείο Applet το φαινόμενο της συμβολής, μεταβάλλοντας τα μήκη κύματος  ή την απόσταση των πηγών και από ΕΔΩ.

Απάντηση:

Συμβολή κυμάτων από σύγχρονες πηγές.

Ένα στιγμιότυπο κύματος.

Ένα κύμα διαδίδεται προς τα δεξιά (θετική κατεύθυνση) κατά μήκος ενός γραμμικού ελαστικού μέσου και στο παρακάτω σχήμα δίνεται ένα τμήμα του στιγμιότυπου κάποια στιγμή, που θεωρούμε t=0, σε μια περιοχή του μέσου, μεταξύ των σημείων Β και Ε. Δίνεται ότι τη στιγμή αυτή τα σημεία Δ και Ε έχουν μηδενική ταχύτητα ταλάντωσης.

Το σημείο Ο στη θέση x=0, θα φτάσει για πρώτη φορά σε απομάκρυνση 0,5m τη χρονική στιγμή t₁=0,3s.

i)  Να σημειώστε πάνω στο σχήμα τις ταχύτητες των σημείων Β, Ο και Γ τη στιγμή που ελήφθη το παραπάνω στιγμιότυπο.

ii) Να υπολογίσετε το πλάτος του κύματος, το μήκος κύματος και την ταχύτητα διάδοσης του κύματος.

iii)  Να υπολογιστεί η επιτάχυνση του σημείου Δ, για t=0.

iv)  Να εξετάσετε αν το κύμα αυτό μπορεί να περιγραφεί από μια εξίσωση της μορφής:

v) Να σχεδιάστε ένα στιγμιότυπο του κύματος αυτού, για την ίδια περιοχή, τη χρονική στιγμή t₂=0,1s.

Απάντηση

Ένα στιγμιότυπο κύματος

Μια πηγή και δύο κύματα.

Στη θέση x_Ρ=6m ενός γραμμικού ελαστικού μέσου υπάρχει μια πηγή κύματος Ρ, η οποία για t=0, αρχίζει να ταλαντώνεται σύμφωνα με την εξίσωση y=1∙ημ(2πt) (μονάδες στο S.Ι.). Η μορφή του μέσου μετά από λίγο, τη στιγμή t₁, είναι αυτή του παρακάτω σχήματος.

i)  Πόσο είναι το πλάτος του κύματος και πόσο το μήκος του κύματος, με βάση την παραπάνω εικόνα;;

ii)  Να βρεθεί η στιγμή t₁ στην οποία ελήφθη η παραπάνω εικόνα.

iii) Να βρεθούν οι εξισώσεις των κυμάτων, y₁=f(t,x) και  y₂=f(t,x), για τα δύο κύματα που κινούνται προς τα δεξιά και προς τ’ αριστερά αντίστοιχα.

iv)  Να σχεδιάστε τη μορφή του μέσου τη χρονική στιγμή t₂=1,5s.

Απάντηση:

Μια πηγή και δύο κύματα

Ένα κύμα προς τ’ αριστερά και η εξίσωσή του. Φύλλο εργασίας.

Στο παρακάτω σχήμα βλέπεται τη μορφή ενός αρμονικού κύματος το οποίο  διαδίδεται προς τα αριστερά κατά μήκος ενός γραμμικού ελαστικού μέσου, κάποια στιγμή, για την οποία θεωρούμε ότι   t=0. Κάθε σημείο του μέσου χρειάζεται χρόνο 0,5s για να κινηθεί μεταξύ των δύο ακραίων θέσεων της τροχιάς του.

i)   Με βάση την παραπάνω εικόνα, πόσο είναι το πλάτος και πόσο το μήκος του κύματος;

Μπορείτε να κατεβάσετε το φύλλο κάνοντας κλικ:

εδώ.

Ένα κύμα προς τα’ αριστερά και η εξίσωσή του. Φ.Ε.

Σύνθεση ταλαντώσεων και περιστρεφόμενα διανύσματα.

Ένα σώμα μάζας 2kg ταλαντώνεται με εξίσωση:

i)   Να αποδείξετε ότι η κίνηση του σώματος είναι γραμμική αρμονική συνάρτηση του χρόνου (ΓΑΤ) και να υπολογίστε το πλάτος και την αρχική της φάση.

ii)  Να βρεθεί ο ρυθμός μεταβολής της ορμής του σώματος τη χρονική στιγμή t₁=0,5s.

Απάντηση:

Σύνθεση ταλαντώσεων και περιστρεφόμενα διανύσματα

Εξίσωση κύματος και στιγμιότυπο.Φύλλο εργασίας.

Ένα κύμα διαδίδεται προς τα δεξιά κατά μήκος ενός γραμμικού ελαστικού μέσου και για t=0 φτάνει στο σημείο Ο, που θεωρούμε x=0, όπως στο σχήμα. Για να φτάσει το σημείο Ο σε μέγιστη απομάκρυνση προς τα πάνω, περνά χρόνος t΄=0,5s.

i)    Να γράψετε την εξίσωση της απομάκρυνσης από τη θέση ισορροπίας σε συνάρτηση με το χρόνο για την ταλάντωση που θα πραγματοποιήσει το σημείο Ο.

Δείτε όλο το φύλλο εργασίας από εδώ.

Εξίσωση κύματος και στιγμιότυπο.Φύλλο εργασίας

Εισαγωγή στα Κύματα. Ένα φύλλο εργασίας.

Σε ένα γραμμικό ελαστικό μέσο διαδίδεται ένα αρμονικό κύμα, προς τα δεξιά και στο παρακάτω σχήμα δίνεται η μορφή (καμπύλη (1)) μιας περιοχής του μέσου μια στιγμή t=0.

Τα δύο επόμενα στιγμιότυπα ελήφθησαν μετά από λίγο, σε χρόνο μικρότερο της περιόδου.

i)   Ποιο στιγμιότυπο προηγείται χρονικά το (2) ή το (3);

ii)  Μπορείτε να βρείτε τις χρονικές στιγμές t₁ και t₂ σε συνάρτηση με τη περίοδο;

iii)  Σχεδιάστε πάνω στο σχήμα τις ταχύτητες του σημείου Κ και στις τρεις θέσεις.

iv)  Να σημειώστε πάνω στο σχήμα ένα σημείο Λ το οποίο απέχει κατά ένα μήκος κύματος από το Κ.

v)  Σημειώστε τώρα πάνω στο σχήμα ένα άλλο σημείο Μ το οποίο έχει φάση μικρότερη κατά π από τη φάση του σημείου Κ.

Δείτε όλο το φύλλο εργασίας από εδώ.

Εισαγωγή στα κύματα.. Φύλλο εργασίας