Ταχύτητες και επιταχύνσεις σε ένα βαρούλκο.

Στο παραπάνω σχήμα βλέπετε ένα βαρούλκο, με την βοήθεια του οποίο ανεβάζουμε ένα βαρύ σώμα Σ. Δίνονται η ακτίνα του τυμπάνου γύρω από το οποίο τυλίγεται το σχοινί r=10cm, ενώ η ακτίνα του σημείου Α είναι ίση με R=50cm. Σε μια στιγμή το σώμα Σ ανέρχεται με επιτάχυνση α=0,2m/s² έχοντας ταχύτητα υ=0,4m/s

i) Να βρεθεί η ταχύτητα του σημείου Α.

ii) Ποιος ο ρυθμός μεταβολής του μέτρου της ταχύτητας (η επιτρόχιος επιτάχυνση) του σημείου Α;

iii) Να υπολογιστεί η κεντρομόλος επιτάχυνση του Α.

Απάντηση:

ή

Διάθλαση και πορεία ακτίνας.

Ένα φορτηγό επιταχύνεται

Ένα φορτηγό κινείται ευθύγραμμα με σταθερή ταχύτητα υ₀=6m/s. Σε μια στιγμή, που θεωρούμε ότι t=0, το φορτηγό επιταχύνεται και η γωνιακή επιτάχυνση ενός τροχού του, ακτίνας R=0,4m, δίνεται στο διπλανό διάγραμμα. Σε όλη τη διάρκεια της κίνησης οι τροχοί κυλίονται χωρίς να ολισθαίνουν.

i) Να βρεθεί η μεταβολή της γωνιακής ταχύτητας του τροχού από 0-2s.

ii) Πόση είναι η γωνιακή ταχύτητα του τροχού τη στιγμή t₁=5s και πόση τη στιγμή t₂=10s;

iii) Ποια είναι τελικά η ταχύτητα του φορτηγού;

Απάντηση:

ή Ένα φορτηγό επιταχύνεται

Διάθλαση και πορεία ακτίνας.

Διαθέτουμε ένα δοχείο σχήματος ορθογωνίου παραλληλεπιπέδου με ύψος h=60cm. Με μια μικρή συσκευή Laser στοχεύουμε όπως στο πρώτο σχήμα, ώστε η ακτίνα μόλις να περνά από την δεξιά πλευρά και να φτάνει στην απέναντι γωνία, όπως στο αριστερό  σχήμα, όπου έχουμε σχεδιάσει μια τομή που δείχνει την πορεία της ακτίνας. Χωρίς να μετακινήσουμε τη συσκευή γεμίζουμε το δοχείο με νερό, οπότε η ακτίνα φτάνει σε σημείο Κ της βάσης, όπου (ΑΚ)=35cm, ενώ (ΑΒ)=80cm.

i)  Να υπολογιστεί ο δείκτης διάθλασης του νερού.

ii) Αν από μια μικρή οπή στη βάση του δοχείου, αφήσουμε να χυθεί η μισή ποσότητα του νερού, να υπολογιστεί σε πόση απόσταση από το Α, η ακτίνα θα συναντήσει τη βάση του δοχείου.

Απάντηση:

ή

Διάθλαση και πορεία ακτίνας.

Διάθλαση και ολική ανάκλαση σε ημισφαίριο.

Σε οριζόντιο επίπεδο βρίσκεται ένα γυάλινο ημισφαίριο κέντρου Ο, όπως στο αριστερό σχήμα. Από μια φωτεινή πηγή εκπέμπεται μια μονοχρωματική ακτίνα με κατεύθυνση προς το κέντρο Ο του ημισφαιρίου, η διεύθυνση της οποίας σχηματίζει γωνία θ=30^ο με την οριζόντια διεύθυνση. Δίνεται ότι ο δείκτης  διάθλασης του γυαλιού αυτού, για την συγκεκριμένη ακτίνα, είναι ίσος με n₁ =1,5.

i)   Αφού σχεδιάστε την πορεία της ακτίνας, μέχρι και την έξοδό της από το ημισφαίριο, να υπολογίστε τη γωνιακή εκτροπή της ακτίνας (τη γωνία που σχηματίζει η αρχική διεύθυνση της ακτίνας με την τελική διεύθυνση διάδοσής της).

ii) Επαναλαμβάνουμε το πείραμα, αλλά τώρα τόσο το ημισφαίριο, όσο και η φωτεινή πηγή, είναι τοποθετημένα σε δοχείο, το οποίο έχουμε γεμίσει με υγρό, δείκτη διάθλασης n₂=1,4. Να βρεθεί ξανά η γωνιακή εκτροπή της ακτίνας, μέχρι την έξοδό της από το γυαλί.

iii) Αντικαθιστούμε το παραπάνω υγρό με άλλο, το οποίο έχει δείκτη διάθλασης n₃=1,5. Να βρεθεί τώρα η εκτροπή της ακτίνας, μέχρι την έξοδό της από το γυαλί.

Δίνονται ημ60°≈0,86 και ημ68°≈0,93.

Απάντηση: 

ή

Διάθλαση και ολική ανάκλαση σε ημισφαίριο.

Μια ακτίνα σε τριγωνικό πρίσμα.

Μια μονοχρωματική ακτίνα προσπίπτει στο μέσον Μ της πλευράς ΑΒ ενός ορθογώνιου τριγωνικού πρίσματος με γωνία Γ=φ=30^ο, σχηματίζοντας γωνία φ=30° με την πλευρά, όπως στο σχήμα και φτάνει στο μέσον Ο της πλευράς ΑΓ.

i) Ο δείκτης διάθλασης του πρίσματος για την παραπάνω ακτίνα έχει τιμή:

α)  0,8                  β) 1              γ) √2            δ) 1,5           ε) √3

ii) Η ακτίνα στο σημείο Ο θα:

α) υποστεί μόνο ανάκλαση

β) ανακλαστεί και θα διαθλαστεί.

γ) υποστεί μόνο διάθλαση

Απάντηση: 

Μια ακτίνα σε τριγωνικό πρίσμα.

Η εκτροπή ακτίνας από τριγωνικό πρίσμα.

Μια μονοχρωματική ακτίνα προσπίπτει στο μέσον Μ της πλευράς ΑΒ ενός ορθογώνιου τριγωνικού πρίσματος, με υποτείνουσα (ΒΓ)=8cm, με γωνία Γ=θ=30^ο, σχηματίζοντας γωνία θ=30° με την πλευρά, όπως στο σχήμα. Αν ο δείκτης διάθλασης του πρίσματος είναι n=√3 για την ακτινοβολία αυτή, να βρεθούν:

i)  τα σημεία εξόδου της ακτίνας από το πρίσμα

ii) Τη γωνιακή εκτροπή της ακτίνας κατά το πέρασμά της από το πρίσμα (η γωνία μεταξύ αρχικής και τελικής διεύθυνσης διάδοσης της ακτίνας).

Απάντηση: 

Η εκτροπή ακτίνας από τριγωνικό πρίσμα.

Από πού θα εξέλθουν οι ακτίνες;

Η τομή ενός πρίσματος είναι ορθογώνιο τρίγωνο ΑΒΓ, όπου η γωνία Β είναι ίση με φ=60°. Στο σχήμα βλέπετε το ύψος ΑΜ και δυο μονοχρωματικές ερυθρές ακτίνες (α) και (β) που προσπίπτουν στα σημεία Κ και Λ, κάθετα στην υποτείνουσα ΒΓ. Αν ο δείκτης διάθλασης του πρίσματος για τις ακτίνες αυτές είναι ίσος με n=1,25.

i)  Η ακτίνα (α) θα εξέλθει από το πρίσμα, από την πλευρά:

α) ΑΒ            β) ΑΓ             γ) ΒΓ

ii)  Η ακτίνα (β) θα εξέλθει από το πρίσμα, από την πλευρά:

α) ΑΒ            β) ΑΓ             γ) ΒΓ

Απάντηση:  

Από πού θα εξέλθουν οι ακτίνες;

Αντιστροφή μιας ακτίνας

Σε ένα οπτικό όργανο μπορούμε να αντιστρέψουμε την πορεία μιας ακτίνας φωτός χρησιμοποιώντας π.χ. ένα γυάλινο πρίσμα με οξείες γωνίες φ₁ και φ₂ (φ₁>φ₂), όπως φαίνεται στο σχήμα. Αν ο δείκτης διάθλασης του φωτός για το γυαλί ως προς τον αέρα είναι n και η ακτίνα πέφτει κάθετα στο σημείο Ρ₀ της έδρας του πρίσματος που πρόσκειται στις φ₁ και φ₂, βρείτε τις συνθήκες που πρέπει να ικανοποιούν οι φ₁, φ₂ και n, ώστε η αναδυόμενη ακτίνα να εξέρχεται αντιπαράλληλα προς την προσπίπτουσα.

Απάντηση:

ή

Αντιστροφή μιας ακτίνας.pdf

Στάσιμα κύματα και ταχύτητες σημείων.

Κατά μήκος δυο γραμμικών ελαστικών μέσων διαδίδονται αντίθετα δύο όμοια κύματα, τα οποία συμβάλουν δημιουργώντας στάσιμα κύματα. Στα σχήματα αριστερά δίνονται οι μορφές των μέσων μια στιγμή που θεωρούμε t=0.

i) Στο (α) ελαστικό μέσον θα δημιουργηθεί  στάσιμο κύμα και στις θέσεις 0,5m,  1,5m,  2,5m, θα δημιουργηθούν δεσμοί.

ii)  Στο (β) ελαστικό μέσον στα σημεία χ=0,  1m,  2m θα δημιουργηθούν δεσμοί.

iii) Στα δεξιά σχήματα έχουμε σχεδιάσει την ταχύτητα ταλάντωσης δύο σημείων Μ και Ν των δύο ελαστικών μέσων τα οποία βρίσκονται στις θέσεις x=1m. Ποια καμπύλη αντιστοιχεί σε κάθε σημείο;

Να χαρακτηρίστε ως σωστές ή λανθασμένες τις δύο πρώτες προτάσεις και να κάνετε την αντιστοίχιση για την iii) δικαιολογώντας τις απαντήσεις σας.

Απάντηση:

Στάσιμα κύματα και ταχύτητες σημείων.

Ένα στάσιμο κύμα με δεσμό στην αρχική θέση.

Κατά μήκος ενός ελαστικού μέσου διαδίδονται αντίθετα δύο κύματα με το ίδιο πλάτος Α=0,2m και το ίδιο μήκος κύματος λ=4m και τη στιγμή t=0 τα δυο κύματα φτάνουν ταυτόχρονα σε ένα σημείο Ο, το οποίο θεωρούμε αρχή του άξονα (x=0). Η μορφή του μέσου τη στιγμή αυτή, εμφανίζεται στο παραπάνω σχήμα. Τα κύματα διαδίδονται με ταχύτητα υ=2m/s.

i)  Να βρεθούν οι εξισώσεις των δύο κυμάτων.

ii) Να βρεθεί η εξίσωση του στάσιμου κύματος που προκύπτει από την συμβολή των  δύο παραπάνω κυμάτων.

iii) Να σχεδιάστε στιγμιότυπα του στάσιμου κύματος τις χρονικές στιγμές t₁=2s και t₂=3s και για την περιοχή που έχει σχηματισθεί το στάσιμο κύμα, στο ίδιο διάγραμμα.

iv) Να κάνετε τη γραφική παράσταση της  δύναμης που ασκείται σε μια σημειακή μάζα Σ, μάζας m=1mg, η οποία βρίσκεται στη θέση x₁=3m, σε συνάρτηση με το χρόνο.

Απάντηση:

Ένα στάσιμο κύμα με δεσμό στην αρχική θέση.

Δύο τρέχοντα και ένα στάσιμο κύμα.

Κατά μήκος ενός γραμμικού ελαστικού μέσου που θεωρούμε ότι ταυτίζεται με τον άξονα x, διαδίδονται δύο όμοια κύματα πλάτους Α=0,1m, τα οποία διαδίδονται αντίθετα. Τη στιγμή t=0 το πρώτο κύμα φτάνει στο σημείο Ο, στη θέση x=0, ενώ το δεύτερο απέχει κατά 1,5m από το Ο, όπως στο σχήμα.

Αν το Ο θα φτάσει σε μέγιστη απομάκρυνση για πρώτη φορά τη στιγμή t΄=0,25s, ζητούνται:

i)  Να γράψετε τις εξισώσεις των δύο τρεχόντων κυμάτων.

ii) Να γράψετε την εξίσωση του στάσιμου κύματος που θα προκύψει μετά την συμβολή των δύο παραπάνω κυμάτων.

iii) Να βρείτε τη χρονική στιγμή t₁=2s, πόσοι δεσμοί και σε ποιες θέσεις έχουν σχηματισθεί.

iv) Να κάνετε το στιγμιότυπο του στάσιμου κύματος και για την περιοχή που έχει σχηματισθεί, τη στιγμή t₁.

Απάντηση: 

Δύο τρέχοντα και ένα στάσιμο κύμα.