Τραβώντας μια δοκό οριζόντια.

Η ομογενής δοκός ΑΒ μήκους l=6mκαι μάζας Μ=12kg ισορροπεί οριζόντια στηριζόμενη σε λείο υποστήριγμα στο σημείο της Δ και σε κύλινδρο μάζας m=8 kg στο σημείο Ε, όπως στο σχήμα.

Σε μια στιγμή ασκούμε στη δοκό οριζόντια σταθερή δύναμη F=30Ν, με αποτέλεσμα η δοκός να κινηθεί, συμπαρασύροντας και τον κύλινδρο. Αν δεν παρατηρείται ολίσθηση, ούτε μεταξύ δοκού και κυλίνδρου, ούτε μεταξύ κυλίνδρου και εδάφους, ενώ (ΑΔ) = (ΕΒ)=1m, να βρεθούν:

i)   Η επιτάχυνση του άξονα του κυλίνδρου (α_cm).

ii)  Η επιτάχυνση της δοκού.

iii) Η απόσταση (ΒΕ΄) του άκρου της δοκού και του σημείου επαφής της Ε΄ με τον κύλινδρο, τη στιγμή που η δοκός χάνει την επαφή με το ακλόνητο στήριγμα.

iv) Ο ελάχιστος συντελεστής οριακής στατικής τριβής, τον οποίο εμφανίζει ο κύλινδρος με τη δοκό και το έδαφος για να μπορέσει να πραγματοποιηθεί η παραπάνω μετακίνηση.

Δίνεται η ροπή αδράνειας του κυλίνδρου ως προς τον άξονά του Ι= ½ mR² και g=10m/s².

Απάντηση:

ή

Τραβώντας μια δοκό οριζόντια.

Περισσότεροι κινηματικοί περιορισμοί.

Αποκλειστικά και μόνο για Καθηγητές.

Αφήνουμε μια σκάλα ύψους 2m σε επαφή με λείο κατακόρυφο τοίχο και σε τέτοια θέση, ώστε να σχηματίζει με το έδαφος γωνία θ, όπου ημθ=0,8. Η σκάλα αρχίζει να γλιστρά, αφού και το έδαφος είναι επίσης λείο.

Να βρεθεί η αρχική επιτάχυνση του μέσου Κ της σκάλας και η αρχική γωνιακή επιτάχυνση της σκάλας, στην παραπάνω θέση.

Θεωρείστε τη σκάλα σαν μια ομογενή δοκό, για την οποία η ροπή αδράνειας, ως προς κάθετο άξονα που περνά από το μέσον της, δίνεται από τη σχέση  Ι= Μl²/12, ενώ  g=10m/s².

Απάντηση:

ή

	Περισσότεροι κινηματικοί περιορισμοί.

Η πτώση της ράβδου.

Μια ομογενής  ράβδος ΑΒ στέκεται κατακόρυφη πάνω σε λείο οριζόντιο δάπεδο. Επειδή η θέση ισορροπίας είναι ασταθής, εκτρέποντας ελαφρώς τη ράβδο αυτή αρχίζει να πέφτει.

i)  Τη στιγμή που το μέσον της Ο φτάνει στο δάπεδο, θα βρεθεί:

α) στη θέση Γ,      β) στη θέση Β,     γ) στη θέση Δ.

ii) Σε μια στιγμή στη διάρκεια της πτώσης, η ράβδος σχηματίζει με το επίπεδο γωνία θ=45°. Αν στη θέση αυτή το μέσον της ράβδου έχει ταχύτητα υ_cm=2m/s, τότε το άκρο Β έχει ταχύτητα:

α) υ_Β=1m/s,  β) υ_Β=2m/s,    γ) υ_Β=4m/s,

Να δικαιολογήσετε τις απαντήσεις σας.

Απάντηση:

ή

Η πτώση της ράβδου.

Μην ξεχνάμε τον άξονα περιστροφής.

Έχουμε πάρα πολλά προβλήματα, όπου ένα στερεό, όπως μια ράβδος, στρέφεται γύρω από έναν σταθερό άξονα. Συνήθως στις περιπτώσεις αυτές επιλύουμε το πρόβλημα, «αφήνοντας στο απυρόβλητο» τον άξονα, με την έννοια ότι ξεχνάμε ή δεν θεωρούμε απαραίτητο να σχεδιάσουμε ή να βρούμε τη δύναμη που ασκεί ο άξονας στο στερεό. Προφανώς κάτι τέτοιο δεν είναι σωστό, είναι μια παράλειψη, η οποία μπορεί να μην έχει σοβαρές επιπτώσεις, αλλά σε άλλες περιπτώσεις μπορεί να οδηγεί σε εντελώς λανθασμένη επίλυση του προβλήματος, πέρα από το ότι, όταν λέμε σχεδιάζουμε τις δυνάμεις, προφανώς δεν πρέπει να εννοούμε σχεδιάζουμε …. τις μισές!

Ας ανιχνεύσουμε λοιπόν, μέσω κάποιων παραδειγμάτων, τη δύναμη που μπορεί να ασκεί ένας άξονας περιστροφής σε μια ράβδο.

Παράδειγμα 1^ο:

Μια ομογενής ράβδος ΑΒ μήκους 2m και μάζας 3kg μπορεί να περιστρέφεται χωρίς τριβές, γύρω από σταθερό οριζόντιο άξονα, ο οποίος διέρχεται από το άκρο της Α. Η ράβδος ισορροπεί οριζόντια, δεμένη στο άλλο της άκρο Β με κατακόρυφο νήμα, όπως στο σχήμα.

Να βρεθεί η δύναμη που ασκεί ο άξονας στη ράβδο. 

Δίνεται g=10m/s².

Η συνέχεια σε pdf.

ή

Μην ξεχνάμε τον άξονα περιστροφής.

Μερικοί υπολογισμοί ροπής αδράνειας.

Παρακάτω ας δούμε τέσσερα παραδείγματα υπολογισμού της ροπής αδράνειας στερεών...

Άσκηση 4^η:

Ένας ομογενής δίσκος Α ακτίνας R=1m και μάζας Μ=8kg μπορεί να στρέφεται ως προς κατακόρυφο άξονα z που διέρχεται από το κέντρο του Ο, όπως στο σχήμα.

i) Να υπολογιστεί η ροπή αδράνειας  του δίσκου ως προς τον παραπάνω άξονα.

ii) Ένας δεύτερος δίσκος Β του ίδιου πάχους και από το ίδιο υλικό, έχει ακτίνα r=0,5m. Να υπολογιστεί η ροπή αδράνειας του δίσκου Β ως προς κάθετο άξονα y΄ που περνά από το κέντρο του Κ.

iii) Τοποθετούμε το δίσκο Β πάνω στον Α, όπως στο σχήμα και συγκολλώντας τον, δημιουργούμε το στερεό S. Να υπολογιστεί η ροπή αδράνειας του στερεού S, ως προς τον άξονα y.

iv) Από τον αρχικό δίσκο Α, αφαιρούμε....

Η συνέχεια...

ή

Μερικοί υπολογισμοί ροπής αδράνειας.

Παίζοντας με το 2ο νόμο για την περιστροφική κίνηση.

Αποκλειστικά και μόνο για Καθηγητές.

Κάθε χρόνο επανέρχεται στο προσκήνιο το θέμα εφαρμογής του 2^ου νόμου για την στροφική κίνηση και η αποφυγή χρήσης του, σε περίπτωση λανθασμένης εφαρμογής.

Ας διερευνήσουμε τα όρια λοιπόν εφαρμογής του, μέσα από κάποια παραδείγματα εφαρμόζοντάς τον σε ένα πρόβλημα, ως προς διαφορετικά σημεία.

Το πρόβλημα:

Ένας κύλινδρος ακτίνας R=20cm και μάζας 2kg, κινείται σε οριζόντιο επίπεδο με την επίδραση στον άξονά του οριζόντιας δύναμης F=16Ν, ενώ η ασκούμενη τριβή ολίσθησης έχει μέτρο Τ= ¼ F= 4Ν. Η ροπή αδράνειας του κυλίνδρου δίνεται από την εξίσωση Ι= ½ mR². Να βρεθεί η γωνιακή επιτάχυνση του τροχού.

Απάντηση:

i)     Ο γνωστός σε όλους τρόπος, είναι να θεωρήσουμε σύνθετη την κίνηση, αποτελούμενη από μια μεταφορική και μια στροφική γύρω από τον άξονα του κυλίνδρου, άξονας που περνά και από το κέντρο μάζας Ο του κυλίνδρου.

Η συνέχεια σε pdf.

ή

	Παίζοντας με το 2ο νόμο για την περιστροφική κίνηση.

Λέτε να μπορεί να ισορροπεί;

Μια ομογενής ράβδος μήκους 2m και βάρους 150Ν τοποθετείται σε λείο οριζόντιο επίπεδο σε επαφή με σκαλοπάτι ύψους h, όπως στο σχήμα, όπου η γωνία που σχηματίζει η ράβδος με το οριζόντιο επίπεδο έχει ημθ=0,6 και συνθ=0,8.

i)   Αν το ύψος του σκαλοπατιού είναι μικρότερο από 0,6m, μπορεί να ισορροπήσει η ράβδος;

ii)  Αν δεν αναπτύσσεται τριβή στο σημείο επαφής της ράβδου με το σκαλοπάτι, τότε μπορεί να ισορροπήσει η ράβδος, ανεξάρτητα του ύψους του σκαλοπατιού; Να δικαιολογήσετε την απάντησή σας.

iii) Να  υπολογιστεί η δύναμη που ασκείται στη ράβδο από το σκαλοπάτι, αν η ράβδος ισορροπεί, ενώ h=0,9m.

iv) Ποιος ο ελάχιστος συντελεστής οριακής στατικής τριβής μεταξύ ράβδου και σκαλοπατιού για την παραπάνω ισορροπία;

Απάντηση:

ή

 Λέτε να μπορεί να ισορροπεί;

 Λέτε να μπορεί να ισορροπεί;

Επιταχυνόμενη ράβδος και ροπές.

Σε λείο οριζόντιο επίπεδο ηρεμεί μια ράβδος μήκους 2m και μάζας 10kg. Τη στιγμή t=0, ασκούνται στη ράβδο τρεις σταθερές οριζόντιες δυνάμεις, κάθετες στη ράβδο, όπως στο σχήμα, όπου F₁=9Ν και F₂=6Ν. Τη στιγμή t₁=2s, τα άκρα της ράβδου έχουν ταχύτητες υ_Α=υ_Β=υ=4m/s.

i)  Να υπολογιστεί το μέτρο της τρίτης δύναμης F₃.

ii) Να βρεθεί η απόσταση ΟΓ, του σημείου εφαρμογής της δύναμης F₃ από το μέσον Ο της ράβδου.

iii) Να υπολογιστεί ο ρυθμός μεταβολής της στροφορμής της ράβδου, ως προς κατακόρυφο άξονα ο οποίος περνά:

 α) από το σημείο Ο΄

 β) από το σημείο Γ΄.

του σχήματος.

Απάντηση:

ή

Επιταχυνόμενη ράβδος και ροπές.

Μια ράβδος, τρεις ισορροπίες.

Μια ράβδος ισορροπεί σχηματίζοντας την ίδια γωνία με το έδαφος σε τρεις εκδοχές, όπως στο παραπάνω σχήμα (στο σχήμα (1) το νήμα είναι κατακόρυφο).

i) Λεία επίπεδα μπορεί να είναι:

 α) Το (1) και το (2),      β) Το (1) και το (3),            γ) Και τα τρία επίπεδα.

 δ)  Μόνο το (1),           ε) Μόνο το (2),                   στ) Μόνο το (3).

ii) Για τις κάθετες αντιδράσεις των τριών επιπέδων ισχύει:

α) Ν₁= Ν₂= Ν₃.

β) Ν₁> Ν₂> Ν₃.

γ) Ν₂< Ν₁< Ν₃.

δ) Ν₃< Ν₁< Ν₂.

Απάντηση:

ή

Μια ράβδος, τρεις ισορροπίες.

Για να μην περιστραφεί ο κύλινδρος.

Γύρω από έναν κύλινδρο βάρους w=100Ν και ακτίνας R, ο οποίος ηρεμεί σε λείο οριζόντιο επίπεδο, σε επαφή με σκαλοπάτι ύψους h=0,4R, έχουμε τυλίξει ένα αβαρές νήμα. Ασκούμε στο άκρο Α του οριζόντιου νήματος, οριζόντια δύναμη F, μέτρου 40Ν, όπως στο σχήμα. Ο κύλινδρος ισορροπεί

i)    Να σχεδιάστε τις δυνάμεις που ασκούνται στον κύλινδρο και να αποδείξετε ότι η δύναμη που δέχεται από το σκαλοπάτι διέρχεται από το σημείο Β, που το νήμα συναντά τον κύλινδρο.

ii)   Να υπολογίστε το μέτρο της κάθετης αντίδρασης του οριζοντίου επιπέδου.

iii)   Να βρεθεί ο ελάχιστος συντελεστής οριακής στατικής τριβής μεταξύ κυλίνδρου και σκαλοπατιού, για την παραπάνω ισορροπία.

Απάντηση:

ή

Για να μην περιστραφεί ο κύλινδρος.