Όταν το νήμα γλιστράει στο αυλάκι της τροχαλίας

 

Η τροχαλία του σχήματος ακτίνας R=0,2m και μάζας Μ=3,5kg μπορεί να στρέφεται χωρίς τριβές, γύρω από σταθερό οριζόντιο άξονα ο οποίος περνά από το κέντρο της Ο. Περνάμε ένα μη εκτατό και αβαρές νήμα από το αυλάκι (ελάχιστου βάθους…) της τροχαλίας και στα άκρα του δένουμε δύο σώματα Α και Β με μάζας m₁=0,2kg και m₂=0,1kg, τα οποία αφήνουμε να κινηθούν, από τις θέσεις που φαίνονται στο σχήμα. Αν το σώμα Α πέφτει με επιτάχυνση α₁=1m/s², να βρεθούν:

i) Η γωνιακή επιτάχυνση που αποκτά η τροχαλία.

ii) Η ενέργεια που μεταφέρεται στο υπόλοιπο σύστημα από το σώμα Α, μέχρι τη στιγμή t₁=2s.

iii) Να αποδείξετε ότι το νήμα γλιστράει στο αυλάκι της τροχαλίας.

iv) Πόση θερμότητα παράγεται λόγω τριβής μεταξύ νήματος και τροχαλίας, μέχρι τη στιγμή t₁.

Δίνεται g=10m/s² και η ροπή αδράνειας της τροχαλίας Ι= ½ ΜR².

Απάντηση:

ή

 Όταν το νήμα γλιστράει στο αυλάκι της τροχαλίας

 Όταν το νήμα γλιστράει στο αυλάκι της τροχαλίας

Φτιάχνοντας ένα κυκλικό και ένα σωληνοειδές πηνίο.

Διαθέτουμε μια κουλούρα από ένα ομογενές και ισοπαχές σύρμα μήκους 100m. Όταν συνδέσουμε στα άκρα του μια πηγή με ΗΕΔ Ε=10V και εσωτερική αντίσταση r₁=2Ω, το σύρμα διαρρέεται από ρεύμα έντασης Ι_ο=1 Α. Κόβουμε το σύρμα σε δύο τμήματα. Με το πρώτο, μήκους ℓ₁=25m, κατασκευάζουμε ένα κυκλικό πηνίο (ένα πηνίο με σπείρες ομόκεντρους κύκλους, σε ελάχιστη απόσταση μεταξύ τους) με ακτίνα r=25cm, το οποίο τροφοδοτούμε από την ίδια πηγή, δημιουργώντας το κύκλωμα του σχήματος.

i) Να βρεθεί η ένταση του ρεύματος που διαρρέει το κύκλωμα.

ii) Να υπολογιστεί η ένταση του μαγνητικού πεδίου στο κέντρο Ο του κυκλικού αγωγού (πηνίου).

iii) Με το υπόλοιπο σύρμα κατασκευάζουμε ένα σωληνοειδές πηνίο με μήκος L=0,5m, όπου κάθε σπείρα έχει ακτίνα r΄=10cm,  το οποίο τροφοδοτούμε επίσης από την ίδια πηγή, όπως στο δεύτερο σχήμα. Να βρεθούν:

α)  η ένταση του μαγνητικού πεδίου στο μέσον Μ του σωληνοειδούς,

β) Η μαγνητική ροή που διέρχεται από μια σπείρα στο μέσον του και

γ) Η ηλεκτρική ισχύς που καταναλώνει το πηνίο.

Δίνεται k_μ=10^-7Ν/Α².

Απάντηση:

ή

 Φτιάχνοντας ένα κυκλικό και ένα σωληνοειδές πηνίο.

 Φτιάχνοντας ένα κυκλικό και ένα σωληνοειδές πηνίο.

Όταν ο επιμένων, μετατοπίζεται λίγο!

   

Ο αγωγός ΚΛ έχει μήκος ℓ=1m, μάζα m=0,2kg και αντίσταση R=2Ω και τη χρονική στιγμή t=0 αφήνεται να κινηθεί κατακόρυφα, όπως στο σχήμα, σε επαφή με τους κατακόρυφους στύλους, χωρίς τριβές,  μέσα σε οριζόντιο ομογενές μαγνητικό πεδίο έντασης Β=1Τ. Δίνονται R₁=3Ω, οι κατακόρυφοι στύλοι δεν παρουσιάζουν αντίσταση, ενώ g=10m/s². Μετά από λίγο, τη στιγμή t₁ ο αγωγός ΚΛ έχει στιγμιαία επιτάχυνση α₁=6m/s².

i) Για την παραπάνω στιγμή ζητούνται:

α) Η ταχύτητα του αγωγού ΚΛ.

β) Ο ρυθμός με τον οποίο παράγεται θερμότητα στον αντιστάτη R₁.

γ) Οι ρυθμοί μεταβολής της κινητικής και της δυναμικής ενέργειας του αγωγού, καθώς και η ισχύς της δύναμης Laplace που ασκείται στον αγωγό ΚΛ.

ii) Τη στιγμή t₁ κλείνουμε το διακόπτη δ, παρεμβάλλοντας στο κύκλωμα το ιδανικό αμπερόμετρο, που φαίνεται στο σχήμα.

α) Ποια η ένδειξη του αμπερομέτρου αμέσως μετά το κλείσιμο του διακόπτη;

β) Ποιος ο αντίστοιχος ρυθμός με το οποίος παράγεται θερμότητα στον αντιστάτη R₁;

γ) Να υπολογιστεί η επιτάχυνση του αγωγού ΚΛ την χρονική στιγμή t₂=t₁+2s.

Απάντηση:

ή

 Όταν ο επιμένων, μετατοπίζεται λίγο!

 Όταν ο επιμένων, μετατοπίζεται λίγο!

Ακόμη μια ανάκριση ενός διαγράμματος…

 

Μια πλάκα Α μάζας m₁=1kg, ηρεμεί στο πάνω άκρο Ο ενός κατακόρυφου ιδανικού ελατηρίου σταθερά k=100Ν/m.  Κάποια στιγμή εκτρέπουμε την πλάκα κατακόρυφα και αφήνοντάς την ελεύθερη, εκτελεί αατ.  Θεωρώντας y=0, την αρχική θέση ισορροπίας O της πλάκας Α και t=0 τη στιγμή όπου αυτή περνά από την θέση Ο με κατεύθυνση προς τα πάνω (θετική κατεύθυνση), σχεδιάσαμε την γραφική παράσταση y-t, για την πλάκα Α, λαμβάνοντας το παρακάτω διάγραμμα, ενώ μας δίνεται ότι τη στιγμή t₁, η πλάκα Α συγκρούεται κεντρικά με ένα δεύτερο σώμα Β, μάζας m₂, το οποίο πέφτει κατακόρυφα.

i)  Να εξηγήσετε γιατί η παραπάνω κρούση, μεταξύ των δύο σωμάτων, είναι πλαστική, βρίσκοντας τα πλάτη ταλάντωσης πριν και μετά την κρούση.

ii) Να υπολογιστεί η μάζα του σώματος Β.

iii) Να βρείτε τις χρονικές στιγμές t₁ που έγινε η κρούση και t₂ που η πλάκα περνά από το Ο για δεύτερη φορά μετά την κρούση.

iv) Να βρεθεί η ταχύτητα της πλάκας Α, ελάχιστα πριν και ελάχιστα μετά την κρούση.

v) Να υπολογιστεί η απώλεια της κινητικής ενέργειας κατά τη διάρκεια της πλαστικής κρούσης μεταξύ των δύο σωμάτων.

Δίνεται g=10m/s².

Απάντηση:

ή

 Ακόμη μια ανάκριση ενός διαγράμματος…

 Ακόμη μια ανάκριση ενός διαγράμματος…

Πλαστική κρούση στη διάρκεια μας αατ

 

Ένα σώμα Α μάζας m₁=1kg εκτελεί αατ δεμένο στο άκρο ενός οριζόντιου ιδανικού ελατηρίου, με εξίσωση x=0,5∙ημ(20t)  (S.Ι.), πάνω σε λείο οριζόντιο επίπεδο. Σε μια στιγμή και ενώ απέχει απόσταση d=0,3m από την θέση ισορροπίας, συγκρούεται κεντρικά και πλαστικά με ένα δεύτερο σώμα Β μάζας m₂=3kg, με αποτέλεσμα η μέγιστη δυναμική ενέργεια του ελατηρίου να παίρνει τιμή U_mαx=68J.  Ζητούνται:

i)  Να υπολογισθεί το μέτρο της ταχύτητας του σώματος Α, ελάχιστα πριν την κρούση.

ii) Η κοινή ταχύτητα του συσσωματώματος, ελάχιστα μετά την κρούση.

iii) Να υπολογιστεί η μεταβολή της ορμής κάθε σώματος, η οποία οφείλεται στην κρούση, αν οι ταχύτητες  των δύο σωμάτων ελάχιστα πριν την κρούση:

α) έχουν την ίδια κατεύθυνση, όπως στο σχήμα (1).

β) έχουν αντίθετες κατευθύνσεις, όπως στο σχήμα (2).

Απάντηση:

ή

 Πλαστική κρούση στη διάρκεια μας αατ

 Πλαστική κρούση στη διάρκεια μας αατ

Μπορείτε να ανακρίνετε το διάγραμμα;

 Μια πλάκα Σ μάζας m=2kg είναι στερεωμένη στο πάνω άκρο ενός κατακόρυφου ιδανικού ελατηρίου σταθεράς k=50Ν/m, το άλλο άκρο του οποίου στηρίζεται στο έδαφος, ισορροπώντας στη θέση y=0. Το σώμα Σ τη στιγμή t=0 αφήνεται να εκτελέσει αατ σε κατακόρυφη διεύθυνση και τη στιγμή t₁ συγκρούεται κεντρικά με ένα δεύτερο σώμα Σ₁, μάζας m₁=3kg το οποίο πέφτει κατακόρυφα. Στο σχήμα δίνεται η γραφική παράσταση της απομάκρυνσης του σώματος Σ σε συνάρτηση με το χρόνο, όπου η προς τα πάνω κατεύθυνση έχει ληφθεί ως θετική:

 

i)  Υποστηρίζεται ότι η παραπάνω κρούση είναι πλαστική. Να εξηγήσετε αν η θέση αυτή είναι σωστή ή λανθασμένη.

ii) Να υπολογισθούν η επιτάχυνση και η ταχύτητα της πλάκας Σ, ελάχιστα πριν την κρούση.

iii) Ποια η ταχύτητα και η επιτάχυνση της πλάκας αμέσως μετά την κρούση; Να βρεθεί η μέγιστη κινητική ενέργεια που θα αποκτήσει η πλάκα, μετά την κρούση.

iv) Να υπολογιστεί το % ποσοστό της κινητικής ενέργειας του σώματος Σ₁ το οποίο μεταφέρεται στην πλάκα Σ, αν η κρούση είναι ελαστική.

Δίνεται g=10m/s² , ενώ √3≈1,75.

 Απάντηση:

ή

 Μπορείτε να ανακρίνετε το διάγραμμα;

 Μπορείτε να ανακρίνετε το διάγραμμα;

Έργα και ενέργειες σε δύο ελαστικές κρούσεις

  

Μια σφαίρα Α μάζας m= 1kg κινείται (χωρίς να περιστρέφεται) με ταχύτητα υ₁=4m/s, σε λείο οριζόντιο επίπεδο και συγκρούεται κεντρικά και ελαστικά με δεύτερη σφαίρα, ίσης ακτίνας και μάζας Μ=4kg η οποία είναι ακίνητη.

i)  Να αποδείξετε ότι κάποια στιγμή t₁ στη διάρκεια της κρούσης μηδενίζεται η ταχύτητα της Α σφαίρας.

ii) Πόση είναι η μείωση ΔΚ της κινητικής ενέργειας, τη στιγμή t₁;

iii) Να υπολογιστεί το έργο της δύναμης που θα ασκηθεί στη σφαίρα Α, από τη στιγμή t₁ μέχρι το τέλος της κρούσης.

iv) Ποιες οι αντίστοιχες απαντήσεις στα παραπάνω ερωτήματα, αν η σφαίρα Α συγκρουστεί ελαστικά με κατακόρυφο τοίχο, όπως στο δεύτερο σχήμα;

Απάντηση:

ή

 Έργα και ενέργειες σε δύο ελαστικές κρούσεις

 Έργα και ενέργειες σε δύο ελαστικές κρούσεις

Το μαγνητικό πεδίο εξασφαλίζει την ισορροπία

 

Οι δύο λείοι κατακόρυφοι στύλοι xx΄ και yy΄ δεν εμφανίζουν αντίσταση, απέχουν μεταξύ τους κατά d=0,2m, ενώ μια πηγή ΗΕΔ Ε=10V και εσωτερικής αντίστασης r=1Ω συνδέεται στα κάτω άκρα τους x και y. Ένας ομογενής αγωγός ΑΓ, μήκους 0,8m, αντίστασης R=2Ω και βάρους w=2Ν, μπορεί να στρέφεται γύρω από σταθερό οριζόντιο άξονα, ο οποίος περνά από το άκρο του Α. Εκτρέπουμε τον αγωγό ΑΓ κατά γωνία θ=30°, από την κατακόρυφη θέση, φέρνοντάς τον στη θέση που φαίνεται στο σχήμα, σε επαφή με τους κατακόρυφους  στύλους και τον αφήνουμε, παρατηρώντας ότι αυτός ισορροπεί. Αν στο χώρο υπάρχει ένα ομογενές μαγνητικό πεδίο με δυναμικές γραμμές κάθετες στο επίπεδο του σχήματος, μέτρου Β=0,4Τ,  να βρεθούν:

i) Η ένταση του ρεύματος που διαρρέει την πηγή.

ii) Η δύναμη Laplace που ασκείται από το μαγνητικό πεδίο στον αγωγό ΑΓ.

iii) Η απόσταση του άξονα περιστροφής της ράβδου στο άκρο Α, από τον κατακόρυφο αγωγό yy΄.

iv) Η δύναμη που δέχεται ο αγωγός ΑΓ από την άρθρωση στο άκρο της Α.

Απάντηση:

ή

 Το μαγνητικό πεδίο εξασφαλίζει την ισορροπία

 Το μαγνητικό πεδίο εξασφαλίζει την ισορροπία

Η ράβδος σε ισορροπία, παρά την ταλάντωση

Μια ομογενής ράβδος ΑΒ βάρους w=200Ν, ηρεμεί σε οριζόντια θέση, στηριζόμενη σε τρίποδο στο σημείο Γ,  ενώ δένεται στο άκρο κατακόρυφου νήματος στο σημείο Ο. Στο άκρο Β έχει προσδεθεί ιδανικό κατακόρυφο ελατήριο σταθεράς k=200Ν/m, στο κάτω άκρο του οποίου, ηρεμεί ένα σώμα Σ μάζας m=5kg, όπως στο σχήμα.

i)  Να υπολογιστεί η τάση του νήματος.

ii)  Εκτρέπουμε το σώμα Σ κατακόρυφα προς τα κάτω κατά y₁=0,2m και τη στιγμή t=0, το αφήνουμε ελεύθερο να εκτελέσει αατ. Θεωρώντας την προς τα πάνω κατεύθυνση ως θετική, να βρεθούν οι εξισώσεις και να γίνουν οι γραφικές παραστάσεις:

α) Της δύναμης του ελατηρίου η οποία ασκείται στο σώμα Σ.

β) Της τάσης του νήματος, η οποία ασκείται στη ράβδο.

iii) Επαναλαμβάνουμε το πείραμα, αλλά τώρα εκτρέπουμε το σώμα Σ προς τα κάτω κατά y₂=0,5m και το αφήνουμε να ταλαντωθεί.

α)  Να αποδείξετε ότι θα σπάσει το νήμα και θα καταστραφεί η ισορροπία, πριν το σώμα φτάσει στην άνω ακραία θέση της ταλάντωσής του.

β) Να υπολογιστεί η κινητική ενέργεια του σώματος Σ, τη στιγμή που κόβεται το νήμα.

Δίνεται το όριο θραύσεως του νήματος Τ_θ=120Ν, g=10m/s², π²≈10, ενώ για τις αποστάσεις που βλέπετε στο σχήμα (ΑΟ)=(ΟΚ)=(ΚΓ)=ΓΒ)=1m.

Απάντηση:

ή

 Η ράβδος σε ισορροπία, παρά την ταλάντωση

 Η ράβδος σε ισορροπία, παρά την ταλάντωση

Ένας δίσκος επιταχύνεται κατεβαίνοντας στο επίπεδο

Στη θέση (1) ενός κεκλιμένου επιπέδου, κλίσεως θ=30°, αφήνεται ένας ομογενής δίσκος ακτίνας R=0,8m, ο οποίος αρχίζει να κινείται προς τα κάτω, περιστρεφόμενος δεξιόστροφα, όπως φαίνεται στο σχήμα. Μετά από χρονικό διάστημα t=2s, ο δίσκος περνά από την θέση (2). Η κατακόρυφη απόσταση των θέσεων (1) και (2) είναι h=4m, ενώ το σημείο Β του δίσκου έχει την μέγιστη ταχύτητα (μεταξύ όλων των σημείων του δίσκου), μέτρου υ₁=12m/s, με κατεύθυνση παράλληλη στο επίπεδο. Με δεδομένο ότι τόσο η επιτάχυνση του κέντρου μάζας, όσο και η γωνιακή επιτάχυνση του δίσκου, παραμένουν σταθερές, ζητούνται:

i)  Η επιτάχυνση του κέντρου Ο του δίσκου, καθώς και η ταχύτητά του στη θέση (2).

ii) Η γωνιακή ταχύτητα και η γωνιακή επιτάχυνση του δίσκου.

iii) Η ταχύτητα του σημείου Γ, αντιδιαμετρικού του σημείου Β, στην θέση (2).

iv) Πόσες περιστροφές πραγματοποίησε ο δίσκος μέχρι να φτάσει στη θέση (2);

Απάντηση:

ή

 Ένας δίσκος επιταχύνεται κατεβαίνοντας στο επίπεδο

 Ένας δίσκος επιταχύνεται κατεβαίνοντας στο επίπεδο

Δένουμε τη ράβδο για να μην γείρει!

 

Η λεπτή ράβδος του σχήματος, βάρους w=100Ν ισορροπεί σε οριζόντια θέση, στηριζόμενη σε τρίποδο, όπως στο πρώτο σχήμα, στο σημείο Ο.. 

i)  Να σχεδιάσετε τις δυνάμεις που ασκούνται στη ράβδο και να υπολογίσετε το μέτρο της δύναμης που δέχεται από το τρίποδο, στο σημείο Ο.

ii)  Ασκούμε στη ράβδο δύο κατακόρυφες δυνάμεις με μέτρα F₁=F₂=20Ν, με αντίθετες κατευθύνσεις, οι οποίες ασκούνται στα σημεία Α και Β, όπου (ΑΒ)=0,4m. Για να συνεχίσει να ισορροπεί η ράβδος δένεται στο σημείο Γ στο άκρο κατακόρυφου νήματος, όπου (ΓΟ)=0,8m. Το νήμα πρέπει να δεθεί στο ταβάνι όπως στο σχήμα (β) ή στο έδαφος, όπως στο σχήμα (γ);

iii) Να υπολογίσετε την τάση του νήματος.

iv) Με βάση τα παραπάνω, ένας μαθητής υποστηρίζει την πρόταση ότι:

«Μπορούμε να εξουδετερώσουμε την δράση ενός ζεύγους δυνάμεων, με μια δύναμη»

Είναι σωστή η πρόταση αυτή;

Απάντηση:

ή

Δένουμε τη ράβδο για να μην γείρει!

Δένουμε τη ράβδο για να μην γείρει!

Θα την καταστήσουμε οριζόντια;

 

Μια ομογενής δοκός ΑΒ μήκους 2m και μάζας Μ=12kg μπορεί να στρέφεται γύρω από άρθρωση στο άκρο της Α και ισορροπεί όπως στο σχήμα, σχηματίζοντας γωνία θ με την οριζόντια διεύθυνση, με την βοήθεια οριζόντιας δύναμης F, την οποία ασκούμε στο άκρο της Β.

i)  Να υπολογιστεί το μέτρο της απαιτούμενης για την ισορροπία, δύναμης F.

ii) Αφήνουμε πάνω στη δοκό, στο άκρο της Α, ένα σώμα Σ μάζας m=3kg, το οποίο ολισθαίνει κατά μήκος της δοκού και μετά από χρόνο 2s την εγκαταλείπει από το άκρο της Β, ενώ η δοκός παραμένει ακίνητη στην θέση της.

α) Να βρεθεί ο συντελεστής τριβής μεταξύ του σώματος Σ και της δοκού.

β) Να υπολογιστεί η ροπή της δύναμης που ασκεί το σώμα Σ στη δοκό, τη στιγμή t₁=1s.

γ) Να βρεθεί πώς μεταβάλλεται το μέτρο της απαιτούμενης για την ισορροπία δύναμης F και να γίνει το διάγραμμα F-x, όπου x η μετατόπιση του σώματος Σ.

iii) Υποστηρίζεται η πρόταση ότι αν αυξήσουμε το μέτρο της ασκούμενης οριζόντιας δύναμης F, μπορούμε να πετύχουμε να ισορροπήσει η ράβδος, ελαττώνοντας την γωνία θ (την κλίση της δοκού).

α) Να εξετάσετε αν η παραπάνω πρόταση είναι σωστή ή λανθασμένη.

β) Μπορούμε να καταστήσουμε την δοκό οριζόντια, με κατάλληλη τιμή του μέτρου της δύναμης F;

Δίνεται για την γωνία θ, ημθ=0,6 και συνθ=0,8, ενώ g=10m/s².

Απάντηση:

ή

  Θα την καταστήσουμε οριζόντια;

  Θα την καταστήσουμε οριζόντια;