Μια εξαναγκασμένη ταλάντωση και ενέργειες.

Ένα σώμα μάζας  2kg ηρεμεί σε λείο οριζόντιο επίπεδο, δεμένο στο άκρο ενός οριζόντιου ελατηρίου σταθεράς k=25Ν/m. Σε μια στιγμή δέχεται περιοδική οριζόντια δύναμη F,με αποτέλεσμα να αρχίσει να ταλαντώνεται. Μόλις αποκατασταθεί σταθερή κατάσταση, λαμβάνοντας κάποια στιγμή σαν t=0, βρίσκουμε ότι το σώμα εκτελεί ταλάντωση με εξίσωση απομάκρυνσης

x=0,4∙ημ(πt) (μονάδες στο S.Ι.)

γύρω από την αρχική θέση ισορροπίας του. Στη διάρκεια της ταλάντωσης το  σώμα δέχεται δύναμη απόσβεσης της μορφής F_απ= - 4υ  (S.Ι.), όπου υ η ταχύτητα του σώματος.

i) Να βρεθούν η ιδιοσυχνότητα και η συχνότητα ταλάντωσης του σώματος.

ii) Για την χρονική στιγμή t₁=1s ζητούνται:

α)  Η κινητική και η δυναμική ενέργεια ταλάντωσης και το άθροισμά τους Κ+U.

β)   Ο ρυθμός με τον οποίο αφαιρείται ενέργεια από το σώμα, μέσω του έργου της δύναμης απόσβεσης.

iii) Για τη χρονική στιγμή t₂=13/6 s να υπολογιστούν:

α)  Η κινητική και η δυναμική ενέργεια ταλάντωσης και το άθροισμά τους Κ+U.

β)  Οι ρυθμοί μεταβολής της κινητικής και δυναμικής ενέργειας.

γ)  Ο ρυθμός με τον οποίο αφαιρείται ενέργεια από το σώμα εξαιτίας της δύναμης απόσβεσης καθώς και ο ρυθμός με τον οποίο προσφέρεται ενέργεια στο σώμα μέσω της εξωτερικής δύναμης F.

Απάντηση:

ή

  Μια εξαναγκασμένη ταλάντωση και ενέργειες.

  Μια εξαναγκασμένη ταλάντωση και ενέργειες.

Δυο σώματα αφήνονται να κινηθούν.

Δυο σώματα Σ₁ και Σ₂, ίδιας μάζας m=2kg, συγκρατιόνται σε λείο κεκλιμένο επίπεδο απέχοντας κατά D=1,5m από την κορυφή του Ο. Το Σ₁ είναι δεμένο στο άκρο ιδανικού ελατηρίου σταθεράς k=20Ν/m με φυσικό μήκος l₀=1,2m, το άλλο άκρο του οποίου δένεται σε στήριγμα στη βάση του επιπέδου, όπως στο σχήμα. Σε μια στιγμή (t₀=0) αφήνουμε ταυτόχρονα τα σώματα να κινηθούν.

i) Να βρεθεί η αρχική επιτάχυνση κάθε σώματος.

ii) Να υπολογιστούν οι ταχύτητες των σωμάτων, τη στιγμή t₁ που αποκτούν ίσες επιταχύνσεις για πρώτη φορά.

iii) Πόσο απέχει κάθε σώμα από την κορυφή Ο του επιπέδου τη στιγμή t₂ που μηδενίζεται για πρώτη φορά η ταχύτητα του σώματος Σ₁;

iv) Να παρασταθεί γραφικά η ταχύτητα κάθε σώματος σε συνάρτηση με το χρόνο, μέχρι τη στιγμή t₂, στο ίδιο διάγραμμα.

Το κεκλιμένο επίπεδο έχει κλίση θ, με ημθ=0,3, η επιτάχυνση της βαρύτητας g=10m/s² και π²≈10.

Απάντηση:

ή

	Δυο σώματα αφήνονται να κινηθούν.

Μια ταχύτητα και η μέγιστη ταχύτητα ταλάντωσης.

Ένα σώμα μάζας 1kg εκτελεί ΑΑΤ και σε μια στιγμή (t₀=0) περνάει από μια θέση Β, κινούμενο προς τη θετική κατεύθυνση, με ταχύτητα μέτρου υ₁=0,4m/s. Μετά από λίγο αποκτά την μέγιστη ταχύτητά του 0,5m/s, ενώ στη συνέχεια επιβραδύνεται και μηδενίζεται στιγμιαία η ταχύτητά του στη θέση Γ, αφού διανύσει απόσταση (ΒΓ)=0,8m.

i) Να βρεθεί το πλάτος ταλάντωσης και η απομάκρυνσή του στη θέση Β.

ii) Να υπολογιστεί η επιτάχυνση του σώματος στις θέσεις Β και Γ.

iii) Να βρεθεί η θέση του σώματος, τη στιγμή t΄=5π/2 s.

iv) Να κάνετε το διάγραμμα της (συνισταμένης) δύναμης που ασκείται στο σώμα, από το Β στο Γ, σε συνάρτηση με την μετατόπιση από την αρχική θέση Β. Στη  συνέχεια να υπολογίσετε το εμβαδόν του χωρίου μεταξύ της γραφικής παράστασης και του άξονα της μετατόπισης. Τι μετράει το παραπάνω εμβαδόν;

Απάντηση:

ή

	Μια ταχύτητα και η μέγιστη ταχύτητα ταλάντωσης.

Η πρώτη και η δεύτερη κρούση.

Δυο σφαίρες Α και Β με ίσες ακτίνες και μάζες m₁=1kg και m₂=4kg, ηρεμούν σε λείο οριζόντιο επίπεδο απέχοντας ορισμένη απόσταση d. Η σφαίρα Α εφάπτεται στο άκρο οριζόντιου ιδανικού ελατηρίου, σταθεράς k=40Ν/m, χωρίς να είναι δεμένη σε αυτό. Ασκώντας κατάλληλη οριζόντια δύναμη στη σφαίρα Α την μετατοπίζουμε, συμπιέζοντας το ελατήριο κατά Δℓ=(2/π)m και κάποια στιγμή t₀=0, την αφήνουμε να κινηθεί. Η σφαίρα αφού εγκαταλείψει το ελατήριο συγκρούεται κεντρικά και ελαστικά τη στιγμή t₁=0,55 s με τη Β σφαίρα.

i)  Να υπολογιστούν οι ταχύτητες της Α σφαίρας πριν και μετά την κρούση.

ii) Να εξηγήσετε (ποιοτικά) γιατί θα υπάρξει και δεύτερη σύγκρουση μεταξύ των δύο σφαιρών.

iii) Θεωρώντας αμελητέα τη διάρκεια της κρούσης, πόση θα είναι η απόσταση των δύο σφαιρών τη στιγμή t₂=1,3 s;

 iv) Να βρεθούν οι ταχύτητες των σφαιρών μετά την δεύτερη μεταξύ τους κρούση.

Δίνεται π²≈10.

Απάντηση:

ή

	Η πρώτη και η δεύτερη κρούση.

Οι ταχύτητες σε ελαστικές κρούσεις.

Οι σφαίρες Α και Β του διπλανού σχήματος, με ίσες ακτίνες και μάζες m και 3m αντίστοιχα, κινούνται στην ίδια ευθεία, σε λείο οριζόντιο επίπεδο, με ταχύτητες υ₁ και υ₂=4m/s, χωρίς να στρέφονται. Κάποια στιγμή t=0, οι σφαίρες απέχουν κατά d=8m, ενώ μετά την κεντρική και ελαστική μεταξύ τους κρούση, η Α σφαίρα ακινητοποιείται.

i)  Να βρεθεί η ταχύτητα υ₁ της Α σφαίρας.

ii) Πόσο απέχουν οι σφαίρες μεταξύ τους τη στιγμή t₁=3s, αν η διάρκεια της κρούσης είναι αμελητέα;

iii) Να υπολογιστούν οι ταχύτητες των δύο σφαιρών μετά την κρούση, αν η σφαίρα Α είχε ταχύτητα:

  α) υ₁=6m/s και β) υ₁=16m/s.

iv) Αν οι δυο σφαίρες κινούνται αντίθετα, όπως στο δεύτερο σχήμα, με τη Β να έχει ταχύτητα μέτρου 4m/s, να υπολογιστεί η ταχύτητα της Α σφαίρας, αν μετά την κρούση, η Β παραμένει ακίνητη.

Απάντηση:

ή

	Οι ταχύτητες σε ελαστικές κρούσεις.

Ενέργειες ταλάντωσης, μετά από κρούσεις.

Το σώμα Σ, μάζας Μ=1kg ηρεμεί σε λείο οριζόντιο επίπεδο, δεμένο στο άκρο οριζόντιου ιδανικού ελατηρίου σταθεράς k=40Ν/m. Το σώμα Β, μάζας m=0,5kg κινείται με ταχύτητα υ₂=3m/s, πάνω στον άξονα του ελατηρίου, με κατεύθυνση προς το Σ. Εκτρέπουμε το Σ προς τα αριστερά, συσπειρώνοντας το ελατήριο κατά Δℓ=0,2m και σε μια στιγμή t₀=0, όπου η απόσταση των δύο σωμάτων είναι d, το αφήνουμε να ταλαντωθεί. Τα δυο σώματα συγκρούονται κεντρικά και ελαστικά τη χρονική στιγμή t₁=0,5s.

i) Να υπολογιστεί η αρχική απόσταση d μεταξύ των δύο σωμάτων.

ii) Να βρεθεί η ενέργεια ταλάντωσης του σώματος Σ, μετά την κρούση.

iii) Επαναλαμβάνουμε το πείραμα, αλλά τώρα αφήνουμε άλλη στιγμή το σώμα Σ να ταλαντωθεί, με αποτέλεσμα ελάχιστα πριν την κρούση, να έχει ταχύτητα υ₁=0,6m/s, με φορά προς τα δεξιά. Πόση θα είναι τώρα η ενέργεια ταλάντωσης του σώματος Σ, μετά την κρούση;

vi)  Ποιες οι δυνατές τιμές (αλγεβρικές) της ταχύτητας του σώματος Β, μετά την κρούση για διαφορετικές θέσεις κρούσης;

v) Να υπολογιστούν η μέγιστη και η ελάχιστη ενέργεια ταλάντωσης, την οποία μπορεί να αποκτήσει το Σ, μετά από ανάλογες κρούσεις με το σώμα Β, θεωρώντας πάντα σταθερή την ταχύτητα υ₂ του σώματος Β, πριν την κρούση.

Δίνεται π²≈10.

Απάντηση:

ή

	Ενέργειες ταλάντωσης, μετά από κρούσεις.

Μια ταλάντωση και ένα διάγραμμα ταχύτητας.

Ένα σώμα Σ ηρεμεί στο κάτω άκρο ενός κατακόρυφου ελατηρίου. Ανεβάζουμε το σώμα κατακόρυφα κατά 0,4m, μέχρι τη θέση Ρ που το ελατήριο αποκτά το φυσικό μήκος του και το αφήνουμε να κινηθεί, ξαναπιάνοντάς το τη στιγμή που μηδενίζεται ξανά η ταχύτητά του. Στο διάγραμμα δίνεται η ταχύτητά του σε συνάρτηση με το χρόνο, θεωρώντας την προς τα κάτω κατεύθυνση ως θετική.

Να δικαιολογήσετε τις παρακάτω προτάσεις.

i)  Η αρχική επιτάχυνση του σώματος είναι ίση με την επιτάχυνση της βαρύτητας g.

ii) Τη χρονική στιγμή t₂ το σώμα έχει επιτάχυνση -g.

iii) Η αρχική φάση της απομάκρυνσης της ταλάντωσης είναι φ₀ =3π/2.

iv) Ισχύει t₂-t₁ = 0,1π (s), όπου  τη στιγμή t₁ η ταχύτητα είναι μέγιστη.

v) Η μέγιστη δύναμη που ασκεί το σώμα Σ στο ελατήριο είναι διπλάσια του βάρους του.

Δίνεται g=10m/s² .

Απάντηση:

ή

	Μια ταλάντωση και ένα διάγραμμα ταχύτητας.

Η ορμή και η ενέργεια ταλάντωσης σε μια πλαστική κρούση.

Το σώμα Σ ταλαντώνεται σε λείο οριζόντιο επίπεδο, δεμένο στο άκρο ιδανικού ελατηρίου µε πλάτος Α και περίοδο Τ. Το σώμα Β πέφτει ελεύθερα και σε μια στιγμή συγκρούεται πλαστικά με το Σ. Το σύστημα συνεχίζει να ταλαντώνεται και μετά την κρούση.

Ποιες προτάσεις είναι σωστές και ποιες λανθασμένες:

i)   Η θέση ισορροπίας της ταλάντωσης παρέμεινε η ίδια.

ii)  Η ορμή του συστήματος των δύο σωμάτων παραμένει σταθερή στη διάρκεια της κρούσης.

iii) Η ορμή του συστήματος στην οριζόντια διεύθυνση, ελάχιστα πριν την κρούση, είναι ίση με την ορμή ελάχιστα μετά την κρούση.

iv) Η περίοδος της ταλάντωσης αυξήθηκε μετά την κρούση.

v)  Γενικά η ενέργεια της ταλάντωσης μειώνεται, αλλά υπάρχει περίπτωση και να παραμείνει σταθερή.

Απάντηση:

ή

	Η ορμή και η ενέργεια ταλάντωσης σε μια πλαστική κρούση.