Πού ασκείται η δύναμη στήριξης;

Με αφορμή ένα ερώτημα που τέθηκε από τον Βαγγέλη Κορφιάτη κάτω από την ανάρτηση Ισορροπία και κίνηση στερεού. Ένα φύλλο εργασίας. ας δούμε τι συμβαίνει με τη  κάθετη αντίδραση (Ν), τη δύναμη στήριξης,  στην περίπτωση μιας σανίδας, η οποία ισορροπεί πάνω σε ένα ή δύο τραπέζια.

…………………………………….

Έστω μια ομογενής σανίδα η οποία ηρεμεί πάνω στο τραπέζι, Ποιες δυνάμεις ασκούνται πάνω του; Στο (α) σχήμα έχει σχεδιαστεί το βάρος και η δύναμη στήριξης Ν. Επειδή η σανίδα ισορροπεί οι δύο δυνάμεις είναι αντίθετες ασκούμενες στο κέντρο μάζας Μ της σανίδας.

Αν τώρα η ίδια σανίδα, ισορροπεί όπως στο σχήμα (β), όπου ένα μέρος της προεξέχει του τραπεζιού, η κατάσταση είναι απολύτως όμοια.

Και το ερώτημα είναι πώς συμβαίνει αυτό; Τι ακριβώς συμβαίνει με την κάθετη αντίδραση; Η δύναμη που σχεδιάζουμε, δεν είναι τίποτα άλλο, από την συνισταμένη παραλλήλων δυνάμεων που ασκούνται στην επιφάνεια επαφής σε όλο το μήκος της σανίδας. Η σανίδα πιέζει το τραπέζι, στο (α) σχήμα ομοιόμορφα και στο (β) ανομοιόμορφα, όπως φαίνεται στα σχήματα (α1) και (β1).

Ακραία θέση, που η σανίδα μπορεί να ισορροπεί πάνω στο τραπέζι, είναι το μέσον της Μ να βρίσκεται στο άκρο του τραπεζιού, όπως στο σχήμα (γ). Από εκεί και πέρα η σανίδα θα ανατραπεί και θα πέσει. Στο αντίστοιχο σχήμα (γ1) δεν φαίνονται συνιστώσες της Ν (όπως στα σχ. α1 και β1) αφού στην πραγματικότητα οριακά μόνο το σημείο Μ δέχεται αντίδραση από το τραπέζι, αφού είναι και το μόνο σημείο επαφής σανίδας-τραπεζιού.

Και τώρα ας έρθουμε να δούμε τι συμβαίνει αν μια σανίδα στηρίζεται σε περισσότερα σώματα. Τα συμπεράσματα που θα εξαχθούν στηρίζονται στο i.p. και  θεωρώ ότι δεν είναι απολύτως σωστά. Γιατί;

Αν διαβάσετε την συζήτηση που ακολουθεί, μπορείτε να δείτε διαφορετικές αντιμετωπίσεις. Απλά να πω εξαρχής, ότι αν μια δοκός στηρίζεται σε περισσότερα από δύο στηρίγματα (περισσότερα από δύο σημεία), το πρόβλημα μαθηματικά δεν επιλύεται. Οι εξισώσεις μας είναι δύο (ΣF=0 και Στ=0). Άρα μόνο δύο αγνώστους μπορούμε να βρούμε…

Εφαρμογή 1η:

Μια ομογενής σανίδα μήκους 8m και μάζας 8kg ισορροπεί οριζόντια, στηριζόμενη όπως στο σχήμα, στο ένα της άκρο σε τραπέζι και στο άλλο σε τρίποδο. Αν πάνω στο τραπέζι βρίσκεται μήκος 2m από την σανίδα, να βρεθούν οι δυνάμεις που ασκούνται πάνω της. g=10m/s2.

Απάντηση:

Στο σχήμα έχουν σχεδιαστεί οι δυνάμεις που ασκούνται στη σανίδα, όπου, με βάση τα προηγούμενα, η δύναμη F2 που ασκείται από το τραπέζι, ασκείται στο άκρο Γ.

Αφού η σανίδα ισορροπεί ΣF=0 ή F1+F2-w=0  ή  F1+F2 = 80Ν  (1) και

ΣτΑ=0 → F2∙(ΑΓ)-w∙(ΑΜ)=0 → F2∙6=80∙4 ή F2=53,33Ν και από την (1) F1=26,67Ν.

Εφαρμογή 2η:

Η προηγούμενη σανίδα ισορροπεί  και πάνω στο τραπέζι το μισό μήκος της, να βρεθούν οι δυνάμεις που ασκούνται πάνω της. g=10m/s2.

Απάντηση:

Ξανά η δύναμη που δέχεται η σανίδα από το τραπέζι ασκείται από το αριστερό άκρο του, στο μέσον Μ της σανίδας. Παίρνοντας τώρα τις ροπές ως προς το άκρο Α παίρνουμε:

Στ=0 → F2∙(ΑΜ)-w∙(ΑΜ) =0 → F2=mg=80Ν

Ενώ η σανίδα δεν δέχεται δύναμη από το τρίποδο, αφού ΣF=0.

Μπορείτε να δείτε μια προσομοίωση των δύο παραπάνω εφαρμογών σε ένα αρχείο i.p.  από εδώ.

Εφαρμογή 3η:

Η προηγούμενη σανίδα ισορροπεί οριζόντια στηριζόμενη τώρα σε δυο τραπέζια, όπου πάνω στο ένα στηρίζεται με  μήκος 1m, ενώ στο άλλο με μήκος 2m. Να βρεθούν οι δυνάμεις που δέχεται από τα τραπέζια.

Απάντηση:

Στο παραπάνω σχήμα έχουν σχεδιαστεί οι δυνάμεις που ασκούνται στη σανίδα, όπου, με βάση τα προηγούμενα, οι δύο δυνάμεις ασκούνται από τα άκρα των δύο τραπεζιών στα σημεία Γ και Δ.

Αφού η σανίδα ισορροπεί ΣF=0 ή F1+F2-w=0  ή  F1+F2 = 80Ν  (1) και

ΣτΓ=0 → F2∙(ΔΓ)-w∙(ΓΜ)=0 → F2∙5=80∙3 ή F2=48Ν και από την (1) F1=32Ν.

Εφαρμογή 4η:

Να εξετασθεί τώρα η περίπτωση, όπου η σανίδα ισορροπεί οριζόντια, όταν πάνω στο αριστερό τραπέζι στηρίζεται μήκος (ΑΓ)= 2m, ενώ πάνω στο δεξιό (ΔΒ)= 4m, όπως στο σχήμα.

Απάντηση:

Ξανά η δύναμη που δέχεται η σανίδα από το αριστερό τραπέζι ασκείται από το αριστερό άκρο του, στο μέσον Μ της σανίδας. Παίρνοντας τώρα τις ροπές ως προς το Γ παίρνουμε:

Στ=0 → F2∙(ΓΔ)-w∙(ΓΔ) =0 → F2=mg=80Ν

Ενώ αφού ΣF=0 ή F1+F2-w=0  ή  F1+F2 = 80Ν → F1=0, δηλαδή  η σανίδα δεν δέχεται δύναμη από αριστερό τραπέζι.

Μπορείτε να δείτε μια προσομοίωση των δύο παραπάνω εφαρμογών σε ένα αρχείο i.p.  από εδώ.

Σχόλιο:

Βλέπουμε δηλαδή ότι στην τελευταία εφαρμογή, την κατάσταση την «επιβάλλει» το τραπέζι το οποίο δέχεται μεγαλύτερο μήκος από την σανίδα. Έτσι αν πάνω στα δύο τραπέζια στηριζόταν ίσα μήκη 1m της σανίδας, τι θα γινόταν;Διαβάστε, αν όχι όλα τα σχόλια που ακολουθούν, βασικές τοποθετήσεις.

Μανώλης Λαμπράκης εδώ.

Δημήτρης Αναγνώστου εδώ,  εδώ και   εδώ.

Διονύσης Μητρόπουλος   εδώ και εδώ.

Βαγγέλης Κορφιάτης  εδώ. και εδώ.