Δύο ελαστικές κρούσεις και ένα διάγραμμα.

Σε λείο οριζόντιο επίπεδο και μπροστά από ένα κατακόρυφο τοίχο ηρεμούν δυο μικρές σφαίρες Α και Β απέχοντας μεταξύ τους κατά s. Σε μια στιγμή t=0, η Α μπάλα εκτοξεύεται με αρχική ταχύτητα υ_ο με κατεύθυνση προς την σφαίρα Β, με την οποία συγκρούεται κεντρικά και ελαστικά. Στη συνέχεια η σφαίρα Β κινούμενη κάθετα προς τον τοίχο, συγκρούεται ελαστικά μαζί του. Η γραφική παράσταση της απόστασης των δύο σφαιρών, σε συνάρτηση με το χρόνο, δίνεται στο διπλανό σχήμα. Οι δυο σφαίρες μετακινούνται χωρίς να περιστρέφονται.

i)  Ποια η αρχική ταχύτητα υ_ο της Α σφαίρας;

ii)  Μετά τη χρονική στιγμή t₂=1s, η απόσταση των δύο σφαιρών παραμένει σταθερή με βάση το διάγραμμα. Πώς μπορεί να συμβαίνει αυτό;

iii) Αν η Α σφαίρα έχει μάζα m₁=0,1kg, να βρεθεί η μάζα της Β σφαίρας.

iv) Πόσο απέχει κάθε σφαίρα από τον τοίχο τη στιγμή t₃=2s;

Απάντηση:

ή

 Δύο ελαστικές κρούσεις και ένα διάγραμμα.

  Δύο ελαστικές κρούσεις και ένα διάγραμμα.

Αποστάσεις σε μια ελαστική κρούση.

Σε λείο οριζόντιο επίπεδο ηρεμούν δυο σφαίρες με ίσες ακτίνες, σε απόσταση d₁. Σε μια στιγμή κτυπώντας την Α σφαίρα, της προσδίδουμε μια ταχύτητα υ₀, με αποτέλεσμα τη στιγμή t₁=1s να συγκρουσθεί κεντρικά και ελαστικά με τη σφαίρα Β.

i) Τη χρονική στιγμή t₂=2s, η απόσταση των σφαιρών είναι:

α) d< d₁,   β) d= d₁,   γ) d > d₁.

ii) Αν μέχρι τη στιγμή t₂ η Β σφαίρα μετατοπίζεται κατά x₂=1,5d₁, τότε η σχέση μεταξύ των μαζών των δύο σφαιρών είναι:

α) m₁ =1,5 m₂,    β) m₁ = 2m₂,    γ) m₁ =3 m₂.

Να δικαιολογήσετε τις απαντήσεις σας.

Απάντηση:

ή

   Αποστάσεις σε μια ελαστική κρούση.

    Αποστάσεις σε μια ελαστική κρούση.

Ο ρόλος της ατμόσφαιρας.

2)  Για να μεταφέρουμε μια ποσότητα νερού, από μια δεξαμενή στο έδαφος σε ένα δοχείο ύψος h, χρησιμοποιούμε μια αντλία νερού, η οποία συμβάλλει ώστε στην έξοδο της ( σημείο Ο ) να συντηρείται κατά την λειτουργία της μια σταθερή πίεση p=3p_ατ.

i) Ρ=3p_ατ∙Π,  ii) Ρ=2p_ατ∙Π,    iii) Ρ=p_ατ∙Π.

Να δικαιολογήστε την απάντησή σας.

Συνέχεια…

ή

 Ο ρόλος της ατμόσφαιρας.

Βγάζοντας νερό με αναρρόφηση από μια δεξαμενή.

Διαθέτουμε μια δεξαμενή με νερό. Για να αφαιρέσουμε μια ποσότητα νερού από την δεξαμενή, χρησιμοποιούμε έναν ελαστικό σωλήνα σταθερής διατομής Α=2cm², τον οποίο αφού λυγίσουμε, βυθίζουμε το ένα άκρο του Γ κατά y=45cm στο νερό. Με αναρρόφηση στο άλλο άκρο Α, το οποίο βρίσκεται στο ίδιο οριζόντιο επίπεδο με το Γ, πετυχαίνουμε την εκροή του νερού.

i)   Να βρεθεί σε πόσο χρονικό διάστημα μπορούμε να γεμίσουμε ένα δοχείο όγκου 12L, θεωρώντας ότι το εμβαδόν της επιφάνειας της δεξαμενής, είναι πολύ μεγαλύτερο από το εμβαδόν της διατομής του σωλήνα.

ii) Να υπολογιστεί η πίεση στο άκρο Γ και στο ανώτερο σημείο Β του σωλήνα, το οποίο απέχει απόσταση h=1m από το επίπεδο ΑΓ.

iii) Προκειμένου να συντομευτεί το απαιτούμενο χρονικό διάστημα άντλησης του νερού, προτείνεται να χρησιμοποιήσουμε μακρύτερο σωλήνα, σε δυο διαφορετικά ενδεχόμενα. Στο πρώτο, το βυθιζόμενο τμήμα του σωλήνα είναι 2y, στον δεύτερο  το άκρο Α βρίσκεται κατά y χαμηλότερα του Γ, όπως στα σχήματα. 

Ποιον τρόπο θα επιλέγατε και γιατί; Να βρεθεί η πίεση στο άκρο Γ του σωλήνα και για τις δύο αυτές περιπτώσεις.

Δίνεται η πυκνότητα του νερού ρ=1.000kg/m³, η επιτάχυνση της βαρύτητας g=10m/s² και η ατμοσφαιρική πίεση p_ατ=10⁵Ν/m², ενώ το νερό, να θεωρηθεί ιδανικό ρευστό και όλες οι ροές μόνιμες και στρωτές.

Απάντηση:

ή

 Βγάζοντας νερό με αναρρόφηση από μια δεξαμενή.

Ποια τα ύψη στα μανόμετρα.

Ένας οριζόντιος σωλήνας συνδέεται κοντά στον πυθμένα μιας μεγάλης δεξαμενής σε βάθος Η=10m, όπως στο  διπλανό σχήμα. Αρχικά ο σωλήνας έχει διατομή Α₁, ενώ στη συνέχεια στενεύει αποκτώντας διατομή Α₂=0,4Α₁. Οι ακτίνες των δύο σωλήνων θεωρούνται αμελητέες σε σχέση με το ύψος Η.

i)   Αν η στρόφιγγα Σ στο άκρο του σωλήνα είναι ανοικτή και το νερό θεωρηθεί ιδανικό ρευστό, ενώ η ροή μόνιμη και στρωτή, να υπολογιστούν:

 α) Το ύψος h₂ της στήλης στο σωλήνα Β.

 β) Το ύψος h₁ της στήλης στο σωλήνα Α.

ii)  Κλείνουμε τη στρόφιγγα Σ. Να υπολογιστούν ξανά τα ύψη h₁ και h₂ στους σωλήνες Α και Β.

iii) Αν η στρόφιγγα Σ στο άκρο του σωλήνα είναι ανοικτή και το νερό θεωρηθεί πραγματικό ρευστό, με αποτέλεσμα να εμφανίζονται εσωτερικές τριβές:

α) Θα ανέβει ή όχι το νερό στη στήλη Β;

β) Κλείνουμε τη στρόφιγγα Σ. Να υπολογιστούν ξανά τα ύψη h₁ και h₂ στους σωλήνες Α και Β.

Απάντηση:

ή

 Ποια τα ύψη στα μανόμετρα.

Εκροή από ένα δοχείο με δύο υγρά.

Σε ένα μεγάλο κατακόρυφο σωλήνα ηρεμούν δύο υγρά, νερό με πυκνότητα ρ₁=1.000kg/m³ και λάδι πυκνότητας ρ₂=700kg/m³, όπως στο σχήμα, όπου h₁=0,8m και h₂=0,7m.  Μια τάπα, κλείνει μια οπή του δοχείου, εμβαδού Α=0,4cm², η οποία  βρίσκεται σε ύψος h=0,2m από την βάση του σωλήνα.

i)  Να υπολογιστεί η δύναμη που δέχεται η τάπα από το νερό, καθώς και η δύναμη την οποία δέχεται από τα τοιχώματα  του σωλήνα, θεωρώντας αμελητέο το βάρος της.

ii) Σε μια στιγμή βγάζουμε την τάπα, οπότε μέσα σε ελάχιστο χρόνο, αποκαθίσταται μια μόνιμη και στρωτή ροή. Να υπολογιστεί η ταχύτητα εκροής, θεωρώντας ότι η διατομή του σωλήνα, είναι πολύ μεγαλύτερη από την διατομή της οπής.

iii) Αν η διατομή του σωλήνα έχει εμβαδόν Α₁=2cm², να υπολογιστεί ξανά η ταχύτητα εκροής, καθώς και ο ρυθμός με τον οποίο κατεβαίνει η πάνω επιφάνεια του λαδιού.

Δίνεται η επιτάχυνση της βαρύτητας g=10m/s², η ατμοσφαιρική πίεση p_ατ=10⁵Ν/m², ενώ και οι δύο παραπάνω ροές να θεωρηθούν μόνιμες και στρωτές ροές ιδανικού ρευστού.

Παρατήρηση: Η ταχύτητα εκροής του νερού δεν θα παραμένει σταθερή, αλλά θα μειώνεται καθώς θα κατεβαίνει η στάθμη του λαδιού, οπότε γενικά, η ροή δεν θα είναι μόνιμη. Η ζητούμενη ταχύτητα εκροής, είναι αυτή που θα αποκατασταθεί μέσα σε ελάχιστο χρόνο, μόλις απομακρυνθεί η τάπα και την οποία για ένα μικρό διάστημα μπορούμε να θεωρήσουμε σταθερή.

Απάντηση:

ή

Εκροή από ένα δοχείο με δύο υγρά.

Θα αδειάσει το δοχείο;

Σε ένα τρίποδο σε ύψος h₁=1,2m από το έδαφος, έχουμε στερεώσει ένα δοχείο το οποίο είναι αεροσταγώς κλεισμένο και το οποίο περιέχει νερό μέχρι ύψος h=0,8m. Το δοχείο, κυλινδρικού σχήματος, έχει εμβαδόν βάσεως 0,3m² και ύψος α=1m. Αν ανοίξουμε μια μικρή τρύπα, κοντά στη βάση του δοχείου, το νερό πετάγεται, φτάνοντας σε οριζόντια απόσταση x=12m, ενώ σιγά- σιγά η φλέβα εξασθενεί και μετά από λίγο, το νερό σταματά να τρέχει.

 i)  Να βρεθεί η πίεση του αέρα πάνω από την επιφάνεια του νερού, τη στιγμή που αρχίζει η εκροή του νερού.

ii) Να ερμηνευτεί γιατί το νερό θα φτάνει στη συνέχεια όλο και σε μικρότερη οριζόντια απόσταση στο έδαφος.

iii) Να υπολογιστεί η πίεση του αέρα μέσα στο δοχείο, όταν σταματήσει η εκροή του νερού.

iv) Τελικά πόσος όγκος νερού βγήκε από  την τρύπα που ανοίξαμε;

Το νερό να θεωρηθεί ιδανικό ρευστό, με πυκνότητα ρ=1.000kg/m³, η ατμοσφαιρική πίεση είναι ίση με p_ατ=10⁵Ν/m², ενώ η θερμοκρασία στη διάρκεια του πειράματος παραμένει σταθερή. Εξάλλου η επιτάχυνση της βαρύτητας είναι g=10m/s².

Απάντηση:

ή

  Θα αδειάσει το δοχείο;

 Θα αδειάσει το δοχείο;

 

Ανεβάζοντας το επίπεδο αφαίρεσης.

Ένα σώμα μάζας 1kg, ηρεμεί στο κάτω άκρο κατακόρυφου ελατηρίου σταθεράς k=30Ν/m. Κάποια  στιγμή (t=0) ασκείται στο σώμα μια κατακόρυφη μεταβλητή δύναμης, της μορφής F=-10s+8 (S.Ι.), όπου s η μετατόπιση από την αρχική θέση ισορροπίας του σώματος.

i)  Να αποδείξτε ότι το σώμα θα εκτελέσει ΑΑΤ, υπολογίζοντας το πλάτος και την ενέργεια ταλάντωσης.

ii) Τη χρονική στιγμή t₁=16/3 s η δύναμη F παύει να ασκείται. Να βρείτε το πλάτος και την ενέργεια της νέας ταλάντωσης του σώματος.

Δίνεται g=10m/s².

Απάντηση:

ή

 Ανεβάζοντας το επίπεδο αφαίρεσης.

Ένα τμήμα ενός δικτύου ύδρευσης.

Στο σχήμα φαίνεται ένα τμήμα ενός δικτύου ύδρευσης με μια μόνιμη και στρωτή ροή, σταθερής παροχής 3,5L/s. Το νερό πυκνότητας ρ=1.000kg/m³ θεωρείται ιδανικό ρευστό και τα δυο οριζόντια και σταθερής διατομής τμήματα του σωλήνα, απέχουν κατακόρυφη απόσταση h=0,5m. Οι οριζόντιοι σωλήνες έχουν διατομές Α₁=70cm² και Α₂=10cm², ενώ δύο λεπτοί κατακόρυφοι σωλήνες, έχουν συγκολληθεί σε αυτούς, με αποτέλεσμα το νερό να ανέρχεται στο εσωτερικό τους κατά h₁=80cm και h₂ αντίστοιχα.

i) Να υπολογιστούν οι ταχύτητες ροής στους δυο οριζόντιους σωλήνες.

ii) Να υπολογιστεί η τιμή της πίεσης στα σημεία Κ και Λ.

iii) Για ένα σωματίδιο ρευστού Χ, μάζας 0,2kg, να υπολογιστεί η μεταβολή της κινητικής και η αντίστοιχη μεταβολή της δυναμικής του ενέργειας, μεταξύ των σημείων Κ και Μ.

iv) Να υπολογιστεί το έργο που παρήγαγε η υπόλοιπη μάζα  του νερού, επί του σωματιδίου Χ, μεταξύ των παραπάνω θέσεων.

v) Να βρεθεί το ύψος h₂ στο το οποίο έχει ανέβει το νερό στον δεύτερο κατακόρυφο σωλήνα.

Δίνεται g=10m/s² και p_ατ=10⁵Ν/m².

Απάντηση:

ή

 Ένα τμήμα ενός δικτύου ύδρευσης.

Δυο ταλαντώσεις με δύο κατακόρυφα ελατήρια.

Ένα σώμα μάζας 1kg, ηρεμεί στο κάτω άκρο κατακόρυφου ελατηρίου σταθεράς k₁=30Ν/m, απέχοντας απόσταση h=0,8m από το άνω άκρο ενός δεύτερου κατακόρυφου ελατηρίου σταθεράς k₂=10Ν/m. Οι άξονες των δύο ελατηρίων ταυτίζονται. Τραβάμε το κάτω ελατήριο και δένουμε το άκρο του με το σώμα και σε μια στιγμή (t=0) αφήνουμε το σώμα ελεύθερο να κινηθεί.

                                                 

i)  Να αποδείξτε ότι το σώμα θα εκτελέσει ΑΑΤ, υπολογίζοντας το πλάτος και την ενέργεια ταλάντωσης.

ii) Τη χρονική στιγμή t₁=16/3 s το κάτω ελατήριο λύνεται. Να βρείτε το πλάτος και την ενέργεια της νέας ταλάντωσης του σώματος.

Δίνεται g=10m/s².

Απάντηση:

ή

  Δυο ταλαντώσεις με δύο κατακόρυφα ελατήρια.

   Δυο ταλαντώσεις με δύο κατακόρυφα ελατήρια.