Διαγωνισμός Φυσικής ΕΕΦ 2019

Το πατίνι του σχήματος αποτελείται από έναν κορμό και δύο όμοιους τροχούς. Οι τροχοί θεωρούνται κύλινδροι (όχι
οπωσδήποτε ομογενείς) που στρέφονται, χωρίς τριβές, γύρω από αβαρείς άξονες που είναι προσαρμοσμένοι στον κορμό.

Ο δίσκος και το τετράγωνο.

Διαθέτουμε δυο πλάκες, του ίδιου πάχους και από το ίδιο υλικό. Η μία είναι κυκλική (ένας λεπτός δίσκος) ακτίνας R και η άλλη τετράγωνη πλευράς α=2R. Οι δυο πλάκες μπορούν να περιστρέφονται σε οριζόντιο επίπεδο, γύρω από σταθερούς κατακόρυφους άξονες που περνούν από τα κέντρα τους Κ και Ο, χωρίς τριβές. Σε μια στιγμή ασκούμε στα δυο στερεά την ίδια δύναμη F, όπως στο σχήμα.

i) Για τις ροπές αδράνειας Ι₁ και Ι₂,  δίσκου και τετραγώνου αντίστοιχα, ως προς τους άξονες περιστροφής τους, ισχύει:

α) Ι₁<Ι₂,   β) Ι₁=Ι₂,   γ) Ι₁>Ι₂.

ii) Μεγαλύτερη γωνιακή επιτάχυνση θα αποκτήσει:

α) Ο δίσκος,  

β) Η τετράγωνη πλάκα.

γ) Τα δύο στερεά θα αποκτήσουν την ίδια γωνιακή επιτάχυνση.

Να δικαιολογήσετε τις απαντήσεις σας.

Απάντηση:

ή

  Ο δίσκος και το τετράγωνο.

Ο δίσκος και το τετράγωνο.

Ο τροχός με την επίδραση ζεύγους και δύναμης

Ο τροχός του διπλανού σχήματος μάζας Μ=8kg και ακτίνας R=0,5m, θεωρείται ομογενής δίσκος με ροπή αδράνειας Ι_cm= ½ ΜR² και βρίσκεται ακίνητος σε οριζόντιο δρόμο. 

Σε μια στιγμή t_ο=0 ασκούνται ταυτόχρονα στον τροχό ένα ζεύγος δυνάμεων και μια οριζόντια δύναμη F, όπως στο σχήμα, με μέτρο F=4Ν. Τη στιγμή t₁=10s, αλλάζουμε το μέτρο της ασκούμενης δύναμης με αποτέλεσμα η γραφική παράσταση της ταχύτητας του κέντρου Ο του τροχού, να μεταβάλλεται με το χρόνο, όπως στο διάγραμμα. Σε όλη τη διάρκεια της παραπάνω κίνησης, ο τροχός κυλίεται (χωρίς να ολισθαίνει) ενώ η ροπή του  ζεύγους παραμένει σταθερή.

i)   Να βρεθεί η επιτάχυνση του κέντρου Ο του τροχού καθώς και η γωνιακή του επιτάχυνση από 0-t₁.

ii)  Να βρεθεί η τριβή που ασκείται στον τροχό, καθώς και να υπολογιστεί η ροπή του ζεύγους, στο παραπάνω χρονικό διάστημα.

iii) Για το χρονικό διάστημα από 10s-15s, να υπολογιστούν:

α) Το μέτρο της ασκούμενης δύναμης  F.

β) Η τριβή που ασκείται στον τροχό.

Απάντηση:

ή

 Ο τροχός με την επίδραση ζεύγους και δύναμης

 Ο τροχός με την επίδραση ζεύγους και δύναμης

Ο δίσκος και η ράβδος στρέφονται.

Σε λείο οριζόντιο επίπεδο ηρεμεί ένας ομογενής δίσκος ακτίνας R=0,4m και μάζας 10kg, ο οποίος μπορεί να στρέφεται, χωρίς τριβές, γύρω από κατακόρυφο άξονα που συνδέει το κέντρο του Ο, με το άκρο μιας ομογενούς ράβδου ΑΚ μήκους ℓ=2R και μάζας Μ=30kg, η οποία μπορεί να στρέφεται, επίσης χωρίς τριβές, γύρω από κατακόρυφο σταθερό άξονα ο οποίος περνά από το άκρο της Κ. Τυλίγουμε γύρω από τον δίσκο ένα μη εκτατό νήμα, αμελητέας μάζας, στο άκρο του οποίο τη στιγμή t=0, ασκούμε μια σταθερού μέτρου δύναμη F=40Ν, με αποτέλεσμα το νήμα να ξετυλίγεται θέτοντας σε περιστροφή, τόσο το δίσκο όσο και τη ράβδο. Η διεύθυνση της δύναμης F, σε κάθε θέση, είναι κάθετη στον άξονα της ράβδου ΑΚ, όπως στο σχήμα.

i)  Να υπολογιστούν οι γωνιακές επιταχύνσεις για τις περιστροφές του δίσκου και της ράβδου.

ii) Να βρεθεί ο αρχικός ρυθμός μεταβολής της στροφορμής της ράβδου, ως προς τον άξονα περιστροφής της στο Κ.

iii) Τη χρονική στιγμή t₁=4s να βρεθούν:

α) πόσες περιστροφές έχει πραγματοποιήσει ο δίσκος γύρω από τον άξονά του στο κέντρο του Ο και πόσες η ράβδος, γύρω από τον άξονα στο Κ.

β) Οι αντίστοιχες γωνιακές ταχύτητες των δύο στερεών.

γ)  Η κινητική ενέργεια του συστήματος και

δ) Η ισχύς της ασκούμενης δύναμης F.

Δίνονται οι ροπές αδράνειας δίσκου και ράβδου, ως προς τους άξονες περιστροφής τους Ι_δ= ½ mR² και Ι_ρ= 1/3 Μℓ².

Απάντηση:

ή

 Ο δίσκος και η ράβδος στρέφονται.

Ο δίσκος και η ράβδος στρέφονται.

Μια ισορροπία δύο ράβδων

Δύο λεπτές ομογενείς ράβδοι με μήκη (ΑΓ)=ℓ και (ΒΓ)=2ℓ συγκολλούνται στο κοινό άκρο τους Γ, δημιουργώντας ένα στερεό s. Οι δυο ράβδοι ΑΓ και ΒΓ έχουν βάρη w και w₁=2w αντίστοιχα. Το στερεό s ισορροπεί σε οριζόντια θέση, κρεμασμένο από νήμα που έχει δεθεί στο σημείο Ο, όπως στο πάνω σχήμα.

i) Η απόσταση (ΟΓ) είναι ίση με:

α) (ΟΓ)= ¼ ℓ,     β) (ΟΓ)= 1/3 ℓ,

γ) (ΟΓ)= ½ ℓ,     δ) (ΟΓ)= ℓ.

ii) Να μελετηθεί η ισορροπία της ράβδου ΑΓ.

iii) Εκτρέπουμε το στερεό s, όπως δείχνει το κάτω σχήμα και το αφήνουμε να κινηθεί. Τότε το στερεό s:

α) Θα επιστρέψει ξανά σε οριζόντια θέση.

β) Θα περιστραφεί αυξάνοντας τη γωνία που σχηματίζει με την οριζόντια διεύθυνση.

γ) Θα ισορροπήσει στην θέση που θα αφεθεί.

Απάντηση:

ή

 Μια ισορροπία δύο ράβδων

 Μια ισορροπία δύο ράβδων

Δύο ράβδοι σε δύο συνδέσεις

Διαθέτουμε δύο ομογενείς ράβδους τις οποίες μπορούμε να συνδέσουμε κατασκευάζοντας είτε το στερεό (1), είτε το στερεό (2), όπως στο διπλανό σχήμα. Στο πρώτο, το άκρο της ράβδου ΟΜ συνδέεται στο μέσον της ράβδου ΑΒ, ενώ αντίθετα στο δεύτερο με το άκρο της Α. Τα δυο στερεά ηρεμούν σε λείο οριζόντιο επίπεδο, ενώ μπορούν να στρέφονται στο επίπεδο αυτό, γύρω από κατακόρυφους άξονες, κάθετους στο επίπεδό τους, που διέρχονται από το άκρο Ο της μιας ράβδου.

i) Αν Ι₁ η ροπή αδράνειας του στερεού (1) και Ι₂ η αντίστοιχη του στερεού (2), ισχύει:

α) Ι₁<Ι₂,         β) Ι₁=Ι₂,        γ) Ι₁ >Ι₂.

ii) Στα δυο στερεά ασκείται η ίδια, σταθερού μέτρου, οριζόντια δύναμη F, παράλληλη στον άξονα της ράβδου ΑΒ, όπως στο σχήμα. Μόλις ολοκληρωθεί μια περιστροφή, μεγαλύτερη κινητική ενέργεια θα έχει:

α) Το στερεό (1),    β) Το στερεό (2),    γ) Τα δύο στερεά θα έχουν την ίδια κινητική ενέργεια.

iii) Πρώτο θα ολοκληρώσει μια περιστροφή:

α) Το στερεό (1),    β) Το στερεό (2),    γ) Τα δύο στερεά θα ολοκληρώσουν ταυτόχρονα μια περιστροφή.

Να δικαιολογήσετε τις απαντήσεις σας, ενώ η ροπή αδράνειας μιας ράβδου δεν δίνεται και δεν θεωρείται γνωστή.

Απάντηση:

ή

 Δύο ράβδοι σε δύο συνδέσεις

Δύο ράβδοι σε δύο συνδέσεις

Να αυξήσουμε την επιτάχυνση του άκρου της δοκού

 Μια ομογενής δοκός ΟΑ, μήκους ℓ=3m και μάζας m=10kg, μπορεί να στρέφεται χωρίς τριβές, γύρω από άρθρωση στο άκρο της Ο και ισορροπεί σε οριζόντια θέση δεμένη με κατακόρυφο νήμα, όπως στο σχήμα, όπου (ΟΓ)=0,5m.

  i)   Να υπολογιστεί η τάση του νήματος.

ii)  Σε μια στιγμή κόβουμε το νήμα. Να υπολογιστεί η αρχική επιτάχυνση του άκρου Α της δοκού.

iii) Υποστηρίζεται ότι αν πριν το κόψιμο του νήματος τοποθετήσουμε στο σημείο Δ, όπου (ΔΑ)=1m ένα σώμα Σ₁ αμελητέων διαστάσεων και μάζας m₁=5kg, μπορούμε να επιτύχουμε την αύξηση της επιτάχυνσης του άκρου Α της δοκού. Να εξετάσετε αν η άποψη αυτή είναι σωστή ή όχι.

iv) Τοποθετούμε στο σημείο Γ ένα άλλο υλικό σημείο Σ₂ , αμελητέων διαστάσεων, μάζας m₂, με αποτέλεσμα μόλις κόψουμε το νήμα η αρχική επιτάχυνση του άκρου Α να έχει μέτρο α₂=2g. Να βρεθούν:

α) Η μάζα του υλικού σημείου Σ.

β) Ο αρχικός ρυθμός μεταβολής της στροφορμής του σώματος Σ ως προς το άκρο Ο.

Δίνεται η ροπή αδράνειας μιας ομογενούς δοκού ως προς κάθετο άξονα που περνά από το μέσον της Ι_cm= mℓ²/12 και g=10m/s².

Απάντηση:

ή

  Να αυξήσουμε την επιτάχυνση του άκρου της δοκού

 Να αυξήσουμε την επιτάχυνση του άκρου της δοκού

Επιταχύνοντας ένα σύστημα.

Σε λείο οριζόντιο επίπεδο, ηρεμεί μια ομογενής ράβδος ΑΒ, η οποία μπορεί να στρέφεται χωρίς τριβές, γύρω από κατακόρυφο άξονα ο οποίος διέρχεται από το άκρο της Α. Το άκρο της ράβδου Β,  συνδέεται μέσω ιδανικού νήματος, με ένα υλικό σημείο Σ μάζας m=10kg, όπου η διεύθυνση του νήματος είναι κάθετη στη ράβδο. Τη στιγμή t₀=0 ασκούμε στο σώμα Σ μια σταθερή οριζόντια δύναμη F=5Ν στη διεύθυνση του νήματος, με αποτέλεσμα το σώμα Σ, να κινείται. Η ράβδος έχει μήκος 3m  ενώ παρουσιάζει ροπή αδράνειας ως προς τον άξονα περιστροφής της Ι=12kgm².

i)  Να βρεθεί ο αρχικός ρυθμός μεταβολής της στροφορμής ως προς τον άξονα περιστροφής:

α) Του συστήματος ράβδου- σώματος Σ

β) Της ράβδου ΑΒ.

ii) Αν τη στιγμή t₁=2s το σώμα Σ έχει ταχύτητα υ₁=0,87m/s, να βρεθεί η γωνιακή ταχύτητα της ράβδου τη στιγμή αυτή.

iii) Να υπολογιστεί η στροφορμή του συστήματος ως προς τον άξονα περιστροφής της ράβδου, τη στιγμή που το σώμα Σ έχει μετατοπισθεί κατά Δx₂ =1,2m, έχοντας ταχύτητα υ₂=1m/s.

Δίνεται ότι ένα υλικό σημείο το οποίο κινείται με ταχύτητα υ, παρουσιάζει ως προς ένα τυχαίο σημείο Γ, στροφορμή μέτρου L=mυ∙d, όπου d η απόσταση του σημείου Γ από τον φορέα της δύναμης, με κατεύθυνση όπως στο σχήμα.

Δίνεται ακόμη ότι κατά την κίνηση, εντός των ορίων που αναφέρονται, το σώμα Σ κινείται πρακτικά στην ίδια διεύθυνση x. 

Απάντηση:

ή

 Επιταχύνοντας ένα σύστημα.

Επιταχύνοντας ένα σύστημα.