Σύγκρουση ράβδων και στροφορμές.

Δίνονται  δύο ομογενείς ράβδοι της ίδιας μάζας και με μήκη ℓ και 2ℓ, οι οποίες μπορούν να στρέφονται γύρω από οριζόντιους σταθερούς άξονες, που διέρχονται από το ένα άκρο τους και οι οποίες ισορροπούν σε κατακόρυφη θέση, όπως στο σχήμα, όπου η απόσταση μεταξύ τους είναι 1mm.  Εκτρέπουμε την μικρή από τη θέση ισορροπίας της και την αφήνουμε να κινηθεί. Φτάνοντας στην θέση ισορροπίας της έχει αποκτήσει γωνιακή ταχύτητα ω₀=2rad/s και συγκρούεται ελαστικά με την δεύτερη. Εξαιτίας της μικρής μεταξύ τους απόστασης, το άκρο Α της πρώτης, συγκρούεται με το άκρο Β της δεύτερης. 

Να βρεθούν οι γωνιακές ταχύτητες των δύο ράβδων μετά την κρούση. 

Δίνεται η ροπή αδράνειας μιας ράβδου, ως προς κάθετο άξονα που περνά από το ένα της άκρο Ι= 1/3 Μℓ².

Σύγκρουση ράβδων και στροφορμές.

Σύγκρουση ράβδων και στροφορμές.

Ισχύουν οι αρχές διατήρησης; Πώς εφαρμόζονται;

- Ένα βλήμα σφηνώνεται σε ένα ξύλο που είναι πακτωμένο στο έδαφος.

   Για την κρούση αυτή ισχύει η αρχή διατήρησης της ορμής (Α.Δ.Ο.) για το σύστημα βλήμα-ξύλο;;

- Όχι κύριε. Το σύστημα των σωμάτων δε είναι μονωμένο.

- Και λοιπόν;

- Δεν ισχύει η Α.Δ.Ο.

- Μα, τι λέει η Α.Δ.Ο. Γιάννη;

Υπάρχουν μερικά πράγματα που περνάμε συνήθως ελαφρά. Έχει δίκιο ο Γιάννης στην απάντησή του; Και αν έπεφτε ένα τέτοιο ερώτημα στις εξετάσεις, τι θα έπρεπε να απαντήσει ο κάθε Γιάννης;

Είναι η ίδια απάντηση, με αυτήν που θα έπρεπε να δώσει στο ερώτημα:

Η ορμή του συστήματος βλήμα-ξύλο παραμένει σταθερή κατά την κρούση;

Συνήθως θεωρούμε ότι οι δυο ερωτήσεις είναι ταυτόσημες. Και όμως δεν είναι!!!

Η Α.Δ.Ο. ισχύει πάντα. Τι λέει; Ότι αν ένα σύστημα σωμάτων είναι μονωμένο η ορμή του παραμένει σταθερή. Και τι δεν λέει, αλλά υπονοεί; Ότι αν το σύστημα δεν είναι μονωμένο η ορμή του δεν παραμένει σταθερή. Στην περίπτωση, ας πούμε του παραπάνω παραδείγματος, παραβιάζεται η αρχή; Όχι βέβαια. Το σύστημα δεν είναι μονωμένο και η συνολική ορμή του συστήματος δεν παραμένει σταθερή. Δεν διατηρείται.

Μα, αυτό μας λέει και η Α.Δ.Ο.!!!

----------------------------

Αλλά με την ευκαιρία ας εξετάσουμε μερικές περιπτώσεις διατήρησης ή μη (ορμής-στροφορμής) σε περιπτώσεις κρούσεων, δίνοντας κάποιες εφαρμογές.

Εφαρμογή 1:

Ένα σώμα Σ μάζας Μ κρέμεται στο άκρο αβαρούς νήματος. Ένα βλήμα μάζας m συγκρούεται πλαστικά με το σώμα Σ. Για την παραπάνω κρούση:

i)   Η ορμή του βλήματος διατηρείται.

ii)  Η ορμή του συστήματος διατηρείται.

iii) Η συνολική στροφορμή ως προς το σημείο ανάρτησης Ο διατηρείται.

iv) Η συνολική στροφορμή ως προς ένα τυχαίο σημείο Α, διατηρείται.

Η συνέχεια σε pdf.

ή
Ισχύουν οι αρχές διατήρησης; Πώς εφαρμόζονται;

Δύο τρέχοντα κύματα και η συμβολή τους.

Κατά μήκος ενός γραμμικού ελαστικού μέσου, διαδίδονται δύο εγκάρσια κύματα με αντίθετες κατευθύνσεις. Τα κύματα φτάνουν τη στιγμή t=0, σε ένα σημείο του μέσου Σ, στη θέση x_Σ=4m. Το σημείο αυτό εξαιτίας κάθε κύματος ξεκινά να ταλαντώνεται με εξίσωση y=0,2·ημπt  (S.Ι.). Αν η ταχύτητα διάδοσης των κυμάτων είναι υ=2m/s, ζητούνται:

i)   Η περίοδος και το μήκος κύματος κάθε κύματος.

ii)  Να βρεθούν οι εξισώσεις των δύο κυμάτων.

iii) Να βρεθεί η εξίσωση του στάσιμου που προκύπτει από την συμβολή των δύο παραπάνω κυμάτων.

iv) Πόσοι δεσμοί έχουν σχηματιστεί πάνω στο μέσο τη χρονική στιγμή t₁=1,5s;

v)  Να σχεδιάστε τη μορφή του μέσου την στιγμή t₁.

vi) Δύο υλικά σημεία Μ και Ν βρίσκονται δεξιά και αριστερά της θέσης x=7m και έχουν ίσες απομακρύνσεις, από τη θέση ισορροπίας τους.Το σημείο Μ είναι το πλησιέστερο στη θέση x=7m σημείο με την παραπάνω ιδιότητα. Ποιο υλικό σημείο τη στιγμή t₁ έχει:

α) Μεγαλύτερη ταχύτητα ταλάντωσης.

β) Μεγαλύτερη ενέργεια ταλάντωσης.

Δύο τρέχοντα κύματα και η συμβολή τους.

Δύο τρέχοντα κύματα και η συμβολή τους.

Προσπαθώντας να ανασηκώσουμε μια ράβδο.

Μια λεπτή ομογενής ράβδος μήκους 8m και μάζας 6kg, ηρεμεί σε λείο οριζόντιο επίπεδο. Μέσω ενός νήματος, το οποίο έχουμε δέσει στο άκρο της Β, ασκούμε πάνω της μια κατακόρυφη δύναμη F, όπως στο σχήμα.

i)  Αν το μέτρο της δύναμης είναι F=20Ν, παρατηρούμε ότι η ράβδος ισορροπεί. Να σχεδιάστε τις δυνάμεις που ασκούνται πάνω της, βρίσκοντας και την ροπή καθεμιάς, ως προς το μέσον της Ο.

ii) Αυξάνουμε το μέτρο της ασκούμενης δύναμης στην τιμή F=30Ν. Σχεδιάστε ξανά τις δυνάμεις που ασκούνται στη ράβδο.

iii) Αν αυξήσουμε το μέτρο της δύναμης στην τιμή F=32Ν, παρατηρούμε ότι η ράβδος αρχίζει να ανασηκώνεται από το έδαφος.

 α) Να βρεθεί η αρχική επιτάχυνση του μέσου της Ο της ράβδου.

 β) Σε μια στιγμή t₁ το άκρο Β της ράβδου, βρίσκεται σε ύψος h=4m από το έδαφος, ενώ το Α σε επαφή με το έδαφος. Για την θέση αυτή να υπολογίσετε την ταχύτητα του Ο και την ταχύτητα  του άκρου Α της ράβδου.

γ) Πόσο έχει μετατοπιστεί το άκρο Α της ράβδου από 0-t₁;

Δίνεται η ροπή αδράνειας της ράβδου ως προς κάθετο σε αυτήν άξονα που περνά από το μέσο της Ι= Μℓ²/12 και g=10m/s².

Προσπαθώντας να ανασηκώσουμε μια ράβδο.

Προσπαθώντας να ανασηκώσουμε μια ράβδο.

Μη μετωπική πλαστική κρούση και ενέργειες.

Το σώμα Α, μάζας m₁=1kg ηρεμεί στο κάτω άκρο ενός ιδανικού ελατηρίου, σε επαφή με το σώμα Β, μάζας m₂=0,4kg που ηρεμεί σε λείο οριζόντιο επίπεδο, στη θέση Ο. Στη θέση αυτή δεν ασκείται δύναμη μεταξύ των δύο σωμάτων, ενώ το ελατήριο, σταθεράς k=40Ν/m, έχει μήκος 0,8m. Ανεβάζουμε το Α σώμα, κατακόρυφα κατά h=1/2π m και μετακινούμε το σώμα Β, προς τα αριστερά, κατά d. Σε μια στιγμή αφήνουμε το σώμα Α ελεύθερο, ενώ ταυτόχρονα εκτοξεύουμε με κατάλληλη ταχύτητα υ₀, το Β σώμα, προς την αρχική του θέση Ο. Τα δύο σώματα συγκρούονται πλαστικά φτάνοντας στο Ο και κατόπιν το  συσσωμάτωμα συνεχίζει οριζόντια, φτάνοντας μέχρι το σημείο Ρ, σε απόσταση (ΟΡ)=0,6m, όπου και σταματά στιγμιαία, πριν  κινηθεί ξανά προς το Ο. Τα δύο σώματα θεωρούνται υλικά σημεία αμελητέων διαστάσεων, ενώ π²≈10 και g=10m/s².

i)   Να υπολογιστεί η κοινή ταχύτητα του συσσωματώματος αμέσως μετά την κρούση.

ii)   Ποια η αρχική ταχύτητα υ₀ του σώματος Β και από ποια απόσταση d είχε εκτοξευθεί το Β σώμα;

iii)  Να βρεθεί η μεταβολή της ορμής του σώματος Α που οφείλεται στην κρούση.

iv)  Αν είχαμε ανεβάσει το Α σώμα κατά h΄=2h= 1/π, πόσο θα έπρεπε να γινόταν η αρχική ταχύτητα του Β σώματος, ώστε από την ίδια απόσταση d, να είχαμε ξανά παρόμοια κρούση;

Μη μετωπική πλαστική κρούση και ενέργειες.

Μη μετωπική πλαστική κρούση και ενέργειες.

Μια ταλάντωση σώματος σε πλάγια σανίδα.

Η σανίδα του σχήματος, μήκους 2m και μάζας Μ=4kg, έχει αρθρωθεί στο άκρο της Α, ενώ το άλλο της άκρο Β είναι δεμένο με κατακόρυφο νήμα και ισορροπεί σχηματίζοντας γωνία θ με την οριζόντια διεύθυνση, όπου ημθ=0,6. Πάνω στη σανίδα, δεμένο στο άκρο ελατηρίου σταθεράς k=20Ν/m, ο άξονας του οποίου είναι παράλληλος με τη ράβδο, ισορροπεί ένα σώμα Σ, αμελητέων διαστάσεων, μάζας m=2kg. Η θέση ισορροπίας του σώματος Σ είναι το μέσον Ο της σανίδας.

i)   Να βρεθεί το μέτρο της τάσης του νήματος.

ii)  Μετακινούμε το σώμα Σ, προς τα πάνω κατά μήκος της σανίδας, κατά 0,2m και σε μια στιγμή που θεωρούμε t=0, το αφήνουμε να κινηθεί.

α)  Να αποδείξτε ότι η κίνηση του σώματος είναι ΑΑΤ.

β)  Θεωρώντας θετική την αρχική απομάκρυνση, να γράψετε την εξίσωση της ταχύτητας του Σ σε συνάρτηση με το χρόνο.

γ)  Να βρεθεί η εξίσωση της τάσης του νήματος σε συνάρτηση με το χρόνο και να γίνει η γραφική της παράσταση.

δ)  Να υπολογιστούν οι ρυθμοί μεταβολής της ορμής και της κινητικής ενέργειας του σώματος Σ, τη χρονική στιγμή t₁=0,5s.

Δίνονται π²≈10 και g=10m/s².

Μια ταλάντωση σώματος σε πλάγια σανίδα.

Μια ταλάντωση σώματος σε πλάγια σανίδα.

Κίνηση δύο δίσκων σε επαφή.

Δύο οριζόντιοι δίσκοι Α και Β βρίσκονται σε επαφή, ενώ μπορούν να στρέφονται χωρίς τριβές γύρω από κατακόρυφο άξονα  z, ο οποίος περνά από τα κέντρα τους. Οι δίσκοι ηρεμούν. Γύρω από τον δίσκο Α τυλίγουμε ένα αβαρές νήμα, μέσω του οποίου, τη στιγμή t=0, του ασκούμε μια σταθερή οριζόντια δύναμη F=12Ν, προσδίδοντας σταθερή επιτάχυνση στο άκρο Ε του νήματος, μέχρι τη στιγμή t₁=2s, οπότε έχει ξετυλιχθεί νήμα μήκους x=4,8m. Ο  Β δίσκος «παρασύρεται» και περιστρέφεται από τη ροπή της τριβής που δέχεται από τον Α δίσκο.  Τη στιγμή t₁ παύουμε την άσκηση της δύναμης. Για τους  δίσκους Α και Β δίνονται m₁=8,5kg, m₂=4kg, R₁=0,8m και R₂=0,6m αντίστοιχα, ενώ η ροπή αδράνειας ενός δίσκου, ως προς κάθετο άξονα που περνά από το κέντρο του Ι= ½ ΜR².

i)   Να βρεθεί η γωνιακή επιτάχυνση του Α δίσκου.

ii)  Να υπολογιστεί η ροπή της τριβής που ασκήθηκε στον Α δίσκο από τον Β.

iii) Ποια η γωνιακή ταχύτητα κάθε δίσκου τη στιγμή t₁;

iv) Να βρεθεί ο ρυθμός μεταβολής της στροφορμής κάθε δίσκου, αλλά και του συστήματος των δύο δίσκων, ως προς τον άξονα z, τη χρονική στιγμή t=1s.

v) Να υπολογισθεί η μηχανική ενέργεια που μετετράπη σε θερμική, εξαιτίας της τριβής που αναπτύχθηκε μεταξύ των δύο  δίσκων, μέχρι τη στιγμή t₁.

vi)  Να βρεθεί η τελική γωνιακή ταχύτητα των δίσκων.

Κίνηση δύο δίσκων σε επαφή.

Κίνηση δύο δίσκων σε επαφή.

Κρούση μιας σφαίρας με κύβο.

Από την κορυφή ενός λείου τεταρτοκυκλίου ακτίνας R=2,5m, αφήνεται να ολισθήσει μια σφαίρα Α μάζας Μ=0,3kg και ακτίνας r=5cm, η οποία φτάνει στο οριζόντιο επίπεδο με ταχύτητα υ. Η σφαίρα παρουσιάζει με το επίπεδο συντελεστές τριβής μ=μ_s=0,2 και αφού κινηθεί επί χρονικό διάστημα Δt=2s, συγκρούεται μετωπικά και ελαστικά με ακίνητο κύβο ακμής α=0,1m και μάζας m=0,2kg.

i)   Ποιο το μέτρο της ταχύτητας υ, με την οποία αρχίζει να κινείται η σφαίρα στο οριζόντιο επίπεδο.

ii)  Ποια η ταχύτητα της σφαίρας ελάχιστα πριν την κρούση.

iii) Πόσο απέχει ο κύβος Β από την βάση του τεταρτοκυκλίου;

iv) Με δεδομένο ότι η δύναμη που ασκείται από τη σφαίρα στον κύβο στη διάρκεια της κρούσης είναι οριζόντια, να βρεθεί το % ποσοστό της κινητικής ενέργειας της σφαίρας, που μεταφέρεται στον κύβο.

Δίνεται η ροπή αδράνειας της σφαίρας ως προς μια διάμετρό της Ι= 0,4ΜR² και g=10m/s².

Κρούση μιας σφαίρας με κύβο.

Κρούση μιας σφαίρας με κύβο.