Δύο κύματα στο ίδιο γραμμικό ελαστικό μέσον.

Σε δύο σημεία Ο₁ και Ο₂, τα οποία απέχουν απόσταση (Ο₁Ο₂)=d=4m, ενός άπειρου γραμμικού ελαστικού μέσου, υπάρχουν δυο πηγές κύματος, οι οποίες αρχίζουν να ταλαντώνονται τη στιγμή t₀=0 ταυτόχρονα, προς την θετική κατεύθυνση, με αποτέλεσμα να δημιουργούν κύματα με πλάτος 0,4m και με συχνότητα 1Ηz. Τα κύματα που δημιουργούνται διαδίδονται και προς τις δύο κατευθύνσεις με ταχύτητα 2m/s, χωρίς αποσβέσεις.
 Θεωρούμε τη θέση Ο₁ ως αρχή του άξονα x και μας απασχολεί το τι συμβαίνει δεξιά της πηγής Ο₁ (x>0).

i) Να γράψετε τις εξισώσεις των κυμάτων που διαδίδονται κατά μήκος του μέσου.

ii) Να σχεδιάστε τη μορφή του μέσου τη χρονική στιγμή t₁=0,75s.

iii) Να σχεδιάστε επίσης τη μορφή του μέσου τις χρονικές στιγμές:

Α) t₂=3s   και    Β)  t₃=3,25s.

Απάντηση: 

Δύο κύματα στο ίδιο γραμμικό ελαστικό μέσον.

Ένα ελαστικό μέσο – Δύο «αντίθετοι» παλμοί.

Κατά μήκος ενός γραμμικού ελαστικού μέσου διαδίδονται δύο παλμοί, ίδιου πλάτους και «μήκους κύματος» όπως στο πάνω σχήμα.

i)  Η φάση της απομάκρυνσης του σημείο Β είναι ίση με ……, του σημείου Δ …….., του Γ  ………. και του Ε ……….

ii) Να σχεδιάστε στο πρώτο σχήμα τις ταχύτητες ταλάντωσης των σημείων Β, Γ, Δ και Ε.

iii) Να συγκρίνετε τα μέτρα των ταχυτήτων των παραπάνω σημείων.

iv) Μετά από λίγο, οι δύο παλμοί συναντώνται στο σημείο Κ. Να σχεδιάστε ξανά τις ταχύτητες ταλάντωσης των σημείων που έχουν σημειωθεί στο μεσαίο σχήμα.

v)  Αν η ταχύτητα ταλάντωσης του σημείου Β είναι 1m/s (πάνω σχήμα), πόση είναι η ταχύτητα ταλάντωσης του σημείου Κ (μεσαίο σχήμα);

vi) Στο κάτω σχήμα, να σχεδιάστε τη μορφή του μέσου τη στιγμή που τα άκρα και των δύο παλμών είναι τα σημεία Μ και Σ.

vii) Πόσο είναι η ταχύτητα ταλάντωσης των σημείων Μ και Σ;

viii) Κάθε παλμός μεταφέρει ενέργεια κατά τη διάδοσή του. Με ποια μορφή εμφανίζεται η ενέργεια του κύματος στο τελευταίο σχήμα;

Απάντηση:

ή

Ένα ελαστικό μέσο – Δύο «αντίθετοι» παλμοί.

Ένα ελαστικό μέσο – Δύο παλμοί.

Κατά μήκος ενός γραμμικού ελαστικού μέσου διαδίδονται δύο πανομοιότυποι παλμοί, όπως στο πάνω σχήμα και τα σημεία Δ και Η απέχουν εξίσου από τη θέση ισορροπίας.

i)  Η φάση της απομάκρυνσης του σημείο Β είναι ίση με ……, του σημείου Ε …….., του Γ  ………. και του Ζ ……….

ii) Να σχεδιάστε στο πρώτο σχήμα τις ταχύτητες ταλάντωσης των σημείων Β, Γ, Δ, Ε, Ζ και Η.

iii) Να συγκρίνετε τα μέτρα των ταχυτήτων των παραπάνω σημείων.

iv) Μετά από λίγο, οι δύο παλμοί συναντώνται στο σημείο Κ. Να σχεδιάστε ξανά τις ταχύτητες ταλάντωσης των σημείων που έχουν σημειωθεί στο μεσαίο σχήμα.

v)  Αν η ταχύτητα ταλάντωσης του σημείου Β είναι 1m/s (πάνω σχήμα), πόση είναι η ταχύτητα ταλάντωσης του σημείου Κ (μεσαίο σχήμα);

vi) Στο κάτω σχήμα, να σχεδιάστε τη μορφή του μέσου τη στιγμή που τα άκρα και των δύο παλμών είναι τα σημεία Ρ και Σ.

vii) Πόσο είναι η ταχύτητα ταλάντωσης των σημείων Ρ και Σ;

viii) Κάθε παλμός μεταφέρει ενέργεια κατά τη διάδοσή του. Με ποια μορφή εμφανίζεται η ενέργεια του κύματος στο τελευταίο σχήμα;

Απάντηση:

ή

	Ένα ελαστικό μέσο – Δύο παλμοί.

Ένα ελαστικό μέσο – Δύο παλμοί.

Πληροφορίες από ένα διάγραμμα φάσης.

Ένα αρμονικό κύμα διαδίδεται κατά μήκος ενός γραμμικού ελαστικού μέσου και στο διάγραμμα δίνεται η φάση της απομάκρυνσης των σημείων του μέσου τη χρονική στιγμή t₁=8s, όπου τη στιγμή t₀=0  ξεκίνησε η πηγή του κύματος, την ταλάντωσή της.

i) Το κύμα αυτό διαδίδεται προς τα δεξιά ή προς τα αριστερά και γιατί;

ii) Να βρεθεί η περίοδος και το μήκος του κύματος.

iii) Ποια είναι η εξίσωση του κύματος, αν το πλάτος του είναι 0,5m;

iv) Να σχεδιάστε το στιγμιότυπο του κύματος την παραπάνω στιγμή.

Απάντηση:

ή

Πληροφορίες από ένα διάγραμμα φάσης.

	Πληροφορίες από ένα διάγραμμα φάσης.

Το κύμα μας «ξέφυγε» προς τ’ αριστερά.

Κατά μήκος ενός γραμμικού ελαστικού μέσου διαδίδεται ένα αρμονικό κύμα, χωρίς απώλειες ενέργειας και στο διπλανό σχήμα φαίνεται η μορφή του μέσου, κάποια στιγμή που παίρνουμε ως t₀=0. Τη στιγμή αυτή, η κινητική ενέργεια μιας στοιχειώδους μάζας 2mg που βρίσκεται στη θέση x=1m, είναι 10^-5J.

i)  Να βρεθούν η συχνότητα, το μήκος κύματος και η ταχύτητα διάδοσης του κύματος.

ii) Να βρεθεί η εξίσωση του κύματος.

iii) Να σχεδιάστε ένα στιγμιότυπο του κύματος τη χρονική στιγμή t₁=1,5s.

iv) Να κάνετε τη γραφική παράσταση της φάσης της απομάκρυνσης ενός σημείου Β στη θέση x₁=-0,4m.

Θεωρείστε ότι π²≈10.

Απάντηση:

ή

Το κύμα μας «ξέφυγε» προς τ’ αριστερά.

	Το κύμα μας «ξέφυγε» προς τ’ αριστερά.

Σειρά για μια τρίτη εξίσωση κύματος!!!

Στο σχήμα δίνεται η μορφή ενός γραμμικού ελαστικού μέσου, κατά μήκος του οποίου διαδίδεται ένα αρμονικό κύμα, από τα αριστερά προς  τα δεξιά, τη χρονική στιγμή t₁=1s. Η περίοδος του κύματος είναι Τ=1s.

i) Να βρεθεί η εξίσωση της απομάκρυνσης του σημείου Β σε συνάρτηση με το χρόνο.

ii) Να βρεθεί η εξίσωση του κύματος.

iii) Να σχεδιαστεί ένα στιγμιότυπο του κύματος τη χρονική στιγμή t₁=3s, για το θετικό ημιάξονα x.

iv) Να βρεθούν στη περιοχή -1m ≤ x ≤ 4m τα σημεία, τα οποία τη στιγμή t₂=1,5s έχουν απομάκρυνση y=+0,2m.

Απάντηση:

ή

Σειρά για μια τρίτη εξίσωση κύματος!!!.

Μια άλλη εξίσωση κύματος.

Κατά μήκος ενός γραμμικού ελαστικού μέσου και από αριστερά προς τα δεξιά, διαδίδεται ένα αρμονικό κύμα. Θεωρώντας έναν άξονα x, με θετική κατεύθυνση προς τα δεξιά, το κύμα φτάνει τη στιγμή t_ο=0 σε σημείο Β στη θέση x_Β=0,5m. Το σημείο Β τη στιγμή που φτάνει το κύμα, ξεκινά την ταλάντωσή του προς τα πάνω (θετική φορά) και φτάνει σε ακραία θέση ταλάντωσης με απομάκρυνση 0,5m, περνώντας ξανά για πρώτη φορά από την αρχική του θέση τη στιγμή t₁=0,5s. Τη χρονική στιγμή t₂=0,75s το κύμα φτάνει σε ένα άλλο σημείο Γ στη θέση x_Γ=2m.

i)  Να γράψετε την εξίσωση του κύματος.

ii) Να σχεδιάστε ένα στιγμιότυπο του κύματος και για τον θετικό ημιάξονα x τη χρονική στιγμή t₃=2s.

iii) Να κάνετε τη γραφική παράσταση φ=φ(t) της φάσης του σημείου Γ σε συνάρτηση με το χρόνο.

iv) Να υπολογιστεί η κινητική ενέργεια ενός υλικού σημείου Δ μάζας 1mg το οποίο βρίσκεται στη θέση x=1m, τη στιγμή που το κύμα φτάνει στο σημείο Γ.

Απάντηση:

ή

Μια άλλη εξίσωση κύματος.

	Μια άλλη εξίσωση κύματος.

Μια εισαγωγή στην εξίσωση κύματος.

Κατά μήκος ενός γραμμικού ελαστικού μέσου και από αριστερά προς τα δεξιά, διαδίδεται ένα αρμονικό κύμα. Το κύμα φτάνει τη στιγμή t_ο=0 στην αρχή x=0  του άξονα, ενώ τη στιγμή t₁=2s σε σημείο Β στη θέση x_Β=3m. Το σημείο Β τη στιγμή που φτάνει το κύμα, ξεκινά την ταλάντωσή του προς τα πάνω (θετική φορά) και φτάνει σε ακραία θέση ταλάντωσης με απομάκρυνση 0,5m, μετά από χρόνο 0,25s.

i)  Να γράψετε την εξίσωση του κύματος.

ii) Να σχεδιάστε ένα στιγμιότυπο του κύματος και για τον θετικό ημιάξονα x τη χρονική στιγμή t₂=3,5s.

iii) Να κάνετε τις γραφικές παραστάσεις σε συνάρτηση με το χρόνο:

 α) της απομάκρυνσης και β) της ταχύτητας

 του σημείου Β.

iv) Αν στο σημείο Β βρίσκεται ένα υλικό σημείο μάζας 1mg, να βρείτε τη δύναμη που δέχεται από τα διπλανά του υλικά σημεία, τις χρονικές στιγμές:

α) t₃=1,5s  και  β) t₄=2,125s.

Απάντηση:

ή

Μια εισαγωγή στην εξίσωση κύματος.