Θα αδειάσει το δοχείο;

Σε ένα τρίποδο σε ύψος h₁=1,2m από το έδαφος, έχουμε στερεώσει ένα δοχείο το οποίο είναι αεροσταγώς κλεισμένο και το οποίο περιέχει νερό μέχρι ύψος h=0,8m. Το δοχείο, κυλινδρικού σχήματος, έχει εμβαδόν βάσεως 0,3m² και ύψος α=1m. Αν ανοίξουμε μια μικρή τρύπα, κοντά στη βάση του δοχείου, το νερό πετάγεται, φτάνοντας σε οριζόντια απόσταση x=12m, ενώ σιγά- σιγά η φλέβα εξασθενεί και μετά από λίγο, το νερό σταματά να τρέχει.

 i)  Να βρεθεί η πίεση του αέρα πάνω από την επιφάνεια του νερού, τη στιγμή που αρχίζει η εκροή του νερού.

ii) Να ερμηνευτεί γιατί το νερό θα φτάνει στη συνέχεια όλο και σε μικρότερη οριζόντια απόσταση στο έδαφος.

iii) Να υπολογιστεί η πίεση του αέρα μέσα στο δοχείο, όταν σταματήσει η εκροή του νερού.

iv) Τελικά πόσος όγκος νερού βγήκε από  την τρύπα που ανοίξαμε;

Το νερό να θεωρηθεί ιδανικό ρευστό, με πυκνότητα ρ=1.000kg/m³, η ατμοσφαιρική πίεση είναι ίση με p_ατ=10⁵Ν/m², ενώ η θερμοκρασία στη διάρκεια του πειράματος παραμένει σταθερή. Εξάλλου η επιτάχυνση της βαρύτητας είναι g=10m/s².

Απάντηση:

ή

  Θα αδειάσει το δοχείο;

 Θα αδειάσει το δοχείο;

 

Ανεβάζοντας το επίπεδο αφαίρεσης.

Ένα σώμα μάζας 1kg, ηρεμεί στο κάτω άκρο κατακόρυφου ελατηρίου σταθεράς k=30Ν/m. Κάποια  στιγμή (t=0) ασκείται στο σώμα μια κατακόρυφη μεταβλητή δύναμης, της μορφής F=-10s+8 (S.Ι.), όπου s η μετατόπιση από την αρχική θέση ισορροπίας του σώματος.

i)  Να αποδείξτε ότι το σώμα θα εκτελέσει ΑΑΤ, υπολογίζοντας το πλάτος και την ενέργεια ταλάντωσης.

ii) Τη χρονική στιγμή t₁=16/3 s η δύναμη F παύει να ασκείται. Να βρείτε το πλάτος και την ενέργεια της νέας ταλάντωσης του σώματος.

Δίνεται g=10m/s².

Απάντηση:

ή

 Ανεβάζοντας το επίπεδο αφαίρεσης.

Ένα τμήμα ενός δικτύου ύδρευσης.

Στο σχήμα φαίνεται ένα τμήμα ενός δικτύου ύδρευσης με μια μόνιμη και στρωτή ροή, σταθερής παροχής 3,5L/s. Το νερό πυκνότητας ρ=1.000kg/m³ θεωρείται ιδανικό ρευστό και τα δυο οριζόντια και σταθερής διατομής τμήματα του σωλήνα, απέχουν κατακόρυφη απόσταση h=0,5m. Οι οριζόντιοι σωλήνες έχουν διατομές Α₁=70cm² και Α₂=10cm², ενώ δύο λεπτοί κατακόρυφοι σωλήνες, έχουν συγκολληθεί σε αυτούς, με αποτέλεσμα το νερό να ανέρχεται στο εσωτερικό τους κατά h₁=80cm και h₂ αντίστοιχα.

i) Να υπολογιστούν οι ταχύτητες ροής στους δυο οριζόντιους σωλήνες.

ii) Να υπολογιστεί η τιμή της πίεσης στα σημεία Κ και Λ.

iii) Για ένα σωματίδιο ρευστού Χ, μάζας 0,2kg, να υπολογιστεί η μεταβολή της κινητικής και η αντίστοιχη μεταβολή της δυναμικής του ενέργειας, μεταξύ των σημείων Κ και Μ.

iv) Να υπολογιστεί το έργο που παρήγαγε η υπόλοιπη μάζα  του νερού, επί του σωματιδίου Χ, μεταξύ των παραπάνω θέσεων.

v) Να βρεθεί το ύψος h₂ στο το οποίο έχει ανέβει το νερό στον δεύτερο κατακόρυφο σωλήνα.

Δίνεται g=10m/s² και p_ατ=10⁵Ν/m².

Απάντηση:

ή

 Ένα τμήμα ενός δικτύου ύδρευσης.

Δυο ταλαντώσεις με δύο κατακόρυφα ελατήρια.

Ένα σώμα μάζας 1kg, ηρεμεί στο κάτω άκρο κατακόρυφου ελατηρίου σταθεράς k₁=30Ν/m, απέχοντας απόσταση h=0,8m από το άνω άκρο ενός δεύτερου κατακόρυφου ελατηρίου σταθεράς k₂=10Ν/m. Οι άξονες των δύο ελατηρίων ταυτίζονται. Τραβάμε το κάτω ελατήριο και δένουμε το άκρο του με το σώμα και σε μια στιγμή (t=0) αφήνουμε το σώμα ελεύθερο να κινηθεί.

                                                 

i)  Να αποδείξτε ότι το σώμα θα εκτελέσει ΑΑΤ, υπολογίζοντας το πλάτος και την ενέργεια ταλάντωσης.

ii) Τη χρονική στιγμή t₁=16/3 s το κάτω ελατήριο λύνεται. Να βρείτε το πλάτος και την ενέργεια της νέας ταλάντωσης του σώματος.

Δίνεται g=10m/s².

Απάντηση:

ή

  Δυο ταλαντώσεις με δύο κατακόρυφα ελατήρια.

   Δυο ταλαντώσεις με δύο κατακόρυφα ελατήρια.

Μια μόνιμη ροή και οι πιέσεις.

Στο διπλανό σχήμα έχουμε μια μόνιμη και στρωτή ροή νερού (το οποίο θεωρούμε ιδανικό ρευστό) εντός ενός οριζόντιου σωλήνα σταθερής διατομής Α=40cm². Η παροχή του σωλήνα είναι ίση με 8L/s. Στη θέση Α έχει συνδεθεί ο κατακόρυφος λεπτός σωλήνας, στον οποίο το νερό ανέρχεται κατά h₁=2m.

i)  Να υπολογιστεί η ταχύτητα του νερού στα σημεία Α και Β, καθώς και οι αντίστοιχες πιέσεις.

Παρεμβάλλουμε έναν δεύτερο σωλήνα στη θέση Β, όπως στο διπλανό σχήμα. Αν η ροή εξακολουθεί να είναι στρωτή και μόνιμη, με την ίδια παροχή:

ii) Πόση θα είναι η ταχύτητα του νερού στο σημείο Β και ποια η τιμή της πίεσης στο Β;

iii) Σε πόσο ύψος θα ανέβει το νερό στον δεύτερο σωλήνα;

Δίνεται η πυκνότητα του νερού ρ=1.000Ν/m² και g=10m/s².

Απάντηση:

ή

	Μια μόνιμη ροή και οι πιέσεις.

Η παροχή και η συνέχεια σε ένα σωλήνα.

Στο παρακάτω σχήμα εμφανίζεται ένα τμήμα ενός οριζόντιου σωλήνα, εντός του οποίου έχουμε μια στρωτή ροή ενός ιδανικού ρευστού, σταθερής παροχής.

 

i) Για τις ταχύτητες ροής στα σημεία Α, Β και Γ ισχύει:

α) υ_Α=υ_Β=υ_Γ,   β)  υ_Α> υ_Β> υ_Γ,   γ) υ_Α< υ_Β= υ_Γ.

ii) Ένα σωμάτιο  ρευστού κατά την κίνησή του από το σημείο Β στο σημείο Γ επιταχύνεται ή όχι;

iii) Για να μπορεί να υπάρχει η ροή αυτή, θα πρέπει p_Α=p_Γ.

iv) Αν για τις δυο διατομές Α₁ και Α₂ του σχήματος ισχύει ότι Α₁=20Α₂ και η ταχύτητα ροής στο σημείο Β είναι υ_Β=2m/s, να βρεθεί η ταχύτητα του υγρού στο σημείο Α.

v) Ένα σωμάτιο ρευστού στη θέση Ο επιταχύνεται ή όχι; Αν ναι πού οφείλεται η επιτάχυνσή του;

Να δικαιολογήσετε όλες τις απαντήσεις σας.

Απάντηση:

ή

  Η παροχή και η συνέχεια σε ένα σωλήνα.

Ταλαντώσεις με άσκηση παροδικής δύναμης.

Ένα σώμα μάζας m=1kg ηρεμεί στο κάτω άκρο ενός κατακόρυφου ιδανικού ελατηρίου σταθεράς k=40Ν/m². Σε μια στιγμή, έστω t=0, δέχεται την επίδραση μιας σταθερής κατακόρυφης δύναμης μέτρου F=20Ν, μέχρι τη στιγμή t₁=1,75s, όπου η δύναμη παύει να ασκείται.

i)  Να αποδείξετε ότι  στο παραπάνω χρονικό διάστημα 0-t­₁, το σώμα εκτελεί ΑΑΤ, υπολογίζοντας το πλάτος και την ενέργεια ταλάντωσης.

ii) Να βρεθεί η ταχύτητα του σώματος τη στιγμή t₁.

iii) Να υπολογίσετε το έργο της ασκούμενης δύναμης F.

iv) Να βρεθεί το πλάτος και η ενέργεια ταλάντωσης του σώματος, μετά την κατάργηση της δύναμης F.

Δίνεται g=10m/s² και π²≈10.

Απάντηση:

ή

	Ταλαντώσεις με άσκηση παροδικής δύναμης.
	Ταλαντώσεις με άσκηση παροδικής δύναμης.

Τρεις παροχές από έναν σωλήνα.

Το παρακάτω σχήμα, δείχνει ένα τμήμα ενός οριζόντιου συστήματος ύδρευσης που καταλήγει σε τρεις σωλήνες, από τους οποίους το νερό εκρέει με την ίδια ταχύτητα υ=0,4m/s. Το νερό θεωρείται ιδανικό ρευστό και η ροή μόνιμη και στρωτή, σε όλο το μήκος της σωληνώσεως.

Ο σωλήνας 1 έχει διατομή Α₁=2cm². Από τον σωλήνα 2 εξέρχονται 2L νερού σε 100s, ενώ  η παροχή του σωλήνα 3, είναι ίση με το άθροισμα των παροχών των  δύο άλλων σωλήνων.

i) Να βρεθούν οι παροχές των τριών σωλήνων.

ii) Να υπολογιστούν τα εμβαδά διατομής των δύο άλλων σωλήνων.

iii) Να βρεθεί η πίεση του νερού στα σημεία Γ και Β, αν η εγκάρσια διατομή του σωλήνα στο σημείο Β είναι 10cm².

iv) Για τις τιμές της πίεσης στα σημεία Α και Β ισχύει:

α) p_A< p_Β,    β) p_A= p_Β,   γ) p_A> p_Β.

Να δικαιολογήστε την απάντησή σας.

Δίνεται η  ατμοσφαιρική πίεση p_ατ=1αtm=10⁵Ν/m² και η πυκνότητα του νερού ρ=1.000kg/m³.

Απάντηση:

ή

 Τρεις παροχές από έναν σωλήνα.