Εξισώσεις πάνω σε ένα κύμα

 

Ένα αρμονικό κύμα διαδίδεται χωρίς απώλειες κατά μήκος ενός γραμμικού ελαστικού μέσου και τη στιγμή t0=0 φτάνει στην αρχή του άξονα Ο. Το σημείο Ο φτάνει σε θέση πλάτους, για πρώτη φορά, με απομάκρυνση y=+0,2m τη στιγμή t1=0,25s, ενώ τη στιγμή αυτή, το κύμα φτάνει σε σημείο Β στη θέση x1=0,5m.

i)  Να υπολογιστούν η περίοδος, το πλάτος και το μήκος του κύματος, καθώς και η ταχύτητα του κύματος.

ii) Να γραφεί η εξίσωση του κύματος.

iii) Να υπολογιστούν η ταχύτητα και η επιτάχυνση του σημείου Β τη χρονική στιγμή t2=2,75s.

iv) Να παρασταθεί γραφικά η ταχύτητα του σημείου Β, σε συνάρτηση με το χρόνο από 0-t2.

v) Να δοθεί το στιγμιότυπο του κύματος  για μια περιοχή του μέσου με  0 ≤ x ≤ 4m, τη στιγμή t2.

Απάντηση:

ή

Εξισώσεις πάνω σε ένα κύμα

Εξισώσεις πάνω σε ένα κύμα

Εξισώσεις πάνω σε ένα κύμα

Μια μόνο στιγμή σε μια εξαναγκασμένη ταλάντωση

 

Ένα σώμα μάζας 2kg ταλαντώνεται στο άκρο οριζόντιου ιδανικού ελατηρίου, σταθεράς k=100Ν/m, σε λείο οριζόντιο επίπεδο με εξίσωση απομάκρυνσης x=0,5∙ημ(4t)  (μονάδες στο S.Ι.) με την επίδραση μιας περιοδικής δύναμης F, ενώ δέχεται και δύναμη απόσβεσης της μορφής Fα=-0,5υ (S.Ι.).  Σε μια στιγμή t1, το σώμα έχει ταχύτητα υ1=-1,2m/s, με την προς τα δεξιά κατεύθυνση θετική. Για τη στιγμή αυτή t1, ζητούνται:

i)  Η απομάκρυνση και η επιτάχυνση του σώματος.

ii)  Οι (αλγεβρικές) τιμές των οριζοντίων δυνάμεων που ασκούνται σώμα (δεν μας απασχολούν για την κίνηση αυτή, βάρος και κάθετη αντίδραση του επιπέδου).

iii) Οι ρυθμοί μεταβολής κινητικής και δυναμικής ενέργειας του σώματος.

iv) Η ισχύς κάθε δύναμης που ασκείται στο σώμα.

Απάντηση:

ή

Μια μόνο στιγμή σε μια εξαναγκασμένη ταλάντωση

Μια μόνο στιγμή σε μια εξαναγκασμένη ταλάντωση

Μια μόνο στιγμή σε μια εξαναγκασμένη ταλάντωση

Δυο σώματα στο άκρο νήματος ταλαντώνονται.

 

Δύο σώματα Α και Β με μάζες m1=1kg και m2=3kg ηρεμούν σε λείο οριζόντιο επίπεδο, δεμένα στο άκρο μη εκτατού νήματος μήκους l1, ενώ το σώμα Α είναι δεμένο και στο άκρο ιδανικού ελατηρίου σταθεράς k=40Ν/m. Ασκώντας κατάλληλη οριζόντια δύναμη στο σώμα Β, επιμηκύνουμε το ελατήριο κατά d=(2/π) m, όπως στο δεύτερο σχήμα και τη στιγμή t=0 το αφήνουμε να κινηθεί, οπότε το σύστημα των  δύο σωμάτων, κινούμενο σαν ένα σώμα, εκτελεί αατ με σταθερά επαναφοράς D=k.

i)  Να υπολογιστεί το αρχικό μέτρο της τάσης  του νήματος, μόλις αφεθεί το σώμα Β να κινηθεί.

ii) Να βρεθεί η τάση του νήματος και η ταχύτητα των δύο σωμάτων τη χρονική στιγμή t1=0,5s.

iii) Αν τα δύο σώματα συγκρούονται κεντρικά και ελαστικά τη χρονική στιγμή t2=0,75s, να βρεθούν:

α)  το μήκος του νήματος που συνδέει τα δύο σώματα.

β) Οι ταχύτητες των δύο σωμάτων, αμέσως μετά την κρούση.

Δίνεται (1/π)=0,3 και π2=10.

Απάντηση:

ή

Δυο σώματα στο άκρο νήματος ταλαντώνονται.

Δυο σώματα στο άκρο νήματος ταλαντώνονται.

Μια Κρούση και δύο Ταλαντώσεις

 

Ένα σώμα Σ μάζας Μ=1kg ηρεμεί στο κάτω άκρο ενός ιδανικού κατακόρυφου ελατηρίου, το οποίο έχει επιμηκύνει κατά 0,1m, όπως στο πρώτο σχήμα. Μετακινούμε το σώμα κατακόρυφα προς τα πάνω, μέχρι να προκαλέσουμε συσπείρωση (από το φυσικό μήκος του) του ελατηρίου κατά 0,3m και τη στιγμή t=0, το αφήνουμε να εκτελέσει αατ με D=k.

Θεωρούμε την προς τα πάνω κατεύθυνση ως θετική και την επιτάχυνση της βαρύτητας g=10m/s2:

i)  Να υπολογισθεί η αρχική επιτάχυνση του σώματος Σ, μόλις αφεθεί να ταλαντωθεί.

ii) Να βρεθούν οι εξισώσεις της απομάκρυνσης  y=y(t) και της ταχύτητας υ=υ(t) του σώματος σε συνάρτηση με το χρόνο.

iii) Πόση είναι η μέγιστη επιμήκυνση του ελατηρίου και ποια χρονική στιγμή t1 η επιμήκυνση γίνεται μέγιστη  για πρώτη φορά;

iv)Τη χρονική στιγμή t2=(13π/60)s    το σώμα Σ συγκρούεται κεντρικά και ελαστικά με μια σφαίρα μάζας m=0,4kg η οποία κινείται κατακόρυφα προς τα πάνω και η οποία ελάχιστα πριν την κρούση έχει ταχύτητα υ2=1,5m/s.

α) Να βρεθεί η εξίσωση y΄=y΄(t) για την απομάκρυνση του σώματος Σ από την θέση ισορροπίας του για την νέα ταλάντωση που θα ακολουθήσει, σε συνάρτηση με το χρόνο.

β) Ποια η μεταβολή της ορμής της σφαίρας, η οποία οφείλεται στην κρούση.

Απάντηση:

ή

Μια Κρούση και δύο Ταλαντώσεις

Μια Κρούση και δύο Ταλαντώσεις

Μια Κρούση και δύο Ταλαντώσεις

  

Δύο σώματα Α και Β με μάζες m1=1kg και m2=4kg αντίστοιχα, τα οποία θεωρούμε υλικά σημεία αμελητέων διαστάσεων, ηρεμούν σε λείο οριζόντιο επίπεδο, δεμένα στα άκρα δύο όμοιων ιδανικών ελατηρίων, όπως στο σχήμα, όπου το φυσικό μήκος κάθε ελατηρίου είναι 1m, ενώ το μήκος του νήματος που συνδέει τα δύο σώματα είναι z=0,4m. Σε μια στιγμή t=0 κόβουμε το νήμα που συνδέει τα δύο σώματα, οπότε κάθε σώμα εκτελεί μια αατ και στο διπλανό διάγραμμα δίνεται η απομάκρυνση του σώματος Α, από την θέση ισορροπίας  του, σε συνάρτηση με το χρόνο.

i)  Να υπολογιστεί η σταθερά των ελατηρίων, καθώς και η τάση του νήματος, πριν κοπεί το νήμα.

ii) Να κάνετε το αντίστοιχο διάγραμμα x2=f(t) της απομάκρυνσης του σώματος Β, από την δική του θέση ισορροπίας, σε συνάρτηση με το χρόνο.

iii) Να υπολογιστεί η απόσταση μεταξύ των δύο σωμάτων, τη στιγμή που το αριστερό ελατήριο έχει το ελάχιστο μήκος του, για πρώτη φορά.

iv) Παίρνουμε έναν  οριζόντιο προσανατολισμένο άξονα x΄x με αρχή το σημείο Ο του σχήματος (το σημείο πρόσδεσης του αριστερού ελατηρίου). Να βρεθεί η θέση x΄=f(t) κάθε σώματος, στον άξονα αυτό, σε συνάρτηση με το χρόνο και να γίνουν, σε κοινούς άξονες, οι γραφικές παραστάσεις των δύο θέσεων.

Απάντηση:

ή

Ας μελετήσουμε τις ταλαντώσεις δύο σωμάτων

Ας μελετήσουμε τις ταλαντώσεις δύο σωμάτων

Ας μελετήσουμε τις ταλαντώσεις δύο σωμάτων

Οι επιταχύνσεις με ή χωρίς ολίσθηση.

 

Ένα σώμα Σ1 ηρεμεί σε λείο οριζόντιο επίπεδο δεμένο στο άκρο ιδανικού ελατηρίου σταθεράς k, με  φυσικό μήκος l0. Εκτρέπουμε το σώμα προς τα δεξιά κατά d και αφήνοντάς το να κινηθεί, παρατηρούμε ότι η μέγιστη επιτάχυνση που αποκτά, έχει μέτρο α0.

i)   Επαναλαμβάνουμε την ίδια διαδικασία, αλλά τώρα τοποθετούμε πάνω στο σώμα Σ1, ένα δεύτερο σώμα Σ2, όπως στο μεσαίο σχήμα και παρατηρούμε ότι για την ίδια αρχική απομάκρυνση d, οριακά δεν υπάρχει ολίσθηση και τα δυο σώματα κινούνται μαζί. Η μέγιστη επιτάχυνση που αποκτά τώρα το σώμα Σ1 έχει μέτρο:

α) α1 < α0,     β) α1 = α0,    γ) α1 > α0.

ii) Αυξάνουμε την αρχική απομάκρυνση σε d1= 4d/3 και αφήνουμε το σύστημα των σωμάτων να κινηθεί. Αν ο συντελεστής οριακής στατικής τριβής μεταξύ των δύο σωμάτων είναι ίσος με τον συντελεστή τριβής ολίσθησης, ενώ m1=2m2, τότε:

a) Η αρχική επιτάχυνση του σώματος Σ2 έχει μέτρο:

α) α2 < α0,  β) α2 = α0,    γ) α2  > α0.

b)  Η αρχική επιτάχυνση που αποκτά το σώμα Σ1 έχει μέτρο:

α) α΄1 < α0,   β) α΄1  = α0,    γ) α΄1  > α0.

iii) Να εξηγήσετε γιατί στην τελευταία περίπτωση, τελικά το σύστημα θα εκτελέσει μια ΑΑΤ με ενέργεια ταλάντωσης μικρότερη από 

Απάντηση:

ή

Οι επιταχύνσεις με ή χωρίς ολίσθηση.

Οι επιταχύνσεις με ή χωρίς ολίσθηση.

Δύο σώματα και ένα σύστημα ταλαντώνονται

  

Τα δύο σώματα Σ1 και Σ2 με μάζες m1=1kg και m2=3kg αντίστοιχα, ηρεμούν σε λείο οριζόντιο επίπεδο, δεμένα στα άκρα δύο ιδανικών οριζοντίων ελατηρίων με σταθερές k1=150Ν/m και k2=250Ν/m, ενώ συνδέονται με αβαρές μη ελαστικό νήμα, όπως στο σχήμα. Στη θέση αυτή το ελατήριο σταθεράς k1  έχει επιμήκυνση Δl1=0,4m.

i)  Να υπολογισθεί η τάση  του νήματος που συνδέει τα δύο σώματα, καθώς και η παραμόρφωση του δεύτερου ελατηρίου σταθεράς k2.

ii) Εκτρέπουμε το σύστημα προς τα δεξιά κατά d=0,2m και το αφήνουμε να κινηθεί, τη χρονική στιγμή t=0. Θεωρώντας ότι τα δυο σώματα κινούνται μαζί, σαν ήταν ένα σώμα Σ μάζας Μ=4kg, να αποδείξετε ότι το σώμα Σ θα εκτελέσει αατ, για την οποία να βρείτε πλάτος και περίοδο ταλάντωσης.

iii) Θεωρώντας την προς τα δεξιά κατεύθυνση ως θετική, να δώσετε τις εξισώσεις της απομάκρυνσης και της ταχύτητας σε συνάρτηση με το χρόνο, για το σώμα Σ.

iv) Να βρεθεί η αλγεβρική τιμή της δύναμης Τ1 που το νήμα ασκεί στο σώμα Σ1 σε συνάρτηση με την απομάκρυνση του σώματος Σ1 από την θέση ισορροπίας του και σε συνάρτηση με το χρόνο. Στη συνέχεια να παρασταθούν γραφικά οι παραπάνω δύο συναρτήσεις.

Απάντηση:

ή

Δύο σώματα και ένα σύστημα ταλαντώνονται

Δύο σώματα και ένα σύστημα ταλαντώνονται

Με πληροφορίες από ένα διάγραμμα

 Ένα σώμα Α ηρεμεί στο κάτω άκρο ενός ιδανικού κατακόρυφου ελατηρίου, το πάνω άκρο του οποίου έχει δεθεί σε ταβάνι. Εκτρέπουμε το σώμα Α κατακόρυφα και το αφήνουμε να εκτελέσει μια ΑΑΤ. Σε μια στιγμή το σώμα Α  συγκρούεται μετωπικά με ένα δεύτερο σώμα Β, το οποίο κινείται κατακόρυφα προς τα πάνω, όπως στο σχήμα. Στο διπλανό διάγραμμα δίνεται το μήκος του ελατηρίου σε συνάρτηση με το χρόνο.

Αντλώντας πληροφορίες από το διάγραμμα, να απαντήσετε στα παρακάτω ερωτήματα, δίνοντας και σύντομες δικαιολογήσεις.

i) Η αρχική εκτροπή του σώματος Α ήταν προς τα πάνω ή προς τα κάτω; 

ii) Ποιο είναι το φυσικό μήκος του ελατηρίου με δεδομένο ότι η αρχική επιτάχυνση του σώματος Α, μόλις αφεθεί να κινηθεί, έχει μέτρο α=g, όπου g η επιτάχυνση της βαρύτητας;

iii) Ποιο είναι το πλάτος ταλάντωσης του σώματος Α, πριν την κρούση;

iv) Προς τα πού κινείται το σώμα Α τη στιγμή της κρούσης, προς τα πάνω ή προς τα κάτω;

v)  Η κρούση μεταξύ των δύο σωμάτων είναι πλαστική ή όχι;

vi)  Αν το σώμα Α έχει μάζα m1=0,6kg, να υπολογιστούν:

α) Η σταθερά k του ελατηρίου

β) Η μάζα του Β σώματος.

γ) Οι ταχύτητες των δύο σωμάτων, ελάχιστα πριν την κρούση.

Δίνεται g=10m/s2, ενώ τα δυο σώματα θεωρούνται υλικά σημεία, αμελητέων διαστάσεων.

Απάντηση:

ή

Με πληροφορίες από ένα διάγραμμα

Με πληροφορίες από ένα διάγραμμα