Οι επιταχύνσεις με ή χωρίς ολίσθηση.

 

Ένα σώμα Σ1 ηρεμεί σε λείο οριζόντιο επίπεδο δεμένο στο άκρο ιδανικού ελατηρίου σταθεράς k, με  φυσικό μήκος l0. Εκτρέπουμε το σώμα προς τα δεξιά κατά d και αφήνοντάς το να κινηθεί, παρατηρούμε ότι η μέγιστη επιτάχυνση που αποκτά, έχει μέτρο α0.

i)   Επαναλαμβάνουμε την ίδια διαδικασία, αλλά τώρα τοποθετούμε πάνω στο σώμα Σ1, ένα δεύτερο σώμα Σ2, όπως στο μεσαίο σχήμα και παρατηρούμε ότι για την ίδια αρχική απομάκρυνση d, οριακά δεν υπάρχει ολίσθηση και τα δυο σώματα κινούνται μαζί. Η μέγιστη επιτάχυνση που αποκτά τώρα το σώμα Σ1 έχει μέτρο:

α) α1 < α0,     β) α1 = α0,    γ) α1 > α0.

ii) Αυξάνουμε την αρχική απομάκρυνση σε d1= 4d/3 και αφήνουμε το σύστημα των σωμάτων να κινηθεί. Αν ο συντελεστής οριακής στατικής τριβής μεταξύ των δύο σωμάτων είναι ίσος με τον συντελεστή τριβής ολίσθησης, ενώ m1=2m2, τότε:

a) Η αρχική επιτάχυνση του σώματος Σ2 έχει μέτρο:

α) α2 < α0,  β) α2 = α0,    γ) α2  > α0.

b)  Η αρχική επιτάχυνση που αποκτά το σώμα Σ1 έχει μέτρο:

α) α΄1 < α0,   β) α΄1  = α0,    γ) α΄1  > α0.

iii) Να εξηγήσετε γιατί στην τελευταία περίπτωση, τελικά το σύστημα θα εκτελέσει μια ΑΑΤ με ενέργεια ταλάντωσης μικρότερη από 

Απάντηση:

ή

Οι επιταχύνσεις με ή χωρίς ολίσθηση.

Οι επιταχύνσεις με ή χωρίς ολίσθηση.

Δύο σώματα και ένα σύστημα ταλαντώνονται

  

Τα δύο σώματα Σ1 και Σ2 με μάζες m1=1kg και m2=3kg αντίστοιχα, ηρεμούν σε λείο οριζόντιο επίπεδο, δεμένα στα άκρα δύο ιδανικών οριζοντίων ελατηρίων με σταθερές k1=150Ν/m και k2=250Ν/m, ενώ συνδέονται με αβαρές μη ελαστικό νήμα, όπως στο σχήμα. Στη θέση αυτή το ελατήριο σταθεράς k1  έχει επιμήκυνση Δl1=0,4m.

i)  Να υπολογισθεί η τάση  του νήματος που συνδέει τα δύο σώματα, καθώς και η παραμόρφωση του δεύτερου ελατηρίου σταθεράς k2.

ii) Εκτρέπουμε το σύστημα προς τα δεξιά κατά d=0,2m και το αφήνουμε να κινηθεί, τη χρονική στιγμή t=0. Θεωρώντας ότι τα δυο σώματα κινούνται μαζί, σαν ήταν ένα σώμα Σ μάζας Μ=4kg, να αποδείξετε ότι το σώμα Σ θα εκτελέσει αατ, για την οποία να βρείτε πλάτος και περίοδο ταλάντωσης.

iii) Θεωρώντας την προς τα δεξιά κατεύθυνση ως θετική, να δώσετε τις εξισώσεις της απομάκρυνσης και της ταχύτητας σε συνάρτηση με το χρόνο, για το σώμα Σ.

iv) Να βρεθεί η αλγεβρική τιμή της δύναμης Τ1 που το νήμα ασκεί στο σώμα Σ1 σε συνάρτηση με την απομάκρυνση του σώματος Σ1 από την θέση ισορροπίας του και σε συνάρτηση με το χρόνο. Στη συνέχεια να παρασταθούν γραφικά οι παραπάνω δύο συναρτήσεις.

Απάντηση:

ή

Δύο σώματα και ένα σύστημα ταλαντώνονται

Δύο σώματα και ένα σύστημα ταλαντώνονται

Με πληροφορίες από ένα διάγραμμα

 Ένα σώμα Α ηρεμεί στο κάτω άκρο ενός ιδανικού κατακόρυφου ελατηρίου, το πάνω άκρο του οποίου έχει δεθεί σε ταβάνι. Εκτρέπουμε το σώμα Α κατακόρυφα και το αφήνουμε να εκτελέσει μια ΑΑΤ. Σε μια στιγμή το σώμα Α  συγκρούεται μετωπικά με ένα δεύτερο σώμα Β, το οποίο κινείται κατακόρυφα προς τα πάνω, όπως στο σχήμα. Στο διπλανό διάγραμμα δίνεται το μήκος του ελατηρίου σε συνάρτηση με το χρόνο.

Αντλώντας πληροφορίες από το διάγραμμα, να απαντήσετε στα παρακάτω ερωτήματα, δίνοντας και σύντομες δικαιολογήσεις.

i) Η αρχική εκτροπή του σώματος Α ήταν προς τα πάνω ή προς τα κάτω; 

ii) Ποιο είναι το φυσικό μήκος του ελατηρίου με δεδομένο ότι η αρχική επιτάχυνση του σώματος Α, μόλις αφεθεί να κινηθεί, έχει μέτρο α=g, όπου g η επιτάχυνση της βαρύτητας;

iii) Ποιο είναι το πλάτος ταλάντωσης του σώματος Α, πριν την κρούση;

iv) Προς τα πού κινείται το σώμα Α τη στιγμή της κρούσης, προς τα πάνω ή προς τα κάτω;

v)  Η κρούση μεταξύ των δύο σωμάτων είναι πλαστική ή όχι;

vi)  Αν το σώμα Α έχει μάζα m1=0,6kg, να υπολογιστούν:

α) Η σταθερά k του ελατηρίου

β) Η μάζα του Β σώματος.

γ) Οι ταχύτητες των δύο σωμάτων, ελάχιστα πριν την κρούση.

Δίνεται g=10m/s2, ενώ τα δυο σώματα θεωρούνται υλικά σημεία, αμελητέων διαστάσεων.

Απάντηση:

ή

Με πληροφορίες από ένα διάγραμμα

Με πληροφορίες από ένα διάγραμμα

 

Επιτάχυνση και δυναμική ενέργεια

 

Ένα σώμα ισορροπεί, όπως στο σχήμα, στο κάτω άκρο κατακόρυφου ιδανικού ελατηρίου, ενώ ταυτόχρονα συνδέεται με το έδαφος με νήμα η τάση του οποίου είναι ίση με το μισό του βάρους του σώματος. Σε μια στιγμή κόβουμε το νήμα, με αποτέλεσμα το σώμα να κινηθεί προς τα πάνω εκτελώντας μια κατακόρυφη αατ.

i)  Αν g η επιτάχυνση της βαρύτητας, τότε το μέγιστο μέτρο της επιτάχυνσης που αποκτά το σώμα είναι:

α) α < 0,5g,          β) α = 0,5g,         γ) α > 0,5g.

ii)  Αν U1 η μέγιστη δυναμική ενέργεια ταλάντωσης και U2 η αντίστοιχη μέγιστη δυναμική του ελατηρίου ισχύει:

α) U2 =U1,     β) U2 =3U1,     γ) U2 =6U1,     δ) U2 =9U1.

Να δικαιολογήσετε τις απαντήσεις σας.

Απάντηση:

ή

Επιτάχυνση και δυναμική ενέργεια

Επιτάχυνση και δυναμική ενέργεια

Δυο σώματα σε δύο επίπεδα

 

Δυο σώματα Α και Β με μάζας m1=1kg και m2=3kg αντίστοιχα, ηρεμούν σε οριζόντιο επίπεδο, στη διαχωριστική επιφάνεια, όπου αριστερά το επίπεδο είναι λείο, ενώ δεξιά όχι, όπως στο σχήμα. Το σώμα Α είναι δεμένο στο άκρο ενός ιδανικού ελατηρίου σταθεράς k, που έχει το φυσικό του μήκος. Εκτρέπουμε το σώμα Α προς τα αριστερά συμπιέζοντας το ελατήριο κατά Δl1=(1/π)m και για t=0 το αφήνουμε να κινηθεί. Tα δύο σώματα συγκρούονται κεντρικά και ελαστικά, τη χρονική στιγμή t1=0,25s, ενώ η κρούση είναι ακαριαία.
Δίνεται ότι τα δυο σώματα παρουσιάζουν με το μη λείο επίπεδο τον ίδιο συντελεστή τριβής ολίσθησης μ=0,5, η επιτάχυνση της βαρύτητας g=10m/s2 και  π2≈10.

i) Να υπολογιστεί η σταθερά του ελατηρίου.

ii) Ποιες οι ταχύτητες και οι επιταχύνσεις των δύο σωμάτων, αμέσως μετά την κρούση;

iii) Να εξετάσετε αν μετά την κρούση, το σώμα Α αποκτήσει κάποια στιγμή επιτάχυνση ίση με την επιτάχυνση του Β σώματος. Μήπως στη διάρκεια της κίνησής του στο λείο επίπεδο, αποκτήσει επιτάχυνση του ίδιου μέτρου με την επιτάχυνση του Β σώματος;

iv) Να βρεθεί η απόσταση μεταξύ των δύο σωμάτων, τη χρονική στιγμή t2=0,5s.

v) Να εξετάσετε αν τα δύο σώματα θα ξανασυγκρουστούν. Το συνολικό διάστημα που θα διανύσει το Α σώμα, μετά την κρούση, μέχρι να σταματήσει, είναι μεγαλύτερο ή μικρότερο από 4Α2, όπου Α2 το πλάτος ταλάντωσής του μετά την κρούση;

Απάντηση:

ή

Δυο σώματα σε δύο επίπεδα

Δυο σώματα σε δύο επίπεδα

 Τι σημαίνει ότι ένα νήμα είναι τεντωμένο; Ένα τεντωμένο νήμα ασκεί πάντα δύναμη στα άκρα του ή μπορεί η τάση του να είναι μηδενική;

Ας ξεκινήσουμε από κάτι πιο γνωστό. Ας πάρουμε ένα ιδανικό ελατήριο, όπως αυτό του σχήματος.

Αν το ελατήριο έχει το φυσικό μήκος του, δεν ασκεί κάποια δύναμη στο σώμα Σ, ή με άλλα λόγια η δύναμη του ελατηρίου είναι μηδενική.

Αν μετακινήσουμε το σώμα προς τα δεξιά, όπως στο κάτω σχήμα, τότε το ελατήριο επιμηκύνεται από την δύναμη F1 που δέχεται από το σώμα, οπότε το ελατήριο ασκεί στο σώμα Σ την αντίδρασή της, την δύναμη του ελατηρίου Fελ.

Συμπέρασμα; Μόνο ένα ελατήριο σε παραμόρφωση ασκεί δυνάμεις, στα σώματα με τα οποία συνδέεται.

Το ίδιο ισχύει αν αντί ελατήριο πάρουμε ένα λάστιχο, στο οποίο επίσης μπορούμε να μιλήσουμε για σταθερά k και με την ίδια λογική, μπορούμε να έχουμε το διπλανό σχήμα. Στο πάνω, το λάστιχο δεν έχει τεντωθεί (δεν έχει επιμηκυνθεί) οπότε δεν ασκεί δύναμη στο σώμα Σ. Στο κάτω σχήμα, έχουμε τεντώσει (επιμηκύνει) το λάστιχο κατά x και για να συμβεί αυτό, το σώμα Σ ασκεί στο λάστιχο την δύναμη F2, οπότε δέχεται από το λάστιχο την αντίδρασή της Fλ. Αν το λάστιχο είναι ελαστικό, μπορούμε να γράψουμε για το μέτρο της δύναμης αυτής, με βάση το νόμο του Ηοοke Fλ=kx, όπου k η σταθερά του λάστιχου.

Και αν αντί για λάστιχο έχουμε ένα πραγματικό ελαστικό νήμα; Η κατάσταση είναι απολύτως όμοια με το λάστιχο, με μόνη διαφορά ότι το νήμα έχει πολύ μεγαλύτερη σταθερά k, πράγμα που σημαίνει ότι αν τεντωθεί με κάποια δύναμη F3 θα έχουμε μια πολύ μικρή επιμήκυνση, που συνήθως δεν γίνεται καν αντιληπτή.

Στο πάνω σχήμα το σώμα Σ δεν ασκεί και δεν δέχεται δύναμη από το νήμα και ισορροπεί πάνω σε ένα λείο οριζόντιο επίπεδο.

Στο κάτω σχήμα ασκούμε μια δύναμη F3 στο σώμα Σ, με αποτέλεσμα το σώμα Σ να ασκεί μια δύναμη ίση στο νήμα, οπότε από την ισορροπία του σώματος προκύπτει ότι το νήμα ασκεί στο σώμα Σ την τάση Τ, μια δύναμη αντίθετη της F3.

Και το ερώτημα είναι: Στο πάνω σχήμα το νήμα δεν δέχεται και δεν ασκεί  δύναμη, σε αντίθεση με το κάτω σχήμα. Στο κάτω σχήμα, όλοι θα πούμε ότι το νήμα είναι τεντωμένο γι΄ αυτό ασκεί δύναμη στο σώμα Σ, την τάση του νήματος. Στο πάνω σχήμα το νήμα τι είναι; Δεν είναι τεντωμένο; Και αυτό πώς διατυπώνεται; Είναι ένα χαλαρό νήμα;

Διαβάστε τη συνέχεια...

Σε pdf  ΕΔΩ ή και ΕΔΩ.

Αλλά και σε Word.

Αλλάζοντας την τροχιά, κατά την περιφορά

  

Μια σφαίρα μάζας 2kg, την οποία θεωρούμε υλικό σημείο, βρίσκεται σε λείο οριζόντιο επίπεδο, δεμένη στο άκρο μη εκτατού νήματος, το οποίο αφού περάσει από ένα καρφάκι Κ, οδηγείται σε ένα κύλινδρο, στην επιφάνεια του του οποίου προσκολλάται. Ο κύλινδρος έχει ακτίνα r=0,4m και μπορεί να περιστρέφεται γύρω από σταθερό κατακόρυφο άξονα z, ο οποίος ταυτίζεται με τον άξονά του που συνδέει τα κέντρα των δύο βάσεών του. Η σφαίρα βρίσκεται στη θέση Α, απέχοντας κατά l0=2m από το Κ, ενώ πάνω της ασκείται μια σταθερού μέτρου δύναμη F1=2Ν, η οποία εξασφαλίζει το τέντωμα του νήματος.  Σε μια στιγμή t=0 εκτοξεύουμε οριζόντια τη σφαίρα με ταχύτητα υ0=0,9m/s, κάθετα στο νήμα όπως στο σχήμα (σε κάτοψη). Μετά από λίγο θέτουμε σε περιστροφή αριστερόστροφα τον κύλινδρο για χρονικό διάστημα 0,5s, μεταβάλλοντας την γωνιακή του ταχύτητα όπως στο διάγραμμα, οπότε την στιγμή t1 η σφαίρα φτάνει στην θέση Β, με ταχύτητα υ1 κάθετη επίσης στο νήμα, ενώ διαρκώς της ασκείται η δύναμη F1.

i)  Να υπολογισθεί η γωνία κατά την οποία περιστρέψαμε τον κύλινδρο, καθώς και το μήκος του νήματος που τυλίχθηκε γύρω του, στη διάρκεια της περιστροφής.

ii) Να βρεθεί το μέτρο της ταχύτητα υ1 καθώς και η τάση του νήματος στις θέσεις Α και Β.

iii) Γιατί στη διάρκεια της περιστροφής του κυλίνδρου, η σφαίρα είχε συνιστώσα ταχύτητας στη διεύθυνση του νήματος;

α) Να βρεθεί το μέγιστο μέτρο της συνιστώσας αυτής υR;

β) Να υπολογιστεί ο ρυθμός με τον οποίο μεταφέρει ενέργεια στη σφαίρα η δύναμη F1, τη στιγμή της μέγιστης υR.

Απάντηση:

ή

Αλλάζοντας την τροχιά, κατά την περιφορά

Αλλάζοντας την τροχιά, κατά την περιφορά

Η στροφορμή και η αλλαγή τροχιάς.

 

Μια μικρή σφαίρα μάζας m=0,4kg την οποία θεωρούμε υλικό σημείο αμελητέας ακτίνας, συγκρατείται στη θέση (A), δεμένη στο άκρο οριζόντιου μη εκτατού νήματος μήκους l=1m, το άλλο άκρο του οποίου είναι δεμένο σε σταθερό σημείο Ο. Σε μια στιγμή ασκούμε στη σφαίρα μια  δύναμη σταθερού μέτρου F=(20/π)Ν≈6,4Ν, κάθετη στο νήμα, με αποτέλεσμα να διαγράφει κατακόρυφο ημικύκλιο και μετά από λίγο να φτάνει στο αντιδιαμετρικό σημείο Β, όπως στο σχήμα.

i)  Να υπολογιστεί ο αρχικός ρυθμός μεταβολής της στροφορμής της σφαίρας, ως προς το κέντρο Ο της κυκλικής τροχιάς που διαγράφει. Ποιος ο αντίστοιχος ρυθμός τη στιγμή που το νήμα γίνεται κατακόρυφο;

ii) Να βρεθεί η στροφορμή της σφαίρας ως προς το Ο, καθώς και ο αντίστοιχος ρυθμός μεταβολής της στροφορμής της, τη στιγμή που η σφαίρα φτάνει στη θέση (Β).

iii) Στη θέση Β το νήμα έρχεται σε επαφή με ένα καρφί Κ στο μέσον του,  γύρω από το οποίο η σφαίρα ξεκινά μια νέα κυκλική τροχιά, κέντρου Κ και ακτίνας R=0,5m, ενώ ταυτόχρονα η δύναμη  F παύει να ασκείται.

α) Για την θέση Β, αμέσως μετά την κατάργηση της δύναμης, να βρεθεί η στροφορμή και ο αντίστοιχος ρυθμός μεταβολής της ως προς το κέντρο Κ, της νέας κυκλικής τροχιάς  στην οποία θα κινηθεί.

β) Ποια η μέγιστη κινητική ενέργεια που θα αποκτήσει στη συνέχεια η σφαίρα και ποιος ο ρυθμός μεταβολής της στροφορμής της ως προς το Κ, στη θέση μέγιστης κινητικής ενέργειας;

Δίνεται g=10m/s2.

Απάντηση:

ή

Η  στροφορμή και η αλλαγή τροχιάς.

Η  στροφορμή και η αλλαγή τροχιάς.