Το γέμισμα δύο δοχείων.

 

Θέλουμε να αντλήσουμε νερό από μια υπερυψωμένη δεξαμενή, μέσω ενός σωλήνα-λάστιχου και να γεμίσουμε δύο δοχεία, ίδιου όγκου. Αυτό μπορούμε να το κάνουμε, με τους τρόπους που περιγράφονται στο διπλανό σχήμα.

Για το Α δοχείο, χρησιμοποιούμε ένα κοντό λάστιχο, μετακινώντας το κάτω άκρο του, ώστε να βρίσκεται διαρκώς στην επιφάνεια του νερού στο δοχείο. Με τον τρόπο αυτό, για να γεμίσουμε το δοχείο απαιτείται χρόνος t₁= 50s.

Το δοχείο Β, το γεμίζουμε χρησιμοποιώντας ένα όμοιο αλλά μακρύτερο λάστιχο, προσέχοντας το άκρο του να ακουμπά συνεχώς στη βάση του δοχείου.

i)  Αν η ροή του νερού, θεωρηθεί ροή ιδανικού ρευστού, τότε για να γεμίσει το δοχείο Β, θα απαιτηθεί χρονικό διάστημα:

α) t₂=40s,  β)  t₂=50s,    γ) t₂=60s.

ii) Στην πραγματικότητα βέβαια το νερό δεν είναι ιδανικό ρευστό αλλά πραγματικό! Τότε για να γεμίσει το Β δοχείο θα απαιτηθεί χρονικό διάστημα:

α) t₂=40s,  β)  t₂=50s,    γ) t₂=60s.

Απάντηση:

ή

Το γέμισμα δύο δοχείων.

Προς τα πού θα στραφεί;

Μια λεπτή ομογενής ράβδος ΑΒ μάζας 2m μπορεί να στρέφεται γύρω από σταθερό οριζόντιο άξονα που περνά από το σημείο της Ρ, όπου (ΑΡ)= ¼ (ΑΒ), ενώ στα  δυο άκρα της κρέμονται μέσω νημάτων δύο σώματα. Το Σ₁ μάζας m και το Σ₂ μάζας 4m. Το σύστημα συγκρατείται ώστε η ράβδος να είναι οριζόντια. Σε μια στιγμή αφήνουμε ελεύθερο το σύστημα να κινηθεί.

Η ράβδος θα:

i) περιστραφεί δεξιόστροφα

ii) περιστραφεί αριστερόστροφα

iii) ισορροπήσει.

Απάντηση:

ή

Προς τα πού θα στραφεί;

Η επιτάχυνση του σημείου εφαρμογής

Σε λείο οριζόντιο επίπεδο ηρεμεί ένας λεπτός κυκλικός δίσκος, μάζας m, με το επίπεδό του οριζόντιο. Σε μια στιγμή ασκείται σε σημείο Α της περιφέρειάς του, μια δύναμη F, όπως στο σχήμα.

i) Το σημείο Α θα αποκτήσει επιτάχυνση, αμέσως μετά την άσκηση της δύναμης:

α) μέτρου F/m με διεύθυνση ίδια με τη δύναμη.

β) μέτρου μεγαλύτερου από F/m και διεύθυνση ίδια με τη διεύθυνση της δύναμης F.

γ) Τίποτα από τα παραπάνω.

ii) Η παραπάνω επιτάχυνση:

α) Είναι μόνο επιτρόχια (μεταβάλει το μέτρο της ταχύτητας)

β) Είναι μόνο κεντρομόλος (μεταβάλλει τη διεύθυνση της ταχύτητας)

γ) Έχει μια κεντρομόλο και μια επιτρόχια συνιστώσα.

Απάντηση

ή

Η επιτάχυνση του σημείου εφαρμογής

Άντληση νερού με λάστιχο

Διαθέτουμε μια πολύ μεγάλη δεξαμενή με νερό, από την οποία θα αντλήσουμε νερό, με χρήση ενός λάστιχου (σωλήνα) ΑΒ, το οποίο χρησιμοποιείται όπως στο σχήμα.

i) Η ταχύτητα εκροής στο άκρο Β του λάστιχου, εξαρτάται:

α) Από το ύψος Η=h₁.

β) Από το ύψος Η=h₁+h₂.

γ) Από το ύψος Η= h₁+h₂+h₃.

δ) Από το ύψος h₃, αρκεί να έχουμε εκροή.

ii) Η πίεση στον άξονα του λάστιχου έχει ελάχιστη τιμή:

α) p_min=p_ατμ,  β) p_min=p_ατμ+ρgh₂,  γ) p_min=p_ατμ-ρgh₁, δ) p_min=p_ατμ-ρg(h₁+h₂+h₃)

Να δικαιολογήσετε τις απαντήσεις σας.

Το νερό να θεωρηθεί ιδανικό ρευστό και το ύψος του νερού στη δεξαμενή σταθερό.

Απάντηση:

ή

Άντληση νερού με λάστιχο

Η δύναμη από το υγρό στις τάπες.

Διαθέτουμε μια μεγάλη κυλινδρική δεξαμενή νερού με βάθος Η=1,25m, στο κάτω μέρος της οποίας συνδέεται ένας οριζόντιος σωλήνας διατομής Α=2cm², ο οποίος κλείνεται με την τάπα 1. Στο σωλήνα αυτό έχει συνδεθεί ένας δεύτερος κατακόρυφος σωλήνας, ίδιας διατομής και ύψους h=2m, το πάνω μέρος του οποίου κλείνεται με την τάπα 2. Ο κατακόρυφος σωλήνας είναι γεμάτος με νερό.

i)  Να υπολογιστούν οι δυνάμεις που ασκεί το νερό στις δυο τάπες.

ii)  Ανοίγουμε την τάπα 1. στο άκρο του οριζόντιου σωλήνα και αποκαθίσταται  μια μόνιμη ροή. Να βρεθεί η παροχή του οριζόντιου σωλήνα.

iii) Να υπολογιστεί η δύναμη που ασκεί τώρα το νερό στην τάπα 2.

iv) Ανοίγουμε και την τάπα 2. Μόλις σταθεροποιηθεί ξανά η ροή, ποιο το ύψος του νερού στον κατακόρυφο σωλήνα;

Το νερό θεωρείται ιδανικό ρευστό πυκνότητας ρ=1.000kg/m³, ενώ σε όλη τη διάρκεια της ροής θεωρείται σταθερό το ύψος του νερού στη δεξαμενή. Δίνονται επίσης p_ατμ=10⁵Ν/m² και g=10m/s².

Απάντηση:

ή

Η δύναμη από το υγρό στις τάπες.

Μια βρύση και μια φλέβα.

Στο σχήμα δίνεται μια ανοικτή βρύση συνδεδεμένη στο δίκτυο ύδρευσης, από την οποία τρέχει νερό, με σταθερή παροχή. Μετράμε τη διάμετρο της φλέβας στην έξοδο της βρύσης και την βρίσκουμε  d₁=1,73cm, ενώ η φλέβα λεπταίνει και μόλις κατέβουμε κατά h=40cm, η διάμετρος γίνεται d₂=1cm.

i) Να βρεθεί η ταχύτητα με την οποία το νερό εγκαταλείπει τη βρύση.

ii) Σε πόσο χρόνο μπορούμε να γεμίσουμε ένα  δοχείο όγκου 9,4L από τη βρύση αυτή;

iii) Αν ο σωλήνας (κυλινδρικού σχήματος) που τροφοδοτεί τη βρύση έχει διάμετρο 2cm να υπολογιστεί η πίεση στο σημείο Β, στο ίδιο οριζόντιο επίπεδο με την έξοδο της βρύσης.

iv) Κλείνουμε τη βρύση. Ποια είναι τώρα η τιμή της πίεσης στο σημείο Β;

Το νερό να θεωρηθεί ιδανικό ρευστό πυκνότητας ρ=1.000kg/m³, p_ατμ=10⁵Ρα,  ενώ g=10m/s².

Απάντηση:

ή

Μια βρύση και μια φλέβα.

Μια κατακόρυφη τομή σωλήνα.

Στο σχήμα βλέπετε μια κατακόρυφη τομή ενός οριζόντιου σωλήνα σταθερής διατομής, εντός του οποίου έχουμε μια μόνιμη και στρωτή ροή ιδανικού ρευστού.

i) Για τις πιέσεις στα σημεία Α και Β της ίδιας οριζόντιας ρευματικής γραμμής ισχύει:

α)p_Α < p_Β,   β)  p_Α= p_Β,   γ) p_Α > p_Β.

ii) Για τις πιέσεις των σημείων Α και Γ στην ίδια κατακόρυφο ισχύει

α) p_Α < p_Γ,    β)  p_Α = p_Γ,    γ) p_Α > p_Γ.

iii) Αν το ρευστό δεν ήταν ιδανικό αλλά πραγματικό, ποια θα ήταν η σωστή απάντηση στο i) ερώτημα;

Να δικαιολογήσετε τις απαντήσεις σας.

  Απάντηση: 

 ή

	Μια κατακόρυφη τομή σωλήνα.

Μια οριζόντια τομή σωλήνα

Στο σχήμα βλέπετε μια οριζόντια τομή ενός κυλινδρικού οριζόντιου σωλήνα, σταθερής διατομής, εντός του οποίου έχουμε μια μόνιμη και στρωτή ροή ενός ιδανικού ρευστού.

i) Για τις πιέσεις στα σημεία Α και Δ ισχύει:

α) p_Α Δ ,    β) p_Α= p_Δ,    γ) p_Α> p_Δ,

ii) Για τις πιέσεις στα σημεία Γ και Β ισχύει:

α) p_Γ<p_Β,    β) p_Γ= p_Β,     γ) p_Γ> p_Β.

Να δικαιολογήσετε τις απαντήσεις σας.

Απάντηση:

ή

	Μια οριζόντια τομή σωλήνα

Πάμε να αυξήσουμε την παροχή

Ένα μεγάλο κυλινδρικό δοχείο περιέχει νερό σε βάθος h, ενώ κοντά στον πυθμένα του είναι συνδεδεμένος οριζόντιος σωλήνας διατομής Α=1cm², ο οποίος κλείνεται με τάπα. Ανοίγοντας την τάπα, μπορούμε να γεμίσουμε με νερό, ένα άδειο δοχείο όγκου 5L, σε χρονικό διάστημα 10s.

i) Να βρεθεί η ταχύτητα εκροής του νερού, από το άκρο του σωλήνα.

ii) Ποιο το βάθος h του νερού στο δοχείο;

iii)Θέλοντας να αυξήσουμε την παροχή, παρεμβάλουμε στο σωλήνα μια αντλία, όπως στο σχήμα, με αποτέλεσμα να γεμίζουμε ένα άδειο δοχείο όγκου 6L σε χρονικό διάστημα 10s:

 α) Πόση είναι τώρα η ταχύτητα εκροής του νερού;

 β) Να βρεθεί η ισχύς της αντλίας.

Το νερό να θεωρηθεί ιδανικό ρευστό, πυκνότητας 1.000kg/m³, οι παραπάνω ροές μόνιμες και στρωτές, στη διάρκεια των οποίων δεν μεταβάλλεται το ύψος του νερού στο δοχείο, ενώ g=10m/s².

Απάντηση:

ή

	Πάμε να αυξήσουμε την παροχή

Τρεις εκδοχές σε παρόμοια φαινόμενα.

Ένα μεγάλο κυλινδρικό δοχείο περιέχει νερό σε βάθος Η, ενώ κοντά στον πυθμένα του είναι συνδεδεμένος οριζόντιος σωλήνας Α. Στον σωλήνα αυτό έχει συνδεθεί δεύτερος κατακόρυφος σωλήνας Β.

Παρακάτω δίνονται τρεις εκδοχές, θεωρώντας το νερό ιδανικό ρευστό:

Εκδοχή 1^η :

Ο σωλήνας Α φράσσεται με τάπα, ενώ ο Β είναι ανοικτός.

i) Για το ύψος του νερού στο σωλήνα Β ισχύει:

α) h<Η,   β) h=Η,   γ) h>Η

ii) Ανοίγουμε την τάπα και αποκαθίσταται μόνιμη και στρωτή ροή. Για το νέο ύψος του νερού στο σωλήνα Β ισχύει:

α) h=Η,   β) h<Η,   γ) h=0

Εκδοχή 2^η :

Ο σωλήνας Α φράσσεται με τάπα, ενώ ο Β είναι κλειστός και γεμάτος με νερό μέχρι ύψος h=2m, ενώ h>Η.

i) Για την τιμή της πίεσης στο κάτω μέρος του σωλήνα Β, σημείο Κ ισχύει:

α) p_Κ=ρgh ,   β) p_Κ=ρgΗ,   γ) p_Κ=p_ατμ+ ρgh,  δ) p_Κ=p_ατμ+ ρgΗ

ii) Ανοίγουμε την τάπα και αποκαθίσταται μόνιμη και στρωτή ροή. Για το νέο ύψος του νερού στο σωλήνα Β ισχύει:

α) h₁ =h,   β) h₁ =Η,   γ) h₁ < Η,  δ) h₁=0.

Εκδοχή 3^η :

Ο σωλήνας Α φράσσεται με τάπα, ενώ ο Β είναι κλειστός έχοντας εγκλωβισμένη κάποια ποσότητα αέρα ενώ το νερό έχει ανέλθη κατά h=Η.

i) Για την τιμή της πίεσης στο κάτω μέρος του σωλήνα Β, σημείο Κ ισχύει:

α) p_Κ=ρgh ,   β) p_Κ=p_ατμ+ ρgh,  γ) p_Κ > p_ατμ+ ρgΗ

ii) Ανοίγουμε την τάπα και αποκαθίσταται μόνιμη και στρωτή ροή. Για το νέο ύψος του νερού στο σωλήνα Β ισχύει:

α) h₁ =h,   β) h₁ < Η,  γ) h₁=0.

Δίνονται p_ατμ=10⁵Ν/m², η πυκνότητα του νερού ρ=1.000kg/m³ και g=10m/s².

Απαντήσεις

ή

Τρεις εκδοχές σε παρόμοια φαινόμενα.

Ανοιγοκλείνουμε την τάπα και ο αέρας εγκλωβισμένος.

Στο σχήμα μια δεξαμενή περιέχει νερό σε ύψος Η=1,25m και κοντά στον πυθμένα της συνδέεται οριζόντιος σωλήνας, διατομής 0,4cm², το άκρο του οποίου έχουμε κλείσει με μια τάπα. Στον σωλήνα αυτόν, έχει προσαρμοσθεί ένας δεύτερος λεπτός κατακόρυφος σωλήνας, ύψους Η, κλειστός στο άνω άκρο του, εντός του οποίου το νερό έχει ανέβει κατά h=1m.

i) Πόση δύναμη δέχεται η τάπα από το νερό και ποια η πίεση του εγκλωβισμένου αέρα στον κατακόρυφο σωλήνα;

ii) Σε μια στιγμή βγάζουμε την τάπα και το νερό εκρέει από το άκρο Β του σωλήνα. Να βρεθεί η παροχή του σωλήνα.

iii) Να βρεθεί το ύψος που ανέρχεται το νερό στο κατακόρυφο σωλήνα, στη διάρκεια της παραπάνω ροής.

iv) Λυγίζουμε τον σωλήνα, ώστε να πάρει τη μορφή του σχήματος, όπου d=55cm. Ποιο το ύψος του νερού στον κατακόρυφο σωλήνα;

Θεωρούμε πολύ μεγάλη την ελεύθερη επιφάνεια του νερού στην δεξαμενή, το νερό ιδανικό ρευστό με πυκνότητα ρ=1.000kg/m³ και τη ροή μόνιμη (για το χρονικό διάστημα, που πραγματοποιούμε το πείραμα). Δίνονται ακόμη g=10m/s² και p_ατμ=10⁵Ρa, ενώ η θερμοκρασία του εγκλωβισμένου αέρα παραμένει σταθερή. Υπενθυμίζεται δε και ο νόμος του Boyle!!! Για μια ποσότητα αερίου σε σταθερή θερμοκρασία pV=σταθ.

Απάντηση:

ή

Ανοιγοκλείνουμε την τάπα και ο αέρας εγκλωβισμένος.

Η δεξαμενή και οι δύο παροχές.

Ένα μεγάλο ντεπόζιτο περιέχει νερό και στο κάτω μέρος του συνδέεται οριζόντιος σωλήνας διατομής Α, ο οποίος καταλήγει σε δυο μικρότερους σωλήνες (1) και (2), όπως στο σχήμα, με διατομές Α₁=Α₂= ½ Α . Το σημείο Κ, στον οριζόντιο σωλήνα, απέχει κατακόρυφη απόσταση Η από την ελεύθερη επιφάνεια του νερού, ενώ οι μικρότεροι σωλήνες στην έξοδο φράσσονται με τάπες, οι οποίες απέχουν κατακόρυφες αποστάσεις h, από το Κ.

i) Η πίεση στο σημείο Κ έχει τιμή p_Κ, όπου:

α) p_Κ=p_ατμ,    β) p_Κ=p_ατμ+ρgΗ,  γ) p_Κ=p_ατμ+ρgh,  δ) p_Κ=ρgΗ

όπου p_ατμ η ατμοσφαιρική πίεση, ρ η πυκνότητα του νερού και g η επιτάχυνση της βαρύτητας.

ii) Αν ανοίξουμε την τάπα (1) και αποκατασταθεί μια μόνιμη στρωτή ροή, για την πίεση p₁ στο Κ ισχύει:

α) p₁ < p_Κ,   β) p₁ = p_Κ,   γ) p₁ > p_Κ.

iii) Αν ανοίξουμε ταυτόχρονα και τις δύο τάπες, μόλις αποκατασταθεί μια μόνιμη στρωτή ροή, για την πίεση p₂ στο Κ ισχύει:

α) p₂ < p1,   β) p₂ = p₁,   γ) p₂ > p₁.

Θεωρούμε το νερό ιδανικό ρευστό και ότι κατά τις παραπάνω ροές, η επιφάνεια του νερού στο ντεπόζιτο παραμένει σταθερή.

Απάντηση

ή

	Η δεξαμενή και οι δύο παροχές.

Τρία έμβολα και οι πιέσεις.

Στο παραπάνω σχήμα, βλέπετε μια κατακόρυφη τομή ενός κυβικού δοχείου το οποίο είναι γεμάτο νερό, στο οποίο υπάρχουν τρία αβαρή έμβολα Α, Β και Γ σε ισορροπία. Τα εμβαδά των τριών εμβόλων είναι ίσα και το Β βρίσκεται στο μέσον της κατακόρυφης έδρας.

i) Για τα μέτρα των εξωτερικών δυνάμεων που ασκούνται στα έμβολα ισχύει:

α) F₁=F₂=F₃,   β) F₂ < F₁ <F₃,    γ) F₁ < F₂ <F₃.

ii) Αν F₁=4Ν, να βρεθούν τα μέτρα των άλλων δυνάμεων, αν τα έμβολα έχουν εμβαδά Α=2cm², ο κύβος πλευρά 2α=1m, η πυκνότητα του νερού ρ=1.000kg/m³ και g=10m/s².

Απάντηση:

ή

	Τρία έμβολα και οι πιέσεις.

Επιφανειακή συμβολή και φάση.

Στην επιφάνεια ενός υγρού υπάρχουν δύο πηγές εγκαρσίων κυμάτων Π₁ και Π₂, οι οποίες, κάποια στιγμή t₀=0, αρχίζουν να ταλαντώνονται ταυτόχρονα με εξισώσεις:

y₁=Α∙ημ(ωt) και y₂=Α∙ημ(ωt) 

Έτσι δημιουργούνται επιφανειακά κύματα, τα οποία θεωρούμε ότι διαδίδονται με σταθερά πλάτη και με μήκος κύματος λ=0,8m. Τα κύματα συμβάλουν σε ένα σημείο Ο, το οποίο ταλαντώνεται με πλάτος 0,1m και στο σχήμα δίνεται η φάση της απομάκρυνσής του, σε συνάρτηση με το χρόνο.

i)   Να υπολογιστεί η συχνότητα και η ταχύτητα των κυμάτων που δημιουργούνται.

ii)  Ποιο το πλάτος ταλάντωσης των πηγών και πόσο απέχει το σημείο Ο από τις πηγές των κυμάτων;

iii) Να βρεθεί η διαφορά φάσης μεταξύ της απομάκρυνσης του σημείου Ο και της πηγής Π₁ τη χρονική στιγμή t₁=3,25s.

iv)  Αν η απόσταση των  δύο πηγών είναι (Π₁Π₂)=d=0,6m, πόσα σημεία πάνω στο ευθύγραμμο τμήμα που ενώνει την πηγή Π₁ και το σημείο Ο, ταλαντώνονται με μέγιστο πλάτος;

Απάντηση:

ή

	Επιφανειακή συμβολή και φάση.

Η πρώτη και η δεύτερη κρούση.

Δυο σφαίρες Α και Β με ίσες ακτίνες και μάζες m₁=1kg και m₂=4kg, ηρεμούν σε λείο οριζόντιο επίπεδο απέχοντας ορισμένη απόσταση d. Η σφαίρα Α εφάπτεται στο άκρο οριζόντιου ιδανικού ελατηρίου, σταθεράς k=40Ν/m, χωρίς να είναι δεμένη σε αυτό. Ασκώντας κατάλληλη οριζόντια δύναμη στη σφαίρα Α την μετατοπίζουμε, συμπιέζοντας το ελατήριο κατά Δℓ=(2/π)m και κάποια στιγμή t₀=0, την αφήνουμε να κινηθεί. Η σφαίρα αφού εγκαταλείψει το ελατήριο συγκρούεται κεντρικά και ελαστικά τη στιγμή t₁=0,55 s με τη Β σφαίρα.

i)  Να υπολογιστούν οι ταχύτητες της Α σφαίρας πριν και μετά την κρούση.

ii) Να εξηγήσετε (ποιοτικά) γιατί θα υπάρξει και δεύτερη σύγκρουση μεταξύ των δύο σφαιρών.

iii) Θεωρώντας αμελητέα τη διάρκεια της κρούσης, πόση θα είναι η απόσταση των δύο σφαιρών τη στιγμή t₂=1,3 s;

 iv) Να βρεθούν οι ταχύτητες των σφαιρών μετά την δεύτερη μεταξύ τους κρούση.

Δίνεται π²≈10.

Απάντηση:

ή

	Η πρώτη και η δεύτερη κρούση.