Η ανύψωση μιας σανίδας.

 

Σε λείο οριζόντιο επίπεδο ηρεμεί μια λεπτή ομογενής σανίδα ΑΒ μήκους 2m και μάζας 3kg. Σε μια στιγμή t=0 στο άκρο Α τη δοκού, ασκούμε μια κατακόρυφη δύναμη, με φορά προς τα πάνω, σταθερού μέτρου F=20Ν. Μετά από λίγο τη στιγμή t₁, η σανίδα έχει ανασηκωθεί, όπως στο σχήμα, σχηματίζοντας με την οριζόντια διεύθυνση γωνία θ, όπου ημθ=0,6 και συνθ=0,8.
i)  Πόση ενέργεια μεταφέρθηκε στη σανίδα μέσω του έργου της δύναμης F, κατά το παραπάνω διάστημα;
ii) Να υπολογιστεί η ταχύτητα του κέντρου μάζας Ο και η γωνιακή ταχύτητα της σανίδας τη στιγμή t₁;
iii) Ποια η ισχύς της δύναμης F τη στιγμή t₁;
Δίνεται η ροπή αδράνειας μιας ομογενούς δοκού ως προς άξονα κάθετο που περνά από το μέσον της Ι_cm= Μℓ²/12, g=10m/s² .

Απάντηση:

ή

 Η ανύψωση μιας σανίδας.

 Η ανύψωση μιας σανίδας.

Η ελαστική κρούση και η ΑΔΟ

  

Η ομογενής ράβδος ΑΒ μήκους l=1m και μάζας Μ=3kg, μπορεί να στρέφεται γύρω από οριζόντιο άξονα ο οποίος περνά από το άκρο της Α και ισορροπεί σε κατακόρυφη θέση, όπως στο σχήμα.

i) Σε μια στιγμή ασκούμε στην ράβδο μια δύναμη F, κάθετη σε αυτήν στο σημείο Γ, όπου (ΑΓ)=x. Να βρεθεί η οριζόντια δύναμη που θα ασκηθεί στην ράβδο από τον άξονα περιστροφής, αμέσως μετά, σε συνάρτηση με το x και να την σχεδιάσετε στο σχήμα στις περιπτώσεις όπου:

α) x= l/3,   β) x= 2l/3  και γ) x=l.

ii) Μια σφαίρα μάζας m=1kg συγκρούεται ελαστικά με την ράβδο, στο άκρο της Β, έχοντας ελάχιστα πριν την κρούση, οριζόντια ταχύτητα μέτρου υ0=2m/s.

α) Σας λένε ότι κατά την κρούση αυτή, η ορμή του συστήματος δεν παραμένει σταθερή. Αφού εξηγήσετε γιατί ισχύει αυτό, μπορείτε να προβλέψετε αν συνολικά η ορμή θα αυξηθεί ή θα μειωθεί στη διάρκεια της κρούσης; Να δώσετε μια σύντομη δικαιολόγηση της πρόβλεψής σας.

β) Να βρείτε την γωνιακή ταχύτητα της ράβδου μετά την κρούση.

γ) Να υπολογίσετε την μεταβολή της ορμής του συστήματος που οφείλεται στην ελαστική κρούση μεταξύ σφαίρας και ράβδου.

iii) Επαναλαμβάνουμε την κρούση, αλλά τώρα η σφαίρα κτυπάει κάθετα την ράβδο σε ένα σημείο Δ, το οποίο απέχει κατά d= l/3 από το άκρο της Β. Να υπολογιστεί η μεταβολή της ορμής του συστήματος η οποία οφείλεται στην κρούση.

Δίνεται ότι ένα υλικό σημείο το οποίο κινείται με ταχύτητα υ, παρουσιάζει ως προς ένα τυχαίο σημείο Κ, στροφορμή μέτρου L=mυ∙d, όπου d η απόσταση του σημείου Κ από τον φορέα της ταχύτητας, με κατεύθυνση όπως στο σχήμα, ενώ  η ροπή αδράνειας της ράβδου ως προς το άκρο της Α, Ι= Μl2/3.

Απάντηση:

ή

 Η ελαστική κρούση και η ΑΔΟ

 Η ελαστική κρούση και η ΑΔΟ

Μια κρούση σφαίρας με στερεό

 

Στο σχήμα δίνεται ένα κατακόρυφο λείο τεταρτοκύκλιο, κέντρου Ο και ακτίνας R=1m. Μια ομογενής ράβδος μήκους l=1m μπορεί να στρέφεται χωρίς τριβές γύρω από οριζόντιο άξονα ο οποίος περνά από το Ο και ισορροπεί σε κατακόρυφη θέση, ενώ στο κάτω άκρο της έχει προσδεθεί σταθερά μια μικρή σφαίρα Σ₁, μάζας m₁=1kg (αμελητέων διαστάσεων). Στο σημείο Α του τεταρτοκυκλίου, όπου η ακτίνα ΟΑ σχηματίζει γωνία θ με την κατακόρυφη, όπου συνθ=0,2, αφήνουμε ελεύθερη μια σφαίρα Σ μάζας m=2kg να κινηθεί, οπότε μετά από λίγο φτάνοντας στην βάση του τεταρτοκυκλίου συγκρούεται μετωπικά με την σφαίρα Σ₁. Μετά την κρούση η σφαίρα Σ κινείται προς τα δεξιά με ταχύτητα μέτρου υ΄=1m/s.

i)  Να υπολογιστεί η ταχύτητα και η γωνιακή ταχύτητα της σφαίρας Σ ελάχιστα πριν την κρούση.

ii) Να υπολογιστεί η στροφορμή του στερεού s, που αποτελείται από την δοκό και τη σφαίρα Σ₁, αμέσως μετά την κρούση.

iii) Αν η ράβδος  έχει μάζα Μ=3kg:

α) να υπολογιστεί η απώλεια της μηχανικής ενέργειας που οφείλεται στην κρούση.

β) Ποια η μέγιστη γωνία εκτροπής της δοκού από την κατακόρυφη, μετά την κρούση;

Δίνεται η ροπή αδράνειας της δοκού ως προς τον άξονα περιστροφής της στο άκρο Ο,  Ι=  Μl²/3 και g=10m/s².

Απάντηση:

ή

  Μια κρούση σφαίρας με στερεό

  Μια κρούση σφαίρας με στερεό

Ο δίσκος και η ράβδος στρέφονται

 Ένας ομογενής δίσκος μάζας Μ=10kg και ακτίνας R=1m μπορεί να στρέφεται σε οριζόντιο επίπεδο, γύρω από σταθερό κατακόρυφο άξονα z, ο οποίος περνά από το κέντρο του Ο. Μια ομογενής ράβδος ΟΑ, μήκους ℓ=R και μάζας m=3kg έχει το ένα της άκρο στερεωμένο  στον άξονα και το άλλο της άκρο Α, έχει καρφωθεί στο άκρο μιας ακτίνας του δίσκου. Το σύστημα ηρεμεί, ενώ γύρω από τον δίσκο έχουμε τυλίξει ένα αβαρές νήμα στο άκρο του οποίου, τη στιγμή t=0, ασκούμε μια σταθερή οριζόντια δύναμη F=12Ν, με αποτέλεσμα το νήμα να ξετυλίγεται και το σύστημα να τίθεται σε περιστροφή. 

i) Την χρονική στιγμή t₁=1,5s, να βρεθούν:

α) Η στροφορμή και ο ρυθμός μεταβολής της  στροφορμής του συστήματος ως προς τον άξονα z.

β) Η κινητική ενέργεια και ο ρυθμός μεταβολής της κινητικής ενέργειας του συστήματος.

ii) Τη στιγμή t₂=3s η δύναμη F παύει να ασκείται και μετά από λίγο, η ράβδος ελευθερώνεται από τον άξονα, οπότε στρέφεται γύρω από το άκρο της Α και καταλήγει να καταστεί μόνιμα εφαπτόμενη στον δίσκο, όπως στο τρίτο σχήμα. Να υπολογιστούν

α)  Η τελική γωνιακή ταχύτητα του δίσκου.

β)  Η μεταβολή της στροφορμής της ράβδου, ως προς τον άξονα z, που οφείλεται στην απελευθέρωσή της από τον άξονα.

γ) Η αντίστοιχη μεταβολή της κινητικής ενέργειας του συστήματος.

Δίνονται οι ροπές αδράνειας δίσκου και ράβδου ως προς κάθετους άξονες που διέρχονται από τα κέντρα μάζας τους Ι_δ= ½ ΜR² και Ι_ρ= ml²/12.

Απάντηση:

ή

 Ο δίσκος και η ράβδος στρέφονται

 Ο δίσκος και η ράβδος στρέφονται

Με αβαρές νήμα ή αβαρή ράβδο

   

Μια ομογενής ράβδος ΑΒ μήκους l=4m και μάζας Μ=15kg μπορεί να στρέφεται χωρίς τριβές, γύρω από άρθρωση στο άκρο της Α και συγκρατείται σε οριζόντια θέση, ενώ μέσω αβαρούς νήματος μήκους l₁=3m, κρέμεται από το άκρο της Β, ένα σώμα Σ μάζας m=0,8kg, το οποίο θεωρούμε υλικό σημείο αμελητέων διαστάσεων.

i)  Σε μια στιγμή t=0, αφήνουμε το σύστημα ελεύθερο να κινηθεί. Αφού εξετάσετε αν το νήμα παραμένει τεντωμένο ή όχι, να υπολογιστούν, αμέσως μετά (για t=0⁺), οι αρχικές τιμές:

Να υπολογιστούν, αμέσως μετά (για t=0⁺), οι αρχικές τιμές:

α) της επιτάχυνσης του μέσου Μ της ράβδου.

β) Της επιτάχυνσης του σώματος Σ.

γ) Τη δύναμης που ασκείται στη ράβδο από την άρθρωση στο άκρο της Α.

ii) Αντικαθιστούμε το νήμα με αβαρή ράβδο, του ίδιου μήκους, στο κάτω άκρο της οποίας προσδένεται το σώμα Σ , κατασκευάζοντας το στερεό s, ενώ συγκρατούμε τη ράβδο ΑΒ ξανά σε οριζόντια θέση. Να βρεθεί η επιτάχυνση του μέσου Μ της ράβδου καθώς και η επιτάχυνση του σώματος Σ, αμέσως μόλις το στερεό μας αφεθεί να κινηθεί

Δίνεται η ροπή αδράνειας της ράβδου ως προς την άρθρωση στο Α,  Ι= Μl²/3 και g=10m/s².

Απάντηση:

ή

 Με αβαρές νήμα ή αβαρή ράβδο

 Με αβαρές νήμα ή αβαρή ράβδο

Η κίνηση ενός γιο-γιο

 

Γύρω από ένα μικρό κύλινδρο ακτίνας R=5cm και μάζας 0,1kg τυλίγουμε ένα αβαρές νήμα, το άκρο Α του οποίου επιταχύνουμε προς τα πάνω, με σταθερή επιτάχυνση, ενώ έχουμε αφήσει ελεύθερο τον κύλινδρο να κινηθεί. Με τον τρόπο αυτό, σε χρονικό διάστημα t₁=0,2s, το άκρο Α του  νήματος Α μετατοπίζεται κατά y=0,4m.

i)  Να υπολογιστεί η επιτάχυνση με την οποία κινείται το άκρο Α του νήματος.

ii) Να βρεθεί η δύναμη που ασκήσαμε στο άκρο Α για την παραπάνω κίνηση.

iii) Να βρεθεί η μετατόπιση του κέντρου μάζας Ο του κυλίνδρου και η γωνία στροφής του, στο παραπάνω χρονικό διάστημα t₁.

iv) Επαναλαμβάνουμε την κίνηση, αλλά τώρα ασκούμε στο άκρο του νήματος Α, μια σταθερή κατακόρυφη δύναμη μέτρου F₁=0,6Ν. Να βρεθεί η μετατόπιση y₁ του σημείου Α, στο ίδιο χρονικό διάστημα t₁=0,2s.

Δίνεται η ροπή αδράνειας του κυλίνδρου ως προς τον άξονα περιστροφής του Ι= ½mR² και   g=10m/s².

Απάντηση:

ή

 Η κίνηση ενός γιο-γιο

 Η κίνηση ενός γιο-γιο

Μια κύλιση με την επίδραση πλάγιας δύναμης

 

Ένας μικρός ομογενής κύλινδρος μάζας m=4kg, ηρεμεί σε οριζόντιο επίπεδο. Τυλίγουμε γύρω του ένα αβαρές και μη εκτατό νήμα, στο άκρο Α του οποίου ασκούμε τη στιγμή t₀=0, μια σταθερή δύναμη μέτρου F=4Ν, η οποία σχηματίζει διαρκώς γωνία θ=60° με την οριζόντια διεύθυνση, όπως στο σχήμα. Το αποτέλεσμα είναι ο κύλινδρος να κυλίεται πάνω στο επίπεδο.

i)  Να αποδείξετε ότι το επίπεδο δεν μπορεί να είναι λείο.

ii)  Να υπολογίσετε την επιτάχυνση του κέντρου μάζας του κυλίνδρου Κ, καθώς και την τριβή που ασκείται πάνω του.

iii) Να βρεθεί την χρονική στιγμή t₁=4s η ταχύτητα και η επιτάχυνση του άκρου Α του νήματος, στη διεύθυνση της δύναμης F.

iv) Πόσο είναι το μήκος του νήματος που ξετυλίγεται, μέχρι τη στιγμή t₁ και ποια η μετατόπιση του άκρου Α του νήματος, στη διεύθυνση της δύναμης F;

Δίνεται η ροπή αδράνειας του κυλίνδρου ως προς τον άξονα περιστροφής του Ι_cm= ½ mR², καθώς και οι τριγωνομετρικοί αριθμοί της γωνίας των 60°.

Απάντηση:

ή

 Μια κύλιση με την επίδραση πλάγιας δύναμης

 Μια κύλιση με την επίδραση πλάγιας δύναμης

Ισορροπία και επιτάχυνση δοκού.

  

Σε λείο οριζόντιο επίπεδο ηρεμεί μια ομογενής δοκός ΑΒ μήκους 2m και μάζας 24kg. Σε μια στιγμή στο άκρο Α τη δοκού, ασκούμε μια κατακόρυφη δύναμη, με φορά προς τα πάνω, μέτρου F=90Ν και παρατηρούμε ότι η σανίδα συνεχίζει να ηρεμεί.

i)  Να βρεθεί η δύναμη που ασκεί το επίπεδο στη δοκό, καθώς και η ροπή της ως προς το κέντρο μάζας Κ της δοκού.

ii) Ποια η μέγιστη τιμή F₁ που μπορεί να πάρει το μέτρο της δύναμης, χωρίς να πάψει η δοκός να ισορροπεί;

iii) Αν η δύναμη πάρει τιμή F₂ =200Ν, να βρεθεί η αρχική επιτάχυνση που θα αποκτήσει το άκρο Α της δοκού.

iv) Υποστηρίζεται η θέση ότι αυξάνοντας το μέτρο της ασκούμενης κατακόρυφης  δύναμης F, στο ένα άκρο της δοκού, μπορούμε να πετύχουμε, το άμεσο χάσιμο της επαφή της ράβδου με το επίπεδο. Να εξετάσετε αν αυτό μπορεί να συμβεί.

Δίνεται η ροπή αδράνειας μιας ομογενούς δοκού ως προς άξονα κάθετο που περνά από το μέσον της Ι_cm= Μℓ²/12 και g=10m/s².

Απάντηση:

ή

 Ισορροπία και επιτάχυνση δοκού.

 Ισορροπία και επιτάχυνση δοκού.

Και αν πάρουμε το μισό δίσκο;

Διαθέτουμε ένα στερεό το οποίο αποτελείται από μια ομογενή ράβδο ΟΚ, μήκους l=2m και μάζας m=15kg, και, έναν ομογενή δίσκο μάζας Μ=40kg και ακτίνας R=1m απόλυτα συνδεδεμένο με τη ράβδο, με το άκρο Κ της ράβδου να είναι και το κέντρο του δίσκου. Το στερεό S μπορεί να στρέφεται χωρίς τριβές γύρω από σταθερό οριζόντιο άξονα ο οποίος διέρχεται από το άκρο Ο της ράβδου, ενώ συγκρατείται με την ράβδο σε οριζόντια θέση, όπως στο σχήμα.

i) Σε μια στιγμή αφήνουμε ελεύθερο το στερεό να περιστραφεί.

α) Να υπολογιστεί η ροπή αδράνειας του στερεού S, ως προς τον άξονα περιστροφής.

β) Να υπολογιστεί η αρχική γωνιακή επιτάχυνση του στερεού S, καθώς και  η επιτάχυνση του κέντρου Κ του δίσκου.

ii) Κόβουμε και απομακρύνουμε τον μισό δίσκο, οπότε παίρνουμε το στερεό S₁, όπως φαίνεται στο δεύτερο σχήμα.

α) Στηριζόμενοι στον ορισμό της ροπής αδράνειας, να υπολογίσετε  τη ροπή αδράνειας Ι₁ του στερεού S₁, ως προς τον άξονα περιστροφής στο Ο, εκμεταλλευόμενοι την ροπή αδράνειας του στερεού S.

β) Αν αφήσουμε το στερεό S₁ να κινηθεί ξανά, από την θέση που η ράβδος είναι οριζόντια, να υπολογιστούν η αρχική γωνιακή επιτάχυνση του στερεού και η αρχική επιτάχυνση του σημείου Κ.

Δίνεται η ροπή αδράνειας ενός ομογενούς δίσκου ως προς κάθετο άξονα ο οποίος περνά από το κέντρο του Ι₁=1/2 ΜR² και η αντίστοιχη ροπή αδράνειας για την ομογενή ράβδο Ι₂= ml²/12 και g=10m/s².

Απάντηση:

ή

 Και αν πάρουμε το μισό δίσκο;

  Και αν πάρουμε το μισό δίσκο;

Έλεγχος ισχύος τριών προτάσεων

 

Σε οριζόντιο επίπεδο βρίσκεται ένας αρχικά ακίνητος, κατακόρυφος ομογενής δίσκος, γύρω από τον οποίο έχουμε τυλίξει ένα αβαρές νήμα, μέσω του οποίου ασκούμε πάνω του μια οριζόντια  δύναμη F1=F, ενώ ταυτόχρονα στο κέντρο του Ο, ασκούμε μια δεύτερη οριζόντια δύναμη F2=2F, όπως στο σχήμα.

Να εξετάσετε την ορθότητα ή μη των παρακάτω τριών προτάσεων:

Πρόταση 1η:

«Η συνολική ροπή που ασκείται στον δίσκο, ως προς το σημείο επαφής με το έδαφος, σημείο Α, είναι μηδενική, άρα ο δίσκος δεν θα περιστραφεί».

Συνέχεια…

ή

 Έλεγχος ισχύος τριών προτάσεων

 Έλεγχος ισχύος τριών προτάσεων

Γύρω από επιταχυνόμενο άξονα

 

Ένας ομογενής δίσκος, κέντρου Ο, μάζας m= 2kg και ακτίνας R=1m στρέφεται σε οριζόντιο επίπεδο, γύρω από έναν κατακόρυφο άξονα z, ο οποίος στηρίζεται σε αμαξίδιο που ηρεμεί σε οριζόντιο επίπεδο. Θέτουμε τον δίσκο σε περιστροφή με γωνιακή ταχύτητα ω=2rad/s και στη συνέχεια κάποια στιγμή t₀=0 το αμαξίδιο τίθεται σε κίνηση με σταθερή επιτάχυνση α=1m/s². Το κέντρο Ο του δίσκου βρίσκεται σε ύψος (ΑΟ)= h=2m από το έδαφος. Για τη στιγμή t₁=2s να βρεθούν.

i)   Η ταχύτητα και η επιτάχυνση ενός σημείου Β, στο άκρο μιας ακτίνας (ΟΒ) του δίσκου, παράλληλης με την ταχύτητα του αμαξιδίου.

ii)  Η στροφορμή και ο ρυθμός μεταβολής της στροφορμής του δίσκου ως προς το σημείο Α του εδάφους.

Δίνεται ότι ένα υλικό σημείο το οποίο κινείται με ταχύτητα υ, παρουσιάζει ως προς ένα τυχαίο σημείο Κ, στροφορμή μέτρου L=mυ∙d, όπου d η απόσταση του σημείου Κ από τον φορέα της δύναμης, με κατεύθυνση όπως στο σχήμα, ενώ  η ροπή αδράνειας του δίσκου ως προς τον άξονα περιστροφής του Ι_cm= ½ mR² .

Απάντηση:

ή

 Γύρω από επιταχυνόμενο άξονα

 Γύρω από επιταχυνόμενο άξονα

Το υλικό σημείο ή η ράβδος;

 

Μια ράβδος ΑΒ, μπορεί να στρέφεται σε κατακόρυφο επίπεδο, γύρω από σταθερό  οριζόντιο άξονα ο οποίος περνά από το άκρο της Α. Δένουμε στο άκρο της Β, ένα σώμα Σ, μάζας Μ, το οποίο θεωρούμε υλικό σημείο παίρνοντας ένα στερεό S₁. Αφήνουμε το στερεό  αυτό  να κινηθεί, από την οριζόντια θέση, όπως στο πρώτο σχήμα, οπότε το άκρο Β αποκτά αρχική επιτάχυνση α₁.

Σε μια δεύτερη περίπτωση, αντικαθιστούμε το σώμα Σ με μια ομογενή ράβδο ΓΔ της ίδιας μάζας Μ, το μέσον της οποίας καρφώνεται στο άκρο Β, παίρνοντας το στερεό S₂. Αφήνοντας ξανά το  στερεό να κινηθεί, με την ράβδο ΑΒ σε οριζόντια θέση, όπως στο δεύτερο σχήμα, το άκρο Β, αποκτά αρχική επιτάχυνση α₂.

Για τις αρχικές αυτές επιταχύνσεις του άκρου Β της ράβδου, ισχύει:

i) α₁ < α₂,   ii) α₁ = α₂,     iii) α₁ > α₂.

Να δικαιολογήσετε την επιλογή σας.

Απάντηση:

ή

 Το υλικό σημείο ή η ράβδος;

 Το υλικό σημείο ή η ράβδος;

Το ζεύγος και η επιτάχυνση του δίσκου

  

Ένας ομογενής δίσκος μάζας Μ=16kg και ακτίνας R=0,5m ηρεμεί σε λείο οριζόντιο επίπεδο. Σε μια στιγμή t₀=0 στα άκρα της κατακόρυφης διαμέτρου ΑΒ ασκούνται δύο δυνάμεις, αντιπαράλληλες και του ίδιου σταθερού μέτρου F₁=F₂=F=π/2 Ν, με διεύθυνση κάθετη στην διάμετρο, όπως στο σχήμα.

i)   Να υπολογιστεί η γωνιακή επιτάχυνση του δίσκου, καθώς και η επιτάχυνση του σημείου Γ, στο άκρο μιας οριζόντιας ακτίνας ΟΓ, αμέσως μόλις ασκηθούν οι δυο δυνάμεις.

ii)  Αν οι παραπάνω δυνάμεις παραμένουν συνεχώς κάθετες στην διάμετρο ΑΒ:

 α) Ποια χρονική στιγμή t₁ η διάμετρος ΑΒ θα είναι ξανά κατακόρυφη, για δεύτερη φορά;

 β) Να βρεθούν η οριζόντια και η κατακόρυφη συνιστώσα της επιτάχυνσης του σημείου Β τη στιγμή t₁.

iii) Τη στιγμή t₁ η δύναμη F₂ παύει να ασκείται στον δίσκο. Ποια η οριζόντια επιτάχυνση του σημείου Β, αμέσως μετά;

Δίνεται η ροπή αδράνειας του δίσκου ως προς κάθετο άξονα, ο οποίος περνά από το κέντρο μάζας Ο του δίσκου Ι= ½ ΜR².

Απάντηση:

ή

 Το ζεύγος και η επιτάχυνση του  δίσκου

 Το ζεύγος και η επιτάχυνση του  δίσκου

Ένα σύστημα ισορροπεί

  

Στο σχήμα βλέπετε μια ομογενή  δοκό ΑΒ μήκους l=4m και βάρους w1=300Ν, η οποία ισορροπεί σε οριζόντια θέση, στηριζόμενη στο άκρο της Β, σε λείο κεκλιμένο επίπεδο κλίσεως θ, όπου ημθ=0,6, ενώ στο σημείο Γ, όπου (ΑΓ)=1m, σε δίσκο κέντρου Κ και βάρους w2=200Ν. Ο δίσκος ισορροπεί σε λείο οριζόντιο επίπεδο, με την βοήθεια ακλόνητου (πακτωμένου) εμποδίου Ε.

1. Να βρείτε τις κάθετες δυνάμεις στήριξης που δέχεται η δοκός από το κεκλιμένο επίπεδο και από το δίσκο.
2. Να αποδείξετε ότι αναπτύσσεται τριβή μεταξύ δοκού και δίσκου, υπολογίζοντας και το μέτρο της.
3. Να αποδείξετε ότι μεταξύ δίσκου και εμποδίου, αναπτύσσεται τριβή, υπολογίζοντας και το μέτρο της.
4. Πόση δύναμη ασκεί το οριζόντιο επίπεδο στον δίσκο;
5. Να βρείτε τον ελάχιστο συντελεστή οριακής στατικής τριβής μs, μεταξύ δίσκου και εμποδίου, για την παραπάνω ισορροπία.

Απάντηση:

ή

 Ένα σύστημα ισορροπεί

περιστροφή μιας δοκού

 Μια ομογενής δοκός ΑΒ μήκους 2m, περιστρέφεται οριζόντια, γύρω από κατακόρυφο άξονα z, ο οποίος διέρχεται από το άκρο της Α, σε λείο οριζόντιο επίπεδο (το σχήμα σε κάτοψη). Κάποια στιγμή δέχεται στο άκρο της Β, μια οριζόντια δύναμη F μέτρου F=10Ν, με διεύθυνση κάθετη στη δοκό. Στο διάγραμμα δίνεται η γωνιακή ταχύτητα της δοκού σε  συνάρτηση με το χρόνο.

i)   Για πόσο χρονικό διάστημα ασκήθηκε στη δοκό η δύναμη F; Να σχεδιάσετε στο πρώτο σχήμα την δύναμη F. Να υπολογίσετε την επιτάχυνση του κέντρου μάζας Κ της δοκού, τη χρονική στιγμή t₁=1s και να την σχεδιάσετε στο σχήμα.

ii) Να υπολογιστεί η ροπή αδράνειας της ράβδου, ως προς τον άξονα περιστροφής της.

iii) Ελευθερώνουμε την ράβδο από τον άξονα z και την θέτουμε σε περιστροφή για t=0, γύρω από άλλον κατακόρυφο άξονα z₁, ο οποίος περνά από το μέσον της Κ, με την επίδραση της ίδιας δύναμης F, η οποία ασκείται ξανά στο άκρο Β, κάθετα στον άξονα της δοκού, όπως στο δεύτερο σχήμα (ξανά σε κάτοψη). Αν η δοκός έχει μάζα m=15kg, να υπολογιστούν τη χρονική στιγμή t₂=3s:

α) Η γωνιακή επιτάχυνση της  δοκού.

β) Η γωνιακή της ταχύτητα της δοκού και η ταχύτητα του άκρου Α.

γ) η γωνία κατά την οποία έχει περιστραφεί η δοκός.

Απάντηση:

ή

  περιστροφή μιας δοκού

  Η περιστροφή μιας δοκού