Τρίτη 29 Νοεμβρίου 2022

Η διάδοση του παλμού και η ταλάντωση ενός σημείου

  

Κατά μήκος ενός ελαστικού μέσου και προς την θετική κατεύθυνση διαδίδεται ένα εγκάρσιο κύμα (στην πραγματικότητα ένας κυματικός αρμονικός παλμός) με μήκος κύματος λ=0,8m και τη στιγμή t=0,  φτάνει σε ένα σημείο Ο, το οποίο λαμβάνουμε και σαν αρχή του προσανατολισμένου άξονα x.  Το κύμα φτάνει την στιγμή t1=3s σε ένα σημείο Β του μέσου, στην θέση x1=1,2m, το οποίο αρχίζει να ταλαντώνεται με πλάτος Α=0,2m, ξεκινώντας την ταλάντωσή του από την θέση ισορροπίας του και κινούμενο προς την θετική κατεύθυνση. Το σημείο Β, παύει να ταλαντώνεται, παραμένοντας ακίνητο, την χρονική στιγμή t2=12s.

i)  Να βρεθεί η ταχύτητα διάδοσης του κύματος και η περίοδος ταλάντωσης των σημείων του μέσου.

ii) Ποια η εξίσωση της απομάκρυνσης σε συνάρτηση με το χρόνο του σημείου Β; Να γίνει η γραφική παράσταση y1=f(t) για το σημείο Β και για όσο χρόνο αυτό ταλαντώνεται.

iii) Να γίνει επίσης η αντίστοιχη γραφική παράσταση για την ταχύτητα ταλάντωσης του σημείου Β, υ=f(t).

iv) Να σχεδιάσετε ένα στιγμιότυπο του κύματος την χρονική στιγμή t3=10s.

Απάντηση:

ή


Κυριακή 27 Νοεμβρίου 2022

Βρείτε την εξίσωση του κύματος

 Κατά μήκος ενός γραμμικού ελαστικού μέσου διαδίδεται ένα κύμα πλάτους Α=0,2m με περίοδο 3s. Ζητάμε την εξίσωση του κύματος, στις περιπτώσεις που εμφανίζονται στο παρακάτω σχήμα, όπου τα στιγμιότυπα (α) και (β) αναφέρονται σε κύματα που διαδίδονται προς τα δεξιά (προς την θετική κατεύθυνση), ενώ τα (γ) και (δ) προς τα αριστερά, ενώ όλα τα στιγμιότυπα αναφέρονται στην στιγμή t=0.

 

Απάντηση:

ή


Παρασκευή 25 Νοεμβρίου 2022

Ένα αρμονικό κύμα και ένα υλικό σημείο

 

Κατά μήκος ενός γραμμικού ελαστικού μέσου διαδίδεται προς την θετική κατεύθυνση ένα αρμονικό κύμα, πλάτους Α=0,4m με ταχύτητα 2m/s. Την χρονική στιγμή t=0, το κύμα φτάνει στην αρχή Ο ενός προσανατολισμένου άξονα, το οποίο αρχίζει να ταλαντώνεται, κινούμενο προς τα πάνω (θετική απομάκρυνση) με περίοδο Τ=2s.

i)  Να γράψετε την εξίσωση του διαδιδόμενου κύματος.

ii)  Να σχεδιάσετε ένα στιγμιότυπο του κύματος την χρονική στιγμή t1=4,5s.

iii) Ένα υλικό σημείο Σ του μέσου, με μάζα m=1g, βρίσκεται στην θέση x1=20/3m. Να υπολογίσετε την ταχύτητα του Σ και την συνισταμένη δύναμη που δέχεται από το μέσον, τις χρονικές  στιγμές t1 και t2=2,8s.

Απάντηση:

ή

Τετάρτη 23 Νοεμβρίου 2022

Όταν αλλάζουν τα πράγματα στην πορεία

 

Στη θέση x=0 ενός γραμμικού ελαστικού μέσου, υπάρχει πηγή κύματος η οποία αρχίζει να ταλαντώνεται τη στιγμή t=0, με εξίσωση y=0,4ημ(2πt)  (μονάδες στο S.Ι.), δημιουργώντας εγκάρσια κύματα που διαδίδονται προς την θετική κατεύθυνση του μέσου, με ταχύτητα υ=2m/s. Την χρονική στιγμή t1=3s, η πηγή αλλάζει πλάτος ταλάντωσης στην τιμή Α2=0,2m, ενώ  και η συχνότητά της γίνεται f2=2Ηz.

i)  Να γράψετε τις εξισώσεις για το κύμα που διαδίδεται κατά μήκος του παραπάνω μέσου.

ii) Ένα σημείο Σ βρίσκεται στην θέση xΣ=3m. Ποια η εξίσωση της απομάκρυνσης yΣ=f(t) του σημείου αυτού; Να γίνει η γραφική παράσταση της yΣ=f(t), μέχρι την στιγμή t2=6s.

iii) Να σχεδιάσετε το στιγμιότυπο του κύματος y=f(x) την χρονική στιγμή t2=6s.

Απάντηση:

ή

Τρίτη 22 Νοεμβρίου 2022

Μια ΑΑΤ και μια εξαναγκασμένη ταλάντωση

  

Ένα σώμα μπορεί να ταλαντώνεται στο άκρο ιδανικού ελατηρίου, με γωνιακή συχνότητα 10rad/s, σε λείο οριζόντιο επίπεδο, εκτελώντας ΑΑΤ. Το ίδιο σώμα τίθεται σε εξαναγκασμένη ταλάντωση με την επίδραση εξωτερικής δύναμης της μορφής Fδ=F0∙ημ(5t+φ0), όταν πάνω του ασκείται και δύναμη απόσβεσης της μορφής Fαπ=-bυ.  Σε μια στιγμή t1 το σώμα κινείται προς τα αριστερά, πλησιάζοντας την θέση ισορροπίας του, όπως στο σχήμα. Τη στιγμή αυτή η δύναμη του ελατηρίου έχει μέτρο 8Ν, ενώ η δύναμη απόσβεσης έχει μέτρο 2Ν.

i)  Να σχεδιάσετε όλες τις οριζόντιες δυνάμεις που ασκούνται στο σώμα τη στιγμή t1, υπολογίζοντας και τα μέτρα τους.

ii) Η εξωτερική δύναμη τη στιγμή t1:

α) προσφέρει ενέργεια στο σώμα.

β) αφαιρεί ενέργεια από το σώμα.

γ) τίποτα από τα δύο.

iii) Αν το σώμα τη στιγμή t1 έχει ταχύτητα μέτρου |υ|=2m/s, να υπολογισθεί ο ρυθμός μεταβολής της δυναμικής ενέργειας ταλάντωσης του σώματος, καθώς και ο ρυθμός μεταβολής της κινητικής του ενέργειας.

Απάντηση:

ή


Κυριακή 20 Νοεμβρίου 2022

Τα βασικά σε μια εξαναγκασμένη ταλάντωση

 

Ένα σώμα μάζας 2kg ταλαντώνεται σε λείο οριζόντιο επίπεδο, δεμένο  στο άκρο ενός ιδανικού ελατηρίου σταθεράς k=40Ν/m, με σταθερό πλάτος Α=0,5m, ενώ πάνω του ασκείται δύναμη απόσβεσης της μορφής Fαπ=-b∙υ, με την επίδραση μιας εξωτερικής δύναμης της μορφής Fδ=F0∙ημ(5t+θ).

i)   Να βρεθεί η δύναμη του διεγέρτη τη στιγμή που το σώμα βρίσκεται στην θέση x=+Α.

ii)  Αν τη στιγμή t1 που το σώμα περνά από την θέση x=0 η δύναμη του διεγέρτη έχει μέτρο 1Ν, να υπολογιστεί η σταθερά απόσβεσης b.

iii) Σε μια άλλη στιγμή t2, το σώμα έχει ταχύτητα υ2=+2m/s. Να βρεθεί η ισχύς της δύναμης του διεγέρτη την στιγμή αυτή.

Απάντηση:

ή

Παρασκευή 18 Νοεμβρίου 2022

Μια ΑΑΤ και μια φθίνουσα ταλάντωση

 

Στο κάτω άκρο ενός κατακόρυφου ιδανικού ελατηρίου, σταθεράς k=50Ν/m, το πάνω άκρο του οποίου έχει δεθεί στο ταβάνι,  δένουμε ένα σώμα μάζας 2kg, συγκρατώντας το σε μια θέση Α, όπου το ελατήριο έχει το φυσικό του μήκος.

Σε μια στιγμή εκτοξεύουμε το σώμα κατακόρυφα προς τα πάνω, με αρχική ταχύτητα υ0=4m/s, όπως φαίνεται στο διπλανό σχήμα, οπότε εκτελεί μια ΑΑΤ.

i)  Να υπολογιστεί η ενέργεια ταλάντωσης του σώματος.

ii) Μετά από λίγο, τη στιγμή t1, το σώμα περνά από την θέση Β, η οποία απέχει κατακόρυφη απόσταση (ΑΒ)=h=0,8m, κινούμενο προς τα κάτω. Για τη στιγμή αυτή, να βρεθούν:

α) Η ταχύτητα του σώματος.

β) Οι ρυθμοί μεταβολής της κινητικής και της δυναμικής ενέργειας ταλάντωσης.

iii) Επαναλαμβάνουμε το πείραμα, με τις ίδιες αρχικές συνθήκες, αλλά τώρα ασκείται στο σώμα και δύναμη απόσβεσης της μορφής F=-0,4υ  (S.Ι.). Κάποια στιγμή t2, το σώμα περνά από την θέση Β, κινούμενο προς τα κάτω με ταχύτητα μέτρου υ2=3m/s. Για την στιγμή αυτή να βρεθούν:

α) Η επιτάχυνση του σώματος.

β) Οι ρυθμοί μεταβολής της κινητικής και της δυναμικής ενέργειας ταλάντωσης.

Δίνεται g=10m/s2.

Απάντηση:

ή

Τετάρτη 16 Νοεμβρίου 2022

Μια ταλάντωση και η κάθετη αντίδραση

  

Η ομογενής δοκός ΑΒ του σχήματος, μήκους ℓ=3m και μάζας Μ=20kg ισορροπεί σε οριζόντια θέση, στηριζόμενη σε δύο τρίποδα στα σημεία Κ και Λ, όπου (ΑΚ)=(ΚΛ)= (ΛΒ)=1m. Στο άκρο Α έχει στερεωθεί ιδανικό ελατήριο σταθεράς k=100Ν/m, στο πάνω άκρο του οποίου ισορροπεί ένα σώμα Σ, μάζας m=4kg.

i) Να υπολογιστούν οι δυνάμεις που δέχεται η δοκός από τα δύο στηρίγματα.

ii) Μετακινούμε το σώμα Σ κατακόρυφα προς τα κάτω κατά d=0,5m και τη στιγμή t=0, το αφήνουμε να ταλαντωθεί.

α) Να υπολογιστεί η μέγιστη και η ελάχιστη τιμή της αντίδρασης Ν2, που δέχεται η δοκός από το τρίποδο στο σημείο Λ.

β) Να γράψετε την εξίσωση της απομάκρυνσης του Σ από τη θέση ισορροπίας του σε συνάρτηση με το χρόνο, θεωρώντας την προς τα κάτω κατεύθυνση θετική.

γ) Ποια η αντίστοιχη εξίσωση Ν2=f(t) για την αντίδραση στο σημείο Λ;

δ) Ποιο το μέγιστο δυνατό πλάτος ταλάντωσης του σώματος Σ, χωρίς η δοκός να χάνει την επαφή με κάποιο από τα τρίποδα;

Δίνεται g=10m/s2.

Απάντηση:

ή


Σάββατο 12 Νοεμβρίου 2022

Το χάσιμο της επαφής και η επιστροφή

 

Τα σώματα Α και Β με μάζες m και 3m αντίστοιχα, είναι δεμένα στα άκρα ενός ιδανικού ελατηρίου και ισορροπούν όπως στο σχήμα, με το ελατήριο σε κατακόρυφη θέση, ενώ το Β στηρίζεται στο έδαφος. Σε μια στιγμή ασκούμε στο σώμα Α μια σταθερή κατακόρυφη  δύναμη μέτρου F=3mg.

i)  Να αποδειχθεί ότι το σώμα Β, κάποια στιγμή θα χάσει την επαφή με το έδαφος, επιταχυνόμενο προς τα πάνω.

ii)  Να εξετάσετε αν το σώμα Β, μετά την ανύψωσή του, κάποια στιγμή θα επιστρέψει στην αρχική του θέση, κτυπώντας στο έδαφος.

Απάντηση.

ή


Τρίτη 8 Νοεμβρίου 2022

Προσοχή μην λυγίσει το νήμα

 

Μια σφαίρα σ μάζας m ηρεμεί στο κάτω άκρο Ο ιδανικού ελατηρίου, σταθεράς k και αμελητέας μάζας, το πάνω άκρο του οποίου έχει δεθεί σε σώμα Σ μάζας 2m, που κρέμεται μέσω νήματος από το ταβάνι, όπως στο σχήμα. Δίνονται m=1kg, k=50Ν/m και g=10m/s2.

i)  Αφού υπολογίσετε την επιμήκυνση του ελατηρίου, να βρείτε την  δύναμη που ασκεί στο σώμα Σ, το κατακόρυφο νήμα.

ii) Εκτρέπουμε την σφαίρα σ κατακόρυφα προς τα πάνω κατά h1 και την αφήνουμε να εκτελέσει ΑΑΤ.

α) Ποια η μέγιστη αρχική εκτροπή αν θέλουμε η τιμή της τάσης του νήματος να είναι πάντα μεγαλύτερη ή ίση από 20Ν.

β) Μεταξύ ποιων τιμών κυμαίνεται στην παραπάνω περίπτωση, η τάση του νήματος που ασκείται στο σώμα Σ;

iii) Ποια η μέγιστη αντίστοιχη κατακόρυφη εκτροπή της σφαίρας h2, ώστε στη διάρκεια της ταλάντωσης της σφαίρας σ, να μην χαλαρώσει το νήμα;

iv) Κάποια στιγμή t1 όπου η σφαίρα έχει επιτάχυνση α1=2m/s2 με φορά προς τα πάνω, το νήμα από το οποίο κρέμεται το σώμα Σ, κόβεται. Να βρεθούν οι επιταχύνσεις των δύο σωμάτων, αμέσως μετά το κόψιμο του νήματος.

Απάντηση:

ή


Κυριακή 6 Νοεμβρίου 2022

Μετρώντας το ύψος από το έδαφος

Ένα σώμα Σ μάζας 2kg, εκτελεί αατ στο άκρο ενός κατακόρυφου ιδανικού ελατηρίου.

 

i)   Να αποδείξετε ότι το ύψος h του σώματος από το έδαφος, είναι αρμονική συνάρτηση του χρόνου.

ii)  Αν η γραφική παράσταση του ύψους του σώματος από το έδαφος είναι της μορφής του παραπάνω σχήματος, να βρεθεί η εξίσωση της απομάκρυνσης του σώματος από τη θέση ισορροπίας σε συνάρτηση με το χρόνο, θεωρώντας την προς τα πάνω κατεύθυνση ως θετική.

iii) Αφού βρεθεί η εξίσωση της κινητικής ενέργειας του σώματος σε συνάρτηση με το χρόνο (Κ=Κ(t)), να γίνει η γραφική της παράσταση.

iv) Αν τη χρονική στιγμή t1=1s το σώμα Σ συγκρουστεί πλαστικά με ένα άλλο σώμα Σ1 το οποίο κινείται κατακόρυφα, τότε η γραφική παράσταση του ύψους με το χρόνο, παίρνει την μορφή του διπλανού σχήματος. Ζητούνται:

α) Η μάζα του σώματος Σ1.

β) Η ενέργεια της ταλάντωσης του συσσωματώματος.

γ) Η απώλεια της μηχανικής ενέργειας κατά την πλαστική κρούση, μεταξύ των δύο σωμάτων.

Δίνεται π2=10 και g=10m/s2.

Απάντηση:

ή

 Μετρώντας το ύψος από το έδαφος 

Τετάρτη 2 Νοεμβρίου 2022

Αλλάζουμε την αατ, με την βοήθεια μιας κρούσης

 

Ένα σώμα Σ1 μάζας m1=2kg ταλαντώνεται σε λείο οριζόντιο επίπεδο, δεμένο στο άκρο ιδανικού ελατηρίου σταθεράς k=200Ν/m, με πλάτος Α=0,5m. Σε μια στιγμή το σώμα αυτό συγκρούεται κεντρικά και ελαστικά, με ένα δεύτερο σώμα Σ2, μάζας m2=1kg, το οποίο κινείται οριζόντια, όπως στο σχήμα, με ταχύτητα μέτρου 2m/s. Μετά την κρούση το Σ2 κινείται προς τα δεξιά με ταχύτητα μέτρου 6m/s.

i)  Να υπολογιστεί η μεταβολή της ορμής και της κινητικής ενέργειας του σώματος Σ2, που οφείλονται στην κρούση.

ii)  Να βρεθεί η απομάκρυνση και η ταχύτητα του σώματος Σ1, ελάχιστα πριν την κρούση.

iii)  Θεωρώντας t0=0 την στιγμή της κρούσης, να γίνει η γραφική παράσταση της απομάκρυνσης του σώματος Σ1 σε συνάρτηση με το χρόνο, μετά την κρούση.

Απάντηση:

ή