Σάββατο 29 Οκτωβρίου 2022

Με επιτρεπόμενη αρχική φάση

  

 Ένα σώμα Σ μάζας 1kg, ηρεμεί στο κάτω άκρο Ο ενός ιδανικού ελατηρίου, με φυσικό μήκος l0=1m, το οποίο κρέμεται από το ταβάνι. Ανεβάζουμε το σώμα κατακόρυφα κατά h=0,4m, φέρνοντάς το στην θέση Β και το αφήνουμε να κινηθεί για t=0. Αν τη στιγμή t1=0,5s,  το ελατήριο αποκτά το μέγιστο μήκος του, για πρώτη φορά, ζητούνται:

i)  Να αποδειχθεί ότι το σώμα εκτελεί αατ και να βρεθεί η σταθερά επαναφοράς.

ii) Μεταξύ ποιων τιμών μεταβάλλεται το μήκος του ελατηρίου, στην διάρκεια της παραπάνω ταλάντωσης;

iii) Να γίνουν οι γραφικές παραστάσεις της απομάκρυνσης του σώματος και της επιτάχυνσής του, σε συνάρτηση με το χρόνο, θεωρώντας την προς τα πάνω κατεύθυνση ως θετική.

iv) Την χρονική στιγμή t1=1,75s το σώμα Σ συγκρούεται κεντρικά και ελαστικά με ένα άλλο σώμα, το οποίο κινείται κατακόρυφα προς τα πάνω, με αποτέλεσμα να αυξηθεί η ενέργεια ταλάντωσής του κατά ΔΕ=1,8J. Αν η διάρκεια της κρούσης είναι αμελητέα:

α) Να γράψετε την εξίσωση της ταχύτητας του σώματος Σ, μετά την κρούση.

β) Να κάνετε την γραφική παράσταση της ταχύτητας του σώματος Σ από t=0 έως την στιγμή t2=2,5s.

Δίνεται g=10m/s2 και π2≈10.

Απάντηση:

ή

Σάββατο 22 Οκτωβρίου 2022

Η στροφορμή σε ένα σύστημα υλικών σημείων

Δύο μικρές σφαίρες Α και Β, οι οποίες θεωρούνται υλικά σημεία αμελητέας ακτίνας, με μάζες m1=0,4kg και m2=0,2kg αντίστοιχα, είναι δεμένες στα άκρα ιδανικού ελατηρίου με φυσικό μήκος 1,8m και σταθερά k=20N/m. Το σύστημα αυτό αφήνεται να κινηθεί στο εσωτερικό ενός λείου κατακόρυφο ημισφαιρίου κέντρου Ο και ακτίνας R=2m. Η κίνηση γίνεται σε κατακόρυφο επίπεδο, όπως στο διπλανό σχήμα, το οποίο ταυτίζεται με το επίπεδο της σελίδας. Σε μια στιγμή οι σφαίρες βρίσκονται στις θέσεις του σχήματος, όπου η Α βρίσκεται στο χαμηλότερο σημείο της τροχιάς της, ενώ η ακτίνα ΟΒ σχηματίζει γωνία θ=60° με την κατακόρυφο, έχοντας ταχύτητες υ1=4m/s και υ2=3m/s αντίστοιχα. Για την στιγμή αυτή:

i)  Να υπολογιστεί η στροφορμή του συστήματος των δύο σφαιρών ως προς άξονα z, κάθετο στο επίπεδο της κίνησης, ο οποίος διέρχεται από το κέντρο Ο του ημισφαιρίου.

ii)  Ποιος ο αντίστοιχος ρυθμός μεταβολής της στροφορμής  του συστήματος ως προς τον άξονα z;

iii) Να βρεθεί ο ρυθμός μεταβολής της ορμής της Α σφαίρας.

iv) **Ποιος ο αντίστοιχος ρυθμός μεταβολής της δυναμικής ενέργειας του ελατηρίου;

Δίνεται g=10m/s2.

Απάντηση:

ή

Τρίτη 18 Οκτωβρίου 2022

Ένα σύστημα δύο σφαιρών σε κίνηση

 

Από ένα σταθερό σημείο Ο, κρέμονται με νήματα μήκους l=0,45m, δύο μικρές σφαίρες Α και Β με μάζες m και 2m, αντίστοιχα. Φέρνουμε τις σφαίρες στις θέσεις που φαίνονται στο σχήμα, όπου τα δυο νήματα είναι οριζόντια και σε μια στιγμή τις αφήνουμε ταυτόχρονα να κινηθούν.

i)  Αφού αποδείξετε ότι η επιτρόχια επιτάχυνση της σφαίρας Β, όταν το νήμα σχηματίζει γωνία θ με την οριζόντια διεύθυνση, είναι ανεξάρτητη της μάζας της, να εξηγήσετε σε ποια θέση πρόκειται να συγκρουστούν οι δυο σφαίρες.

ii) Για την χρονική στιγμή που η σφαίρα Β πέφτει και το νήμα σχηματίζει γωνία θ με την οριζόντια διεύθυνση όπου ημθ=4/9, να βρεθούν η στροφορμή κάθε σφαίρας και ο αντίστοιχος ρυθμός μεταβολής της στροφορμής,  ως προς οριζόντιο άξονα, ο οποίος περνά από το σημείο Ο.

iii)  Αν οι δυο σφαίρες μετά από λίγο συγκρούονται κεντρικά και ελαστικά, να υπολογιστούν ως προς τον άξονα στο Ο:

α) Η ολική στροφορμή του συστήματος ελάχιστα πριν και αμέσως μετά την κρούση.

β) Η μεταβολή της στροφορμής της σφαίρας Α ως προς το Ο, η οποία οφείλεται στην κρούση.

Δίνεται g=10m/s2, m=0,1kg, ενώ οι δυο σφαίρες έχουν ίσες ακτίνες, αμελητέες σε σχέση με το μήκος του νήματος.

Απάντηση:

ή

 Ένα σύστημα δύο σφαιρών σε κίνηση

Κυριακή 16 Οκτωβρίου 2022

Μια κρυμμένη στροφορμή

 

Σε λείο οριζόντιο επίπεδο ηρεμεί μια σφαίρα μάζας m=4kg (την οποία θεωρούμε υλικό σημείο), δεμένη στο άκρο ιδανικού ελατηρίου, μήκους lo=3m, το άλλο άκρο του οποίου έχει στερεωθεί σε σταθερό σημείο Ο. Σε μια στιγμή η σφαίρα δέχεται στιγμιαίο κτύπημα, με αποτέλεσμα να αποκτά οριζόντια ταχύτητα υο=7m/s, κάθετη στον άξονα του ελατηρίου. Μετά από λίγο η σφαίρα φτάνει στη θέση Β, όπως στο σχήμα (σε κάτοψη), όπου το ελατήριο έχει το μέγιστο μήκος του ίσο με 3,5m, αφού στη συνέχεια αυτό θα ελαττωθεί ξανά.

α)  Υποστηρίζεται ότι στη θέση Β, η ταχύτητα της σφαίρας είναι επίσης κάθετη στον άξονα του ελατηρίου. Συμφωνείτε ή  διαφωνείτε και γιατί;

β) Να υπολογιστεί το μέτρο της ταχύτητας στη θέση Β.

γ) Να βρεθεί η σταθερά του ελατηρίου.

Απάντηση:                 

ή

Παρασκευή 14 Οκτωβρίου 2022

Μεταβάλλοντας την ακτίνα της τροχιάς

 

Ένα σφαιρίδιο μάζας m=0,3kg βρίσκεται πάνω σε λείο οριζόντιο τραπέζι, δεμένο στο ένα άκρο αβαρούς νήματος μήκους l=1m. Το νήμα αφού περάσει από μια τρύπα Ο, στην επιφάνεια του τραπεζιού στο άλλο του άκρο Α, όπου (ΟΑ)=0,4m, μπορούμε να ασκούμε μια κατακόρυφη δύναμη F. Κάποια στιγμή προσδίδουμε στο σφαιρίδιο μια αρχική οριζόντια ταχύτητα μέτρου υ1=2m/s, με διεύθυνση κάθετη στο νήμα, ενώ ταυτόχρονα ασκούμε στο άκρο Α του νήματος, κατακόρυφη δύναμη μέτρου F1=3N.

i) Να υπολογισθεί η αρχική επιτάχυνση την οποία θα αποκτήσει το σφαιρίδιο.

ii) Τι πρόκειται να κάνει το άκρο Α του νήματος:

 α) Θα παραμείνει ακίνητο,

 β) θα κινηθεί προς τα πάνω,

 γ) θα κινηθεί προς τα κάτω.

iii) Αυξάνοντας το μέτρο της ασκούμενης δύναμης F, κατεβάζουμε το άκρο Α του νήματος κατά h=0,3m, διατηρώντας το σταθερό στην τελική θέση, ασκώντας του δύναμη μέτρου F2.

 α) Να υπολογιστεί η τελική ταχύτητα υ2 του σφαιριδίου.

 β) Να βρεθεί το μέτρο της δύναμης F2.

 γ) Πόσο είναι το έργο της δύναμης κατά την διάρκεια της μετακίνησης του άκρου Α του νήματος;

Δεν αναπτύσσεται τριβή μεταξύ νήματος (κατά το πέρασμά του από την τρύπα) και της επιφάνειας τους τραπεζιού.

Απάντηση:

ή

Δευτέρα 10 Οκτωβρίου 2022

Μερικά διαγράμματα στην στροφορμή

 

1) Ένα σώμα, το οποίο θεωρούμε υλικό σημείο κινείται κυκλικά, διαγράφοντας οριζόντιο κύκλο, σε ένα λείο οριζόντιο επίπεδο, δεμένο στο άκρο οριζόντιου νήματος, το άλλο άκρο του οποίου δένεται σε σταθερό σημείο Ο. Κάποια στιγμή t=0 και ενώ το σώμα έχει ταχύτητα υο, δέχεται την επίδραση οριζόντιας δύναμης σταθερού μέτρου F, η οποία μπορεί να έχει μια από τις κατευθύνσεις που φαίνονται στο σχήμα, όπου η F1 διατηρείται εφαπτόμενη, με την ίδια κατεύθυνση με την ταχύτητα υ0, η F2 έχει πάντα αντίθετη κατεύθυνση, η F3 έχει πάντα την διεύθυνση της ακτίνας και τέλος η F4 σχηματίζει κάθε στιγμή μια σταθερή γωνία θ, με την διεύθυνση της F3, όπως στο σχήμα.

i)  Να αντιστοιχίσετε τις παραπάνω δυνάμεις με ένα από τα παρακάτω διαγράμματα τη στροφορμής του σώματος, ως προς κατακόρυφο άξονα, ο οποίος περνά από το κέντρο Ο του κύκλου, σε συνάρτηση με το χρόνο, δικαιολογώντας τις επιλογές σας. Οι μονάδες στο S.Ι.

ii) Πόση είναι η γωνία θ μεταξύ της διεύθυνσης της F3 και της διεύθυνσης της F4;

Συνέχεια…

ή



Σάββατο 8 Οκτωβρίου 2022

Ένα υλικό σημείο σε επιταχυνόμενη κυκλική κίνηση

Σε λείο οριζόντιο επίπεδο, ηρεμεί ένα σώμα μάζας m=2kg, το οποίο θεωρούμε υλικό σημείο, δεμένο στο άκρο ενός αβαρούς και μη  εκτατού νήματος, το άλλο άκρο του οποίου στερεώνεται σε σταθερό σημείο Ο. Ασκώντας την στιγμή t0=0, μια οριζόντια, σταθερού μέτρου δύναμη F=1Ν στο σώμα, το θέτουμε σε κυκλική τροχιά ακτίνας R=2m. Αν η διεύθυνση της δύναμης σχηματίζει με το νήμα μια σταθερή γωνία θ, όπου ημθ=0,8, ζητούνται:

i)  O ρυθμός μεταβολής της στροφορμής και η στροφορμή του σώματος ως προς κατακόρυφο άξονα z ο οποίος διέρχεται από το κέντρο Ο του κύκλου, την χρονική στιγμή t1=5s.

ii) Η τάση του νήματος τη στιγμή t1.

iii) Το έργο της δύναμης από 0-t1, καθώς και ο ρυθμός με τον οποίο μεταφέρεται ενέργεια στο σώμα, μέσω της δύναμης, την στιγμή t1.

Απάντηση:

ή


Πέμπτη 6 Οκτωβρίου 2022

Μια διαφορετική κίνηση ενός τροχού

 Ένας τροχός ακτίνας R=0,6m ηρεμεί σε οριζόντιο επίπεδο. Τη στιγμή tο=0 τίθεται σε κίνηση αποκτώντας επιτάχυνση κέντρου μάζας Κ αcm, η οποία μεταβάλλεται όπως στο πρώτο από τα παρακάτω διαγράμματα και γωνιακή επιτάχυνση, όπως στο δεύτερο διάγραμμα και με κατευθύνσεις όπως στο σχήμα.

Να βρεθούν:

i) Η ταχύτητα του κέντρου Κ του τροχού, καθώς και η γωνιακή ταχύτητα του τροχού την στιγμή t1=2s.

ii) Η ταχύτητα και η οριζόντια επιτάχυνση του σημείου επαφής του τροχού με το επίπεδο, σημείου Α, τις χρονικές στιγμές:

α) t1= 2s,  

β) t3= 6s.

Απάντηση:

ή


Κυριακή 2 Οκτωβρίου 2022

Μια ράβδος περιστρέφεται

Μια ράβδος AB, μήκους l=3m, στρέφεται σε οριζόντιο επίπεδο, γύρω από κατακόρυφο άξονα ο οποίος περνά από το σημείο της Ο, όπου (BΟ)=1m. Στο παρακάτω διάγραμμα δίνεται η γραφική παράσταση της γωνιακής ταχύτητάς της ράβδου σε συνάρτηση με το χρόνο. Αν την στιγμή t1=1s η ράβδος βρίσκεται στη θέση που φαίνεται στο σχήμα:

i)   Να βρεθεί η θέση της ράβδου τη στιγμή t0=0.

ii) Να σημειωθούν πάνω στο σχήμα, για τη χρονική στιγμή t1=1s, η γραμμική ταχύτητα, η επιτρόχια επιτάχυνση και η κεντρομόλος επιτάχυνση, για τα άκρα Α και Β της ράβδου και στη συνέχεια να υπολογιστούν τα μέτρα τους.

iii) Σε ποια θέση βρίσκεται η ράβδος τη στιγμή t2=4s; Για τη στιγμή αυτή:

α)  Να υπολογιστούν ο ρυθμός μεταβολής της γωνιακής ταχύτητας της ράβδου

β) Να σχεδιαστεί ένα σχήμα που να φαίνεται η ταχύτητα του άκρου Α της ράβδου και στη συνέχεια να υπολογισθούν το μέτρο της και ο ρυθμός μεταβολής του μέτρου της.

Απάντηση.

ή