Πέμπτη, 30 Αυγούστου 2018

Μια διερεύνηση για πολλαπλές κρούσεις


Σε λείο οριζόντιο επίπεδο ηρεμούν δύο σφαίρες Α, Β, της ίδιας ακτίνας και με μάζες m και Μ αντίστοιχα, σε ευθεία x κάθετη σε κατακόρυφο τοίχο. Σε μια στιγμή t0=0, η Α σφαίρα δέχεται στιγμιαίο κτύπημα με τη βοήθεια του οποίου αποκτά ταχύτητα υο στη διεύθυνση x. Θεωρώντας ως αρχή ενός άξονα x τη θέση του τοίχου, παίρνουμε το διάγραμμα x(t) του διπλανού σχήματος, για τη θέση της Α σφαίρας.
i)   Να περιγράψετε την ακριβή εξέλιξη της κίνησης της Α σφαίρας με βάση το διπλανό διάγραμμα x(t).
ii)  Αν όλες οι κρούσεις που συνέβησαν ήταν κεντρικές και ελαστικές, να δικαιολογήσετε γιατί για τις μάζες των δύο σφαιρών ισχύει m < Μ.
iii) Αν η σφαίρα Α έχει μάζα m=1kg να υπολογιστεί η μάζα Μ της Β σφαίρας.
iv) Να υπολογιστεί η απόσταση των δύο σφαιρών τη χρονική στιγμή t1=23s, συναρτήσει του x0.
v) Θα υπάρξει νέα κρούση μεταξύ των δύο σφαιρών μετά τη  στιγμή t1; Αν ναι, να βρείτε:
 α) Τη χρονική στιγμή t2 όπου θα συμβεί αυτό.
  β) Τις νέες ταχύτητες των σφαιρών (συναρτήσει του xo),  μετά την κρούση αυτή.
vi) Για ποιες τιμές της μάζας Μ της σφαίρας Β, δεν θα είχαμε δεύτερη κρούση μεταξύ των σφαιρών;
ή

Κυριακή, 26 Αυγούστου 2018

Πόσες κρούσεις πρόκειται να συμβούν



Σε λείο οριζόντιο επίπεδο ηρεμούν τρεις σφαίρες Α, Β και Γ, της ίδιας ακτίνας και με μάζες m, 4m και 5m αντίστοιχα, στην ίδια ευθεία. Η σφαίρα Α απέχει την ίδια απόσταση α, από τις δυο άλλες, όπως στο σχήμα. Σε μια στιγμή t0=0, η Α σφαίρα δέχεται στιγμιαίο κτύπημα με τη βοήθεια του οποίου αποκτά ταχύτητα μέτρου υ0, με κατεύθυνση προς την σφαίρα Β, με αποτέλεσμα να ακολουθήσουν μια σειρά κρούσεων της σφαίρας Α με τις άλλες δύο σφαίρες. Όλες οι κρούσεις θεωρούνται  κεντρικές και ελαστικές.
i) Πόσες τέτοιες κρούσεις πρόκειται να συμβούν;
ii) Τι ποσοστό της αρχικής κινητικής ενέργειας της σφαίρας Α, θα έχει τελικά κάθε σφαίρα, μετά την ολοκλήρωση των κρούσεων;
iii) Αν α=6m, ενώ υ0=3m/s, να κάνετε τη γραφική παράσταση της απόστασης μεταξύ των σφαιρών Α και Β σε συνάρτηση με το χρόνο.
ή
Πόσες κρούσεις πρόκειται να συμβούν;

Τετάρτη, 22 Αυγούστου 2018

Δύο διαδοχικές ελαστικές κρούσεις.

Τα σώματα Α και Β του σχήματος, με μάζες m1=4kg και m2=1kg εμφανίζουν με το οριζόντιο επίπεδο τον ίδιο συντελεστή τριβής ολίσθησης μ=0,5. Το σώμα Β ηρεμεί δεμένο στο άκρο οριζόντιου ιδανικού ελατηρίου σταθεράς k=40Ν/m, το οποίο έχει το φυσικό του μήκος. Το σώμα Α κινείται κατά μήκος του άξονα του ελατηρίου και φτάνει στο σώμα Β με ταχύτητα u0=5m/s. Η κρούση που ακολουθεί είναι κεντρική και ελαστική. Μετά την κρούση το σώμα Β συμπιέζει το ελατήριο, ενώ μετά από λίγο ακολουθεί δεύτερη κεντρική και ελαστική κρούση μεταξύ των δύο σωμάτων. Ελάχιστα πριν την 2η κρούση το σώμα Α έχει ταχύτητα μέτρου v1=1,14m/s, ενώ αμέσως μετά, ταχύτητα μέτρου v1΄=1,32m/s. Ζητούνται:
i)  Οι ταχύτητες των δύο σωμάτων αμέσως μετά την πρώτη κρούση.
ii) Η επιτάχυνση κάθε σώματος, όταν το καθένα έχει μετατοπισθεί κατά Δx=0,2m, από τη θέση της πρώτης κρούσης.
iii) Η ταχύτητα του Β σώματος πριν και μετά την 2η κρούση.
iv) Η απόσταση x μεταξύ των θέσεων των δύο κρούσεων.
v) Η απόσταση που διανύει το σώμα Β μεταξύ των δύο κρούσεων.
Δίνεται g=10m/s2, ενώ τα σώματα θεωρούνται υλικά σημεία αμελητέων διαστάσεων.
ή

Κυριακή, 19 Αυγούστου 2018

Δύο επίπεδα και μια ελαστική κρούση


Σε μη λείο οριζόντιο επίπεδο (1) ηρεμούν δύο σώματα Α και Β, όπου το δεύτερο είναι δεμένο στο άκρο οριζόντιου ιδανικού ελατηρίου σταθεράς k=20Ν/m, το οποίο έχει το φυσικό του μήκος, απέχοντας κατά s=1,6m. Σε μια στιγμή εκτοξεύεται το σώμα Α, μάζας m1=2kg, με αρχική ταχύτητα u0=5m/s, προς το σώμα Β, όπως στο σχήμα. Ο συντελεστής τριβής μεταξύ του σώματος Α και του επιπέδου είναι μ1=0,5. Μετά από λίγο τα σώματα συγκρούονται κεντρικά και ελαστικά, με αποτέλεσμα το Β να αποκτά ταχύτητα υ0=3m/s και να αρχίζει να συμπιέζει το ελατήριο. Μόλις το ελατήριο συμπιεστεί κατά x=0,4m, το σώμα Β, έχοντας ταχύτητα υ1=2m/s, περνά σε ένα δεύτερο λείο οριζόντιο επίπεδο (2), στο οποίο κινείται, μέχρι να προκαλέσει μέγιστη συμπίεση του ελατηρίου κατά Δl. Να βρεθούν:
i)  Η μάζα του σώματος Β.
ii) Η τριβή που δέχεται το Β σώμα από το επίπεδο 1.
iii) Η μέγιστη συμπίεση Δl το ελατηρίου.
iv) Να εξετασθεί αν τα δυο σώματα θα συγκρουσθούν για δεύτερη φορά.
Δίνεται g=10m/s2.
ή

Πέμπτη, 16 Αυγούστου 2018

Μια μεταβαλλόμενη κίνηση και μια κρούση


Το σώμα Σ μάζας m1=1kg ηρεμεί σε λείο οριζόντιο επίπεδο στη θέση Α, απέχοντας κατά (ΑΒ)= 3m από μια σφαίρα που κρέμεται στο άκρο κατακόρυφου νήματος μήκους l=0,4m. Κάποια στιγμή ασκείται στο Σ μια μεταβλητή οριζόντια δύναμη F, με κατεύθυνση προς τη σφαίρα, το μέτρο της οποίας μεταβάλλεται όπως στο διάγραμμα.
Φτάνοντας το σώμα Σ στη θέση Β, συγκρούεται κεντρικά και ελαστικά με τη σφαίρα, η οποία εκτρέπεται από την κατακόρυφο κατά μέγιστη γωνία θ=60°.
i)  Να υπολογιστεί η ενέργεια που μεταφέρεται στο σώμα Σ, μέσω της δύναμης F.
ii)  Ποιος ο ρυθμός μεταβολής της κινητικής ενέργειας του σώματος Σ τη στιγμή που έχει μετατοπισθεί κατά x1=0,5m;
iii) Να υπολογιστεί η μάζα m2 της σφαίρας.
iv) Σε πόσο χρόνο, μετά την κρούση, το σώμα Σ θα περάσει ξανά από τη θέση Α;
Δίνεται g=10m/s2.
ή

Πέμπτη, 9 Αυγούστου 2018

Μια χορδή με σταθερό το ένα της άκρο


Το πρόβλημα της δημιουργίας στάσιμου κύματος, πάνω σε μια χορδή με πακτωμένο το ένα της άκρο, όταν το άλλο άκρο τίθεται σε εγκάρσια ταλάντωση, είναι ίσως ένα από τα θέματα που μας έχουν απασχολήσει περισσότερο τα χρόνια ύπαρξης του δικτύου μας. Με πάμπολλες μελέτες αλλά κυρίως συζητήσεις και αντεγκλήσεις. Δημιουργείται πάντα στάσιμο κύμα ή όχι; Είναι σωστές οι εξισώσεις του σχολικού ή χρειάζονται τροποποιήσεις; Τι δημιουργείται στη θέση της πηγής; Δεσμός ή κοιλία; Ή κάτι άλλο;
Ο Γιάννης Κυριακόπουλος έχει επιμείνει (μέχρι και που ο ίδιος μίλησε για εμμονή…), σε πάμπολλες αφορμές, ότι έχουμε πάντα δημιουργία στάσιμου κύματος και μάλιστα το πλάτος του στάσιμου δεν έχει να κάνει καθόλου με αυτό που  διδάσκουμε, δηλαδή ότι στις κοιλίες έχουμε πλάτος 2 Α, όπου Α το πλάτος της πηγής.
Έτσι για παράδειγμα μπορείτε να  διαβάσετε εδώ τις θέσεις του και να δείτε εικόνες με στάσιμα, που τον επιβεβαιώνουν.

Το προηγούμενο καλοκαίρι, ξεκίνησα μια σειρά άρθρων με πρώτο το «Ενέργεια – ορμή κύματος» στηριζόμενος στις παραδόσεις του Κωνσταντίνου Ευταξία στο ΕΚΠΑ. Ας πιάσουμε λοιπόν το νήμα από εκεί που το αφήσαμε, κάνοντας μια προσπάθεια να ξεδιαλύνουμε κάποια σημεία στα στάσιμα κύματα, μιλώντας όσο γίνεται, λιγότερο για μαθηματικά και περισσότερο  για Φυσική. Ας δούμε λοιπόν κάποιες όψεις, καλοκαίρι έχουμε, μπορούμε να …ασχοληθούμε λίγο!

Κύμα και στάσιμο κύμα σε χορδή. Ποια η διαφορική εξίσωση;
Αναφερόμενοι στα κύματα σε χορδή, συναντάμε τη διαφορική εξίσωση:

Και συνήθως το μυαλό μας την συνδέει με το τρέχον κύμα σε χορδή, πράγμα όχι σωστό. Η παραπάνω εξίσωση αναφέρεται σε ένα στοιχειώδες τμήμα της χορδής, συνδέοντας την καμπυλότητα του τμήματος, με την εγκάρσια επιτάχυνση που αποκτά. Η σωστή γραφή της είναι:
Όπου στην περίπτωση του τρέχοντος κύματος η ποσότητα υ=√(Τ/μ)  μας δίνει την (φασική) ταχύτητα διάδοσης της διαταραχής (ταχύτητα κύματος). Σε κάθε άλλη περίπτωση μένει μια ποσότητα εξαρτώμενη από την αδράνεια και την ελαστικότητα της χορδής, χωρίς να «λειτουργεί» ως ταχύτητα ενός ανύπαρκτου κύματος.
Αλλά τότε η ίδια διαφορική εξίσωση περιγράφει και το τρέχον κύμα σε χορδή (υποτίθεται απείρου μήκους) και το στάσιμο κύμα ή την ταλάντωση μιας χορδής με σταθερά ή μη άκρα.
Δεν υπάρχει δηλαδή κάποια  διαφορά (στο 2ο  νόμο του Νεύτωνα…), για την επιτάχυνση ενός τμήματος χορδής, ανάλογα με το τι ακριβώς συμβαίνει στη χορδή ή πόσο είναι το μήκος της…

Διαβάστε τη συνέχεια...

ή
 Μια χορδή με σταθερό το ένα της άκρο

Σάββατο, 4 Αυγούστου 2018

Τριβή ολίσθησης και αρμονική ταλάντωση


Μια ομογενής σανίδα ΑΒ μήκους l και μάζας Μ=4kg ηρεμεί σε λείο οριζόντιο επίπεδο, δεμένη στο άκρο οριζόντιου ιδανικού ελατηρίου σταθεράς k=40Ν/m. Τοποθετείται πάνω στη σανίδα, στο άκρο της Α, ένα σώμα Σ, μάζας m=2kg, το οποίο εμφανίζει με τη σανίδα συντελεστή τριβής ολίσθησης μ=0,4. Σε μια στιγμή t=0, το σώμα Σ δέχεται στιγμιαίο κατάλληλο κτύπημα, με αποτέλεσμα να αποκτήσει ταχύτητα υο=6m/s και να κινηθεί κατά μήκος της σανίδας, εγκαταλείποντάς την, μετά από λίγο, από το άκρο της Β, με ταχύτητα υ1=2m/s, όπως στο σχήμα.
i) Να υπολογιστεί το μήκος της σανίδας.
ii) Αν το άκρο της σανίδας Α βρίσκεται αρχικά στη θέση x=0, να γίνει η γραφική παράσταση x=x(t) της θέσης του σε συνάρτηση με το χρόνο
Δίνεται π2≈10.
ή

Τετάρτη, 1 Αυγούστου 2018

Παράλληλες δυνάμεις, η άνωση και η πλεύση.


Ας δούμε τώρα αν μια ισορροπία είναι ευσταθής ή όχι.

Παράδειγμα 5ο:
Στην επιφάνεια ενός υγρού ισορροπεί μια ανομοιογενής σφαίρα κέντρου μάζας C, μισοβυθυσμένη και έστω Κ, το κέντρο άνωσης. Η παραπάνω ισορροπία είναι ευσταθής, ασταθής ή αδιάφορη;

Απάντηση:
Και στις τρεις παραπάνω περιπτώσεις η σφαίρα ισορροπεί. Για να χαρακτηρίσουμε την ισορροπία, ας υποθέσουμε ότι οι τρεις σφαίρες, εκτρέπονται λίγο προς τα δεξιά. Η περιστροφή έγινε ως προς άξονα κάθετο στο επίπεδο της σελίδας, που περνά από το κέντρο μάζας C και προφανώς προκλήθηκε από κάποια ροπή.


Διαβάστε τη συνέχεια....
ή

Παράλληλες δυνάμεις,  η άνωση και η πλεύση.