Σάββατο, 22 Ιουλίου 2017

Μια κρούση και τα έργα της δύναμης του ελατηρίου

Ένα σώμα Σ μάζας m=1kg ηρεμεί σε λείο οριζόντιο επίπεδο, δεμένο στο άκρο οριζόντιου ιδανικού ελατηρίου σταθεράς k=100Ν/m, το άλλο άκρο του οποίου έχει δεθεί σε κατακόρυφο τοίχο, όπως στο πρώτο σχήμα.
Σε μια στιγμή (t=0) ένα δεύτερο σώμα Σ΄ μάζας 0,5kg κινούμενο κατά τη διεύθυνση του άξονα του ελατηρίου, με ταχύτητα υ΄=3m/s συγκρούεται κεντρικά και ελαστικά με το Σ. Η διάρκεια της κρούσης θεωρείται αμελητέα.
i)   Ποια χρονική στιγμή t1 θα μηδενιστεί για πρώτη φορά η ταχύτητα του Σ και σε πόση απόσταση από την αρχική του θέση θα συμβεί αυτό; Να υπολογιστεί το έργο της δύναμης του ελατηρίου στο παραπάνω χρονικό διάστημα.
Επαναλαμβάνουμε την ίδια κρούση, αλλά τώρα το δεξιό άκρο του ελατηρίου δεν έχει δεθεί σε τοίχο, αλλά σε ένα σώμα Σ1 μάζας m, όπως στο 2ο σχήμα. Αν κάποια στιγμή t2 τα σώματα Σ και Σ1 έχουν ίσες ταχύτητες:
ii)  Ποιο το μέτρο της ταχύτητας των Σ και Σ1 τη στιγμή t2; Να υπολογιστεί το έργο της δύναμης του ελατηρίου που ασκείται σε κάθε σώμα, στο χρονικό διάστημα 0-t2, όπως και η δυναμική ενέργεια του ελατηρίου τη στιγμή t2. Ποιος ο ρυθμός μεταβολής της δυναμικής ενέργειας του ελατηρίου τη στιγμή αυτή;
iii)* Ποια χρονική στιγμή θα μηδενιστεί στιγμιαία η ταχύτητα του σώματος Σ; Να γίνει η γραφική παράσταση υ=υ(t) της ταχύτητας του σώματος Σ σε συνάρτηση με το χρόνο, μετά την κρούση.
* To iii) ερώτημα δεν απευθύνεται σε μαθητές.
ή

Πέμπτη, 20 Ιουλίου 2017

Η ενέργεια ενός παλμού

Στην προηγούμενη ανάρτηση «Η ενέργεια και η ισχύς σε ένα αρμονικό κύμα.» ασχοληθήκαμε με το τι συμβαίνει με την ενέργεια κατά την διάδοση ενός αρμονικού κύματος σε μια χορδή.
Ας δούμε τώρα τι διαφορετικό έχουμε, αν κατά μήκος μιας τεντωμένης χορδής, η οποία τείνεται με δύναμη F, διαδίδεται ένας τριγωνικό παλμός με ταχύτητα υ=√F/μ.
Για ευκολία στις πράξεις, έστω ότι ο παλμός είναι αυτός του διπλανού σχήματος, ο οποίος διαδίδεται προς τα δεξιά με ταχύτητα υ=2m/s, ενώ η γραμμική πυκνότητα της χορδής είναι ίση με μ=0,05kg/m, πράγμα που σημαίνει ότι η τάση της χορδής είναι F=μυ2=0,2Ν.

Διαβάστε τη συνέχεια
ή



Σάββατο, 15 Ιουλίου 2017

Η ενέργεια και η ισχύς σε ένα αρμονικό κύμα.

Έστω ότι κατά μήκος ενός γραμμικού ελαστικού μέσου, μιας χορδής, διαδίδεται ένα αρμονικό κύμα με εξίσωση:
y=Α∙ημ2π(t/Τ-x/λ)
Η χορδή τείνεται με δύναμη F, έχοντας γραμμική πυκνότητα μ, με αποτέλεσμα η ταχύτητα διάδοσης του κύματος, κατά μήκος της, να δίνεται από την γνωστή εξίσωση υ=√F/m.

Διαβάστε τη συνέχεια…
ή

Πέμπτη, 13 Ιουλίου 2017

Πόσες κρούσεις θα συμβούν;

Σε λείο οριζόντιο επίπεδο και στην ίδια ευθεία, ηρεμούν τρεις μικρές σφαίρες Α, Β και Γ της ίδιας ακτίνας με μάζες 2m, m και 4m αντίστοιχα. Σε μια στιγμή δίνουμε ένα στιγμιαίο κτύπημα στην μεσαία σφαίρα Β, με αποτέλεσμα να αποκτήσει ταχύτητα μέτρου υο με κατεύθυνση προς τη σφαίρα Γ, όπως στο σχήμα (η σφαίρα μεταφέρεται χωρίς να περιστρέφεται). Οι κρούσεις που θα ακολουθήσουν είναι κεντρικές και ελαστικές.
i) Ο συνολικός αριθμός κρούσεων που θα ακολουθήσει είναι:
  α) μία,    β) δύο,   γ) τρεις.
ii) Μόλις ολοκληρωθούν οι κρούσεις, η απόσταση μεταξύ των σφαιρών Α και Γ θα αυξάνεται με ρυθμό:
 α) 0,6υο,    β) 0,8υο,   γ) υο.
ή

Τρίτη, 11 Ιουλίου 2017

Το τέντωμα του νήματος

Σε λείο οριζόντιο επίπεδο ηρεμούν δυο σώματα Α και Β με μάζας m1=1kg και m2=3kg αντίστοιχα, τα οποία συνδέονται με ένα αβαρές και μη εκτατό νήμα, το οποίο έχει μήκος μεγαλύτερο από την απόσταση μεταξύ των σωμάτων, με αποτέλεσμα να είναι χαλαρό.
Σε μια στιγμή το σώμα Α δέχεται στιγμιαίο κτύπημα, με αποτέλεσμα να αποκτήσει ταχύτητα υο=4m/s, όπως στο σχήμα.
i)  Να υπολογιστεί η ταχύτητα των δύο σωμάτων μετά το τέντωμα του νήματος.
ii) Η μηχανική ενέργεια του συστήματος διατηρείται κατά τη διάρκεια του  τεντώματος του νήματος;
ή

Σάββατο, 8 Ιουλίου 2017

Η κίνηση σε κυλινδρική επιφάνεια

Ένα μικρό σώμα Σ1 μάζας m1= 0,1kg αφήνεται τη στιγμή t0=0 να κινηθεί στο σημείο Β, στο εσωτερικό μιας λείας κυλινδρικής επιφάνειας, κέντρου Ο και ακτίνας R=4m. Μετά από λίγο, το σώμα φτάνει στο λείο οριζόντιο επίπεδο ΚΜ, με ταχύτητα υ1, όπως στο σχήμα. Το σημείο Β απέχει κατά x1=0,2m από την κατακόρυφο ΟΚ, που περνά από το κέντρο Ο της κυλινδρικής επιφάνειας.
i) Να αποδείξτε ότι η κίνηση του σώματος από τη θέση Β μέχρι να φτάσει  στο οριζόντιο επίπεδο (θέση Κ) μπορεί να θεωρηθεί απλή αρμονική ταλάντωση.
ii) Να υπολογίσετε την τελική ταχύτητα υ1 του σώματος στο οριζόντιο επίπεδο.
iii) Πόσο απέχει το σώμα από το σημείο Κ τη χρονική στιγμή t1=2s;
iii) Επαναλαμβάνουμε το πείραμα αφήνοντας τώρα ένα δεύτερο σώμα Σ2 μάζας m2=0,2kg, σε σημείο Γ της κυλινδρικής επιφάνειας, το οποίο απέχει κατά x2=0,4m από την κατακόρυφο ΟΚ. Να εξετάσετε την ορθότητα ή μη των προτάσεων:
α) Το σώμα Σ2 θα χρειαστεί περισσότερο χρόνο (από το Σ1) για να φτάσει στο σημείο Κ.
β) Για την τελική ταχύτητα του Σ2 ισχύει υ2=2υ1.
Δίνεται π2≈10 και g=10m/s2.
ή

Τετάρτη, 5 Ιουλίου 2017

Η θέση και η απομάκρυνση σε μια ΑΑΤ.

Ένα σώμα μάζας m=0,1kg κινείται κατά μήκος ενός προσανατολισμένου άξονα x, εκτελώντας ΑΑΤ, ενώ η επιτάχυνσή του σε συνάρτηση με τη θέση του, δίνεται στο διπλανό διάγραμμα.
i) Γύρω από ποια θέση ταλαντώνεται το σώμα και με ποιο πλάτος;
ii) Να βρεθούν οι εξισώσεις:
 α) της απομάκρυνσης από τη θέση ισορροπίας και
 β) της θέσης του σώματος
σε συνάρτηση με το χρόνο και να γίνουν οι γραφικές τους παραστάσεις, αν το σώμα τη στιγμή t0=0 βρίσκεται στη θέση x0=0,4m.
iii) Να παρασταθεί επίσης γραφικά η δυναμική ενέργεια του σώματος, σε συνάρτηση:
α) με την απομάκρυνση από τη θέση ισορροπίας
β) με την θέση του σώματος.
Δίνεται π2≈10.
ή