Η σύνθετη κίνηση και οι ταχύτητες

 i)  Ένας δίσκος κυλίεται σε οριζόντιο επίπεδο, όπως στο σχήμα (1) και το ανώτερο σημείο του Α, έχει ταχύτητα υ₁=1m/s.  Να υπολογιστεί η ταχύτητα του κέντρου Ο του δίσκου.

ii) Στο σχήμα (2), γύρω από έναν λεπτό δίσκο έχουμε τυλίξει ένα νήμα, το άκρο του οποίου έχει  δεθεί σε κατακόρυφο τοίχο. Το κέντρο Ο του δίσκου κινείται προς τα δεξιά με ταχύτητα υ₁=1m/s και το νήμα που ξετυλίγεται παραμένει οριζόντιο. Να υπολογιστεί η ταχύτητα του σημείου Α, επαφής του δίσκου με το οριζόντιο επίπεδο.

iii) Γύρω από μια τροχαλία έχουμε περάσει ένα μη εκτατό νήμα, το ένα άκρο του οποίου έχουμε δέσει στο ταβάνι, ενώ το άλλο άκρο Α, κινείται κατακόρυφα προς τα πάνω με σταθερή ταχύτητα υ₁=1m/s, όπως στο σχήμα (3) (κινητή τροχαλία).
α) Να υπολογιστεί η ταχύτητα του κέντρου Ο της τροχαλίας.
β) Πόσο θα ανέβει το κέντρο Ο της τροχαλίας, αν το άκρο Α του νήματος ανέβει 0,4m; 

Απαντήσεις:
ή

 Η σύνθετη κίνηση και οι ταχύτητες

  Η σύνθετη κίνηση και οι ταχύτητες

  

Ο ευθύγραμμος, απείρου μήκους αγωγός ε, διαρρέεται από ρεύμα έντασης Ι, ενώ σε ένα σημείο του διακόπτεται, σχηματίζοντας έναν κυκλικό αγωγό ακτίνας R και κέντρου Ο, με το επίπεδό του κατακόρυφο, όπως στο σχήμα.

i) Η ένταση του μαγνητικού πεδίου στο κέντρο Ο του κυκλικού αγωγού:

α) Είναι κατακόρυφη με φορά προς τα κάτω, παράλληλη στον αγωγό ε.

β) Είναι οριζόντια, κάθετη στο επίπεδο, του σχήματος με φορά προς τα μέσα.

γ) Είναι οριζόντια, κάθετη στο επίπεδο, του σχήματος με φορά προς τα έξω.

ii) Το μέτρο Β της έντασης στο σημείο Ο, έχει μέτρο:

α) Β < k_μ∙4Ι/R,      β) Β = k_μ∙4πΙ/R,      γ) Β > k_μ∙4Ι/R.

Να δικαιολογήσετε τις επιλογές σας.

Απάντηση:

ή

 Επικρατεί ο ευθύγραμμος  ή ο  κυκλικός αγωγός;

 Επικρατεί ο ευθύγραμμος  ή ο  κυκλικός αγωγός;

Η επιτάχυνση του αγωγού με σταθερή την δύναμη

Ο αγωγός ΑΓ του σχήματος μάζας m, μπορεί να κινείται οριζόντια σε επαφή με δύο οριζόντιους μεταλλικούς αγωγούς, χωρίς τριβές, οι οποίοι δεν εμφανίζουν αντίσταση και που στα άκρα τους x,y συνδέεται  ένας αντιστάτης. Το σύστημα βρίσκεται μέσα σε ένα ομογενές κατακόρυφο μαγνητικό πεδίο, έντασης Β και ο αγωγός ηρεμεί. Κάποια στιγμή t_ο=0 ασκούμε στον αγωγό μια σταθερή οριζόντια δύναμη F, οπότε επιταχύνεται προς τα δεξιά.

i) Να εξηγήσετε γιατί ο αντιστάτης διαρρέεται από ηλεκτρικό ρεύμα, κατά την κίνηση του αγωγού ΑΓ.

ii) Η επιτάχυνση του αγωγού κάποια στιγμή t₁>0 έχει μέτρο:

α)  α₁ < F/m,        β) α₁ = F/m,        γ) α₁ > F/m.

iii) Κάποια επόμενη χρονική στιγμή t₂ >t₁, ο αγωγός ΑΓ έχει επιτάχυνση α₂, με μέτρο:

α)  α₂ < α₁,          β)  α₂ = α₁,         γ)  α₂ > α₁.

iv) Αν από τη στιγμή t₁ μέχρι τη στιγμή t₂ ο αγωγός διανύει απόσταση d, τότε η θερμότητα που παράγεται στον αντιστάτη R (η ράβδος ΑΓ δεν παρουσιάζει αντίσταση) είναι:

α) Q_θ < F∙d,       β) Q_θ = F∙d,      γ) Q_θ > F∙d.

Να δικαιολογήσετε τις απαντήσεις σας.

Απάντηση:

ή

 Η επιτάχυνση του αγωγού με σταθερή την δύναμη

 Η επιτάχυνση του αγωγού με σταθερή την δύναμη

Όταν το σώμα πέσει στο ελατήριο

   

Ένα ιδανικό ελατήριο στηρίζεται στο έδαφος σε κατακόρυφη θέση. Από μια θέση Γ σε ύψος h πάνω από το ελεύθερο άκρο του αφήνουμε να πέσει ένα σώμα, το οποίο αφού συμπιέσει το ελατήριο, μετά από λίγο επιστρέφει στην θέση Γ.

i)  Για την ενέργεια της ταλάντωσης που πραγματοποιεί το σώμα, όσο χρόνο βρίσκεται σε επαφή με το ελατήριο, ισχύει:

α) Ε < mgh,     β) Ε = mgh,      γ) Ε > mgh.

ii)  Αν Τ η περίοδος της παραπάνω ταλάντωσης, τότε ο χρόνος που το σώμα βρίσκεται σε επαφή με το ελατήριο είναι ίσος:

α)  t= ½ Τ,    β)  ½ Τ < t < Τ,   γ) t= Τ.

iii) Ποια από τις παρακάτω γραφικές παραστάσεις, παριστάνει την ταχύτητα του σώματος σε συνάρτηση με το χρόνο, μέχρι τη στιγμή t₂ που σταματά η προς τα κάτω κίνησή του (θετική φορά προς τα πάνω);

 

Να δικαιολογήσετε τις απαντήσεις σας.

Απάντηση:

ή

 Όταν το σώμα πέσει στο ελατήριο

 Όταν το σώμα πέσει στο ελατήριο

Η περιστροφή δύο ράβδων

Οι δύο ομογενείς ράβδοι του σχήματος, μπορούν να στρέφονται γύρω από σταθερούς οριζόντιους άξονες, οι οποίοι περνούν από τα άκρα τους Ο και Ο΄, διαγράφοντας κατακόρυφο επίπεδο. Φέρνουμε τις ράβδους σε οριζόντια θέση και τις αφήνουμε να κινηθούν.

i) Μεγαλύτερη αρχική επιτάχυνση αποκτά:

α) Το άκρο Α της μικρότερης ράβδου.

β) Το άκρο Β της ράβδου με το μεγαλύτερο μήκος.

γ) Τα άκρα Α και Β αποκτούν την ίδια αρχική επιτάχυνση.

ii) Στην κατακόρυφη θέση θα φτάσει πρώτη:

α) Η μικρή ράβδος.

β) Η μακρύτερη ράβδος.

γ) Η ράβδος με την μεγαλύτερη μάζα.

Δίνεται η ροπή αδράνειας μιας ομογενούς ράβδου ως προς κάθετο άξονα ο οποίος διέρχεται από το μέσον της  Ι_cm= mℓ²/12.

Απάντηση:

ή

 Η περιστροφή δύο ράβδων

 Η περιστροφή δύο ράβδων

Τρεις ερωτήσεις για ένα γιο-γιο

Γύρω από ένα ομογενή κύλινδρο μάζας m και ακτίνας R τυλίγουμε ένα αβαρές νήμα, στο άκρο Α του οποίου ασκούμε μια σταθερή κατακόρυφη δύναμη μέτρου F για t₀=0 και ταυτόχρονα αφήνουμε ελεύθερο τον κύλινδρο να κινηθεί, όπως στο σχήμα. Δίνεται η ροπή αδράνειας του κυλίνδρου ως προς τον άξονα περιστροφής στο Ο,  Ι= ½ mR².

1) Αν F=mg,  ποιες προτάσεις είναι σωστές και ποιες λανθασμένες για τις επιταχύνσεις μόλις αφεθεί ελεύθερος ο κύλινδρος (για t=0⁺):

α) Το σημείο Β, που καταλήγει το νήμα, έχει μηδενική επιτάχυνση.

β) Η επιτάχυνση του σημείου Δ, αντιδιαμετρικού του Β, έχει κατακόρυφη διεύθυνση  με φορά προς τα κάτω, μέτρου 2g.

γ) Η επιτάχυνση του σημείου Γ, στο άκρο μιας κατακόρυφης ακτίνας, είναι οριζόντια.

Να δικαιολογήσετε τις απαντήσεις σας.

2) Την χρονική στιγμή που το άκρο Α του παραπάνω νήματος έχει ανέβη κατά h, ο κύλινδρος έχει κινητική ενέργεια:

α) Κ=mgh,    β) Κ= 2mgh,    γ) Κ= 3mgh.

Να δικαιολογήσετε την απάντησή σας.

3) Αν το μέτρο της δύναμης είναι ίσο με F₁= ½ mg, τότε την χρονική στιγμή t:

α) Ποιος ο ρυθμός μεταβολής της στροφορμής του κυλίνδρου ως προς το σημείο Β;

β)  Πόση είναι η  στροφορμή του κυλίνδρου ως προς το Β;

γ) Να βρεθεί η ιδιοστροφορμή του κυλίνδρου ως προς τον οριζόντιο άξονά του ο οποίος περνά από το Ο, καθώς και ο αντίστοιχος ρυθμός μεταβολής της ιδιοστροφορμής.

 

Απάντηση:

ή

 Τρεις ερωτήσεις για ένα γιο-γιο

 Τρεις ερωτήσεις για ένα γιο-γιο

Το μαγνητικό πεδίο και η ένταση του ρεύματος

   

Ένας κυκλικός αγωγός βρίσκεται μέσα σε ένα ομογενές μαγνητικό πεδίο, κάθετα στις δυναμικές γραμμές, όπως στο σχήμα. Κάποια στιγμή έχουμε μια μεταβολή της έντασης του πεδίου, με αποτέλεσμα ο αγωγός να διαρρέεται από επαγωγικό ρεύμα, η ένταση του οποίου μεταβάλλεται όπως στο διπλανό διάγραμμα.

i)  Την στιγμή t₁ η ένταση του μαγνητικού πεδίου αυξάνεται ή μειώνεται;

ii) Ποιο από τα παρακάτω διαγράμματα δίνει την μαγνητική ροή που περνά από το επίπεδο του κυκλικού αγωγού σε συνάρτηση με τον χρόνο;

 

Να δικαιολογήσετε τις απαντήσεις σας.

Απάντηση:

ή

 Το μαγνητικό πεδίο και η ένταση του ρεύματος

 Το μαγνητικό πεδίο και η ένταση του ρεύματος

Δύο κάθετες ράβδοι στρέφονται

  Με δυο ομογενείς ράβδους ΑΒ και ΓΔ μπορούσε να κατασκευάσουμε δύο στερεά. Στο στερεό s₁ η ράβδος ΓΔ καρφώνεται στο άκρο Β, σχηματίζοντας ορθή γωνία, ενώ στο στερεό s₂ το άκρο Β της πρώτης, καρφώνεται στο μέσον της ράβδου ΓΔ, με κάθετες τις ράβδους.

Τα δυο στερεά μπορούν να περιστρέφονται γύρω από σταθερό οριζόντιο άξονα, ο οποίος περνά από το άκρο Α. Φέρνουμε τα στερεά σε θέση, όπου η ράβδος ΑΒ είναι οριζόντια, όπως στο σχήμα και τα αφήνουμε να κινηθούν.

i) Μεγαλύτερη αρχική γωνιακή επιτάχυνση, αποκτά:

α) Το στερεό s₁,  β) το στερεό s₂,   γ) Αποκτούν ίσες γωνιακές επιταχύνσεις.

ii) Τη στιγμή που η ράβδος ΑΒ γίνεται κατακόρυφη:

Α) Τα δύο στερεά έχουν αποκτήσει μέγιστη κινητική ενέργεια ή όχι;

Β) Για τις κινητικές ενέργειες των δύο στερεών ισχύει:

α) Κ₁ < Κ₂,   β) Κ₁ = Κ₂,   γ)  Κ₁ > Κ₂.

Να δικαιολογήσετε τις απαντήσεις σας.

Απάντηση:

ή

 Δύο κάθετες ράβδοι στρέφονται

 Δύο κάθετες ράβδοι στρέφονται

Δύο κρούσεις και δύο διαγράμματα

 1)     Ένα σώμα Α κινείται  σε λείο οριζόντιο επίπεδο, με την επίδραση μιας σταθερής οριζόντιας  δύναμης F και την στιγμή t₁ συγκρούεται μετωπικά με  δεύτερο σώμα Β. Στο διάγραμμα δίνεται η γραφική παράσταση της ταχύτητας του Α σώματος  σε συνάρτηση με το χρόνο. Η κρούση έχει αμελητέα διάρκεια, ενώ η δύναμη F συνεχίζει να ασκείται στο σώμα και μετά την κρούση.

i)  Να αποδείξετε ότι η κρούση μεταξύ των δύο σωμάτων είναι πλαστική.

ii) Να συγκρίνετε τις μάζες των δύο σωμάτων Α και Β.

iii) Να εξετάσετε αν πριν την κρούση, το σώμα Β, είναι ακίνητο ή αν κινείται.

 

2)      Ένα σώμα Α κινείται  σε λείο οριζόντιο επίπεδο, με την επίδραση μιας σταθερής οριζόντιας  δύναμης F και μια στιγμή συγκρούεται μετωπικά με  δεύτερο σώμα Γ. Στο διάγραμμα δίνεται η γραφική παράσταση της ταχύτητας του Α σώματος  σε συνάρτηση με το χρόνο. Η κρούση έχει αμελητέα διάρκεια, ενώ η δύναμη F συνεχίζει να ασκείται στο σώμα και μετά την κρούση.

i) Να αποδείξετε ότι η κρούση δεν είναι πλαστική.

ii) Αν η κρούση μεταξύ των σωμάτων είναι ελαστική,  τότε, να χαρακτηρίσετε τις παρακάτω προτάσεις ως σωστές ή λανθασμένες, δίνοντας σύντομες δικαιολογήσεις.

 α) Αν τα σώματα έχουν ίσες μάζες, τότε μπορεί το σώμα Γ να ήταν ακίνητο πριν την κρούση.

 β) Αν m₂=3m₁, όπου m₁ και m₂ οι μάζες των σωμάτων Α και Γ αντίστοιχα, τότε πριν την κρούση το Γ σώμα μπορεί να κινείται προς τα δεξιά με ταχύτητα μεγαλύτερη από 1m/s.

Απάντηση:

ή

 Δύο κρούσεις και δύο διαγράμματα

 Δύο κρούσεις και δύο διαγράμματα

Ένα σώμα σε δύο ταλαντώσεις

 Στο σχήμα βλέπετε ένα σώμα, το οποίο ισορροπεί μεταξύ δύο κατακόρυφων ιδανικών ελατηρίων, με σταθερές k₁ και k₂. Το σώμα είναι δεμένο στο πάνω ελατήριο, αλλά όχι στο κάτω.   

Εκτρέπουμε το σώμα κατακόρυφα από την θέση ισορροπίας και το αφήνουμε να κινηθεί. Λαμβάνοντας κάποια στιγμή ως αρχή μέτρησης των χρόνων (t₀=0), σχεδιάσαμε την απομάκρυνση του σώματος από την αρχική θέση ισορροπίας του σε συνάρτηση με το χρόνο, παίρνοντας το διάγραμμα του παραπάνω σχήματος, όπου η προς τα πάνω κατεύθυνση είναι η θετική, ενώ το σώμα έχει μέγιστη ταχύτητα τις χρονικές στιγμές 0, 2τ, 3τ, 5τ, 6τ.

i)  Μπορείτε να εξηγήσετε πόση είναι η αρχική παραμόρφωση του κάτω ελατηρίου, με βάση το διάγραμμα της απομάκρυνσης;

ii) Μεταξύ των δύο σταθερών των ελατηρίων ισχύει:

α) k₂= ½ k₁,       β) k₂=  k₁,    γ) k₂= 2 k₁,   δ) k₂= 3 k₁.

iii) Αν Α₁ το πλάτος ταλάντωσης, όταν το σώμα ταλαντώνεται στο άκρο μόνο του πάνω ελατηρίου και Α₂ το αντίστοιχο πλάτος, όταν ταλαντώνεται δεχόμενο δυνάμεις και από τα δύο ελατήρια, ισχύει:

α) Α₁=3Α₂,  β) Α₁=2Α₂,  γ) Α₂=Α₁.

Να δικαιολογήσετε τις απαντήσεις σας.

Δίνεται ότι ένα σώμα με την επίδραση δύο ελατηρίων, όπως στο σχήμα, εκτελεί ΑΑΤ με σταθερά επαναφοράς D=k₁+k₂.

Απάντηση:

ή

 Ένα σώμα σε δύο ταλαντώσεις

  Ένα σώμα σε δύο ταλαντώσεις

Οι ροπές κατά την περιστροφή του πλαισίου

 

Ένα ομογενές μεταλλικό ορθογώνιο πλαίσιο ΑΓΔΕ με πλευρές (ΓΔ)= α =0,5m και (ΑΓ)= 2α, στρέφεται όπως στο σχήμα, γύρω από κατακόρυφο άξονα z, ο οποίος περνά από τα μέσα των πλευρών ΑΓ και ΔΕ, αλλά και από το κέντρο μάζας Κ του πλαισίου, χωρίς τριβές. Το επίπεδο του πλαισίου είναι κατακόρυφο, ενώ βρίσκεται μέσα σε ένα οριζόντιο ομογενές μαγνητικό πεδίο. Το πλαίσιο στρέφεται με σταθερή γωνιακή ταχύτητα ω=4rad/s, με την επίδραση μεταβλητής δύναμης F₁, η οποία ασκείται στην κορυφή Γ, κάθετα στο επίπεδο του πλαισίου.  Για την στιγμή t₁ όπου η ένταση του πεδίου είναι παράλληλη στο επίπεδο του πλαισίου, ζητούνται:

i)   Πόση είναι η μαγνητική ροή που διέρχεται από το πλαίσιο; Γιατί το πλαίσιο διαρρέεται από ρεύμα; Να βρείτε την φορά της έντασης του ρεύματος που διαρρέει την πλευρά ΓΔ.

ii)  Να σχεδιάσετε στο σχήμα την δύναμη από το μαγνητικό πεδίο που ασκείται σε κάθε πλευρά του πλαισίου. Από ποια εξίσωση υπολογίζεται το μέτρο κάθε δύναμης;

iii) Αν η δύναμη Laplace που ασκείται στην πλευρά ΓΔ έχει μέτρο F_ΓΔ=0,5Ν, να σχεδιάσετε την εξωτερική δύναμη F₁ και να υπολογίσετε το μέτρο της.

iv) Να βρεθεί ο στιγμιαίος ρυθμός με τον οποίο παράγεται θερμότητα στην αντίσταση του πλαισίου.

Απάντηση:

ή

  Οι ροπές κατά την περιστροφή του πλαισίου

  Οι ροπές κατά την περιστροφή του πλαισίου

Η ένδειξη του βολτομέτρου κατά την πτώση αγωγού

 Ο αγωγός ΑΓ μάζας m=0,1kg, μήκους l=1m παρουσιάζει αντίσταση r=0,8Ω και μπορεί να κινείται σε επαφή με δύο μεταλλικούς κατακόρυφους στύλους, χωρίς αντίσταση, όπως στο σχήμα, χωρίς τριβές. Τα πάνω άκρα των δύο στύλων συνδέονται μέσω διακόπτη με μια αντίσταση R, ενώ στα κάτω άκρα τους συνδέουμε ένα ιδανικό βολτόμετρο. Κάθετα στο επίπεδο του σχήματος υπάρχει ένα ομογενές μαγνητικό πεδίο έντασης Β=1Τ.

  

Με ανοικτό το διακόπτη, κάποια στιγμή t₀=0, αφήνουμε τον αγωγό ΑΓ να πέσει και τη στιγμή t₁= 0,5s κλείνουμε το διακόπτη. Στο διπλανό διάγραμμα δίνεται η ένδειξη του βολτομέτρου, όπου πρακτικά τη στιγμή t₂ =1,5s έχει σταθεροποιηθεί η ένδειξή του.

i)  Να εξηγήσετε την μορφή της γραφικής παράστασης της τάσης, από 0-0,5s και να υπολογιστεί η τιμή της αντίστασης R.

ii)  Να βρεθεί η επιτάχυνση του αγωγού ΑΓ, αμέσως μετά το κλείσιμο του διακόπτη, καθώς και ο ρυθμός μεταβολής της κινητικής του ενέργειας τις στιγμές που το βολτόμετρο δείχνει ένδειξη 2V.

iii) Να κάνετε ένα ποιοτικό διάγραμμα της ταχύτητας του αγωγού ΑΓ σε συνάρτηση με το χρόνο, υπολογίζοντας και χαρακτηριστικές τιμές της ταχύτητας.

iv) Ποια η ένδειξη του  βολτομέτρου τη στιγμή t₂=1,5s;

 v) Αφαιρούμε τον διακόπτη και την αντίσταση R, συνδέοντας τα άκρα x και y μέσω σύρματος αμελητέας αντίστασης και αφήνουμε ξανά, από το ίδιο ύψος τον αγωγό ΑΓ να κινηθεί. Να δώσετε ποιοτικά διαγράμματα για τις συναρτήσεις ταχύτητας- χρόνου και ένδειξης βολτομέτρου – χρόνου, υπολογίζοντας και χαρακτηριστικές τιμές ταχύτητας και τάσης.

Δίνεται g=10m/s².

Απάντηση:

ή

 Η ένδειξη του βολτομέτρου κατά την πτώση αγωγού

 Η ένδειξη του βολτομέτρου κατά την πτώση αγωγού

Η κίνηση της ράβδου και ο ρόλος του ελατηρίου

Η ομογενής ράβδος ΟΑ μήκους d=5/3m και μάζας m=5,4kg, μπορεί να στρέφεται χωρίς τριβές, κινούμενη σε κατακόρυφο επίπεδο, γύρω από σταθερό οριζόντιο άξονα, ο οποίος περνά από το άκρο της Ο. Η ράβδος συγκρατείται σε οριζόντια θέση, ενώ το άκρο της Α είναι δεμένο στο άκρο κατακόρυφου ιδανικού ελατηρίου σταθεράς k=15Ν/m με φυσικό μήκος l_ο=2/3 m, το άλλο άκρο του οποίου έχει προσδεθεί σε σταθερό σημείο Β, όπως στο σχήμα.

Σε μια στιγμή αφήνουμε τη ράβδο να κινηθεί, οπότε μετά από λίγο γίνεται κατακόρυφη με οριζόντιο το ελατήριο. Ζητούνται:

i)  Η αρχική γωνιακή επιτάχυνση της ράβδου, μόλις αφεθεί να πέσει.

ii) Η ταχύτητα του άκρου Α τη ράβδου, τη στιγμή που αυτή γίνεται κατακόρυφη.

iii) Ο ρυθμός μεταβολής της δυναμικής ενέργειας του ελατηρίου, την στιγμή που γίνεται οριζόντιο.

iv) Θεωρώντας το οριζόντιο επίπεδο το οποίο διέρχεται από το σημείο Β, ως επίπεδο μηδενικής δυναμικής ενέργειας, να υπολογιστεί η μέγιστη μηχανική ενέργεια της ράβδου στη διάρκεια της κίνησής της.

Δίνεται η ροπή αδράνειας της ράβδου ως προς τον άξονα περιστροφής της Ι=md²/3 και g=10m/s².

Απάντηση:

ή

 Η κίνηση της ράβδου και ο ρόλος του ελατηρίου

 Η κίνηση της ράβδου και ο ρόλος του ελατηρίου