Ελαστική κρούση, ορμή και στροφορμή.

 

Μια σφαίρα Α, μάζας Μ=3kg ηρεμεί στη θέση (1), δεμένη στο κάτω άκρο ενός κατακόρυφου μη ελαστικού νήματος μήκους l=08m, το άλλο άκρο του οποίου έχε δεθεί σε σταθερό σημείο Ο. Σε μια στιγμή μια δεύτερη σφαίρα Β, μάζας m=1kg, συγκρούεται κεντρικά και  ελαστικά με τη σφαίρα Α, έχοντας οριζόντια ταχύτητα υ0 ελάχιστα πριν την κρούση. Μετά την κρούση, η Α σφαίρα φτάνει με μηδενική ταχύτητα στη θέση (2), με το νήμα οριζόντιο.

i)  Να υπολογισθεί η ορμή και ο ρυθμός μεταβολής της ορμής της Α σφαίρας, ελάχιστα μετά την κρούση στη θέση (1), καθώς και στη θέση (2).

ii) Τι ποσοστό της αρχικής κινητικής ενέργειας της σφαίρας Β, μεταφέρεται στην σφαίρα Α κατά την κρούση;

iii) Να υπολογιστεί η στροφορμή και ο ρυθμός μεταβολής της στροφορμής της σφαίρας Α, ως προς το σημείο Ο, στη θέση (3) όπου απέχει κατακόρυφα κατά h=0,6m από τη θέση (1), κατά την άνοδό της.

Δίνεται g=10m/s2.

Απάντηση:

ή

 Ελαστική κρούση, ορμή και στροφορμή.

Ελαστική κρούση, ορμή και στροφορμή.

Μια σφαίρα στο άκρο ελατηρίου.

 Μια σφαίρα μάζας 0,2kg είναι δεμένη στο άκρο οριζόντιου ιδανικού ελατηρίου με μήκος , το άλλο άκρο του οποίου δένεται σε σταθερό σημείο Ο και ηρεμεί σε λείο οριζόντιο επίπεδο, στη θέση Α. Σε μια στιγμή δέχεται μια ώθηση, με αποτέλεσμα να αποκτήσει οριζόντια αρχική ταχύτητα, κάθετη στον άξονα του ελατηρίου, μέτρου υ0=4m/s. Μετά από λίγο η σφαίρα φτάνει στη θέση Β, όπου ο άξονας του ελατηρίου έχει διαγράψει γωνία 90°, με ταχύτητα υ1 κάθετη στην ΟΒ, όπως στο σχήμα (σε κάτοψη), ενώ το ελατήριο έχει μήκος .

i)   Να εξετάσετε την ορθότητα ή μη της πρότασης: «η ταχύτητα υ1 είναι η ελάχιστη ταχύτητα της σφαίρας στη διάρκεια της κίνησης».

ii) Να υπολογιστούν για τη σφαίρα οι μεταβολές ορμής και στροφορμής ως προς το Ο,  μεταξύ των θέσεων Α και Β.

iii) Ένας μαθητής βρίσκει την κεντρομόλο δύναμη στη θέση Β και από αυτήν υπολογίζει στη συνέχεια την σταθερά του ελατηρίου. Να εξετάσετε αν αυτή είναι μια ορθή μέθοδος και στη  συνέχεια να υπολογιστεί η σταθερά k του ελατηρίου.

Απάντηση:

ή

Μια σφαίρα στο άκρο ελατηρίου.

Μια σφαίρα στο άκρο ελατηρίου.

Η αλλαγή της ακτίνας περιφοράς

 

Ένα σώμα Σ, το οποίο θεωρούμε υλικό σημείο, μάζας m=1kg εκτελεί ομαλή κυκλική κίνηση σε λείο οριζόντιο επίπεδο, δεμένο στο άκρο οριζόντιου ιδανικού ελατηρίου, σταθεράς k=80Ν/m, το άλλο άκρο του οποίου είναι δεμένο σε σταθερό σημείο Ο (το σχήμα σε κάτοψη). Το ελατήριο έχει φυσικό μήκος lο=0,4m, ενώ η ακτίνα της κυκλικής τροχιάς είναι R1=0,5m.

i)  Να υπολογισθεί η ταχύτητα του σώματος Σ και η στροφορμή του ως προς το κέντρο Ο της τροχιάς.

ii)  Σε μια στιγμή t0=0, ασκούμε στο σώμα μια οριζόντια μεταβλητή δύναμη F, η οποία αρχικά έχει μέτρο F0=1,5Ν και κατεύθυνση ίδια με την ταχύτητα υ1, με αποτέλεσμα να αυξάνουμε την ακτίνα της κυκλικής τροχιάς. Για τη στιγμή t0+, αμέσως μετά την άσκηση της δύναμης, να βρεθούν:

α) Η ισχύς της δύναμης F.

β) Η γωνιακή  επιτάχυνση του σώματος Σ.

γ) Ο ρυθμός μεταβολής της στροφορμής του σώματος, ως προς το κέντρο Ο της κυκλικής τροχιάς.

iii) Αν τελικά το σώμα Σ κινείται σε μια νέα κυκλική τροχιά με ακτίνα R2=0,6m, όταν παύει να ασκείται πάνω του η μεταβλητή δύναμη F, να υπολογιστεί το έργο της δύναμης F.

Απάντηση:

ή

Η αλλαγή της ακτίνας περιφοράς

Η αλλαγή της ακτίνας περιφοράς

Η αλλαγή της ακτίνας περιφοράς

Αλλάζοντας την τροχιά, κατά την περιφορά

  

Μια σφαίρα μάζας 2kg, την οποία θεωρούμε υλικό σημείο, βρίσκεται σε λείο οριζόντιο επίπεδο, δεμένη στο άκρο μη εκτατού νήματος, το οποίο αφού περάσει από ένα καρφάκι Κ, οδηγείται σε ένα κύλινδρο, στην επιφάνεια του του οποίου προσκολλάται. Ο κύλινδρος έχει ακτίνα r=0,4m και μπορεί να περιστρέφεται γύρω από σταθερό κατακόρυφο άξονα z, ο οποίος ταυτίζεται με τον άξονά του που συνδέει τα κέντρα των δύο βάσεών του. Η σφαίρα βρίσκεται στη θέση Α, απέχοντας κατά l0=2m από το Κ, ενώ πάνω της ασκείται μια σταθερού μέτρου δύναμη F1=2Ν, η οποία εξασφαλίζει το τέντωμα του νήματος.  Σε μια στιγμή t=0 εκτοξεύουμε οριζόντια τη σφαίρα με ταχύτητα υ0=0,9m/s, κάθετα στο νήμα όπως στο σχήμα (σε κάτοψη). Μετά από λίγο θέτουμε σε περιστροφή αριστερόστροφα τον κύλινδρο για χρονικό διάστημα 0,5s, μεταβάλλοντας την γωνιακή του ταχύτητα όπως στο διάγραμμα, οπότε την στιγμή t1 η σφαίρα φτάνει στην θέση Β, με ταχύτητα υ1 κάθετη επίσης στο νήμα, ενώ διαρκώς της ασκείται η δύναμη F1.

i)  Να υπολογισθεί η γωνία κατά την οποία περιστρέψαμε τον κύλινδρο, καθώς και το μήκος του νήματος που τυλίχθηκε γύρω του, στη διάρκεια της περιστροφής.

ii) Να βρεθεί το μέτρο της ταχύτητα υ1 καθώς και η τάση του νήματος στις θέσεις Α και Β.

iii) Γιατί στη διάρκεια της περιστροφής του κυλίνδρου, η σφαίρα είχε συνιστώσα ταχύτητας στη διεύθυνση του νήματος;

α) Να βρεθεί το μέγιστο μέτρο της συνιστώσας αυτής υR;

β) Να υπολογιστεί ο ρυθμός με τον οποίο μεταφέρει ενέργεια στη σφαίρα η δύναμη F1, τη στιγμή της μέγιστης υR.

Απάντηση:

ή

Αλλάζοντας την τροχιά, κατά την περιφορά

Αλλάζοντας την τροχιά, κατά την περιφορά

Η στροφορμή και η αλλαγή τροχιάς.

 

Μια μικρή σφαίρα μάζας m=0,4kg την οποία θεωρούμε υλικό σημείο αμελητέας ακτίνας, συγκρατείται στη θέση (A), δεμένη στο άκρο οριζόντιου μη εκτατού νήματος μήκους l=1m, το άλλο άκρο του οποίου είναι δεμένο σε σταθερό σημείο Ο. Σε μια στιγμή ασκούμε στη σφαίρα μια  δύναμη σταθερού μέτρου F=(20/π)Ν≈6,4Ν, κάθετη στο νήμα, με αποτέλεσμα να διαγράφει κατακόρυφο ημικύκλιο και μετά από λίγο να φτάνει στο αντιδιαμετρικό σημείο Β, όπως στο σχήμα.

i)  Να υπολογιστεί ο αρχικός ρυθμός μεταβολής της στροφορμής της σφαίρας, ως προς το κέντρο Ο της κυκλικής τροχιάς που διαγράφει. Ποιος ο αντίστοιχος ρυθμός τη στιγμή που το νήμα γίνεται κατακόρυφο;

ii) Να βρεθεί η στροφορμή της σφαίρας ως προς το Ο, καθώς και ο αντίστοιχος ρυθμός μεταβολής της στροφορμής της, τη στιγμή που η σφαίρα φτάνει στη θέση (Β).

iii) Στη θέση Β το νήμα έρχεται σε επαφή με ένα καρφί Κ στο μέσον του,  γύρω από το οποίο η σφαίρα ξεκινά μια νέα κυκλική τροχιά, κέντρου Κ και ακτίνας R=0,5m, ενώ ταυτόχρονα η δύναμη  F παύει να ασκείται.

α) Για την θέση Β, αμέσως μετά την κατάργηση της δύναμης, να βρεθεί η στροφορμή και ο αντίστοιχος ρυθμός μεταβολής της ως προς το κέντρο Κ, της νέας κυκλικής τροχιάς  στην οποία θα κινηθεί.

β) Ποια η μέγιστη κινητική ενέργεια που θα αποκτήσει στη συνέχεια η σφαίρα και ποιος ο ρυθμός μεταβολής της στροφορμής της ως προς το Κ, στη θέση μέγιστης κινητικής ενέργειας;

Δίνεται g=10m/s2.

Απάντηση:

ή

Η  στροφορμή και η αλλαγή τροχιάς.

Η  στροφορμή και η αλλαγή τροχιάς.

Η στροφορμή και οι ρυθμοί μεταβολής της

Μια σφαίρα μάζας m=2kg, η οποία θεωρείται υλικό σημείο αμελητέας ακτίνας, κρέμεται στο άκρο μη εκτατού νήματος μήκους l=2m, το άλλο άκρο του οποίου έχει δεθεί σε σταθερό σημείο Ο, στη θέση Α. Σε μια στιγμή ασκούμε στη σφαίρα μια σταθερή οριζόντια δύναμη F, μέτρου F=10Ν, με αποτέλεσμα μετά από λίγο να φτάνει στην θέση Β, έχοντας εκτραπεί οριζόντια κατά x=1,2m.

i)  Να βρεθεί ο ρυθμός μεταβολής της στροφορμής της σφαίρας ως προς το Ο, αμέσως μόλις ασκηθεί η δύναμη F.

ii) Να αποδειχθεί ότι το έργο της δύναμης κατά την παραπάνω μετακίνηση κατά μήκος του τόξου ΑΒ, είναι ίσο με W=F∙x.

iii) Να υπολογισθεί η στροφορμή της σφαίρας, καθώς και ο αντίστοιχος ρυθμός μεταβολής της στροφορμής της ως προς το Ο, στη θέση Β.

iv) Ποιος ο ρυθμός μεταβολής της κινητικής ενέργειας της σφαίρας στη θέση Β;

Δίνεται g=10m/s2.

Απάντηση:

ή

Η στροφορμή και οι ρυθμοί μεταβολής της

Η στροφορμή και οι ρυθμοί μεταβολής της

Μια αλλαγή άξονα περιστροφής.‎

 

Μια ομογενής ράβδος ΑΒ μπορεί να στρέφεται σε κατακόρυφο επίπεδο, γύρω από σταθερό οριζόντιο άξονα, ο οποίος περνά από το άκρο της Α. Φέρνουμε τη ράβδο σε οριζόντια θέση και την αφήνουμε να κινηθεί, οπότε τη στιγμή t₁ που η ράβδος έχει στραφεί κατά γωνία θ, το μέσον Ο της ράβδου έχει ταχύτητα υ₁=3m/s.

i) Να υπολογιστεί η στροφορμή της ράβδου τη στιγμή t₁,  ως προς οριζόντιο άξονα, κάθετο στο επίπεδο της σελίδας, ο οποίος περνά:

α) Από το κέντρο μάζας Ο της ράβδου.

β) Από το άκρο Α της ράβδου.

γ) Από το άκρο της Β.

ii) Τη στιγμή t₁, ο άξονας περιστροφής σπάει και αμέσως μετά η ράβδος αρχίζει να στρέφεται γύρω από δεύτερο σταθερό οριζόντιο άξονα, κάθετο στη ράβδο, ο οποίος περνά από το άκρο της Β. Ποια η ταχύτητα υ₂ του μέσου Ο της ράβδου, μόλις αρχίσει η περιστροφή γύρω από  τον άξονα που περνά από το άκρο Β;

Δίνεται η ροπή αδράνειας  της ράβδου ως προς κάθετο άξονα ο οποίος περνά από το μέσον της Ι= ml²/12.

Απάντηση:

ή

Μια αλλαγή άξονα περιστροφής.‎

Μια αλλαγή άξονα περιστροφής.‎

Είναι η επιτάχυνση κεντρομόλος;

  

Μια μικρή σφαίρα εκτελεί ομαλή κυκλική κίνηση, πάνω σε ένα λείο τραπέζι, δεμένη στο άκρο νήματος, το οποίο αφού περάσει από μια μικρή οπή στο σημείο Ο, στο άλλο του άκρο του, ασκούμε μια δύναμη F, όπως στο σχήμα. Σε μια στιγμή αυξάνουμε σιγά- σιγά το μέτρο της δύναμης F, με αποτέλεσμα να αυξάνουμε και την τάση του νήματος Τ, που ασκείται στη σφαίρα οπότε έτσι μειώνουμε την ακτίνα της κυκλικής τροχιάς στο μισό της αρχικής. Στη διάρκεια αυτής της αλλαγής:

i)  Η τάση του νήματος προκαλεί μια επιτάχυνση στη σφαίρα, στη διεύθυνση της ακτίνας, η οποία είναι κεντρομόλος με μέτρο α=Τ/m=υ²/r, όπου υ το μέτρο της ταχύτητας σε μια τυχαία θέση και r η αντίστοιχη ακτίνα του κύκλου.

ii) Ο στιγμιαίος ρυθμός μεταβολής της στροφορμής της σφαίρας ως προς το Ο είναι μηδενικός.

iii) Ο στιγμιαίος ρυθμός παραγωγής έργου από την τάση του νήματος (η ισχύς της τάσης Τ) είναι μηδενικός.

Χαρακτηρίσετε τις παραπάνω προτάσεις ως σωστές ή λανθασμένες, δίνοντας σύντομες δικαιολογήσεις.

Απάντηση:

ή

Είναι η επιτάχυνση κεντρομόλος;

Είναι η επιτάχυνση κεντρομόλος;

Ένα υλικό σημείο πάνω στο δίσκο

  Ένας δίσκος στρέφεται γύρω από τον κατακόρυφο άξονα z, ο οποίος περνά από το κέντρο του Ο. Ένα μικρό σώμα Σ, το οποίο θεωρούμε υλικό σημείο αμελητέων διαστάσεων, έχει προσκολληθεί στην περιφέρεια του δίσκου. Στο διάγραμμα (μεσαίο σχήμα) βλέπετε πώς μεταβάλλεται η στροφορμή του σώματος Σ, ως προς τον άξονα z.

Αρχικά ο δίσκος στρέφεται αντίθετα από τους δείκτες του ρολογιού και στο δεξιό  σχήμα (ο δίσκος σε κάτοψη) έχουν σημειωθεί τρεις θέσεις (1,2 και 3) του σώματος Σ, τις χρονικές στιγμές t₁, t₂ και t₃ αντίστοιχα. Ας θεωρήσουμε ότι η μελέτης μας γίνεται εκτός πεδίου βαρύτητας, οπότε δεν λαμβάνουμε υπόψη το βάρος.

i)  Τη στιγμή t₁ δεν μεταβάλλεται η στροφορμή του υλικού σημείου Σ, συνεπώς η ασκούμενη από το δίσκο δύναμη είναι μηδενική. Συμφωνείτε ή διαφωνείτε με την πρόταση αυτή;

ii) Ποιο από τα διανύσματα α,β,γ και δ παριστάνει τη δύναμη που δέχεται το σώμα Σ από το δίσκο τη χρονική στιγμή t₂;

iii) Τη στιγμή t₃, όπου μηδενίζεται η στροφορμή του Σ, μηδενίζεται και η ασκούμενη πάνω του δύναμη  από τον δίσκο. Συμφωνείτε ή όχι με την πρόταση;

Σε περίπτωση διαφωνίας με κάποια από τις προτάσεις i) και iii) (ή και με τις δύο), να σχεδιάσετε πάνω στο δεξιό σχήμα τις δυνάμεις που δέχεται το σώμα Σ από τον δίσκο τις στιγμές αυτές.

Απάντηση:

ή

Ένα υλικό σημείο πάνω στο δίσκο

Ένα υλικό σημείο πάνω στο δίσκο

Οι μεταβολές ορμής και στροφορμής

  

Μια μικρή σφαίρα μάζας 0,2kg κινείται με σταθερή ταχύτητα υ_ο=5m/s σε λείο οριζόντιο επίπεδο, χωρίς να περιστρέφεται. Σε μια θέση Α συναντά ένα κατακόρυφο κυκλικό οδηγό, κέντρου Ο και ακτίνας R=0,8m, στον οποίο συνεχίζει να κινείται χωρίς τριβές, οπότε μετά από λίγο περνά από την θέση Γ, όπου η ταχύτητά της γίνεται κατακόρυφη.

i)  Να υπολογιστεί η ταχύτητα υ₁ της σφαίρας στη θέση Γ.

ii) Να βρεθεί η μεταβολή της ορμής της σφαίρας από το Α στο Γ, καθώς και ο ρυθμός μεταβολής της ορμής  στις θέσεις Α (αμέσως μόλις μπει στον κυκλικό οδηγό) και  Γ.

iii) Να βρεθεί ομοίως, η μεταβολή της στροφορμής της σφαίρας, ως προς το κέντρο Ο, μεταξύ Α και Γ και ο ρυθμός μεταβολής της στροφορμής (ως προς το Ο) στις θέσεις Α και Γ.

Δίνεται g=10m/s².

Απάντηση:

ή

Οι μεταβολές ορμής και στροφορμής

Οι μεταβολές ορμής και στροφορμής

Η ράβδος και το υλικό σημείο

  

Μια ράβδος στρέφεται σε λείο οριζόντιο επίπεδο, γύρω από κατακόρυφο άξονα z, ο οποίος περνά από ένα  σημείο της Ο. Στο σημείο Β της ράβδου έχει στερεωθεί ένα μικρό σώμα Σ, το οποίο θεωρούμε υλικό σημείο μάζας m=0,4kg, σε απόσταση (ΑΒ)=0,5m από το άκρο Α της ράβδου, παίρνοντας ένα στερεό s. Σε μια στιγμή t₁ η ράβδος βρίσκεται στη θέση που δείχνει το διπλανό σχήμα (σε κάτοψη), ενώ το άκρο Α έχει ταχύτητα μέτρου υ₁=4m/s και επιτάχυνση μέτρου α₁=10m/s², όπως στο σχήμα. Στο σχήμα έχει σημειωθεί επίσης και ένα σύστημα ορθογωνίων αξόνων x και y, ενώ δίνεται ότι (ΟΑ)=2m. Για την στιγμή t₁:

i)  Να βρεθεί η γωνιακή ταχύτητα του στερεού s.

ii) Να αναλυθεί η επιτάχυνση του άκρου Α σε δύο  συνιστώσες α_1x και α_1y, στις διευθύνσεις x και y. Ποιος ο ρόλος κάθε συνιστώσας;

iii) Το σώμα Σ, δέχεται μια οριζόντια δύναμη από τη ράβδο . Να βρεθούν οι δυο συνιστώσες της δύναμης αυτής F_x και F_y, στις διευθύνσεις x και y.

iv) Να βρεθεί η στροφορμή του σώματος Σ, κατά τον άξονα z, καθώς και ο αντίστοιχος ρυθμός μεταβολής της στροφορμής του.

Απάντηση:

ή

Η ράβδος και το υλικό σημείο

Η ράβδος και το υλικό σημείο

Η στροφορμή και μια πλαστική κρούση

 

Στα άκρα μιας αβαρούς ράβδου μήκους 2mέχουν στερεωθεί μια σφαίρα Α μάζας m₁=3kgκαιένα μικρό σώμα Β που θεωρείται υλικό σημείο μάζας m₂=1kg, παίρνοντας έτσι ένα στερεό s. Το στερεό s ηρε-μεί σε λείο οριζόντιο επίπεδο, ενώ μπορεί να στρέφεται γύρω από σταθερό κατακόρυφο άξονα z, ο οποίος διέρχεται από το μέσον Μ της ράβδου. Μια άλλη  σφαίρα Γ, μάζας Μ=4kgηρεμεί επίσης στο ίδιο οριζόντιο επίπεδο, δεμένη στο άκρο αβαρούς νήματος σταθερού μήκους 1m, το άλλο άκρο του οποίου έχει δεθεί στον άξονα z, όπως στο σχήμα (σε κάτοψη). Σε μια στιγμή t₀=0, η σφαίρα Γ δέχεται μια σταθερού μέτρου δύναμη F=4Ν, η οποία είναι διαρκώς κάθετη στο νήμα, με αποτέλεσμα να κινηθεί κυκλικά. Αφού η σφαίρα διαγράψει γωνία θ=2rad, συγκρούεται πλαστικά με το σώμα Β, ενώ τη στιγμή της σύγκρουσης, παύει να ασκείται πάνω της η δύναμη F.

i)  Να υπολογισθεί ο ρυθμός μεταβολής της στροφορμής της σφαίρας Γ, ως προς το κέντρο της κυκλικής τροχιάς M, στη διάρκεια της εξάσκησης της  δύναμης F.

ii) Να βρεθεί η στροφορμή της σφαίρας Γ, ως προς τον άξονα z, ελάχιστα πριν την κρούση.

iii) Να υπολογισθεί η απώλεια της μηχανικής ενέργειας που οφείλεται στην πλαστική κρούση μεταξύ της σφαίρας Γ και του σώματος Β.

iv) Πόσο είναι το έργο της δύναμης F_Bπου η σφαίρα Γ άσκησε στο σώμα Β και ποιο το αντίστοιχο έργο της αντίδρασής της.

Απάντηση:

ή

 Η στροφορμή και μια πλαστική κρούση

 Η στροφορμή και μια πλαστική κρούση

Η διατήρηση της στροφορμής και η αβαρής ράβδος

 Δυο όμοιες μικρές σφαίρες Α και Β, της ίδιας μάζας, κρέμονται από το ίδιο σημείο Ο στα άκρα  δύο αβαρών νημάτων του ίδιου μήκος l. Εκτρέπουμε την σφαίρα Α, όπως στο σχήμα (1) κατά κάποια γωνία θ και αφήνοντάς την φτάνει στην κατακόρυφη θέση με ταχύτητα υ_­0, οπότε συγκρούεται κεντρικά και ελαστικά με την σφαίρα Β, με αποτέλεσμα η Β να αποκτά ταχύτητα υ₀, αμέσως μετά την κρούση.

 

Αντικαθιστούμε το ένα νήμα με αβαρή ράβδο, αλλά τώρα πάνω της στερεώνουμε εκτός της  σφαίρας Β και μια άλλη όμοιά της σφαίρα Γ, στο μέσον της ράβδου, όπως στο σχήμα (2). Αν επαναλάβουμε το πείραμα να αποδείξετε ότι η σφαίρα Β, μετά την κρούση, θα αποκτήσει ταχύτητα υ₁, μικρότερη της υ₀.

Απάντηση:

ή

 Η διατήρηση της  στροφορμής και η αβαρής ράβδος

 Η διατήρηση της  στροφορμής και η αβαρής ράβδος

Μια κυκλική κίνηση υλικού σημείου

  

Ένα σώμα Σ μάζας m=2kg ηρεμεί σε οριζόντιο επίπεδο, με το οποίο παρουσιάζει συντελεστή τριβής ολίσθησης μ=0,15, δεμένο στο άκρο μη ελαστικού νήματος σταθερού μήκους l=2m, το άλλο άκρο του οποίου έχει δεθεί σε σταθερό σημείο Ο. Σε μια στιγμή t₀=0 ασκούμε στο  σώμα μια οριζόντια δύναμη, το μέτρο της οποίας δίνεται από την εξίσωση F=5+1,25t (μονάδες στο S.I.), η οποία έχει μεταβαλλόμενη διεύθυνση, σχηματίζοντας με το νήμα σταθερή γωνία θ, όπου ημθ=0,8. Το αποτέλεσμα είναι το σώμα Σ, να κινηθεί σε κυκλική τροχιά, κέντρου Ο και ακτίνας R=2m, όπως στο σχήμα (σε κάτοψη).

i)  Για τη στιγμή t=0⁺, αμέσως μόλις ασκηθεί η δύναμη, να υπολογιστούν η τάση του νήματος και ο ρυθμός μεταβολής της στροφορμής του σώματος Σ, ως προς το κέντρο Ο της τροχιάς.

ii)  Να βρεθεί η εξίσωση τ=f(t), της συνολικής ροπής των δυνάμεων που ασκούνται στο σώμα Σ, ως προς το κέντρο του κύκλου, σε συνάρτηση με το χρόνο και να γίνει η γραφική της παράσταση.

iii) Να βρεθεί η στροφορμή και ο ρυθμός μεταβολής  της στροφορμής του σώματος Σ, ως προς το σημείο Ο, τη  χρονική στιγμή t₁=2s.

iv) Ποιος ο ρυθμός μεταβολής της κινητικής ενέργειας του σώματος και πόση είναι η τάση του νήματος τη στιγμή t₁;

Απάντηση:

ή

  Μια κυκλική κίνηση υλικού  σημείου

 Μια κυκλική κίνηση υλικού  σημείου