Κατά μήκος ενός γραμμικού ελαστικού μέσου, διαδίδεται ένα αρμονικό κύμα και στο σχήμα δίνεται ένα στιγμιότυπο του κύματος, σε μια περιοχή του μέσου, κάποια χρονική στιγμή, όπου θεωρούμε ως t=0 και η ταχύτητα του σημείου Α είναι μηδενική.
i) Αν τη στιγμή t1 η φάση του σημείου Α είναι ίση με 5,5π (rad), τότε η φάση του σημείου Β είναι ίση σε rad:
α) 4,5π, β) 5,0 π, γ) 6,0 π, δ) 6,5π.
ii) Ποιο από τα παρακάτω σχήματα δείχνει τη μορφή της ίδιας περιοχής του μέσου τη στιγμή t1;
ή
Στο σχήμα βλέπουμε τη μορφή μιας ελαστικής χορδής με σταθερά άκρα, πάνω στην οποία έχει δημιουργηθεί ένα στάσιμο κύμα, κάποια στιγμή που θεωρούμε ως t=0 και όπου η ταχύτητα ταλάντωσης του σημείου Β είναι μηδενική.
i) Το σημείο Α ή το σημείο Γ έχει μεγαλύτερη (κατά μέτρο) ταχύτητα τη στιγμή t=0;
ii) Δίδονται τα παρακάτω 4 στιγμιότυπα της παραπάνω χορδής:
Επιλέγουμε το σχήμα που δίνει τη μορφή της χορδής και σημειώνουμε τις ταχύτητες ταλάντωσης των σημείων Α, Β και Γ, πάνω στο σχήμα, για τις χρονικές στιγμές:
a) t1= 3Τ/2, b) t2=3T/4, c) t3=4T/3.
ή
Κατά μήκος ενός γραμμικού ελαστικού μέσου, μεγάλου μήκους, διαδίδονται αντίθετα δύο όμοια κύματα, τα οποία τη στιγμή tο=0 «συναντώνται» στο σημείο Ο, όπως στο σχήμα, οπότε έχουμε το σχηματισμό ενός στάσιμου κύματος.
i) Ποιο από τα παρακάτω σχήματα παριστάνει τη μορφή της περιοχής του μέσου, μεταξύ των σημείων Β και Γ, τη χρονική στιγμή t1=Τ, όπου Τ η περίοδος ταλάντωσης των σημείων του μέσου; Στο σχήμα που θα επιλέξετε να σημειώστε τις ταχύτητες των κοιλιών του στάσιμου κύματος, τη στιγμή αυτή.
ii) Ποια η απάντηση στο προηγούμενο ερώτημα αν το κύμα προς τα αριστερά ήταν όπως στο παρακάτω σχήμα;
Να δικαιολογήσετε τις επιλογές σας.
ή
Μια χορδή με σταθερά άκρα διεγείρεται οπότε δημιουργείται πάνω της ένα στάσιμο κύμα με 2 δεσμούς (εκτός των δύο άκρων). Η πρώτη κοιλία Κ1 απέχει απόσταση d=10cm από το αριστερό άκρο της χορδής και τη στιγμή που θεωρούμε t=0, έχει μέγιστη θετική ταχύτητα μέτρου 10π cm/s, ενώ τη στιγμή t1=0,6s η ταχύτητά της μηδενίζεται για δεύτερη φορά.
i) Να υπολογιστεί το πλάτος ταλάντωσης της κοιλίας Κ1 και το μήκος L της χορδής, το οποίο θεωρούμε ίσο με την απόσταση των δύο άκρων της.
ii) Να γραφεί η εξίσωση της απομάκρυνσης της κοιλίας Κ1, σε συνάρτηση με το χρόνο, καθώς και οι αντίστοιχες εξισώσεις y=f(t) για τις υπόλοιπες κοιλίες που σχηματίζονται πάνω στη χορδή.
iii) Θεωρώντας την θέση της πρώτης κοιλίας Κ1, ως αρχή x=0, ενός προσανατολισμένου άξονα, με την προς τα δεξιά κατεύθυνση θετική, να βρεθεί η εξίσωση του στάσιμου κύματος, που δημιουργείται πάνω στη χορδή και να σχεδιαστεί το στιγμιότυπο του στάσιμου τη στιγμή t2=(13/15)s.
iv) Αν πάρουμε ως t0=0, τη στιγμή που η κοιλία Κ1, έχει μηδενική ταχύτητα και θετική απομάκρυνση (y>0), ποια εξίσωση κύματος θα βρίσκαμε; Στην περίπτωση αυτή να βρείτε τις εξισώσεις y=(x) για τα διάφορα σημεία της χορδής τις στιγμές:
α) t3=1,2s και β) t4=1,8s
σχεδιάζοντας και τα αντίστοιχα στιγμιότυπα.
ή
Στην επιφάνεια μιας δεξαμενής με νερό, βρίσκονται δύο σύγχρονες πηγές κυμάτων Ο1 και Ο2 οι οποίες αρχίζουν να ταλαντώνονται τη στιγμή t0=0, παράγοντας εγκάρσια κύματα με πλάτος Α, μήκος κύματος λ=0,8m και περίοδο Τ=2s. Λαμβάνοντας ένα σύστημα ορθογωνίων αξόνων x,y, όπως στο σχήμα, η Ο1 βρίσκεται στην αρχή των αξόνων, ενώ η Ο2 στη θέση x2=0,8m.
i) Να βρείτε τις θέσεις των σημείων του άξονα x, τα οποία παραμένουν ακίνητα, μετά τη συμβολή των δύο κυμάτων.
ii) Έστω Ρ ένα τέτοιο σημείο του άξονα x, το κοντινότερο στην αρχή των αξόνων. Να βρείτε το πλάτος ταλάντωσης του Ρ, τις χρονικές στιγμές t1=0,4s, t2=0,8s και t3=1,6s.
iii) Να βρείτε επίσης τις θέσεις των σημείων του άξονα y, τα οποία παραμένουν ακίνητα, μετά την συμβολή των δύο κυμάτων.
iv) Αν Σ ένα τέτοιο σημείο του άξονα y, το κοντινότερο στην αρχή των αξόνων, να βρείτε το πλάτος ταλάντωσής του τις χρονικές στιγμές t4=1,2s, t5=1,8s και t6=2,2s.
Θεωρούμε ότι τα κύματα διαδίδονται με σταθερό πλάτος στην επιφάνεια του νερού.
ή
Κατά μήκος ενός γραμμικού ελαστικού μέσου, διαδίδονται αντίθετα δύο κυματομορφές με το ίδιο μήκος κύματος λ και το ίδιο πλάτος Α και σε μια στιγμή tο=0, φτάνουν στα σημεία Α και Β, όπως στο σχήμα.
Δίνεται ότι η απόσταση (ΑΒ) είναι ίση με το μισό μήκος κύματος των δύο κυματομορφών.
i) Να σημειώσετε στο σχήμα τις ταχύτητες των σημείων Α και Β του μέσου τη στιγμή t0.
ii) Ποια χρονική στιγμή οι δύο παλμοί συναντώνται στο μέσον Μ του τμήματος ΑΒ; Ποια η ταχύτητα του σημείου Μ τη στιγμή αυτή;
iii) Να σχεδιάσετε τη μορφή του ελαστικού μέσου:
α) Τη χρονική στιγμή t1= ½ Τ, όπου Τ η περίοδος ταλάντωσης ενός σημείου του μέσου, όταν σε αυτό φτάσει μια κυματομορφή.
β) Τη χρονική στιγμή t2=Τ.
γ) τη χρονική στιγμή t3= 2Τ.
iv) Να σημειώστε πάνω στο στιγμιότυπο της ερώτησης α), τις ταχύτητες ταλάντωσης των σημείων του μέσου, μεταξύ των σημείων Α και Β, τη στιγμή t1.
ή
Κατά μήκος ενός γραμμικού ελαστικού μέσου και προς την αρνητική κατεύθυνση (προς τα αριστερά στο σχήμα) διαδίδεται, χωρίς απώλειες, ένα αρμονικό κύμα (Ι), με μήκος κύματος λ=2m και τη στιγμή t0=0, φτάνει στο σημείο Ο στη θέση x=0, όπως στο πάνω σχήμα. Εξαιτίας του κύματος αυτού, το σημείο Ο αρχίζει να ταλαντώνεται με εξίσωση y=0,2∙ημ(πt) (S.Ι.).
i) Να αποδείξετε ότι η εξίσωση του κύματος (Ι) έχει τη μορφή:
ii) Να σχεδιάσετε ένα στιγμιότυπο του κύματος τη χρονική στιγμή t1=1,5s και στην περιοχή x ≤ 2m.
iii) Ένα πανομοιότυπο κύμα (ΙΙ), διαδίδεται επίσης κατά μήκος του ίδιου ελαστικού μέσου, όπως στο κάτω σχήμα, αλλά τη στιγμή t0=0, φτάνει στη θέση Β με xΒ=1m.
α) Να βρείτε την εξίσωση του κύματος (ΙΙ).
β) Να σχεδιάσετε ένα στιγμιότυπο του κύματος αυτού, τη στιγμή t1=1,5s και στην περιοχή x ≤ 3m. Πάνω στο σχήμα να σημειώσετε τις θέσεις δύο σημείων Γ και Δ, όπου τη στιγμή αυτή έχουν ταχύτητες προς την αρνητική κατεύθυνση με μέγιστο μέτρο.
γ) Να κάνετε στους ίδιους άξονες y-t, τις γραφικές παραστάσεις της απομάκρυνσης σε συνάρτηση με το χρόνο, y=f(t), για τα σημεία Β, Γ και Δ.
ή
1) Κατά μήκος ενός γραμμικού ελαστικού μέσου διαδίδεται ένα εγκάρσιο αρμονικό κύμα και βγάζοντας μια φωτογραφία μιας ορισμένης περιοχής τη στιγμή t=0, πήραμε την διπλανή εικόνα. Στο σχήμα βλέπετε και τη θέση ενός υλικού σημείου Σ.
i) Αν το κύμα διαδίδεται προς τα δεξιά, ποιο από τα παρακάτω σχήματα δίνει την μορφή του μέσου και την θέση του υλικού σημείου Σ, τη χρονική στιγμή t1= ¼ Τ, όπου Τ η περίοδος ταλάντωσης των σημείων του μέσου;
ii) Αν το κύμα διαδίδεται προς τα αριστερά, ποια η απάντηση στην προηγούμενη ερώτηση;
2) Δίνεται το παρακάτω στιγμιότυπο ενός εγκάρσιου αρμονικού κύματος, τη στιγμή t0=0 και ένα υλικό σημείο του μέσου Ρ.
i) Αν το κύμα διαδίδεται προς τα δεξιά, τότε τη στιγμή t1= Τ/3:
α) Η ταχύτητα του σημείου Ρ, είναι θετική αρνητική ή μηδέν;
β) Η επιτάχυνση του σημείου Ρ είναι θετική, αρνητική ή μηδέν;
ii) Ποιες οι αντίστοιχες απαντήσεις στα παραπάνω υποερωτήματα αν το κύμα διαδίδεται προς τα αριστερά;
Να δικαιολογήσετε τις απαντήσεις σας.
ή
Κατά μήκος ενός γραμμικού ελαστικού μέσου και προς την θετική κατεύθυνση, διαδίδεται ένα αρμονικό κύμα πλάτους Α=0,2m, μήκους κύματος λ=0,8m, με ταχύτητα υ=0,4m/s και τη στιγμή t1=1s φτάνει στο σημείο Ο, στη θέση x=0. Εξαιτίας του κύματος αυτού το σημείο Ο αρχίζει να κινείται προς τα πάνω (θετική κατεύθυνση).
i) Να γραφεί η εξίσωση της απομάκρυνσης του σημείου Ο σε συνάρτηση με το χρόνο, για την ταλάντωση που θα πραγματοποιήσει.
ii) Να γίνουν οι γραφικές παραστάσεις σε συνάρτηση με το χρόνο και στο διάστημα 0 ≤ t ≤ 3,5s:
α) της φάσης της απομάκρυνσης του Ο,
β) της απομάκρυνσης του σημείου Ο.
iii) Να βρεθεί η εξίσωση του κύματος.
iv) Αφού βρείτε τη συνάρτηση y=f(x) για τα διάφορα σημεία του ελαστικού μέσου τη στιγμή t2=3,5s, να κάνετε την γραφική της παράσταση, για την θετική περιοχή του άξονα x, τη στιγμή αυτή.
ή
Ένα αρμονικό κύμα διαδίδεται χωρίς απώλειες κατά μήκος ενός γραμμικού ελαστικού μέσου και τη στιγμή t0=0 φτάνει στην αρχή του άξονα Ο. Το σημείο Ο φτάνει σε θέση πλάτους, για πρώτη φορά, με απομάκρυνση y=+0,2m τη στιγμή t1=0,25s, ενώ τη στιγμή αυτή, το κύμα φτάνει σε σημείο Β στη θέση x1=0,5m.
i) Να υπολογιστούν η περίοδος, το πλάτος και το μήκος του κύματος, καθώς και η ταχύτητα του κύματος.
ii) Να γραφεί η εξίσωση του κύματος.
iii) Να υπολογιστούν η ταχύτητα και η επιτάχυνση του σημείου Β τη χρονική στιγμή t2=2,75s.
iv) Να παρασταθεί γραφικά η ταχύτητα του σημείου Β, σε συνάρτηση με το χρόνο από 0-t2.
v) Να δοθεί το στιγμιότυπο του κύματος για μια περιοχή του μέσου με 0 ≤ x ≤ 4m, τη στιγμή t2.
ή
Κατά μήκος ενός γραμμικού ελαστικού μέσου και προς τα δεξιά, διαδίδεται ένας συμμετρικός παλμός ΑΒΓΔ (1) (τα τμήματα ΑΒ και ΓΔ είναι συμμετρικά ως προς την κατακόρυφο που περνά από το μέσον Λ της ΒΓ). Δίνεται επίσης ότι οι συναρτήσεις που περιγράφουν τα παραπάνω τμήματα ΑΒ και ΓΔ είναι αρμονικές, ενώ το τμήμα ΒΓ είναι παράλληλο στο ΑΔ.
i) Σε ποιο από τα παρακάτω σχήματα έχουν σημειωθεί σωστά οι ταχύτητες των σημείων Κ, Λ και Μ;
ii) Αν στην ίδια περιοχή ΑΔ έχει φτάσει και ένας δεύτερος αντεστραμμένος «όμοιος» παλμός (2), ο οποίος διαδίδεται προς τα αριστερά, όπως στο δεύτερο σχήμα:
α) Να δείξετε τη μορφή του μέσου στην περίπτωση αυτή.
β) Πάνω στο σχήμα που θα κατασκευάσετε, να σημειώστε τις θέσεις των σημείων Κ, Λ και Μ και να σχεδιάσετε τις ταχύτητές τους.
γ) Αν στην θέση Κ πάρουμε μια στοιχειώδη μάζα dm και Κ1 η κινητική της ενέργεια εξαιτίας του παλμού (1), ενώ Κ2 η κινητική ενέργεια στην περίπτωση τη συμβολής, ισχύει:
γ1) Κ2=Κ1, γ2) Κ2=2 Κ1, γ3) Κ2=3 Κ1, γ4) Κ2=4 Κ1.
iii) Για καθηγητές: Πόση δυναμική ενέργεια έχει η παραπάνω μάζα dm στη θέση Κ εξαιτίας του παλμού (1);
ή
