Μέγιστη ενέργεια και ορμή στο φαινόμενο Compton

   

Μια δέσμη φωτονίων με ενέργεια 12keV σκεδάζεται από ελεύθερα ηλεκτρόνια ενός στόχου.

i)  Ποιο είναι το μήκος κύματος των φωτονίων της δέσμης, πριν την σκέδαση;

ii) Ποιο είναι το μήκος κύματος των φωτονίων που σκεδάζονται κατά γωνία 90°, σε σχέση με την αρχική τους διεύθυνση;

iii) Να υπολογισθεί η τελική κινητική ενέργεια ενός ηλεκτρονίου πάνω στο οποίο σκεδάστηκε ένα από τα παραπάνω φωτόνια.

iv) Να βρεθεί η μέγιστη ενέργεια και η αντίστοιχη ορμή που μπορεί να αποκτήσει ένα ηλεκτρόνιο, μετά από την σκέδαση της παραπάνω δέσμης φωτονίων.

Δίνονται c=3∙10⁸m/s, h=6,6∙10^-34Js, m_e=9∙10^-31kg και 1eV=1,6∙10^-19J.

Απάντηση:

ή

 Μέγιστη ενέργεια και ορμή στο φαινόμενο Compton

 Μέγιστη ενέργεια και ορμή στο φαινόμενο Compton

Η σκέδαση Compton και μια εφαρμογή

   

Ένα ηλεκτρόνιο βρίσκεται ακίνητο στην αρχή Ο ενός συστήματος ορθογωνίων αξόνων. Ένα φωτόνιο με μήκος κύματος λ=0,2nm διαδίδεται κατά μήκος του άξονα x΄x και μετά την αλληλεπίδρασή του με το ηλεκτρόνιο, διαπιστώνουμε ότι ένα άλλο φωτόνιο με μήκος κύματος λ΄ διαδίδεται όπως στο σχήμα, σχηματίζοντας γωνία φ με τον x άξονα, όπου ημφ=0,8 και συνφ=0,6

Ζητούνται:

i) Η ενέργεια και η ορμή του προσπίπτοντος στο ηλεκτρόνιο, φωτονίου.

ii) Η ενέργεια και η ορμή του σκεδαζόμενου φωτονίου.

iii) Η κινητική ενέργεια που αποκτά το ηλεκτρόνιο.

iv) Οι συνιστώσες της ορμής του ηλεκτρονίου στους δυο άξονες x και y.

v)  Η γωνία που σχηματίζει η διεύθυνση κίνησης του ηλεκτρονίου με τον άξονα x.

Δίνονται c=3∙10⁸m/s, h=6,6∙10^-34J∙s, q_e=-1,6∙10^-19C, m_e=9∙10^-31kg, ενώ οι ενέργειες να υπολογιστούν σε eV. Δίνεται επίσης η εξίσωση για τα μήκη κύματος προσπίπτοντος και σκεδαζόμενου φωτονίου:

Απάντηση:

ή

 Η σκέδαση Compton και μια εφαρμογή

 Η σκέδαση Compton και μια εφαρμογή

Μια χορδή και δύο στάσιμα κύματα.

  

Σε μια τεντωμένη χορδή με σταθερά άκρα, έχει σχηματισθεί στάσιμο κύμα και στο (1) σχήμα δίνεται ένα στιγμιότυπό του. Μια στοιχειώδης μάζα dm στη θέση μιας κοιλίας Κ₁ ταλαντώνεται με πλάτος Α₁, αποκτώντας μέγιστη κινητική ενέργεια Ε₁.

Στην ίδια χορδή (με το ίδιο τέντωμα), μπορεί να δημιουργηθεί ξανά στάσιμο κύμα αλλά το στιγμιότυπό του, να είναι όπως στο (2) σχήμα. Στην περίπτωση αυτή μια ίση στοιχειώδης μάζα dm στην θέση μιας κοιλίας Κ₂, ταλαντώνεται με πλάτος Α₂= ½ Α₁, αποκτώντας μέγιστη κινητική ενέργεια Ε₂. Για το λόγο Ε₁/Ε₂  ισχύει:

α) Ε₁/Ε₂=1/16,      β) Ε₁/Ε₂= ¼,      γ) Ε₁/Ε₂=1,      δ) Ε₁/Ε₂=4/1

Να δικαιολογήστε την επιλογή σας.

Απάντηση:

ή

 Μια χορδή και δύο στάσιμα κύματα.

 Μια χορδή και δύο στάσιμα κύματα.

Δύο στάσιμα κύματα ή δυο ταλαντώσεις μιας χορδής

 

Μια χορδή μήκους 3m είναι στερεωμένη στα άκρα της Β και Γ και πάνω της έχει σχηματισθεί ένα στάσιμο κύμα, όπου στο σχήμα βλέπουμε ένα στιγμιότυπό του, την στιγμή t=0, όπου η κοιλία Κ₁ βρίσκεται σε απομάκρυνση y=0,2m με μηδενική ταχύτητα ταλάντωσης. Η Κ₁ φτάνει για πρώτη φορά στην θέση y=-0,2m την στιγμή t₁=1/3 s.

i)  Να υπολογισθεί η κινητική ενέργεια μιας στοιχειώδους μάζας dm=2mg της χορδής, η οποία βρίσκεται στην θέση της κοιλίας Κ₁, την χρονική στιγμή t₂=5/6s.

ii) Πόση είναι η αντίστοιχη κινητική ενέργειας μιας ίσης μάζας τη χορδής την στιγμή t₂,  η οποία βρίσκεται σε ένα σημείο Σ, δεξιά  της κοιλίας Κ₁ και σε απόσταση (Κ₁Σ)= d₁=1/3m.

iii) Ακινητοποιούμε τη χορδή και την θέτουμε ξανά σε ταλάντωση, με τέτοια συχνότητα, ώστε να έχουμε το μεγαλύτερο δυνατόν μήκος κύματος. Στην περίπτωση αυτή, μόλις αποκατασταθεί μόνιμη κατάσταση, το μέσον Ο της χορδής ταλαντώνεται με πλάτος 0,2m. Να υπολογιστεί η συχνότητα ταλάντωσης καθώς και η μέγιστη κινητική ενέργεια που μπορεί να έχει μια στοιχειώδης μάζα dm=2mg της χορδής.

Απάντηση:

ή

 Δύο στάσιμα κύματα ή δυο ταλαντώσεις μιας χορδής

 Δύο στάσιμα κύματα ή δυο ταλαντώσεις μιας χορδής

Δυο κύματα σε δυο όμοιες χορδές

 

Στο σχήμα βλέπετε στιγμιότυπα δύο κυματομορφών, σε  δύο ίδια γραμμικά ελαστικά μέσα (δύο όμοιες χορδές και με το ίδιο τέντωμα), τα οποία ελήφθησαν την ίδια στιγμή t₁. Η μορφή (1) δείχνει τμήμα της πρώτης χορδής όταν πάνω της διαδίδεται ένα αρμονικό κύμα, ενώ η (2), της δεύτερης χορδής, όπου πάνω της έχει σχηματισθεί ένα στάσιμο κύμα. Στο σχήμα επίσης φαίνεται η ταχύτητα ταλάντωσης δύο σημείων Β και Γ της χορδής.

i)  Το πλάτος του τρέχοντος κύματος (1) είναι ίσο με το πλάτος ταλάντωσης μιας κοιλίας Κ στο στάσιμο κύμα (2);

ii) Να σχεδιάσετε στο σχήμα τις ταχύτητες των σημείων Ε, Η της πρώτης χορδής και των σημείων Κ και Θ. της δεύτερης με το στάσιμο κύμα, την στιγμή t₁. Να σχεδιάσετε επίσης τις ταχύτητες ταλάντωσης για δύο σημεία Λ και Μ, αριστερότερα των Β και Γ, όπως στο σχήμα.

iii) Αν υ₁ το μέτρο της μέγιστης ταχύτητας ενός σημείου της πρώτης χορδής, στην διάρκεια της ταλάντωσής του και υ₂ το μέτρο της μέγιστης ταχύτητας  μιας κοιλίας της δεύτερης χορδής, θα ισχύει:

α) υ₁< υ₂,  β) υ₁=υ₂,   γ) υ₁ > υ₂.

iv) Να σχεδιάσετε αντίστοιχο σχήμα που να εμφανίζονται ξανά τα δύο στιγμιότυπα (για τις ίδιες περιοχές), μετά από χρόνο Δt= ¼ Τ, όπου Τ η περίοδος του τρέχοντος κύματος.

Απάντηση:

ή

 Δυο κύματα σε δυο όμοιες χορδές

 Δυο κύματα σε δυο όμοιες χορδές

Το στάσιμο κύμα σε μια χορδή

 

Πάνω στην χορδή του σχήματος, μήκους l=1m, με σταθερά τα δυο άκρα της, έχει σχηματισθεί ένα στάσιμο κύμα και στο σχήμα βλέπετε την μορφή της χορδής, μια στιγμή t=0, όπου η κοιλία στο σημείο Ο, βρίσκεται σε μέγιστη απομάκρυνση. Αν το σημείο Ο αποκτά μέγιστη κατά μέτρο ταχύτητα 0,628m/s τη χρονική στιγμή t₁=0,05s, για πρώτη φορά, ζητούνται:

i)  Η ταχύτητα  διάδοσης ενός (τρέχοντος) κύματος πάνω στην χορδή αυτή.

ii) Να γραφούν οι εξισώσεις της απομάκρυνσης (y=f(t)) και της ταχύτητας του σημείου Ο  (υ=f(t)) σε συνάρτηση με τον χρόνο, θεωρώντας τον προσανατολισμό που δίνεται στο σχήμα.

iii) Θεωρώντας την θέση του σημείου Ο, σαν αρχή ενός συστήματος αξόνων x,y, όπως στο σχήμα:

α) Πόσα ακόμη σημεία ταλαντώνονται με το ίδιο πλάτος με το Ο;

β) Ποια η εξίσωση y=f(x,t) για το στάσιμο κύμα το οποίο έχει δημιουργηθεί πάνω στην χορδή;

γ) Να βρεθεί η εξίσωση της απομάκρυνσης και της επιτάχυνσης σε συνάρτηση με το χρόνο, για ένα σημείο της χορδής Σ, το οποίο βρίσκεται στην θέση x=-0,2m.

δ) Να κάνετε τις γραφικές παραστάσεις της απομάκρυνσης σε συνάρτηση με το χρόνο (y=f(t)), για τα σημεία Σ και Ο της χορδής, στους ίδιους άξονες.

Απάντηση:

ή

 Το στάσιμο κύμα σε μια χορδή

 Το στάσιμο κύμα σε μια χορδή

Δύο τρέχοντα κύματα και ένα στάσιμο

 Κατά μήκος ενός γραμμικού ελαστικού μέσου, διαδίδονται σε αντίθετες κατευθύνσεις, δύο αρμονικά κύματα, με πλάτη Α=0,2m, μήκη κύματος λ=1m και συχνότητα f=2Ηz, όπως στο σχήμα:

Τη  χρονική στιγμή t₀=0, τα μέτωπα των δύο κυμάτων απέχουν απόσταση d=2m.

i)  Αν τα  δύο κύματα συναντώνται σε ένα σημείο Ο του μέσου, ενώ στη συνέχεια έχουμε δημιουργία στάσιμου κύματος πάνω στο ελαστικό μέσο, τότε στο σημείο Ο θα δημιουργηθεί δεσμός ή κοιλία; Να δικαιολογήσετε την απάντησή σας.

ii) Παίρνοντας το σημείο Ο σαν αρχή ενός συστήματος αξόνων x,y  με θετικές κατευθύνσεις προς τα δεξιά και προς τα πάνω, να γράψετε τις εξισώσεις των δύο κυμάτων (1) και (2).

iii) Να βρείτε την εξίσωση του στάσιμου κύματος που δημιουργείται μετά την συμβολή των δύο κυμάτων.

iv) Να σχεδιάστε την μορφή του μέσου y=f(x), την χρονική στιγμή t=1,125s.

Απάντηση:

ή

 Δύο τρέχοντα κύματα και ένα στάσιμο

 Δύο τρέχοντα κύματα και ένα στάσιμο

Η συμβολή και τα ακίνητα σημεία

 Κατά μήκος ενός γραμμικού ελαστικού μέσου διαδίδονται αντίθετα δυο αρμονικά κύματα με πλάτη Α, μήκη κύματος λ και περίοδο Τ και σε μια στιγμή t=0, τα κύματα φτάνουν στα σημεία Γ και Δ, όπου (ΓΔ)=λ.

i) Να σχεδιάσετε πάνω στο σχήμα τις ταχύτητες ταλάντωσης των σημείων Β, Γ, Δ και Ε στην παραπάνω εικόνα.

ii) Να σχεδιάσετε τη μορφή του μέσου τη χρονική στιγμή t₁=Τ.

 Για τη στιγμή αυτή:

α)  Ποια η ταχύτητα ταλάντωσης του σημείου Ο, στο μέσον της ΓΔ;

β)  Μεταξύ των σημείων Β και Ε του μέσου, το πλήθος των σημείων τα οποία έχουν μηδενική ταχύτητα ταλάντωσης είναι:

a)  Δύο,  b) Τέσσερα,   c) Έξι.   d) Άπειρα.

Να δικαιολογήσετε τις απαντήσεις σας

Απάντηση:

ή

 Η συμβολή και τα ακίνητα σημεία

 Η συμβολή και τα ακίνητα σημεία

Η συμβολή και σημεία ενός κύκλου

 

Στην επιφάνεια ενός υγρού σε ηρεμία, βρίσκονται δύο σύγχρονες πηγές κυμάτων Ο₁ και Ο₂, οι οποίες ταλαντώνονται με πλάτος Α, παράγοντας κύματα τα οποία διαδίδονται στην επιφάνεια του υγρού με μήκος κύματος λ. Η απόσταση μεταξύ των δύο πηγών είναι d=1,5λ. Με κέντρο το μέσον K της απόστασης των δύο πηγών, φανταζόμαστε κύκλο με ακτίνα R=λ.

i) Τα σημεία του κύκλου στα οποία έχουμε ενισχυτική συμβολή (δεχόμενοι σταθερό πλάτος των κυμάτων, ταλαντώνονται με πλάτος 2Α) είναι:

α) n=2,  β) n= 3,  γ) n= 6,  δ) n=8

ii) Τα σημεία του κύκλου που παραμένουν ακίνητα είναι:

α) n=3,  β) n= 4,  γ) n= 6,  δ) n=8

Να δικαιολογήσετε τις απαντήσεις σας.

Απάντηση:

ή

 Η συμβολή και σημεία ενός κύκλου

 Η συμβολή και σημεία ενός κύκλου

Επιφανειακή συμβολή και σύγχρονες πηγές

  

Σε δύο σημεία μιας ευθείας ε, στην επιφάνεια ενός υγρού, βρίσκονται δύο σύγχρονες πηγές κυμάτων Ο₁ και Ο₂ οι οποίες αρχίζουν να ταλαντώνονται τη στιγμή t₀=0, παράγοντας εγκάρσια κύματα με πλάτος Α=2cm, μήκος κύματος λ=0,8m και συχνότητα f=0,5Ηz. Η απόσταση των δύο πηγών είναι d=0,8m.

i)  Να βρεθεί το πλάτος ταλάντωσης τις σημείου Β  τις επιφάνειας, το οποίο βρίσκεται πάνω στην ευθεία z, η οποία είναι κάθετη στην ε, στο σημείο που βρίσκεται η πηγή Ο₁, σε απόσταση (Ο₁Β)=0,6m,  τις χρονικές στιγμές:

α) t₁=1s,   β) t₂=2s και t₃=3s.

ii) Ποια η αντίστοιχη απάντηση για ένα σημείο Γ της ευθείας ε, αν (Ο₂Γ)=0,2m;

iii) Αν, ενώ έχουμε συμβολή σε όλα τα σημεία της επιφάνειας, το σημείο Γ μετακινηθεί προς τα δεξιά κατά x, τότε το πλάτος ταλάντωσής του:

α)  θα αυξηθεί,   β)  θα μειωθεί,  γ) θα παραμείνει  σταθερό.

Να δικαιολογήσετε την απάντησή σας.

Θεωρούμε ότι τα κύματα που διαδίδονται, διατηρούν σταθερό πλάτος.

Απάντηση:                                              

ή

 Επιφανειακή συμβολή από σύγχρονες πηγές

 Επιφανειακή συμβολή και σύγχρονες πηγές

Από ένα διάγραμμα φάσης

  

Κατά μήκος ενός γραμμικού ελαστικού μέσου, διαδίδεται ένα εγκάρσιο αρμονικό πλάτους Α=0,2m και στο σχήμα δίνεται το διάγραμμα της φάσης της απομάκρυνσης των  διαφόρων σημείων του μέσου, σε συνάρτηση με την θέση x (φ=f(x)) τη χρονική στιγμή t₁.

i)  Το κύμα διαδίδεται προς τα δεξιά (θετική φορά του άξονα) ή προς τα αριστερά;

ii) Να υπολογίσετε το μήκος του κύματος καθώς και την θέση x₁, όπου μηδενίζεται η φάση τη στιγμή t₁.

iii) Να σχεδιάσετε την γραφική παράσταση της φάσης  (φ=f(x)) την χρονική στιγμή t₂=t₁+Τ, όπου Τ η περίοδος ταλάντωσης των σημείων του μέσου.

iv) Αν το κύμα ικανοποιεί την εξίσωση y=Α∙ημ2π(t/Τ-x/λ) να σχεδιάστε ένα στιγμιότυπο του κύματος την στιγμή t₁, αν Τ=1s.

v) Να σχεδιάσετε την γραφική παράσταση της απομάκρυνσης y=f(t) για ένα σημείο Σ, στην θέση x=-4m, μέχρι την στιγμή t₁.

Απάντηση:

ή

 Από ένα διάγραμμα φάσης

 Από ένα διάγραμμα φάσης

Η φάση και σημεία με μέγιστη ταχύτητα

Ένα εγκάρσιο αρμονικό κύμα διαδίδεται κατά μήκος ενός γραμμικού ελαστικού μέσου, προς τα δεξιά (θετική κατεύθυνση) και τη στιγμή t=0 φτάνει στο σημείο Ο, στη θέση x=0. Το σημείο Ο ξεκινά την ταλάντωσή κινούμενο προς τα πάνω (θετική φορά) και φτάνει στην ακραία θέση του, σε απόσταση 0,2m σε χρονικό διάστημα Δt=0,5s, ενώ στο μεταξύ το κύμα έχει διαδοθεί φτάνοντας στο σημείο Λ, όπου (ΟΛ)=1m.

i)   Να υπολογισθεί η ταχύτητα διάδοσης του κύματος, καθώς και η εξίσωση του κύματος.

ii)  Να βρεθεί  η φάση της απομάκρυνσης της ταλάντωσης του σημείου Κ, στη θέση x₁=-1m, σε συνάρτηση με το χρόνο και να γίνει η γραφική της παράσταση για t ≤ 2,5s.

iii) Να βρεθούν οι θέσεις των σημείων, τα οποία τη στιγμή t₁=2,5s έχουν μέγιστη κατά μέτρο ταχύτητα ταλάντωσης, στην περιοχή -2m ≤ x ≤ 2 m.

iv) Να σχεδιάστε το στιγμιότυπο του κύματος τη χρονική στιγμή t₂=3s.

v) Να βρεθεί η θέση του σημείου Σ του μέσου, το οποίο την στιγμή t₃=6,5s έχει πραγματοποιήσει 43,5 ταλαντώσεις.

Θεωρούμε ότι η πηγή είναι σε μεγάλη απόσταση από την αρχή Ο (x=0) του άξονα.

Απάντηση:

ή

 Η φάση και σημεία με μέγιστη ταχύτητα

 Η φάση και σημεία με μέγιστη ταχύτητα