Πέμπτη, 27 Δεκεμβρίου 2018

Δύο κύματα που διαδίδονται αντίθετα



Σε ένα γραμμικό ελαστικό μέσο διαδίδονται αντίθετα δύο αρμονικά κύματα με το ίδιο μήκος κύματος και στα διπλανά σχήματα έχουμε πάρει στιγμιότυπα τη στιγμή που τα κύματα έχουν φτάσει στα σημεία Α και Β του ελαστικού μέσου.
i)  Να εξηγείστε γιατί τα δυο κύματα θα συμβάλουν στο μέσον Ο του τμήματος ΑΒ.
ii)  Στο σχήμα α, όπου τα δυο κύματα έχουν το ίδιο πλάτος τι θα προκύψει μετά τη συμβολή των δύο κυμάτων στο σημείο Ο;
 α) Θα σχηματισθεί δεσμός,  β) θα σχηματισθεί κοιλία του στάσιμου,   γ) τίποτα από τα δύο.
iii) Ποια η αντίστοιχη απάντηση για τα κύματα του σχήματος β, επίσης ίδιου πλάτους;
iv) Στο σχήμα γ, το πλάτος του κύματος (2) είναι διπλάσιο από το αντίστοιχο πλάτος του (1) κύματος (Α2=2Α1=2∙Α ). Να εξετασθεί αν σχηματισθεί στάσιμο κύμα μετά την συμβολή των δύο κυμάτων.
Να δικαιολογείστε αναλυτικά τις απαντήσεις σας.
ή

Σάββατο, 22 Δεκεμβρίου 2018

Μια συμβολή και ένα στάσιμο χωρίς εξισώσεις.


Κατά μήκος ενός γραμμικού ελαστικού μέσου, διαδίδονται αντίθετα δύο κύματα, με το ίδιο μήκος κύματος και ίδιο πλάτος Α=0,1m, με ταχύτητα υ=1m/s. Στο διπλανό σχήμα βλέπετε τη μορφή του μέσου τη στιγμή t0=0, όπου τα δυο κύματα φτάνουν στα σημεία Β και Γ.
i)   Να σημειωθούν πάνω στο σχήμα οι ταχύτητες ταλάντωσης των σημείων Β και Γ, στις θέσεις xΒ=0 και xΓ=1m και να υπολογιστούν τα μέτρα τους τη στιγμή t0=0.
ii) Να σχεδιάσετε τη μορφή του μέσου τη χρονική στιγμή t1=1s, σημειώνοντας επίσης στο σχήμα τις ταχύτητες των σημείων Β, Γ καθώς και του μέσου Ο του ευθύγραμμου τμήματος, στη θέση xο=0,5m. Με ποιες μορφές εμφανίζεται η ενέργεια, την οποία μεταφέρουν τα δυο κύματα, στο τμήμα ΒΓ;
iii) Ποια η αντίστοιχη απάντηση στο προηγούμενο ερώτημα, τη χρονική στιγμή t2=1,5s;
ή

Πέμπτη, 20 Δεκεμβρίου 2018

Δυο πηγές που δεν ξεκίνησαν ταυτόχρονα


Στην επιφάνεια ενός υγρού βρίσκονται δυο πηγές κύματος Ο1 και Ο2, οι οποίες μπορούν να ταλαντώνονται σε κατακόρυφη διεύθυνση με το ίδιο πλάτος Α και με περίοδο Τ=2s. Κάποια στιγμή t0=0, η πηγή Ο1 αρχίζει την ταλάντωσή της, με εξίσωση απομάκρυνσης yΟ1=Α∙ημ(πt), οπότε δημιουργείται ένα κύμα το οποίο φτάνει στο σημείο Σ της μεσοκαθέτου του Ο1Ο2, τη στιγμή t1=4s και το θέτει σε ταλάντωση με πλάτος πλάτος Α1=0,1m.
i) Να βρεθεί η εξίσωση της απομάκρυνσης για την ταλάντωση του σημείου Σ, εξαιτίας του κύματος αυτού.
ii) Η πηγή Ο2 καθυστέρησε κατά Δt=4,5s να ξεκινήσει μια όμοια ταλάντωση με την πηγή Ο1 και να δημιουργήσει ένα δεύτερο κύμα που διαδίδεται στην επιφάνεια του υγρού.
α)  Ποια χρονική στιγμή το 2ο κύμα θα φτάσει στο σημείο Σ και ποια η εξίσωση της απομάκρυνσης του Σ, εξαιτίας του κύματος αυτού, σε συνάρτηση με το χρόνο;
β)  Να βρεθεί η εξίσωση της απομάκρυνσης y=f(t) του σημείου Σ εξαιτίας και των δύο παραπάνω κυμάτων.
iii) Θέλοντας να μελετήσουμε τη σύνθετη ταλάντωση, μπορούμε να θεωρήσουμε ως t0=0, τη στιγμή που άρχισε η ταλάντωση αυτή του Σ.  Με την υπόθεση αυτή, να γράψετε νέες εξισώσεις για τις δυο επιμέρους ταλαντώσεις καθώς και την εξίσωση της απομάκρυνσης του Σ λόγω συμβολής.
ή

Κυριακή, 16 Δεκεμβρίου 2018

Ένα κύμα και το διάγραμμα της φάσης


 Ένα αρμονικό κύμα διαδίδεται κατά μήκος ενός γραμμικού ελαστικού μέσου και στο διάγραμμα δίνεται η φάση της απομάκρυνσης των σημείων του μέσου τη χρονική στιγμή t1=3,4s, όπου τη στιγμή t0=0  ξεκίνησε η πηγή του κύματος, την ταλάντωσή της.
i)  Το κύμα αυτό διαδίδεται προς τα δεξιά ή προς τα αριστερά και γιατί;
ii) Να βρεθεί η περίοδος και το μήκος του κύματος.
iii) Ποια είναι η εξίσωση του κύματος, αν το πλάτος του είναι 0,2m;
iv) Να σχεδιάστε το στιγμιότυπο του κύματος την στιγμή t1.
v) Να γίνει η γραφική παράσταση της φάσης της απομάκρυνσης του σημείου Ο, στη θέση x=0, σε συνάρτηση με το χρόνο.
ή

Τετάρτη, 12 Δεκεμβρίου 2018

Δυο κύματα με την ίδια εξίσωση κύματος.

Κατά μήκος δύο γραμμικών ελαστικών μέσων και από αριστερά προς τα  δεξιά (θετική κατεύθυνση) διαδίδονται δύο αρμονικά κύματα με το ίδιο πλάτος Α=0,2m και την ίδια ταχύτητα διάδοσης υ=2m/s. Τη στιγμή tο=0, το πρώτο κύμα (Ι) φτάνει στο σημείο Ο, στη θέση x=0, ενώ το δεύτερο (ΙΙ) στο σημείο Κ, στη θέση x=2m, όπως παρουσιάζονται στο διπλανό σχήμα.
i)   Να υπολογιστεί η περίοδος ταλάντωσης των σημείων των δύο μέσων.
ii)  Ποια η εξίσωσης της απομάκρυνσης σε συνάρτηση με το χρόνο, για την ταλάντωση που πρόκειται να ξεκινήσουν τα σημεία Ο και Κ, στα οποία φτάνουν τα δύο κύματα, με δεδομένο ότι η προς τα πάνω κατεύθυνση θεωρείται θετική;
iii) Να βρεθούν οι εξισώσεις των δύο κυμάτων.
iv) Ποια η εξίσωση της απομάκρυνσης σε συνάρτηση με το χρόνο, του σημείου Ο΄ στη θέση x=0, του δεύτερου κύματος;
ή


Δυο κύματα με την ίδια εξίσωση κύματος.

Σάββατο, 8 Δεκεμβρίου 2018

Ένα κύμα σε άπειρο μέσον

Κατά μήκος ενός γραμμικού ελαστικού μέσου, πολύ μεγάλου μήκους, διαδίδεται από αριστερά προς τα δεξιά (θετική φορά) ένα αρμονικό κύμα, πλάτους Α=0,2m και μήκους κύματος λ=2m, με ταχύτητα υ=1m/s. Στο διπλανό σχήμα βλέπετε ένα «παράθυρο» που μας επιτρέπει να βλέπουμε μια μικρή περιοχή του κύματος (το οποίο έχει διαδοθεί πολύ πέρα του δεξιού άκρου του παραθύρου). Για να γράψουμε εξίσωση για το κύμα αυτό, παίρνουμε ένα σύστημα αξόνων x,y με αρχή το σημείο Ο και θεωρούμε επίσης τη στιγμή που έχουμε το παραπάνω στιγμιότυπο, ως αρχή μέτρησης των χρόνων (t0=0).
i) Να γράψετε την εξίσωση που περιγράφει το παραπάνω κύμα.
ii) Ποια η φάση της απομάκρυνσης των σημείων Ο και Σ τη στιγμή t0=0;
iii) Να κάνετε τη γραφική παράσταση της φάσης της απομάκρυνσης του σημείου Σ σε συνάρτηση με το χρόνο (φ=f(t)).
iv) Να σχεδιάστε το στιγμιότυπο του κύματος τη χρονική στιγμή t1=7,5s, για την ίδια περιοχή του μέσου.
v) Να παραστήστε επίσης γραφικά την ταχύτητα ταλάντωσης του σημείου Σ σε συνάρτηση με το χρόνο, από t0 έως t1.
ή

Τετάρτη, 5 Δεκεμβρίου 2018

Ένα κύμα και οι φάσεις της απομάκρυνσης σημείων

Κατά μήκος ενός γραμμικού ελαστικού μέσου που ταυτίζεται με έναν προσανατολισμένο άξονα x και από αριστερά προς τα δεξιά (προς τη θετική κατεύθυνση), διαδίδεται ένα αρμονικό κύμα. Η εικόνα του μέσου τη στιγμή t=0, είναι αυτή του διπλανού σχήματος, όπου το κύμα έχει φτάσει στο σημείο Κ, στη θέση x=1,5m. 
Αν η επιτάχυνση, τη στιγμή αυτή, του σημείου Ο, στη θέση x=0, είναι ίση με 12m/s2, ζητούνται:
i) Η εξίσωση της απομάκρυνσης σε συνάρτηση με το χρόνο (y=y(t)) των σημείων Κ και Ο.
ii) Η εξίσωση του κύματος.
iii) Η φάση της απομάκρυνσης του σημείου Κ, σε συνάρτηση με το χρόνο και να παρασταθεί γραφικά.
iv) Η γραφική παράσταση της φάσης του σημείου Ο, σε συνάρτηση με το χρόνο.
v) Η γραφική παράσταση της φάσης των διαφόρων σημείων του μέσου τη χρονική στιγμή t1=3,5s.
Δίνεται π2 ≈10.
ή

Κυριακή, 2 Δεκεμβρίου 2018

Αν το κύμα οδεύει προς τα αριστερά.


Σε γραμμικό ελαστικό μέσο και από τα δεξιά προς τ’ αριστερά (προς την αρνητική κατεύθυνση) διαδίδεται ένα αρμονικό κύμα με στιγμιότυπο τη στιγμή t0=0, όπως στο πρώτο από τα διπλανά διαγράμματα. Το αντίστοιχο στιγμιότυπο τη στιγμή t1=0,5s είναι όπως στο δεύτερο διάγραμμα.
i) Χρησιμοποιώντας πληροφορίες από τα διαγράμματα αυτά να βρείτε:
α) το πλάτος και το μήκος του κύματος,
β) τη συχνότητα και την ταχύτητα διάδοσης του κύματος.
ii) Ποια η εξίσωση του κύματος;
iii) Να σχεδιάστε το στιγμιότυπο του κύματος τη χρονική στιγμή t2=2,5s και μέχρι τη θέση xΒ=2,5m στον θετικό ημιάξονα.
iv) Για το σημείο Β,  στη θέση xΒ=2,5m:
α)   Να βρεθεί η εξίσωση της απομάκρυνσης σε συνάρτηση με το χρόνο (y-t) και να κάνετε τη γραφική της παράσταση.
β) Να κάνετε τη γραφική παράσταση της ταχύτητας ταλάντωσης του σημείου Β, σε συνάρτηση με το χρόνο.
ή
Αν το κύμα οδεύει προς τα αριστερά.

Τρίτη, 27 Νοεμβρίου 2018

Ένα οδεύον προς τα δεξιά κύμα


Κατά μήκος ενός γραμμικού ελαστικού μέσου και από τα αριστερά προς τα δεξιά διαδίδεται χωρίς απώλειες ένα αρμονικό κύμα, το οποίο τη στιγμή t0=0 φτάνει σε ένα σημείο Ο, το οποίο λαμβάνουμε ως αρχή ενός προσανατολισμένου άξονα x, με την προς τα δεξιά κατεύθυνση ως θετική. Το σημείο Ο ξεκινά την ταλάντωσή του προς τα πάνω (θετική φορά του άξονα y) και φτάνει σε μέγιστη απομάκρυνση 0,2m τη στιγμή t1=0,2s. Το κύμα φτάνει σε ένα σημείο Κ, στη θέση xΚ=x2=3,5m τη χρονική στιγμή t2=1,4s.
 i)  Να γράψετε τις εξισώσεις για την απομάκρυνση σε συνάρτηση με το χρόνο, για τις ταλαντώσεις που θα εκτελέσουν τα σημεία Ο και Κ.
ii) Να βρεθεί η εξίσωση του κύματος.
iii) Να σχεδιάστε το στιγμιότυπο του κύματος τη στιγμή  t2 που το κύμα φτάνει στο σημείο Κ και για την περιοχή του θετικού ημιάξονα. Ποια η απομάκρυνση του σημείου Ο την παραπάνω χρονική στιγμή;
iv) Ένα σημείο Λ, βρίσκεται στη θέση xΛ= 4/3 m.
 α) Να βρεθούν η απομάκρυνση από τη θέση ισορροπίας του, η ταχύτητα και η επιτάχυνση του σημείου Λ τη στιγμή t2.
 β) Να κάνετε τη γραφική παράσταση της ταχύτητας ταλάντωσης του σημείου Λ και για το χρονικό διάστημα από 0-t2.
ή

Κυριακή, 18 Νοεμβρίου 2018

Μια ΑΑΤ και μια σύνθετη ταλάντωση


 Ένα σώμα μάζας 1kg ηρεμεί σε λείο οριζόντιο επίπεδο, δεμένο στο άκρο ιδανικού ελατηρίου. Το σώμα συγκρούεται στιγμιαία με άλλο κινούμενο σώμα, με αποτέλεσμα να τίθεται σε ταλάντωση με εξίσωση απομάκρυνσης x1=0,4∙ημ(7t), (μονάδες στο S.Ι.).
i)  Να βρεθεί η σταθερά του ελατηρίου, καθώς και η ενέργεια ταλάντωσης.
ii)  Ακινητοποιούμε το σώμα στη θέση x=0 και κάποια στιγμή (t0=0) ασκούμε πάνω του μια οριζόντια μεταβλητή δύναμη της μορφής F=Fοημ(8t), όπως στο κάτω σχήμα. Το σώμα τίθεται σε εξαναγκασμένη ταλάντωση με εξίσωση κίνησης:
x= 0,27∙ημ(7t) - 0,3∙ημ(8t)  (μονάδες στο S.Ι.)
α)  Να υπολογίσετε την απομάκρυνση από τη θέση ισορροπίας (x=0) και την ταχύτητα του σώματος τις χρονικές στιγμές t1 =π/3 s και t2= π s.
β)  Να υπολογιστεί η κινητική και η δυναμική ενέργεια του σώματος τις παραπάνω στιγμές.
γ)  Στο παρακάτω διάγραμμα δίνεται η απομάκρυνση του σώματος σε συνάρτηση με το χρόνο.
 
Παρατηρούμε ότι η κίνηση παρουσιάζει διακροτήματα.  Ποια η περίοδος του διακροτήματος και πόσες ταλαντώσεις εκτελεί το σώμα σε χρόνο ίσο με την περίοδο του διακροτήματος;
ή

Σάββατο, 17 Νοεμβρίου 2018

Η ενέργεια σε μια περίοδο στην εξαναγκασμένη

i)  Ένα σώμα ηρεμεί σε λείο οριζόντιο επίπεδο. Σε μια στιγμή δέχεται μια δύναμη, η ισχύς της οποίας μεταβάλλεται με το χρόνο, όπως στο διπλανό διάγραμμα.
Να υπολογιστεί η κινητική ενέργεια του σώματος τη στιγμή t=2s.
ii) Ένα σώμα μάζας m=0,5kg εκτελεί εξαναγκασμένη ταλάντωση με την εξάσκηση αρμονικής εξωτερικής δύναμης, ενώ δέχεται και δύναμη απόσβεσης της μορφής Fαπ=-0,25∙υ (S.Ι.). Μετά το πέρας των μεταβατικών φαινομένων, λαμβάνοντας κάποια στιγμή ως t0=0, παίρνουμε ως εξίσωση απομάκρυνσης την x=0,5∙ημ(4t)  (S.Ι.).
 α) Κάποια στιγμή t1 το σώμα περνά από τη θέση x1=0,3m με θετική ταχύτητα, ενώ η εξωτερική δύναμη έχει τιμή F1=1 Ν. Να υπολογιστούν τη στιγμή t1:
α1) Η ισχύς της εξωτερικής δύναμης και ο ρυθμός με τον οποίο η μηχανική ενέργεια μετατρέπεται σε θερμική εξαιτίας της δύναμης απόσβεσης.
α2) Η δύναμη επαναφοράς που ασκείται στο σώμα.
α3) Η κινητική και η δυναμική ενέργεια του σώματος.
β) Να υπολογιστούν στη διάρκεια μιας περιόδου, τα έργα της δύναμης επαναφοράς, της δύναμης απόσβεσης και της διεγείρουσας εξωτερικής δύναμης.
ή

Τετάρτη, 14 Νοεμβρίου 2018

Αλλαγή του άξονα περιστροφής. Πώς εφαρμόζεται η ΑΔΣ.


Σε λείο οριζόντιο επίπεδο περιστρέφεται μια ομογενής ράβδος μάζας Μ=3kg και μήκους l=2m με γωνιακή ταχύτητα μέτρου ω0=1rαd/s, όπως στο σχήμα (κάτοψη). Μια σφαίρα μάζας m=Μ=3kg κινείται στο ίδιο επίπεδο με ταχύτητα υ0 =4m/s και συγκρούεται πλαστικά στο άκρο Α της ράβδου, τη στιγμή που η σφαίρα έχει ταχύτητα κάθετη στη ράβδο.
Να υπολογιστεί η γωνιακή ταχύτητα του στερεού s που προκύπτει, καθώς και η ταχύτητα της σφαίρας, αμέσως μετά την κρούση.
Δίνεται η ροπή αδράνειας της ράβδου ως προς κάθετο άξονα που περνά από το μέσον της Ο, Ιο= (1/12)Μl2.
ή

Τετάρτη, 7 Νοεμβρίου 2018

Η ενέργεια σε μια Εξαναγκασμένη Ταλάντωση



Ένα σώμα μάζας 0,2kg είναι δεμένο στο άκρο ενός οριζόντιου ιδανικού ελατηρίου σταθεράς k=16Ν/m και με την επίδραση μιας εξωτερικής αρμονικής δύναμης F, εκτελεί ταλάντωση, όπου (μετά το πέρας των μεταβατικών φαινομένων) η απομάκρυνση από τη θέση ισορροπίας (θέση φυσικού μήκους του ελατηρίου) έχει τη μορφή x=0,5∙ημ(10t) (S.Ι.). Στη διάρκεια της ταλάντωσης το σώμα δέχεται αντίσταση από τον αέρα της μορφής Fαπ=-0,2∙υ (μονάδες στο S.Ι.).
i)  Να υπολογιστούν η μέγιστη κινητική και η μέγιστη δυναμική ενέργεια του σώματος στη διάρκεια της εξαναγκασμένης αυτής ταλάντωσης.
ii) Για τη στιγμή που το σώμα περνά από τη θέση Β του σχήματος, με απομάκρυνση x1=0,4m και με θετική (προς τα δεξιά) ταχύτητα, να βρεθούν:
α)  Η επιτάχυνση και η εξωτερική δύναμη F.
β)  Η κινητική και η δυναμική ενέργεια. Πόσο είναι το άθροισμα Κ+U;
γ)  Οι ρυθμοί μεταβολής της κινητικής και δυναμικής ενέργειας.
δ)  Η ισχύς της εξωτερικής δύναμης, καθώς και ο ρυθμός με τον οποίο η μηχανική ενέργεια μετατρέπεται σε θερμική εξαιτίας της αντίστασης αέρα.
ή

Κυριακή, 4 Νοεμβρίου 2018

Η ενέργεια σε μια φθίνουσα ταλάντωση



Ένα σώμα Σ μάζας 2kg είναι δεμένο στο κάτω άκρο ενός κατακόρυφου ιδανικού ελατηρίου σταθεράς k=20Ν/m και εκτελεί κατακόρυφη ταλάντωση, όπως στο σχήμα, ενώ δέχεται και δύναμη απόσβεσης τη μορφής Fαπ=-b∙υ. Σε μια στιγμή t1 περνά από τη θέση ισορροπίας του (x=0) κινούμενο προς τα πάνω με ταχύτητα υ1=5m/s, έχοντας ταυτόχρονα και επιτάχυνση με φορά προς τα κάτω και μέτρο α1=1m/s2.
i)  Να υπολογιστεί η σταθερά απόσβεσης b.
ii) Να βρεθούν την παραπάνω στιγμή t1:
α) Η ενέργεια ταλάντωσης.
β) Ο ρυθμός μεταβολής της ενέργειας ταλάντωσης του σώματος Σ.
iii) Μετά από λίγο, τη στιγμή t2 το σώμα Σ φτάνει στη θέση Ρ με απομάκρυνση y=1m (θετική φορά προς τα πάνω), με μηδενική ταχύτητα. Για τη στιγμή t2, να βρεθούν η επιτάχυνση του σώματος Σ, καθώς και ο ρυθμός με τον οποίο μειώνεται η ενέργεια ταλάντωσης εξαιτίας της δύναμης απόσβεσης.
iv)  Πόση είναι η μηχανική ενέργεια που εμφανίζεται ως θερμική από τη στιγμή t1, μέχρι τη στιγμή t2;
v)   Μια άλλη χρονική  στιγμή t3 το σώμα περνά από τη θέση y3=-0,5m κινούμενο προς τα κάτω με ταχύτητα μέτρου υ3=3,2m/s. Για τις χρονικές στιγμές t1, t2, t3 ισχύει:
α)  t1 < t2 < t3,    β)  t1 < t3 < t2,   γ)  t3 < t1 < t2.
Να δικαιολογήσετε την επιλογή σας.
 ή

Πέμπτη, 1 Νοεμβρίου 2018

Η ταλάντωση στην καρότσα του φορτηγού.



Ένα σώμα Σ μάζας 2kg είναι δεμένο στο άκρο ενός οριζόντιου ελατηρίου σταθεράς k=200Ν/m και βρίσκεται στην λεία καρότσα ενός φορτηγού, όπως στο σχήμα. Με το σύστημα αυτό, μελετάμε τρεις κινήσεις, η μελέτη των οποίων θα γίνει ως προς έναν προσανατολισμένο άξονα x με αρχή το σημείο Ο, σημείο από το οποίο περνά το σώμα Σ τη στιγμή t0=0. 
i) Το φορτηγό κινείται προς τα δεξιά με σταθερή ταχύτητα v=2m/s, ενώ το ελατήριο έχει το φυσικό μήκος του.
Να βρεθεί η θέση, η ταχύτητα και η κινητική ενέργεια του σώματος Σ τη στιγμή t1=(7π/30)s≈0,7 s.
ii) Το  φορτηγό παραμένει ακίνητο, ενώ το σώμα Σ εκτελεί ΑΑΤ με εξίσωση απομάκρυνσης x=0,2∙ημωt (S.Ι.):
α) Να βρεθεί η θέση, η ταχύτητα και η κινητική ενέργεια του σώματος τη στιγμή t1.
β) Ποιος ο ρυθμός μεταβολής της κινητικής ενέργειας του σώματος τη χρονική στιγμή t2=π/4 s;
iii) Το φορτηγό κινείται προς τα δεξιά με σταθερή ταχύτητα v, ενώ το σώμα Σ πάνω στην καρότσα τίθεται σε ταλάντωση με την ίδια, εξίσωση x=0,2∙ημωt (S.Ι.), ως προς την καρότσα του φορτηγού:
α) Τι τιμές θα πάρουν τώρα η θέση, η ταχύτητα και η κινητική ενέργεια του σώματος τη στιγμή t1.
β) Να κάνετε τη γραφική παράσταση της ταχύτητας του Σ σε συνάρτηση με το χρόνο και να υπολογίσετε τη μέγιστη και ελάχιστη κινητική του ενέργεια.
γ) Ποιος ο ρυθμός μεταβολής της κινητικής ενέργειας του σώματος Σ τη χρονική στιγμή t2;

Σημείωση: Όλα τα παραπάνω μεγέθη θα υπολογιστούν ως προς έναν ακίνητο παρατηρητή στο έδαφος.

Απάντηση:
ή


Τρίτη, 30 Οκτωβρίου 2018

Δυο ελατήρια αλλά φθίνουσες οι ταλαντώσεις



Δυο σώματα Β και Γ, ηρεμούν δεμένα στα κάτω άκρα δύο κατακόρυφων όμοιων  ιδανικών ελατηρίων σταθεράς k, έχοντας προκαλέσει την ίδια επιμήκυνση στα ελατήρια, όπως στο σχήμα. Εκτρέπουμε τα σώματα κατακόρυφα προς τα πάνω, ώστε τα ελατήρια να αποκτήσουν το φυσικό μήκος τους και κάποια στιγμή t0=0, τα αφήνουμε να ταλαντωθούν. Στη διάρκεια της ταλάντωσης, στα σώματα ασκούνται δυνάμεις απόσβεσης της μορφής F=-b∙υ, όπου bΒ= b1 < b2=bΓ , με αποτέλεσμα να εκτελούν φθίνουσα ταλάντωση.
i)  Μεγαλύτερη αρχική επιτάχυνση θα αποκτήσει:
α) Το σώμα Β,  β) Το σώμα Γ,   γ) Τα δυο σώματα θα αποκτήσουν ίσες αρχικές επιταχύνσεις.
ii) Πρώτο θα φτάσει στη θέση ισορροπίας:
α) Το σώμα Β,  β) Το σώμα Γ,   γ) Τα δυο σώματα θα φτάσουν ταυτόχρονα.
iii) Μετά μια πλήρη ταλάντωση κάθε σώματος, τα σώματα:
α) θα φτάσουν στο ίδιο ύψος.
β) ψηλότερα θα φτάσει το σώμα Β.
γ) ψηλότερα θα φτάσει το σώμα Γ.
Να δικαιολογήσετε τις απαντήσεις σας.
ή

Σάββατο, 27 Οκτωβρίου 2018

Δυο ελατήρια με το ίδιο μήκος


Δυο σώματα Β και Γ, της ίδιας μάζας, κρέμονται στα άκρα δύο κατακόρυφων ιδανικών ελατηρίων, με σταθερές k1 και k2, όπως στο σχήμα. Τα ελατήρια έχουν το ίδιο φυσικό μήκος l0. Εκτρέπουμε τα σώματα κατακόρυφα προς τα πάνω, ώστε τα ελατήρια να αποκτήσουν το φυσικό μήκος τους και κάποια στιγμή t0=0, τα αφήνουμε να ταλαντωθούν.
i) Μεγαλύτερη αρχική επιτάχυνση, τη στιγμή που αφήνονται να κινηθούν, θα αποκτήσει:
α) Το σώμα Β,    β) Το σώμα Γ,   γ) Τα δυο σώματα θα αποκτήσουν ίσες επιταχύνσεις.
ii) Πρώτο θα φτάσει στη χαμηλότερη θέση της τροχιάς του:
α) Το σώμα Β,    β) Το σώμα Γ,   γ) Τα δυο σώματα θα φτάσουν ταυτόχρονα.
iii) Μεταξύ των μεγίστων κινητικών ενεργειών, που τα σώματα πρόκειται να αποκτήσουν, στη διάρκεια της ταλάντωσης, ισχύει:
α) Κ1 < Κ2,     β)  Κ1 = Κ2,   γ) Κ1 > Κ2.
Όπου Κ1 η μέγιστη κινητική ενέργεια του σώματος Β και Κ2 η αντίστοιχη του σώματος Γ.
Να δικαιολογήσετε τις απαντήσεις σας.
ή

Πέμπτη, 25 Οκτωβρίου 2018

Ενέργειες και ρυθμοί μεταβολής σε ταλαντώσεις

Μια σφαίρα μάζας m=2kg εκτελεί μια απλή αρμονική ταλάντωση, με ω1=10rad/s και κάποια στιγμή περνά από μια θέση Β με απομάκρυνση x1=0,4m έχοντας ταχύτητα υ=2m/s, όπως στο πρώτο από τα διπλανά σχήματα.
i) Να υπολογιστούν για τη θέση αυτή:
α)  Η επιτάχυνση, η κινητική, η δυναμική ενέργεια και η ενέργεια ταλάντωσης.
β)  Οι ρυθμοί μεταβολής της κινητικής, της δυναμικής ενέργειας και της ενέργειας ταλάντωσης.
ii) Η παραπάνω σφαίρα ταλαντώνεται στο ίδιο περιβάλλον, αλλά τώρα δέχεται και δύναμη απόσβεσης της μορφής F=-0,2υ  (μονάδες στο S.Ι.), με αποτέλεσμα να ταλαντώνεται με ω2=9rαd/s. Αν κάποια στιγμή περνά από τη θέση Γ (μεσαίο σχήμα) όπου x2=-0,4m, με ταχύτητα υ=2m/s, ποιες θα ήταν οι αντίστοιχες απαντήσεις στα δυο προηγούμενα υποερωτήματα;
iii) Αν τώρα στη σφαίρα ασκηθεί επιπλέον και μια περιοδική εξωτερική δύναμη της μορφής Fεξ=F0συν(9,92t) και κάποια στιγμή περνά από τη θέση Δ (κάτω σχήμα) όπου x3=0,5m, με ταχύτητα υ=2m/s, ενώ το μέτρο της εξωτερικής δύναμης, τη στιγμή αυτή, είναι ίσο με 2Ν, ποιες θα ήταν οι αντίστοιχες απαντήσεις στα δυο προηγούμενα υποερωτήματα;
ή