Τρίτη, 30 Οκτωβρίου 2018

Δυο ελατήρια αλλά φθίνουσες οι ταλαντώσεις



Δυο σώματα Β και Γ, ηρεμούν δεμένα στα κάτω άκρα δύο κατακόρυφων όμοιων  ιδανικών ελατηρίων σταθεράς k, έχοντας προκαλέσει την ίδια επιμήκυνση στα ελατήρια, όπως στο σχήμα. Εκτρέπουμε τα σώματα κατακόρυφα προς τα πάνω, ώστε τα ελατήρια να αποκτήσουν το φυσικό μήκος τους και κάποια στιγμή t0=0, τα αφήνουμε να ταλαντωθούν. Στη διάρκεια της ταλάντωσης, στα σώματα ασκούνται δυνάμεις απόσβεσης της μορφής F=-b∙υ, όπου bΒ= b1 < b2=bΓ , με αποτέλεσμα να εκτελούν φθίνουσα ταλάντωση.
i)  Μεγαλύτερη αρχική επιτάχυνση θα αποκτήσει:
α) Το σώμα Β,  β) Το σώμα Γ,   γ) Τα δυο σώματα θα αποκτήσουν ίσες αρχικές επιταχύνσεις.
ii) Πρώτο θα φτάσει στη θέση ισορροπίας:
α) Το σώμα Β,  β) Το σώμα Γ,   γ) Τα δυο σώματα θα φτάσουν ταυτόχρονα.
iii) Μετά μια πλήρη ταλάντωση κάθε σώματος, τα σώματα:
α) θα φτάσουν στο ίδιο ύψος.
β) ψηλότερα θα φτάσει το σώμα Β.
γ) ψηλότερα θα φτάσει το σώμα Γ.
Να δικαιολογήσετε τις απαντήσεις σας.
ή

Σάββατο, 27 Οκτωβρίου 2018

Δυο ελατήρια με το ίδιο μήκος


Δυο σώματα Β και Γ, της ίδιας μάζας, κρέμονται στα άκρα δύο κατακόρυφων ιδανικών ελατηρίων, με σταθερές k1 και k2, όπως στο σχήμα. Τα ελατήρια έχουν το ίδιο φυσικό μήκος l0. Εκτρέπουμε τα σώματα κατακόρυφα προς τα πάνω, ώστε τα ελατήρια να αποκτήσουν το φυσικό μήκος τους και κάποια στιγμή t0=0, τα αφήνουμε να ταλαντωθούν.
i) Μεγαλύτερη αρχική επιτάχυνση, τη στιγμή που αφήνονται να κινηθούν, θα αποκτήσει:
α) Το σώμα Β,    β) Το σώμα Γ,   γ) Τα δυο σώματα θα αποκτήσουν ίσες επιταχύνσεις.
ii) Πρώτο θα φτάσει στη χαμηλότερη θέση της τροχιάς του:
α) Το σώμα Β,    β) Το σώμα Γ,   γ) Τα δυο σώματα θα φτάσουν ταυτόχρονα.
iii) Μεταξύ των μεγίστων κινητικών ενεργειών, που τα σώματα πρόκειται να αποκτήσουν, στη διάρκεια της ταλάντωσης, ισχύει:
α) Κ1 < Κ2,     β)  Κ1 = Κ2,   γ) Κ1 > Κ2.
Όπου Κ1 η μέγιστη κινητική ενέργεια του σώματος Β και Κ2 η αντίστοιχη του σώματος Γ.
Να δικαιολογήσετε τις απαντήσεις σας.
ή

Πέμπτη, 25 Οκτωβρίου 2018

Ενέργειες και ρυθμοί μεταβολής σε ταλαντώσεις

Μια σφαίρα μάζας m=2kg εκτελεί μια απλή αρμονική ταλάντωση, με ω1=10rad/s και κάποια στιγμή περνά από μια θέση Β με απομάκρυνση x1=0,4m έχοντας ταχύτητα υ=2m/s, όπως στο πρώτο από τα διπλανά σχήματα.
i) Να υπολογιστούν για τη θέση αυτή:
α)  Η επιτάχυνση, η κινητική, η δυναμική ενέργεια και η ενέργεια ταλάντωσης.
β)  Οι ρυθμοί μεταβολής της κινητικής, της δυναμικής ενέργειας και της ενέργειας ταλάντωσης.
ii) Η παραπάνω σφαίρα ταλαντώνεται στο ίδιο περιβάλλον, αλλά τώρα δέχεται και δύναμη απόσβεσης της μορφής F=-0,2υ  (μονάδες στο S.Ι.), με αποτέλεσμα να ταλαντώνεται με ω2=9rαd/s. Αν κάποια στιγμή περνά από τη θέση Γ (μεσαίο σχήμα) όπου x2=-0,4m, με ταχύτητα υ=2m/s, ποιες θα ήταν οι αντίστοιχες απαντήσεις στα δυο προηγούμενα υποερωτήματα;
iii) Αν τώρα στη σφαίρα ασκηθεί επιπλέον και μια περιοδική εξωτερική δύναμη της μορφής Fεξ=F0συν(9,92t) και κάποια στιγμή περνά από τη θέση Δ (κάτω σχήμα) όπου x3=0,5m, με ταχύτητα υ=2m/s, ενώ το μέτρο της εξωτερικής δύναμης, τη στιγμή αυτή, είναι ίσο με 2Ν, ποιες θα ήταν οι αντίστοιχες απαντήσεις στα δυο προηγούμενα υποερωτήματα;
ή

Κυριακή, 21 Οκτωβρίου 2018

Η ενέργεια στη διάρκεια άσκησης της δύναμης



Ένα σώμα μάζας 2kg ηρεμεί σε λείο οριζόντιο επίπεδο, στη θέση Β,  δεμένο στο άκρο οριζόντιου ιδανικού  ελατηρίου σταθεράς k, το άλλο άκρο του οποίου έχει προσδεθεί σε κατακόρυφο τοίχο, όπως στο σχήμα. Κάποια στιγμή t0=0 ασκούμε στο σώμα μια σταθερή οριζόντια δύναμη F μέτρου F=16Ν, μέχρι να φτάσει το σώμα σε μια θέση Γ με μηδενική ταχύτητα, τη στιγμή t1=0,5s, οπότε και παύουμε να ασκούμε τη δύναμη.
i)   Να αποδειχτεί ότι στη διάρκεια της εξάσκησης της δύναμης F,  το σώμα εκτελεί μια αρμονική ταλάντωση, της οποίας να υπολογίσετε το πλάτος Α1 και την περίοδο Τ1.
ii)  Να υπολογιστεί ο μέγιστος ρυθμός, με τον οποίο μεταφέρεται ενέργεια στο σώμα, μέσω του έργου της ασκούμενης δύναμης F.
iii) Στο διπλανό διάγραμμα δίνεται η ισχύς της ασκούμενης δύναμης F, σε συνάρτηση με το χρόνο.
α)  Να υπολογιστεί η ισχύς της δύναμης και ο ρυθμός μεταβολής της κινητικής ενέργειας του σώματος τη στιγμή t1= 1/6 s, κατά την οποία περνά από μια θέση Δ.
β)  Να βρεθεί η ενέργεια που μεταφέρθηκε στο σώμα, μέσω του έργου της δύναμης F, από 0-t1.
iv) Να βρείτε το πλάτος και την ενέργεια της ταλάντωσης που θα πραγματοποιήσει το σώμα, μόλις σταματήσει η δράση της δύναμης F. Να υπολογιστεί επίσης η κινητική και η δυναμική ενέργεια τη στιγμή που το σώμα περνά ξανά από τη θέση Δ.

Δίνεται π2≈10.

ή



Τετάρτη, 17 Οκτωβρίου 2018

Μετά την άσκηση μεταβλητής δύναμης.


Ένα σώμα ηρεμεί στο κάτω άκρο ενός ιδανικού ελατηρίου σταθεράς k=200Ν/m, όπως στο σχήμα. Σε μια στιγμή ασκούμε στο σώμα, μια κατακόρυφη μεταβλητή  δύναμη F, με φορά προς τα κάτω, το μέτρο της οποίας μεταβάλλεται σύμφωνα με την εξίσωση F=400y+20 (S.Ι.), όπου y η μετατόπιση του σώματος από τη θέση ισορροπίας του. Η δύναμη ασκείται στο σώμα, μέχρι αυτό να μετατοπισθεί κατά y1=0,1m, φτάνοντας σε σημείο Ρ, οπότε η δύναμη καταργείται και το σώμα μένει ελεύθερο να εκτελέσει μια απλή αρμονική ταλάντωση, με σταθερά επαναφοράς D=k. Θεωρώντας την προς τα κάτω κατεύθυνση ως θετική και t=0 τη στιγμή που σταματά η εξάσκηση της δύναμης F, στη θέση Ρ, ενώ g=10m/s2, ζητούνται:
i)    Να υπολογιστεί η ενέργεια της ταλάντωσης, καθώς και το πλάτος ταλάντωσης.
ii)  Η δυναμική και η κινητική ενέργεια του σώματος, τη στιγμή που το σώμα περνά από το σημείο Ρ, κινούμενο προς τα πάνω, για πρώτη φορά.
iii) Αν το σώμα επανέρχεται στο σημείο Ρ, κινούμενο προς τα πάνω (για πρώτη φορά), τη χρονική στιγμή t1=π/15 (s), να υπολογιστούν:
α)  Η μάζα του σώματος
β)  Η ταχύτητα του σώματος τη στιγμή t1.
iv) Να υπολογιστούν η δυναμική ενέργεια ταλάντωσης, η δυναμική ενέργεια του ελατηρίου καθώς και οι ρυθμοί μεταβολής τους, τη χρονική στιγμή t2=π/10 (s).
ή

Δευτέρα, 15 Οκτωβρίου 2018

Ας ενισχύσουμε την ταλάντωση



Μια σφαίρα μάζας m=2kg εκτελεί μια απλή αρμονική ταλάντωση, μεταξύ των θέσεων Β και Γ, γύρω από τη θέση ισορροπίας Ο, όπως στο σχήμα, με εξίσωση απομάκρυνσης:
x=0,2∙ημ(2πt)   μονάδες στο S.Ι.
i)   Να υπολογιστεί η ενέργεια ταλάντωσης, καθώς και η ταχύτητα της σφαίρας, τη στιγμή t1 που περνά από το μέσον Μ της ΟΓ, κινούμενη προς τα δεξιά (θετική κατεύθυνση).
Τη στιγμή t1 στη σφαίρα ασκείται μια σταθερή δύναμη F1 μέτρου F1=21Ν, με κατεύθυνση προς τα δεξιά, όπως στο πάνω σχήμα, μέχρι να φτάσει η σφαίρα στη θέση Ν, έχοντας μετατοπισθεί κατά Δx=0,4m, οπότε η δύναμη παύει να ασκείται. Να βρεθούν:
ii) Η επιτάχυνση της σφαίρας μόλις ασκηθεί η δύναμη F1.
iii) Η τελική ενέργεια ταλάντωσης της σφαίρας, καθώς και η ταχύτητά της τη στιγμή που παύει να ασκείται πάνω της η δύναμη F1.
iv) Αν δεν ασκείτο στη σφαίρα η παραπάνω δύναμη F1, αλλά μια άλλη δύναμη F2, με μέτρο F2=8Ν , τη στιγμή που βρίσκεται στην ακραία αρνητική θέση της Β (κάτω σχήμα) και για χρονικό διάστημα Δt=0,5s, ποια θα ήταν τελικά η ενέργεια ταλάντωσης, μετά την κατάργησή της;
Δίνεται π2≈10
ή

Τρίτη, 9 Οκτωβρίου 2018

Η μηχανική ενέργεια και η ενέργεια ταλάντωσης



Στο σχήμα το ελατήριο είναι ιδανικό και στηρίζεται στο έδαφος σε κατακόρυφη θέση. Αφήνουμε μια πλάκα να πέσει από ορισμένο ύψος και να συμπιέσει το ελατήριο, οπότε στη διάρκεια της συμπίεσης, το σώμα εκτελεί ΑΑΤ, με ενέργεια ταλάντωσης Ετ Θεωρώντας το οριζόντιο επίπεδο που περνά από το άνω άκρο του ελατηρίου, ως επίπεδο μηδενικής βαρυτικής δυναμικής ενέργειας, το σύστημα σώμα-Γη-ελατήριο έχει μηχανική ενέργεια ΕΜ.
i)  Για τις παραπάνω δύο ενέργειες ισχύει:
α) ΕΤ < ΕΜ,    β)  ΕΤ = ΕΜ,    γ) ΕΤ > ΕΜ.
ii)  Ποια θα ήταν η απάντηση στο παραπάνω ερώτημα, αν θεωρούσαμε ως επίπεδο μηδενικής βαρυτικής δυναμικής ενέργειας (U=0), το οριζόντιο επίπεδο που περνά από την θέση ισορροπίας του σώματος, στη διάρκεια της ταλάντωσής του;   
Να δικαιολογήσετε τις απαντήσεις σας.
ή

Πέμπτη, 4 Οκτωβρίου 2018

Δυο κρούσεις και στη συνέχεια δυο ΑΑΤ


 
Στο πάνω άκρο ενός κατακόρυφου ιδανικού ελατηρίου, σταθεράς k, το άλλο άκρο του οποίου έχει στερεωθεί στο έδαφος, ηρεμεί μια πλάκα Π1 μάζας m1=3m (αριστερό σχήμα). Από ορισμένο ύψος h, πάνω από την πλάκα αφήνεται μια σφαίρα Β μάζας m2=m να πέσει και να συγκρουσθεί με την πλάκα κεντρικά και ελαστικά. Η σφαίρα Β απομακρύνεται μετά την κρούση, ενώ η πλάκα Π1 εκτελεί ΑΑΤ με περίοδο Τ1 και πλάτος Α1.
Στο δεξιό σχήμα, η πλάκα Π2 έχει μάζα m3=m, το ελατήριο την ίδια σταθερά k και από το ίδιο ύψος h αφήνεται ένα σώμα Γ, μάζας m4=2m να πέσει και να συγκρουσθεί πλαστικά με την πλάκα. Μετά την κρούση ακολουθεί μια κατακόρυφη ΑΑΤ του συσσωματώματος με περίοδο Τ2 και πλάτος Α2.
i) Για τις δύο παραπάνω περιόδους ισχύει:
α) Τ1 < Τ2,    β) Τ1 = Τ2,    γ) Τ1 > Τ2.
ii) Για τα αντίστοιχα πλάτη ταλάντωσης ισχύει:
 α) Α1 < Α2,    β) Α1 = Α2,    γ) Α1 > Α2.
Να δικαιολογήσετε τις απαντήσεις σας.
ή

Δευτέρα, 1 Οκτωβρίου 2018

Μετά την πλαστική κρούση μια αατ.


Τα σώματα Σ και Σ1 με μάζες m=4kg και m1=2kg είναι δεμένα στα άκρα ενός ιδανικού ελατηρίου σταθεράς k=400Ν/m και συγκρατούνται όπως στο αριστερό σχήμα, με τον άξονα του ελατηρίου, που έχει το φυσικό μήκος του l0=0,4m, κατακόρυφο. Στη θέση αυτή το Σ1 απέχει κατά h1=0,15m, από το έδαφος. Κάποια στιγμή, την οποία θεωρούμε ως t0=0, αφήνουμε ταυτόχρονα τα σώματα, να πέσουν, οπότε μετά από λίγο το Σ1 προσκολλάται στο έδαφος, χωρίς να αναπηδήσει.
i)  Να βρεθεί η επιτάχυνση κάθε σώματος, καθώς και η χρονική στιγμή που το Σ1 θα συγκρουσθεί με το έδαφος.
ii) Να αποδειχτεί ότι το σώμα Σ θα εκτελέσει ΑΑΤ, μετά την προσκόλληση του Σ1 με το έδαφος.
iii) Να υπολογιστεί το κλάσμα της αρχικής μηχανικής ενέργειας του συστήματος, το οποίο εμφανίζεται ως ενέργεια ταλάντωσης του σώματος Σ. Για τον υπολογισμό της μηχανικής ενέργειας θεωρείστε το έδαφος ως επίπεδο μηδενικής δυναμικής ενέργειας.
iv) Να βρείτε μεταξύ ποιων τιμών θα μεταβάλλεται το μήκος του ελατηρίου, κατά τη διάρκεια της ταλάντωσης και να κάνετε τη γραφική παράσταση της δύναμης που ασκεί το ελατήριο στο σώμα Σ, σε συνάρτηση με την απομάκρυνση από τη θέση ισορροπίας, θεωρώντας την προς τα πάνω κατεύθυνση ως θετική.
v)  Να βρείτε επίσης τη συνάρτηση h=h(t), του ύψους από το έδαφος του σώματος Σ, σε συνάρτηση με το χρόνο και να κάνετε τη γραφική της παράσταση.
Δίνεται g=10m/s2.     
ή