Σάββατο 27 Μαρτίου 2021

Οι τριβές εξασφαλίζουν την ισορροπία μιας δοκού.

 Μια ομογενής δοκός ΑΒ, μήκους ℓ=5m και βάρους w= 300Ν, ισορροπεί σε οριζόντια θέση, στηριζόμενη σε ένα τρίποδο Δ και έναν κύλινδρο. Ο κύλινδρος μπορεί να στρέφεται γύρω από σταθερό οριζόντιο άξονα που ταυτίζεται με τον άξονά του, ο οποίος περνά από το κέντρο Ο της βάσης του.

 

Ο κύλινδρος παραμένει ακίνητος ενώ για τα σημεία στήριξης δίνεται ότι (ΓΜ)=1m και (ΜΕ)=2m. Δίνεται ακόμη ότι η δοκός παρουσιάζει με το τρίποδο και τον κύλινδρο συντελεστές τριβής μs=μ=0,4.

i) Να βρεθούν οι δυνάμεις που δέχεται η δοκός από τα δύο στηρίγματα.

ii) Θέτουμε τον κύλινδρο σε περιστροφή με σταθερή γωνιακή ταχύτητα ω1=1rαd/s, με φορά ίδια με την φορά περιστροφής των δεικτών του ρολογιού.

α) Να βρεθούν οι δυνάμεις τριβής που θα ασκηθούν στην δοκό.

β) Πώς θα μεταβληθούν οι παραπάνω τριβές, αν διπλασιάσουμε την γωνιακή ταχύτητα περιστροφής του κυλίνδρου;

iii) Με περιστρεφόμενο τον κύλινδρο, τοποθετούμε πάνω στη δοκό, στο άκρο της Α, ένα σώμα Σ μάζας m=6kg και σε μια στιγμή t=0, με κατάλληλο κτύπημα του προσδίδουμε αρχική ταχύτητα υ0=4m/s, με αποτέλεσμα να κινηθεί κατά μήκος της δοκού, προς το άκρο Β. Αν ο σ.τ.ο. μεταξύ του σώματος Σ και της δοκού είναι μ=0,4:

α) Να υπολογιστεί η τριβή που ασκείται στη δοκό από το τρίποδο τη στιγμή t=0+ (αμέσως μετά το κτύπημα του Σ).

β) Να γίνει η γραφική παράσταση της τριβής από το τρίποδο στη δοκό, σε συνάρτηση με την μετατόπιση x του σώματος Σ, πάνω στη δοκό.

Δίνεται g=10m/s2.

Απάντηση:

ή

  Οι τριβές εξασφαλίζουν την ισορροπία μιας δοκού.

  Οι τριβές εξασφαλίζουν την ισορροπία μιας δοκού.

Τρίτη 23 Μαρτίου 2021

Η ισορροπία και η κίνηση μιας ράβδου

Στο σχήμα βλέπετε μια οριζόντια ομογενή ράβδο ΑΒ μήκους 2m και βάρους 100Ν, όπου το άκρο της Α στηρίζεται σε κεκλιμένο επίπεδο, κλίσεως θ (ημθ=0,8), ενώ το άλλο της άκρο Β είναι δεμένο στο κάτω άκρο κατακόρυφου, μη εκτατού νήματος.

i)  Υποστηρίζεται ότι αν το επίπεδο είναι λείο, η εικόνα δείχνει μια ράβδο σε ισορροπία. Να εξετάσετε αν αυτό μπορεί να συμβαίνει.

ii) Αν το επίπεδο δεν είναι λείο και η ράβδος ισορροπεί, να υπολογιστεί η τριβή που ασκείται στη ράβδο.

iii) Αν η ράβδος έχει αφεθεί να κινηθεί, σε επαφή με το επίπεδο και τη στιγμή που η ράβδος βρίσκεται στη θέση του σχήματος το άκρο της Β έχει ταχύτητα μέτρου υ1=3m/s, με το νήμα τεντωμένο, ζητούνται για την θέση αυτή:

α) Ποια η διεύθυνση της ταχύτητας του Β;

β) Να υπολογιστεί η ταχύτητα του άκρου Α της ράβδου.

γ) Η ταχύτητα  (υcm)  του μέσου Κ της ράβδου καθώς και η γωνιακή ταχύτητα περιστροφής της.

Απάντηση:

ή

  Η ισορροπία και η κίνηση μιας ράβδου

  Η ισορροπία και η κίνηση μιας ράβδου

Κυριακή 21 Μαρτίου 2021

Η ισορροπία μιας δοκού

 

Η ομογενής δοκός ΑΒ μήκους ℓ και βάρους w=200Ν ισορροπεί όπως στο σχήμα, όπου στο σημείο Ο με (ΑΟ)= 0,2ℓ, στηρίζεται σε λείο κατακόρυφο τοίχο, ενώ με το άκρο της Β, στο έδαφος, με το οποίο εμφανίζει συντελεστή τριβής μs=μ=0,5. Δίνεται ότι στο άκρο της Α ασκείται, μέσω νήματος, οριζόντια δύναμη F μέτρου F=25Ν, ενώ η γωνία θ που σχηματίζει η δοκός με τον τοίχο έχει ημθ=0,6 και συνθ=0,8.

i)   Να υπολογιστεί η δύναμη που ασκείται στην δοκό από τον τοίχο στο σημείο Ο.

ii) Να βρεθεί η τριβή που ασκείται στη δοκό από το έδαφος.

iii) Για ποια τιμή F1 της οριζόντιας δύναμης, η δοκός χάνει οριακά την επαφή της με το έδαφος;

iv) Αν η δύναμη F άλλαζε φορά, διατηρώντας την οριζόντια διεύθυνση και μέτρο F=25Ν, θα ισορροπούσε ή όχι η δοκός;

Απάντηση:

ή

  Η ισορροπία μιας δοκού

  Η ισορροπία μιας δοκού

Πέμπτη 18 Μαρτίου 2021

Άλλη μια ισορροπία κυλίνδρου με εμπόδιο

  

Ο ομογενής κύλινδρος του σχήματος, βάρους w=100Ν και ακτίνας R, ηρεμεί σε λείο οριζόντιο επίπεδο, σε επαφή με σκαλοπάτι ύψους h=0,4R. Σε μια στιγμή στο άκρο Α μιας ακτίνας, η οποία σχηματίζει με την οριζόντια διεύθυνση γωνία θ=30°, ασκούμε μέσω νήματος, μια οριζόντια δύναμη F, μέτρου F=40Ν, όπως στο σχήμα και βλέπουμε τον κύλινδρο να παραμένει ακίνητος.

i)  Να σχεδιάστε τις δυνάμεις που ασκούνται στον κύλινδρο και να εξηγήσετε γιατί δεν μπορεί το σκαλοπάτι να είναι λείο.

ii) Να υπολογίστε την τριβή που ασκείται στον κύλινδρο από το σκαλοπάτι.

iii) Πόση δύναμη δέχεται ο κύλινδρος από το οριζόντιο επίπεδο;

iv) Ποιος ο ελάχιστος συντελεστής οριακής στατικής τριβής μεταξύ κυλίνδρου και σκαλοπατιού, για να εξασφαλίζεται η παραπάνω ισορροπία;

Απάντηση:

ή

 Άλλη μια ισορροπία κυλίνδρου με εμπόδιο

 Άλλη μια ισορροπία κυλίνδρου με εμπόδιο

Τρίτη 16 Μαρτίου 2021

Ο κύλινδρος και το σκαλοπάτι.

  

Ο ομογενής κύλινδρος του σχήματος, βάρους w και ακτίνας R, ηρεμεί σε λείο οριζόντιο επίπεδο, σε επαφή με σκαλοπάτι ύψους h=0,4R. Σε μια στιγμή στο άκρο Α μιας οριζόντιας ακτίνας του ασκούμε, μέσω νήματος, μια οριζόντια δύναμη F, μέτρου F=w, όπως στο σχήμα.

Α) Να χαρακτηρίσετε τις παρακάτω προτάσεις ως σωστές ή λανθασμένες δικαιολογώντας τις απαντήσεις σας.

i) Ο κύλινδρος θα υπερπηδήσει το σκαλοπάτι, αν αναπτύσσεται τριβή με το σκαλοπάτι, με αποτέλεσμα να μην ολισθαίνει.

ii) Αν το σκαλοπάτι είναι λείο, ο κύλινδρος θα ισορροπήσει.

iii) Ο κύλινδρος θα ισορροπήσει, μόνο αν εμφανιστεί τριβή μεταξύ κυλίνδρου και σκαλοπατιού.

Β) Να υπολογίσετε, σε συνάρτηση με το βάρος w του κυλίνδρου:

 i) Την αντίδραση από το οριζόντιο επίπεδο, η οποία ασκείται στον κύλινδρο.

ii) Την δύναμη που ασκεί στον κύλινδρο το σκαλοπάτι.

Απάντηση:

ή

 Ο κύλινδρος και το σκαλοπάτι.

 Ο κύλινδρος και το σκαλοπάτι.

Δευτέρα 15 Μαρτίου 2021

Μια ράβδος στηρίζεται σε σκαλοπάτι

 


Μια ομογενής ράβδος, ισορροπεί όπως στο σχήμα, όπου το οριζόντιο επίπεδο είναι λείο, στηριζόμενη σε σκαλοπάτι στο σημείο Ο.

i)  Ποια από τις δυνάμεις που έχουν σχεδιαστεί στο πρώτο σχήμα, ασκείται στην ράβδο από το σκαλοπάτι, όπου η F1 είναι οριζόντια, η F2 είναι κάθετη στη ράβδο και η F3 είναι κατακόρυφη.

ii)  Αν το οριζόντιο επίπεδο δεν ήταν λείο, και από το σκαλοπάτι ασκείται στη ράβδο η δύναμη F4, όπως στο δεύτερο σχήμα, ποια από τις δυνάμεις F5, F6 και F7 ασκείται από το επίπεδο, στο άκρο Α της ράβδου;

Να δικαιολογήσετε τις απαντήσεις σας.

Απάντηση:

ή

 Μια ράβδος στηρίζεται σε σκαλοπάτι

 Μια ράβδος στηρίζεται σε σκαλοπάτι

Σάββατο 13 Μαρτίου 2021

Η σύνθετη κίνηση ενός γιο- γιο!

 

Γύρω από έναν κύλινδρο ακτίνας R=0,1m τυλίγουμε ένα νήμα, το άλλο  άκρο του οποίου δένουμε στο ταβάνι. Αφήνουμε τον κύλινδρο να πέσει, όποτε έχουμε τη δημιουργία ενός γιο-γιο, το οποίο στρέφεται αριστερόστροφα, ενώ πέφτει κατακόρυφα και σε μια στιγμή το κέντρο Κ του κυλίνδρου, έχει ταχύτητα μέτρου υcm=2m/s.

i) Για την θέση αυτή να υπολογιστούν:

α) Η ταχύτητα του σημείου Α του κυλίνδρου, όπου αρχίζει να ξετυλίγεται το νήμα.

β) Η γωνιακή ταχύτητα του κυλίνδρου.

γ) Η ταχύτητα του σημείου Β, του αντιδιαμετρικού σημείου του Α.

δ) Η επιτάχυνση του σημείου Α.

ii) Ελευθερώνουμε το νήμα από το ταβάνι και πιάνουμε με το χέρι μας το άκρο Ο του νήματος. Αφήνουμε ξανά τον κύλινδρο να πέσει, ενώ τραβάμε προς τα πάνω το άκρο Ο του νήματος. Τη στιγμή που ξανά το κέντρο Κ του κυλίνδρου έχει ταχύτητα υcm=2m/s, με φορά προς τα κάτω, έχει και κατακόρυφη επιτάχυνση αcm=4m/s2, επίσης με  φορά προς τα κάτω, το άκρο Ο του νήματος έχει ταχύτητα προς τα πάνω με μέτρο υο=4m/s (η ταχύτητα που κινούμε το χέρι μας) και επιτάχυνση αο=8m/s2 με κατεύθυνση επίσης προς τα πάνω. Για τη στιγμή αυτή:

α) Να βρεθεί η γωνιακή ταχύτητα του κυλίνδρου.

β) Να υπολογισθεί η ταχύτητα και η κατακόρυφη επιτάχυνση του σημείου Β.

Απάντηση:

ή

   Η σύνθετη κίνηση ενός γιο- γιο!

   Η σύνθετη κίνηση ενός γιο- γιο!

Τετάρτη 10 Μαρτίου 2021

Μια επιταχυνόμενη κίνηση ράβδου

 Η ράβδος ΑΒ του σχήματος, μήκους ℓ=2m κινείται οριζόντια πάνω σε λείο οριζόντιο επίπεδο, στρεφόμενη με σταθερή γωνιακή ταχύτητα ω, γύρω από κατακόρυφο άξονα z, ο οποίος περνά από το σημείο Κ, όπου (ΑΚ)= ¼ ℓ, με φορά των δεικτών του ρολογιού. Ο άξονας z κινείται ευθύγραμμα  και θεωρώντας την στιγμή που η ράβδος βρίσκεται στη θέση του σχήματος, ως αρχή μέτρησης των χρόνων (tο=0), η ταχύτητα του άξονα μεταβάλλεται σε συνάρτηση με το χρόνο, σύμφωνα με την εξίσωση υΚ=1+(2/π)t  (S.Ι.). Αν τη στιγμή t=0 το άκρο Α της ράβδου έχει μηδενική ταχύτητα, να βρεθούν:

i) Η κατεύθυνση της ταχύτητας του άξονα z.

ii) Η ταχύτητα του άκρου Β, τη στιγμή tο=0.

iii) Η ταχύτητα και η μετατόπιση του άκρου Α, μόλις η ράβδος ολοκληρώσει μια περιστροφή, τη στιγμή t1.

iv) Η ταχύτητα του άκρου Β τη χρονική στιγμή t2=(5π/4) s.

Απάντηση:

ή

 Μια επιταχυνόμενη κίνηση ράβδου

 Μια επιταχυνόμενη κίνηση ράβδου


Κυριακή 7 Μαρτίου 2021

Ελέγχοντας 4 δίσκους για κύλιση.

  Ένας ομογενής δίσκος κέντρου Κ βρίσκεται σε επαφή με οριζόντιο επίπεδο και το σημείο Α, είναι στο άκρο μιας οριζόντιας ακτίνας (στα σχήματα α, β και γ). Στο σχήμα (δ) τα σημεία Β και Γ είναι πάνω στην κατακόρυφη διάμετρο και ισαπέχουν του κέντρου Κ.

 

i) Τι κίνηση πραγματοποιεί ο δίσκος του (α)  σχήματος, όπου η ταχύτητα υΑ είναι κατακόρυφη;

ii) Στο σχήμα (β), αν θ=45°, να εξηγήσετε γιατί ο δίσκος κυλίεται προς τα δεξιά.

iii) Στο σχήμα (γ), αν θ=45°, να εξετάσετε αν ο δίσκος κυλίεται ή όχι.

iv) Οι ταχύτητες των σημείων Β και Γ του δίσκου του (δ) σχήματος, είναι οριζόντιες με μέτρα υ1=1m/s και υ2=3m/s αντίστοιχα. Τότε ο δίσκος:

α) κινείται προς τα δεξιά και στρέφεται δεξιόστροφα.

β) Έχει ταχύτητα υcm προς τα δεξιά και στρέφεται αριστερόστροφα.

γ) Κινείται προς  τα αριστερά και στρέφεται δεξιόστροφα.

δ) Έχει ταχύτητα υcm προς τα αριστερά και στρέφεται αριστερόστροφα.

Ποια από τα παραπάνω ενδεχόμενα μπορεί να ισχύουν; Μήπως ο δίσκος αυτός κυλίεται;

Απάντηση:

ή

  Ελέγχοντας 4 δίσκους για κύλιση.

  Ελέγχοντας 4 δίσκους για κύλιση.

Πέμπτη 4 Μαρτίου 2021

Ένας επιταχυνόμενος δίσκος και οι επιταχύνσεις σημείων

  Ένας λεπτός δίσκος, ακτίνας R=0,8m αρχικά ακίνητος σε οριζόντιο επίπεδο, δέχεται κατάλληλη δύναμη οπότε αρχίζει να κυλίεται (χωρίς να ολισθαίνει). Στο πρώτο σχήμα βλέπετε τον κυλιόμενο δίσκο, ενώ στο δεύτερο δίνεται η ταχύτητα του κέντρου του Κ (και κέντρου μάζας του), σε συνάρτηση με το χρόνο.

i)  Να υπολογιστεί η επιτάχυνση του κέντρου Κ, καθώς και η γωνιακή επιτάχυνση του δίσκου.

ii) Να υπολογιστεί η οριζόντια επιτάχυνση του σημείου Α, πάνω στην κατακόρυφο διάμετρο, το οποίο απέχει κατά (ΚΑ)=r=0,4m από το κέντρο του δίσκου.

iii) Να βρεθεί ποια χρονική στιγμή t1 το σημείο Β, στο άκρο μιας οριζόντιας ακτίνας, έχει κατακόρυφη επιτάχυνση. Πόση είναι τη στιγμή αυτή η επιτάχυνση του σημείου Γ, στο άκρο της κατακόρυφης ακτίνας, σημείο επαφής με το οριζόντιο επίπεδο;

Απάντηση:

ή

Ένας επιταχυνόμενος δίσκος και οι επιταχύνσεις σημείων

Ένας επιταχυνόμενος δίσκος και οι επιταχύνσεις σημείων