Μια ΑΑΤ και μια συνέχεια …

 

Δύο σώματα Β και Γ, της ίδιας μάζας m=2kg, ηρεμούν σε λείο οριζόντιο επίπεδο, δεμένα στα άκρα ιδανικού ελατηρίου, σταθεράς k=200N/m. Συγκρατούμε με το ένα χέρι μας το σώμα Γ στην θέση του, ενώ με το άλλο μας χέρι  μετακινούμε το σώμα Β τεντώνοντας το ελατήριο κατά d, όπως στο σχήμα και σε μια στιγμή t=0 το αφήνουμε να κινηθεί εκτελώντας ΑΑΤ. Το σώμα Β διανύει διάστημα s=0,6m μέχρι τη στιγμή t1=(π/15)s, όπου αφήνουμε ελεύθερο και το σώμα Γ να κινηθεί.

i)  Να βρεθεί η αρχική επιμήκυνση d του ελατηρίου.

ii) Να υπολογιστούν η ταχύτητα και η επιτάχυνση του Β σώματος της στιγμή t1.

iii) Να υπολογισθεί η μέγιστη δυναμική ενέργεια του ελατηρίου, στη διάρκεια της κίνησης των δύο σωμάτων, για πρώτη φορά, τη στιγμή t2.

iv) Να βρεθεί το έργο της δύναμης του ελατηρίου που ασκείται στο σώμα Β, από τη στιγμή t1μέχρι τη στιγμή t2.

Απάντηση:

ή

Μια ΑΑΤ και μια συνέχεια …

Μια ΑΑΤ και μια συνέχεια …

Μια ΑΑΤ και μια συνέχεια …

Ερωτήματα πάνω σε δύο κρούσεις.

 Ένα σώμα A ηρεμεί στο πάνω άκρο κατακόρυφου ελατηρίου. Σε μια στιγμή t=0 τίθεται σε απλή αρμονική ταλάντωση κινούμενο προς τα πάνω, ενώ τις χρονικές στιγμές t1=1s και t2=2s συγκρούεται μετωπικά, διαδοχικά με δυο σφαίρες Β και Γ. Στο παρακάτω διάγραμμα δίνεται η απομάκρυνση y του σώματος Α σε συνάρτηση με το χρόνο.

Να χαρακτηρίσετε τις παρακάτω προτάσεις ως σωστές ή λανθασμένες δίνοντας και σύντομες δικαιολογήσεις.

i)  Η σφαίρα Β ελάχιστα πριν την κρούση, κινείται προς τα κάτω.

ii) Η κρούση μεταξύ των σωμάτων Α και Β είναι πλαστική.

iii) Η κρούση μεταξύ των Α και Γ δεν μπορεί να είναι πλαστική.

iv) Αν η σφαίρα Γ έχει ίση μάζα με το σώμα Α και η κρούση τους είναι ελαστική, τότε η σφαίρα ελάχιστα πριν την κρούση κινείται προς τα κάτω.

Απάντηση:

ή

Ερωτήματα  πάνω σε δύο κρούσεις.

Ερωτήματα  πάνω σε δύο κρούσεις.

Ερωτήματα  πάνω σε δύο κρούσεις.

Μια κρούση και μια ταλάντωση.

Μια πλάκα μάζας m ηρεμεί στο πάνω άκρο κατακόρυφου ιδανικού ελατηρίου, σταθεράς  k=200N/m, το άλλο άκρο του οποίου στηρίζεται στο έδαφος. Μια σφαίρα μάζας m1=1,2kg  αφήνεται να πέσει ελεύθερα από ύψος Η=95cm, από το έδαφος και μόλις αποκτήσει ταχύτητα υ1=3m/s, συγκρούεται κεντρικά με την πλάκα. Μετά την κρούση η σφαίρα κινείται προς τα πάνω με αρχική ταχύτητα μέτρου υ΄1=1/3 m/s και απομακρύνεται, ενώ ο δίσκος εκτελεί μια ΑΑΤ, με D=k, όπου το ελάχιστο ύψος από το έδαφος , στο οποίο θα βρεθεί είναι 0,3m.

i)  Θεωρώντας την πλάκα υλικό σημείο, αμελητέων διαστάσεων, να βρείτε το ύψος από το έδαφος, στο οποίο ηρεμεί πριν την κρούση.

ii) Αφού υπολογίσετε την κινητική ενέργεια του συστήματος των δύο σωμάτων, πριν και μετά την κρούση, να εξετάσετε αν η κρούση αυτή είναι ή όχι ελαστική.

iii) Να υπολογιστεί η μάζα της πλάκας.

iv) Ποιο το φυσικό μήκος του ελατηρίου;  Να γίνει η γραφική παράσταση του μήκους του ελατηρίου σε συνάρτηση με το χρόνο, αφού προηγουμένως βρείτε χαρακτηριστικές τιμές μήκους και χρόνου.

Δίνεται η επιτάχυνση της βαρύτητα g=10m/s2.

Απάντηση:

ή

Μια κρούση και μια ταλάντωση.

Μια κρούση και μια ταλάντωση.

Μια κρούση και μια ταλάντωση.

Θα γλιστρήσει, δεν θα γλιστρήσει;

 

Ένα  σώμα Α μάζας m=1kg κινείται σε ένα λείο οριζόντιο επίπεδο Χ με σταθερή ταχύτητα υ0=3m/s, κατευθυνόμενο προς ένα σώμα Β, το οποίο ηρεμεί σε μια περιοχή Υ του επιπέδου, η οποία δεν είναι λεία, με αποτέλεσμα να αναπτύσσονται τριβές. Στο σώμα Β έχει προσκολληθεί ένα ιδανικό ελατήριο σταθεράς k=100Ν/m και το σώμα Α κινείται στην διεύθυνση του άξονα του ελατηρίου, όπως  στο σχήμα. Αν τη στιγμή t0=0 το σώμα Α έρχεται σε επαφή με το ελατήριο το οποίο αρχίζει να συσπειρώνει, ζητούνται:

i)   Ποια η μέγιστη συσπείρωση του ελατηρίου, αν το σώμα Β παραμείνει ακίνητο στη θέση του;

ii)  Να γίνει η γραφική παράσταση της τριβής που ασκείται στο σώμα Β σε συνάρτηση με το χρόνο.

iii) Αν το σώμα Β έχει μάζα Μ=4kg, να βρεθεί η ελάχιστη τιμή του συντελεστή οριακής στατικής τριβής μεταξύ του σώματος Β και του επιπέδου Υ, ώστε αυτό να παραμείνει ακίνητο.

iv) Αν το σώμα Β έχει μάζα Μ1=2,5kg, ενώ παρουσιάζει με το επίπεδο συντελεστή τριβής μ1=0,8, να υπολογιστεί η ταχύτητα υ1 του σώματος Α, τη στιγμή που αρχίζει η ολίσθηση του σώματος Β.

Θεωρήσετε την προς τα δεξιά κατεύθυνση θετική, η οριακή τριβή, ίση με την τριβή ολίσθησης, ενώ g=10m/s2.

Απάντηση:

ή

Θα γλιστρήσει,  δεν θα γλιστρήσει;

Θα γλιστρήσει,  δεν θα γλιστρήσει;

Θα γλιστρήσει,  δεν θα γλιστρήσει;

Μια μόνο στιγμή σε μια εξαναγκασμένη ταλάντωση

 

Ένα σώμα μάζας 2kg ταλαντώνεται στο άκρο οριζόντιου ιδανικού ελατηρίου, σταθεράς k=100Ν/m, σε λείο οριζόντιο επίπεδο με εξίσωση απομάκρυνσης x=0,5∙ημ(4t)  (μονάδες στο S.Ι.) με την επίδραση μιας περιοδικής δύναμης F, ενώ δέχεται και δύναμη απόσβεσης της μορφής Fα=-0,5υ (S.Ι.).  Σε μια στιγμή t1, το σώμα έχει ταχύτητα υ1=-1,2m/s, με την προς τα δεξιά κατεύθυνση θετική. Για τη στιγμή αυτή t1, ζητούνται:

i)  Η απομάκρυνση και η επιτάχυνση του σώματος.

ii)  Οι (αλγεβρικές) τιμές των οριζοντίων δυνάμεων που ασκούνται σώμα (δεν μας απασχολούν για την κίνηση αυτή, βάρος και κάθετη αντίδραση του επιπέδου).

iii) Οι ρυθμοί μεταβολής κινητικής και δυναμικής ενέργειας του σώματος.

iv) Η ισχύς κάθε δύναμης που ασκείται στο σώμα.

Απάντηση:

ή

Μια μόνο στιγμή σε μια εξαναγκασμένη ταλάντωση

Μια μόνο στιγμή σε μια εξαναγκασμένη ταλάντωση

Μια μόνο στιγμή σε μια εξαναγκασμένη ταλάντωση

Δυο σώματα στο άκρο νήματος ταλαντώνονται.

 

Δύο σώματα Α και Β με μάζες m1=1kg και m2=3kg ηρεμούν σε λείο οριζόντιο επίπεδο, δεμένα στο άκρο μη εκτατού νήματος μήκους l1, ενώ το σώμα Α είναι δεμένο και στο άκρο ιδανικού ελατηρίου σταθεράς k=40Ν/m. Ασκώντας κατάλληλη οριζόντια δύναμη στο σώμα Β, επιμηκύνουμε το ελατήριο κατά d=(2/π) m, όπως στο δεύτερο σχήμα και τη στιγμή t=0 το αφήνουμε να κινηθεί, οπότε το σύστημα των  δύο σωμάτων, κινούμενο σαν ένα σώμα, εκτελεί αατ με σταθερά επαναφοράς D=k.

i)  Να υπολογιστεί το αρχικό μέτρο της τάσης  του νήματος, μόλις αφεθεί το σώμα Β να κινηθεί.

ii) Να βρεθεί η τάση του νήματος και η ταχύτητα των δύο σωμάτων τη χρονική στιγμή t1=0,5s.

iii) Αν τα δύο σώματα συγκρούονται κεντρικά και ελαστικά τη χρονική στιγμή t2=0,75s, να βρεθούν:

α)  το μήκος του νήματος που συνδέει τα δύο σώματα.

β) Οι ταχύτητες των δύο σωμάτων, αμέσως μετά την κρούση.

Δίνεται (1/π)=0,3 και π2=10.

Απάντηση:

ή

Δυο σώματα στο άκρο νήματος ταλαντώνονται.

Δυο σώματα στο άκρο νήματος ταλαντώνονται.

Μια Κρούση και δύο Ταλαντώσεις

 

Ένα σώμα Σ μάζας Μ=1kg ηρεμεί στο κάτω άκρο ενός ιδανικού κατακόρυφου ελατηρίου, το οποίο έχει επιμηκύνει κατά 0,1m, όπως στο πρώτο σχήμα. Μετακινούμε το σώμα κατακόρυφα προς τα πάνω, μέχρι να προκαλέσουμε συσπείρωση (από το φυσικό μήκος του) του ελατηρίου κατά 0,3m και τη στιγμή t=0, το αφήνουμε να εκτελέσει αατ με D=k.

Θεωρούμε την προς τα πάνω κατεύθυνση ως θετική και την επιτάχυνση της βαρύτητας g=10m/s2:

i)  Να υπολογισθεί η αρχική επιτάχυνση του σώματος Σ, μόλις αφεθεί να ταλαντωθεί.

ii) Να βρεθούν οι εξισώσεις της απομάκρυνσης  y=y(t) και της ταχύτητας υ=υ(t) του σώματος σε συνάρτηση με το χρόνο.

iii) Πόση είναι η μέγιστη επιμήκυνση του ελατηρίου και ποια χρονική στιγμή t1 η επιμήκυνση γίνεται μέγιστη  για πρώτη φορά;

iv)Τη χρονική στιγμή t2=(13π/60)s    το σώμα Σ συγκρούεται κεντρικά και ελαστικά με μια σφαίρα μάζας m=0,4kg η οποία κινείται κατακόρυφα προς τα πάνω και η οποία ελάχιστα πριν την κρούση έχει ταχύτητα υ2=1,5m/s.

α) Να βρεθεί η εξίσωση y΄=y΄(t) για την απομάκρυνση του σώματος Σ από την θέση ισορροπίας του για την νέα ταλάντωση που θα ακολουθήσει, σε συνάρτηση με το χρόνο.

β) Ποια η μεταβολή της ορμής της σφαίρας, η οποία οφείλεται στην κρούση.

Απάντηση:

ή

Μια Κρούση και δύο Ταλαντώσεις

Μια Κρούση και δύο Ταλαντώσεις

Μια Κρούση και δύο Ταλαντώσεις

  

Δύο σώματα Α και Β με μάζες m1=1kg και m2=4kg αντίστοιχα, τα οποία θεωρούμε υλικά σημεία αμελητέων διαστάσεων, ηρεμούν σε λείο οριζόντιο επίπεδο, δεμένα στα άκρα δύο όμοιων ιδανικών ελατηρίων, όπως στο σχήμα, όπου το φυσικό μήκος κάθε ελατηρίου είναι 1m, ενώ το μήκος του νήματος που συνδέει τα δύο σώματα είναι z=0,4m. Σε μια στιγμή t=0 κόβουμε το νήμα που συνδέει τα δύο σώματα, οπότε κάθε σώμα εκτελεί μια αατ και στο διπλανό διάγραμμα δίνεται η απομάκρυνση του σώματος Α, από την θέση ισορροπίας  του, σε συνάρτηση με το χρόνο.

i)  Να υπολογιστεί η σταθερά των ελατηρίων, καθώς και η τάση του νήματος, πριν κοπεί το νήμα.

ii) Να κάνετε το αντίστοιχο διάγραμμα x2=f(t) της απομάκρυνσης του σώματος Β, από την δική του θέση ισορροπίας, σε συνάρτηση με το χρόνο.

iii) Να υπολογιστεί η απόσταση μεταξύ των δύο σωμάτων, τη στιγμή που το αριστερό ελατήριο έχει το ελάχιστο μήκος του, για πρώτη φορά.

iv) Παίρνουμε έναν  οριζόντιο προσανατολισμένο άξονα x΄x με αρχή το σημείο Ο του σχήματος (το σημείο πρόσδεσης του αριστερού ελατηρίου). Να βρεθεί η θέση x΄=f(t) κάθε σώματος, στον άξονα αυτό, σε συνάρτηση με το χρόνο και να γίνουν, σε κοινούς άξονες, οι γραφικές παραστάσεις των δύο θέσεων.

Απάντηση:

ή

Ας μελετήσουμε τις ταλαντώσεις δύο σωμάτων

Ας μελετήσουμε τις ταλαντώσεις δύο σωμάτων

Ας μελετήσουμε τις ταλαντώσεις δύο σωμάτων

Οι επιταχύνσεις με ή χωρίς ολίσθηση.

 

Ένα σώμα Σ1 ηρεμεί σε λείο οριζόντιο επίπεδο δεμένο στο άκρο ιδανικού ελατηρίου σταθεράς k, με  φυσικό μήκος l0. Εκτρέπουμε το σώμα προς τα δεξιά κατά d και αφήνοντάς το να κινηθεί, παρατηρούμε ότι η μέγιστη επιτάχυνση που αποκτά, έχει μέτρο α0.

i)   Επαναλαμβάνουμε την ίδια διαδικασία, αλλά τώρα τοποθετούμε πάνω στο σώμα Σ1, ένα δεύτερο σώμα Σ2, όπως στο μεσαίο σχήμα και παρατηρούμε ότι για την ίδια αρχική απομάκρυνση d, οριακά δεν υπάρχει ολίσθηση και τα δυο σώματα κινούνται μαζί. Η μέγιστη επιτάχυνση που αποκτά τώρα το σώμα Σ1 έχει μέτρο:

α) α1 < α0,     β) α1 = α0,    γ) α1 > α0.

ii) Αυξάνουμε την αρχική απομάκρυνση σε d1= 4d/3 και αφήνουμε το σύστημα των σωμάτων να κινηθεί. Αν ο συντελεστής οριακής στατικής τριβής μεταξύ των δύο σωμάτων είναι ίσος με τον συντελεστή τριβής ολίσθησης, ενώ m1=2m2, τότε:

a) Η αρχική επιτάχυνση του σώματος Σ2 έχει μέτρο:

α) α2 < α0,  β) α2 = α0,    γ) α2  > α0.

b)  Η αρχική επιτάχυνση που αποκτά το σώμα Σ1 έχει μέτρο:

α) α΄1 < α0,   β) α΄1  = α0,    γ) α΄1  > α0.

iii) Να εξηγήσετε γιατί στην τελευταία περίπτωση, τελικά το σύστημα θα εκτελέσει μια ΑΑΤ με ενέργεια ταλάντωσης μικρότερη από 

Απάντηση:

ή

Οι επιταχύνσεις με ή χωρίς ολίσθηση.

Οι επιταχύνσεις με ή χωρίς ολίσθηση.

Δύο σώματα και ένα σύστημα ταλαντώνονται

  

Τα δύο σώματα Σ1 και Σ2 με μάζες m1=1kg και m2=3kg αντίστοιχα, ηρεμούν σε λείο οριζόντιο επίπεδο, δεμένα στα άκρα δύο ιδανικών οριζοντίων ελατηρίων με σταθερές k1=150Ν/m και k2=250Ν/m, ενώ συνδέονται με αβαρές μη ελαστικό νήμα, όπως στο σχήμα. Στη θέση αυτή το ελατήριο σταθεράς k1  έχει επιμήκυνση Δl1=0,4m.

i)  Να υπολογισθεί η τάση  του νήματος που συνδέει τα δύο σώματα, καθώς και η παραμόρφωση του δεύτερου ελατηρίου σταθεράς k2.

ii) Εκτρέπουμε το σύστημα προς τα δεξιά κατά d=0,2m και το αφήνουμε να κινηθεί, τη χρονική στιγμή t=0. Θεωρώντας ότι τα δυο σώματα κινούνται μαζί, σαν ήταν ένα σώμα Σ μάζας Μ=4kg, να αποδείξετε ότι το σώμα Σ θα εκτελέσει αατ, για την οποία να βρείτε πλάτος και περίοδο ταλάντωσης.

iii) Θεωρώντας την προς τα δεξιά κατεύθυνση ως θετική, να δώσετε τις εξισώσεις της απομάκρυνσης και της ταχύτητας σε συνάρτηση με το χρόνο, για το σώμα Σ.

iv) Να βρεθεί η αλγεβρική τιμή της δύναμης Τ1 που το νήμα ασκεί στο σώμα Σ1 σε συνάρτηση με την απομάκρυνση του σώματος Σ1 από την θέση ισορροπίας του και σε συνάρτηση με το χρόνο. Στη συνέχεια να παρασταθούν γραφικά οι παραπάνω δύο συναρτήσεις.

Απάντηση:

ή

Δύο σώματα και ένα σύστημα ταλαντώνονται

Δύο σώματα και ένα σύστημα ταλαντώνονται

Με πληροφορίες από ένα διάγραμμα

 Ένα σώμα Α ηρεμεί στο κάτω άκρο ενός ιδανικού κατακόρυφου ελατηρίου, το πάνω άκρο του οποίου έχει δεθεί σε ταβάνι. Εκτρέπουμε το σώμα Α κατακόρυφα και το αφήνουμε να εκτελέσει μια ΑΑΤ. Σε μια στιγμή το σώμα Α  συγκρούεται μετωπικά με ένα δεύτερο σώμα Β, το οποίο κινείται κατακόρυφα προς τα πάνω, όπως στο σχήμα. Στο διπλανό διάγραμμα δίνεται το μήκος του ελατηρίου σε συνάρτηση με το χρόνο.

Αντλώντας πληροφορίες από το διάγραμμα, να απαντήσετε στα παρακάτω ερωτήματα, δίνοντας και σύντομες δικαιολογήσεις.

i) Η αρχική εκτροπή του σώματος Α ήταν προς τα πάνω ή προς τα κάτω; 

ii) Ποιο είναι το φυσικό μήκος του ελατηρίου με δεδομένο ότι η αρχική επιτάχυνση του σώματος Α, μόλις αφεθεί να κινηθεί, έχει μέτρο α=g, όπου g η επιτάχυνση της βαρύτητας;

iii) Ποιο είναι το πλάτος ταλάντωσης του σώματος Α, πριν την κρούση;

iv) Προς τα πού κινείται το σώμα Α τη στιγμή της κρούσης, προς τα πάνω ή προς τα κάτω;

v)  Η κρούση μεταξύ των δύο σωμάτων είναι πλαστική ή όχι;

vi)  Αν το σώμα Α έχει μάζα m1=0,6kg, να υπολογιστούν:

α) Η σταθερά k του ελατηρίου

β) Η μάζα του Β σώματος.

γ) Οι ταχύτητες των δύο σωμάτων, ελάχιστα πριν την κρούση.

Δίνεται g=10m/s2, ενώ τα δυο σώματα θεωρούνται υλικά σημεία, αμελητέων διαστάσεων.

Απάντηση:

ή

Με πληροφορίες από ένα διάγραμμα

Με πληροφορίες από ένα διάγραμμα

 

Επιτάχυνση και δυναμική ενέργεια

 

Ένα σώμα ισορροπεί, όπως στο σχήμα, στο κάτω άκρο κατακόρυφου ιδανικού ελατηρίου, ενώ ταυτόχρονα συνδέεται με το έδαφος με νήμα η τάση του οποίου είναι ίση με το μισό του βάρους του σώματος. Σε μια στιγμή κόβουμε το νήμα, με αποτέλεσμα το σώμα να κινηθεί προς τα πάνω εκτελώντας μια κατακόρυφη αατ.

i)  Αν g η επιτάχυνση της βαρύτητας, τότε το μέγιστο μέτρο της επιτάχυνσης που αποκτά το σώμα είναι:

α) α < 0,5g,          β) α = 0,5g,         γ) α > 0,5g.

ii)  Αν U1 η μέγιστη δυναμική ενέργεια ταλάντωσης και U2 η αντίστοιχη μέγιστη δυναμική του ελατηρίου ισχύει:

α) U2 =U1,     β) U2 =3U1,     γ) U2 =6U1,     δ) U2 =9U1.

Να δικαιολογήσετε τις απαντήσεις σας.

Απάντηση:

ή

Επιτάχυνση και δυναμική ενέργεια

Επιτάχυνση και δυναμική ενέργεια

Δυο σώματα σε δύο επίπεδα

 

Δυο σώματα Α και Β με μάζας m1=1kg και m2=3kg αντίστοιχα, ηρεμούν σε οριζόντιο επίπεδο, στη διαχωριστική επιφάνεια, όπου αριστερά το επίπεδο είναι λείο, ενώ δεξιά όχι, όπως στο σχήμα. Το σώμα Α είναι δεμένο στο άκρο ενός ιδανικού ελατηρίου σταθεράς k, που έχει το φυσικό του μήκος. Εκτρέπουμε το σώμα Α προς τα αριστερά συμπιέζοντας το ελατήριο κατά Δl1=(1/π)m και για t=0 το αφήνουμε να κινηθεί. Tα δύο σώματα συγκρούονται κεντρικά και ελαστικά, τη χρονική στιγμή t1=0,25s, ενώ η κρούση είναι ακαριαία.
Δίνεται ότι τα δυο σώματα παρουσιάζουν με το μη λείο επίπεδο τον ίδιο συντελεστή τριβής ολίσθησης μ=0,5, η επιτάχυνση της βαρύτητας g=10m/s2 και  π2≈10.

i) Να υπολογιστεί η σταθερά του ελατηρίου.

ii) Ποιες οι ταχύτητες και οι επιταχύνσεις των δύο σωμάτων, αμέσως μετά την κρούση;

iii) Να εξετάσετε αν μετά την κρούση, το σώμα Α αποκτήσει κάποια στιγμή επιτάχυνση ίση με την επιτάχυνση του Β σώματος. Μήπως στη διάρκεια της κίνησής του στο λείο επίπεδο, αποκτήσει επιτάχυνση του ίδιου μέτρου με την επιτάχυνση του Β σώματος;

iv) Να βρεθεί η απόσταση μεταξύ των δύο σωμάτων, τη χρονική στιγμή t2=0,5s.

v) Να εξετάσετε αν τα δύο σώματα θα ξανασυγκρουστούν. Το συνολικό διάστημα που θα διανύσει το Α σώμα, μετά την κρούση, μέχρι να σταματήσει, είναι μεγαλύτερο ή μικρότερο από 4Α2, όπου Α2 το πλάτος ταλάντωσής του μετά την κρούση;

Απάντηση:

ή

Δυο σώματα σε δύο επίπεδα

Δυο σώματα σε δύο επίπεδα