Δύο εγκάρσια κύματα συμβάλλουν

Κατά μήκος ενός γραμμικού ελαστικού μέσου, διαδίδεται ένα εγκάρσιο αρμονικό κύμα, το οποίο τη στιγμή t₀=0 φτάνει σε ένα σημείο Ο, το οποίο παίρνουμε ως αρχή ενός προσανατολισμένου άξονα xx΄, με την προς τα δεξιά κατεύθυνση θετική. Το κύμα αυτό περιγράφεται από την εξίσωση:

y₁=0,2∙ημ(2πt-πx)  (S.Ι.)

i) Να υπολογιστούν η ταχύτητα και το μήκος κύματος, για το κύμα αυτό.

ii) Να βρεθεί η ταχύτητα ταλάντωσης ενός σημείου Σ, στη θέση x=-1m σε συνάρτηση με το χρόνο, εξαιτίας του κύματος αυτού. Ποια η ταχύτητα του Σ τη στιγμή t₁=2s;

Στο ίδιο μέσο διαδίδεται ένα δεύτερο κύμα προς τα αριστερά και την στιγμή t₀, έχει φτάσει στο σημείο Β. Από την συμβολή των δύο κυμάτων δημιουργείται ένα στάσιμο κύμα, ενώ τη στιγμή t₁=2s έχει δημιουργηθεί στάσιμο κύμα στην περιοχή -1 ≤ x ≤ 4m, με δεσμό στη θέση x=-1m.

iii) Να βρεθεί η θέση του σημείου Β, καθώς και η εξίσωση του 2^ου κύματος, το οποίο διαδίδεται προς τα αριστερά.

iv) Ποια η εξίσωση του στάσιμου κύματος, που δημιουργείται από την συμβολή των δύο παραπάνω κυμάτων.

v)  Να σχεδιάσετε την μορφή μιας περιοχής του μέσου με -3m  ≤ x  ≤ 5m, τη χρονική στιγμή t₁.

Απάντηση.

ή

 Δύο εγκάρσια κύματα συμβάλλουν

 Δύο εγκάρσια κύματα συμβάλλουν

Ένα κύμα οδεύει προς τα αρνητικά του άξονα

 Κατά μήκος ενός γραμμικού ελαστικού μέσου διαδίδεται ένα αρμονικό κύμα με ταχύτητα  υ=2m/s, προς τα αριστερά. Παίρνοντας έναν προσανατολισμένο άξονα x΄x με θετική φορά προς τα δεξιά και αρχή ένα σημείο Ο, τη στιγμή t=0, το κύμα φτάνει σε ένα σημείο Σ,  στη θέση x_Σ=1,5m, ενώ τη στιγμή αυτή, το μέσον εμφανίζει τη μορφή που δείχνει το σχήμα. 

i)  Να γραφεί η εξίσωση της απομάκρυνσης του σημείου Σ, σε συνάρτηση με το χρόνο (y=f(t)).

ii) Να βρεθεί η εξίσωση του κύματος.

iii) Να σχεδιάσετε το στιγμιότυπο του κύματος την χρονική στιγμή t₁=1,5s.

iv) Να κάνετε τις γραφικές παραστάσεις σε συνάρτηση με το χρόνο, για την απομάκρυνση (y=f(t))  και την ταχύτητα  (υ=f(t)), ενός σημείου Β στην θέση x=1m.

Απάντηση:

ή

 Ένα κύμα οδεύει προς τα αρνητικά του άξονα

 Ένα κύμα οδεύει προς τα αρνητικά του άξονα

Διαμήκες κύμα και ανάκλαση

  

Ας δούμε κάποιες όψεις για τα διαμήκη κύματα. Ποια είναι η εξίσωση για την μελέτη τους και τι συμβαίνει κατά την ανάκλασή  τους σε σταθερό άκρο (στο κλειστό άκρο ενός σωλήνα);

Οι απόψεις είναι δύο:

1) Υπάρχει διαφορά φάσεως ίση με π, όπως και στις χορδές.

2) Δεν παρουσιάζεται διαφορά φάσης.

Ας δούμε το θέμα αναλυτικότερα λοιπόν.

-----------------------------

Ποια είναι η εξίσωση ενός διαμήκους αρμονικού κύματος;

 Θα μπορούσαμε να γράψουμε κατά αναλογία με τα εγκάρσια κύματα (ας αφήσουμε τις αρχικές  φάσεις…) την εξίσωση:

όπου ξ η απομάκρυνση από τη θέση ισορροπίας ενός υλικού σημείου στη διεύθυνση της διάδοσης του κύματος.

Η εξίσωση αυτή μου φαίνεται θαυμάσια όταν μελετάμε μια σπείρα ενός ελατηρίου, κατά μήκος του οποίου διαδίδεται ένα εγκάρσιο κύμα.

Αν όμως μιλάμε για ήχο; Τι μπορούμε να φανταστούμε; Την ταλάντωση ενός μορίου.  Τα πράγματα δεν είναι και τόσο απλά. Τα μόρια κινούνται άτακτα (θερμική κίνηση) και αυτό που πραγματικά έχει σημασία είναι η μεταβολή της πίεσης, δηλαδή η διάδοση πυκνωμάτων και αραιωμάτων κατά μήκος π.χ. ενός ηχητικού σωλήνα που διαδίδεται ο ήχος.

Αλλά τότε γιατί να ασχολούμεθα με την απομάκρυνση και όχι με την πίεση;

Πράγματι μπορεί να αποδειχθεί ότι το κύμα που περιγράφεται από την εξίσωση (1) μπορεί να περιγραφεί και από μια εξίσωση της μορφής:

 

όπου p η μεταβολή της πίεσης από την σταθερή τιμή p₀ και Ρ το πλάτος αυτής της μεταβολής.

Διαβάστε τη συνέχεια…

 Διαμήκες κύμα και ανάκλαση

 Διαμήκες κύμα και ανάκλαση

 Διαμήκες κύμα και ανάκλαση

Γράφοντας εξίσωση για ένα κύμα, χωρίς τέλος

Κατά μήκος ενός γραμμικού ελαστικού μέσου, πολύ μεγάλου μήκους, διαδίδεται από αριστερά προς τα δεξιά (θετική φορά) ένα αρμονικό κύμα, πλάτους Α=0,4m και μήκους κύματος λ=2m, με ταχύτητα υ=2m/s. Στο διπλανό σχήμα βλέπετε μια μικρή περιοχή του κύματος (το οποίο έχει διαδοθεί πολύ πέρα του δεξιού άκρου του σχήματος). Για να γράψουμε εξίσωση για το κύμα αυτό, παίρνουμε ένα σύστημα αξόνων x,y με αρχή το σημείο Ο και θεωρούμε επίσης τη στιγμή που έχουμε το παραπάνω στιγμιότυπο, ως αρχή μέτρησης των χρόνων (t₀=0).

i) Με βάση τις παραπάνω παραδοχές, να βρεθεί η εξίσωση του κύματος, για το παραπάνω κύμα.

ii) Ποια η φάση της απομάκρυνσης των σημείων Ο και Σ τη στιγμή t₀=0;

iii) Να κάνετε τη γραφική παράσταση της φάσης της απομάκρυνσης του σημείου Σ, σε συνάρτηση με το χρόνο (φ=f(t)).

iv) Να σχεδιάστε το στιγμιότυπο του κύματος τη χρονική στιγμή t₁=1,25s, για την ίδια περιοχή του μέσου.

v) Να παραστήσετε επίσης γραφικά την ταχύτητα ταλάντωσης του σημείου Σ σε συνάρτηση με το χρόνο, από t₀ έως t₁.

Απάντηση:

ή

 Γράφοντας εξίσωση για ένα κύμα, χωρίς τέλος

 Γράφοντας εξίσωση για ένα κύμα, χωρίς τέλος

Προς τα πού οδεύει το κύμα;

  Κατά μήκος  ενός γραμμικού ελαστικού μέσου διαδίδεται ένα αρμονικό κύμα και στο σχήμα βλέπουμε δύο στιγμιότυπα, για μια περιοχή του μέσου, όπου έχει διαδοθεί το κύμα, τα οποία διαφέρουν χρονικά, κατά Δt= t₂-t₁= ¼ Τ. 

i)  Το κύμα αυτό διαδίδεται προς τα δεξιά ή προς τα αριστερά; Να δικαιολογήσετε την απάντησή σας.

ii) Να σημειώσετε πάνω στο σχήμα τις ταχύτητες των σημείων Α και Β, στα δύο παραπάνω στιγμιότυπα. Ποια η διαφορά φάσης Δφ_ΑΒ=φ_Α-φ_Β των δύο σημείων;

iii) Να σχεδιάσετε πάνω το στιγμιότυπο του κύματος στην ίδια περιοχή, για την στιγμή t₃=t₂+ ½ Τ.

  Απάντηση:

 ή

 Προς τα πού οδεύει το κύμα;

 Προς τα πού οδεύει το κύμα;

Συντηρητικές δυνάμεις και δυναμική ενέργεια

 Το πόσο σπουδαία είναι η θεωρητική μηχανική, δεν περιμένετε να το μάθετε από μένα! Αλλά εγώ θα ήθελα να κάνω μια ακόμη προσπάθεια αποσαφήνισης κάποιων πραγμάτων, επί του πρακτέου. Για την διδασκαλία τη Φυσικής στη δευτεροβάθμια εκπαίδευση…

Έτσι ας αφήσουμε τους ορισμούς που κυκλοφορούν, τα πολύπλοκα μαθηματικά, που πολλές φορές μας μπερδεύουν, και, ας μιλήσουμε συγκεκριμένα. Ποιες συντηρητικές δυνάμεις  διδάσκουμε στο σχολείο;

Αν αφήσουμε στην άκρη τις πυρηνικές, διδάσκουμε τις βαρυτικές δυνάμεις, τις ηλεκτροστατικές και τις δυνάμεις των ελαστικών παραμορφώσεων (δύναμη του ελατηρίου). Αυτές τις τρεις κατηγορίες δυνάμεων ονομάζουμε διατηρητικές (συντηρητικές…) και τα έργα αυτών των δυνάμεων συνδέονται με κάποια μορφή δυναμικής ενέργειας. Όταν μιλάμε  για μηχανική ενέργεια και για ΑΔΜΕ, μορφές ενέργειας που συνδέονται με αυτές τις δυνάμεις έχουμε. Αν σε ένα σύστημα ασκούνται μόνο τέτοιες δυνάμεις, τότε διατηρείται η μηχανική ενέργεια. Αν σε αυτό υπάρχει διαφωνία, ας διατυπωθεί και ας μην διαβαστεί το κείμενο παρακάτω… 

Η συζήτηση τελειώνει εδώ.

Δεν μπορεί ο καθένας μας να θεωρεί οποιαδήποτε δύναμη ως συντηρητική και να την  συνδέει με δυναμική ενέργεια και να μιλάει για διατήρηση μηχανικής ενέργειας. Αν το κάνει ουσιαστικά χάνει κάθε νόημα ο ορισμός και η διάκριση της μηχανικής ενέργειας. Ας μιλάμε τότε για ενέργεια και διατήρησή της, αλλά όχι για μηχανική ενέργεια.

Και ας έρθουμε τώρα στις ταλαντώσεις. Το πρώτο που μας ενδιαφέρει είναι ποιες δυνάμεις ασκούνται στο σώμα και είναι υπεύθυνες για την ταλάντωσή του. Ο στόχος μας είναι να καταλήξουμε στην εξίσωση:

ΣF=-Dx  (1)

Αφού η εξίσωση αυτή, καθορίζει μονοσήμαντα την επιτάχυνση που θα αποκτήσει το σώμα και στην  συνέχεια θα μπορέσουμε να γράψουμε τις γνωστές εξισώσεις x=Α∙ημ(ωt+φ), υ=υ(t) και α=α(t). Ολοκληρώνουμε δηλαδή την κινηματική και δυναμική μελέτη του σώματος που ταλαντώνεται, χωρίς καμιά αναφορά στην φύση των ασκούμενων δυνάμεων. Ας  είναι οποιεσδήποτε δυνάμεις και οποιαδήποτε η φύση  τους…

Την παραπάνω κίνηση, έχω προτείνει από το 2010 να ονομάζουμε «αρμονική ταλάντωση», στην ανάρτηση:

Υπέρ Κινηματικής ο λόγος, αλλά και μια διδακτική πρόταση…(αατ και αρμονική ταλάντωση)

Δεν θα είχα κανένα πρόβλημα βέβαια να πάρει οποιοδήποτε άλλο όνομα, αρκεί να είναι σαφές, ότι μέχρι εδώ δεν έχουμε μιλήσει για ενέργειες. Είναι μια γενική κίνηση, όπως μια γενική κίνηση είναι η ευθύγραμμη ομαλά μεταβαλλόμενη κίνηση. Και όταν μιλάμε γι΄ αυτήν την κίνηση δεν σκεφτόμαστε μόνο την ελεύθερη πτώση…

Αν θέλουμε να μιλήσουμε για ενέργειες, πρέπει να επιστρέψουμε στην εξίσωση (1). Ποιες δυνάμεις είναι αυτές που μας δίνουν την  συνισταμένη αυτή; Ας δούμε στο παρακάτω σχήμα, μερικές περιπτώσεις και τις ασκούμενες δυνάμεις.

Στο πρώτο σχήμα (απλό εκκρεμές) ασκείται στο σώμα το βάρος, δύναμη συντηρητική η οποία  συνδέεται με δυναμική ενέργεια (U=mgh). Στο μεσαίο, στην διεύθυνση κίνησης (οι κατακόρυφες δίνουν μηδενική συνισταμένη και δεν καθορίζουν την κίνηση) ασκείται η δύναμη του ελατηρίου και αυτή συντηρητική, η οποία συνδέεται με δυναμική ενέργεια (U= ½ k(Δl)²). Στο δεξιό σχήμα ασκούνται δύο ηλεκτροστατικές δυνάμεις από ακίνητα φορτία, δυνάμεις συντηρητικές, οπότε και η συνισταμένη τους είναι επίσης συντηρητική η οποία συνδέεται με δυναμική ενέργεια (U=k_cqq₁/r).

Συμπέρασμα, και στις τρεις αυτές περιπτώσεις ορίζουμε δυναμική ενέργεια για την ταλάντωση, αφού η συνισταμένη ΣF είναι συντηρητική, οπότε η κίνηση είναι μια ΑΑΤ (με τα… όλα της). Το ίδιο συμβαίνει και στα παρακάτω σχήματα, όπου στο σώμα δεν ασκείται μια συντηρητική δύναμη, αλλά περισσότερες. 

Αλλά αν οι επιμέρους συνιστώσες είναι συντηρητικές και η συνισταμένη θα είναι συντηρητική και θα ορίζεται δυναμική ενέργεια ταλάντωσης U= ½ Dx².

Σχεδιάστε σχήμα με 23 ελατήρια, δύο βαρυτικά πεδία και 34 ακίνητα φορτία, ενώ είναι φορτισμένο το ταλαντούμενο σώμα. Όλες οι δυνάμεις αυτές είναι συντηρητικές, οπότε συντηρητική θα είναι και η συνισταμένη ΣF=-Dx, οπότε ορίζεται η δυναμική ενέργεια ταλάντωσης και η κίνηση είναι ΑΑΤ.

Αν όμως στο σώμα ασκείται για παράδειγμα μια αντίσταση του αέρα, όπως στο σχήμα, τότε η συνισταμένη θα έχει τρεις συνιστώσες, δύο συντηρητικές (w και F_ελ) και μια μη συντηρητική (F_απ=-b∙υ). Αλλά τότε ΔΕΝ διατηρείται η μηχανική ενέργεια και η  συνισταμένη δύναμη δεν συνδέεται με κάποια δυναμική ενέργεια, όπου W_{ΣF Α→Β}=U_Α-U_Β.

Θα ρωτήσει κάποιος δηλαδή τώρα δεν έχουμε δυναμική ενέργεια ταλάντωσης;

Και βέβαια έχουμε, αλλά αυτή συνδέεται με τις συντηρητικές συνιστώσες (w και F_ελ, δηλαδή την δύναμη επαναφοράς -kx και όχι με κάποιο D, το οποίο καθορίζεται και από την μη συντηρητική δύναμη F_απ. Να θυμίσω ότι στην φθίνουσα ταλάντωση έχουμε μια μικρή αύξηση της περιόδου σε σχέση με την αμείωτη, άλλο αν την προσεγγίζουμε, κατά την διδασκαλία μας).

Έτσι αν φτάσουμε στην εξαναγκασμένη ταλάντωση, όπου επιπλέον ασκείται στο σώμα και μια εξωτερική δύναμη F_εξ από τον διεγέρτη;

Τώρα η συνισταμένη προκύπτει από δύο συντηρητικές δυνάμεις (w και F_ελ), όπου η συνισταμένη τους F₁=F_ελ-w=-kx, είναι επίσης συντηρητική,  και συνδέονται με δυναμική ενέργεια U= ½ k∙x² και δύο μη συντηρητικές (F_εξ, F_απ), οι οποίες δεν συνδέονται με δυναμικές ενέργειες.

Η κίνηση είναι μια αρμονική εξαναγκασμένη ταλάντωση (μετά τα μεταβατικά φαινόμενα), αλλά δεν είναι η γνωστή μας ΑΑΤ με ενέργεια ταλάντωσης σταθερή και ίση με  ½ DΑ²= ½ mω²∙Α², αφού αυτή η σταθερά D καθορίζεται και από δύο μη συντηρητικές δυνάμεις.

 

ΥΓ

Νόμιζα ότι το ζήτημα είχε διευκρινιστεί, άσχετα με την θέση που παίρνει ο καθένας μας πάνω στο ζήτημα.

Φαίνεται ότι έκανα λάθος, πράγμα που με οδήγησε στην παρούσα ανάρτηση.

Μέχρι την επόμενη φορά…

  Το αρχείο σε pdf ή με κλικ εδώ.

 Το αρχείο σε Word ή με κλικ εδώ.

Θέσεις ισορροπίας και τρεις ταλαντώσεις

  Στο σχήμα βλέπουμε ένα σώμα να ηρεμεί στο κάτω άκρο ενός ιδανικού ελατηρίου (σχήμα 1).

Στο σχήμα (Α) το  σώμα εκτελεί ΑΑΤ, στο σχήμα (Β), εκτελεί φθίνουσα ταλάντωση με την επίδραση δύναμης απόσβεσης της μορφής F_απ=-bυ, ενώ στο σχήμα (Γ) εκτός της παραπάνω δύναμης απόσβεσης, δέχεται και αρμονική εξωτερική  δύναμη F_εξ,  με αποτέλεσμα να εκτελεί εξαναγκασμένη ταλάντωση, σταθερού πλάτους.

i)  Στο σχήμα (Α) η δύναμη επαναφοράς έχει  φορά προς τα πάνω, ενώ το σώμα αποκτά μέγιστη κατά μέτρο ταχύτητα, όταν περνά από την θέση (1).

ii) Στο σχήμα (Β) το σώμα κινείται προς τα πάνω, ενώ αποκτά μέγιστη ταχύτητα κατά μέτρο, όταν περνά από την θέση (1), θέση στην οποία τελικά θα σταματήσει.

iii) Στο σχήμα (γ) το σώμα αποκτά μέγιστη κατά μέτρο ταχύτητα, όταν περνά από την θέση (1), στην οποία η εξωτερική δύναμη έχει μέτρο F_εξ=0.

Να χαρακτηρίσετε τις παραπάνω προτάσεις ως σωστές ή λανθασμένες, δίνοντας και σύντομες δικαιολογήσεις.

Απάντηση:

ή

 Θέσεις ισορροπίας και τρεις ταλαντώσεις

 Θέσεις ισορροπίας και τρεις ταλαντώσεις

Η δύναμη και η ισχύς της σε μια εξαναγκασμένη ταλάντωση.

 

Ένα  σώμα μάζας m, εκτελεί εξαναγκασμένη ταλάντωση, πάνω σε ένα λείο οριζόντιο επίπεδο, δεμένο στο άκρο ενός ιδανικού ελατηρίου σταθεράς k=25∙m (S.Ι.), με την επίδραση μιας περιοδικής εξωτερικής δύναμης F_εξ, ενώ πάνω του ασκείται δύναμη απόσβεσης της μορφής F_απ=-bυ. Μετά το πέρας των μεταβατικών φαινομένων, λαμβάνοντας κάποια στιγμή ως αρχή μέτρησης των χρόνων t=0, η εξίσωση της απομάκρυνσης ικανοποιεί την εξίσωση x=Α∙ημ(6t) (S.Ι.), με θετική κατεύθυνση προς τα δεξιά.

i) Κάποια στιγμή t₁ το σώμα περνά από την θέση φυσικού μήκους (και θέση x=0), κινούμενο προς την θετική κατεύθυνση, όπως στο σχήμα. Τη στιγμή αυτή:

α) Η εξωτερική δύναμη είναι μηδενική.

β) Η εξωτερική δύναμη  έχει θετική κατεύθυνση, όπως στο σχήμα και μέτρο ανάλογο της σταθεράς απόσβεσης b.

γ) Η ισχύς της εξωτερικής δύναμης είναι ανάλογη του τετραγώνου της γωνιακής ιδιοσυχνότητας ταλάντωσης

ii) Τη στιγμή που το σώμα βρίσκεται στη θέση x=-Α, η εξωτερική δύναμη μηδενίζεται.

iii) Μια άλλη στιγμή t₂ το σώμα περνά από την θέση Γ, έχοντας απομάκρυνση x₁, κινούμενο προς τα δεξιά, όπως στο σχήμα. Τη στιγμή αυτή η δύναμη απόσβεσης έχει μέτρο ίσο με το 4% του μέτρου της δύναμης του ελατηρίου. Στη θέση αυτή η εξωτερική δύναμη προσφέρει ενέργεια στο σώμα με ρυθμό ανάλογο της ταχύτητας υ₁, στην θέση αυτή.

Να  χαρακτηρίσετε τις παραπάνω προτάσεις ως σωστές ή λανθασμένες δικαιολογώντας τις απαντήσεις σας.

Απάντηση:

ή

 Η δύναμη και η ισχύς της σε μια εξαναγκασμένη ταλάντωση.

 Η δύναμη και η ισχύς της σε μια εξαναγκασμένη ταλάντωση.

Ας δούμε λίγο και μια φθίνουσα ταλάντωση

 

Ένα σώμα Σ μάζας 2kg ηρεμεί δεμένο στο κάτω άκρο ενός κατακόρυφου ιδανικού ελατηρίου σταθεράς k, προκαλώντας του επιμήκυνση 0,4m, όπως στο σχήμα. Ανεβάζουμε το σώμα κατακόρυφα κατά 0,4m και σε μια στιγμή t₀=0, το αφήνουμε να εκτελέσει κατακόρυφη ταλάντωση, ενώ δέχεται και δύναμη απόσβεσης τη μορφής F_απ=-b∙υ=-0,2υ (μονάδες στο S.Ι.).

i) Να υπολογισθεί η αρχική ενέργεια ταλάντωσης, καθώς και η αρχική επιτάχυνση του σώματος.

Σε μια στιγμή t₁ το σώμα έχει επιμηκύνει το ελατήριο κατά 0,5m, έχοντας ταχύτητα μέτρου |υ₁|=1m/s.

ii) Να υπολογιστεί το έργο της δύναμης απόσβεσης από την στιγμή t₀ μέχρι τη στιγμή t₁.

iii) Για την στιγμή t₁ να υπολογιστούν:

 Α) Η επιτάχυνση του σώματος.

 Β) Οι ρυθμοί μεταβολής:

a)  της δυναμικής ενέργειας,

b) της κινητικής ενέργειας και

c) της ενέργειας ταλάντωσης του σώματος.

Δίνεται g=10m/s².

Απάντηση:

ή

 Ας δούμε λίγο και μια φθίνουσα ταλάντωση

 Ας δούμε λίγο και μια φθίνουσα ταλάντωση

Μια κρούση μεταξύ δύο ταλαντώσεων

 

Σε λείο οριζόντιο επίπεδο, δεμένο στο άκρο ενός ιδανικού ελατηρίου, ταλαντώνεται ένα σώμα Α μάζας m₁=1kg, ενώ ένα δεύτερο σώμα Β κινείται με σταθερή ταχύτητα πλησιάζοντας προς το Α σώμα, όπως στο σχήμα. Λαμβάνοντας κάποια στιγμή ως αρχή μέτρησης των χρόνων και ορίζοντας την προς τα δεξιά κατεύθυνση ως θετική, χαράξαμε την γραφική παράσταση της απομάκρυνσης του Α σώματος σε συνάρτηση με το χρόνο, παίρνοντας το διάγραμμα του διπλανού σχήματος, όπου την στιγμή t₁=π/10 s τα δύο σώματα συγκρούσθηκαν κεντρικά. Αντλώντας πληροφορίες από το διάγραμμα, να απαντήσετε στις παρακάτω ερωτήσεις:

i)  Μπορείτε να εξηγήσετε γιατί η παραπάνω κρούση είναι πλαστική;

ii) Να υπολογιστεί η σταθερά του ιδανικού ελατηρίου, με  το οποίο συνδέεται το Α σώμα.

iii) Να βρεθεί η ταχύτητα του σώματος Α ελάχιστα πριν την κρούση, καθώς και η κοινή ταχύτητα των σωμάτων μετά την κρούση.

iv) Αφού υπολογιστεί η αρχική απόσταση (για t=0) των δύο σωμάτων, να γίνει η γραφική παράσταση της ταχύτητας του σώματος Β σε συνάρτηση με το χρόνο, για t ≥ 0.

Δίνεται π²=10.

Απάντηση:

ή

 Μια κρούση μεταξύ δύο ταλαντώσεων

 Μια κρούση μεταξύ δύο ταλαντώσεων

Με την άσκηση δύναμης, μια δεύτερη ταλάντωση

Ένα σώμα μάζας 1kg ηρεμεί σε λείο οριζόντιο επίπεδο, δεμένο στο άκρο οριζόντιου ιδανικού  ελατηρίου, σταθεράς k=40Ν/m, στην θέση Ο. Εκτρέπουμε το σώμα προς τα αριστερά κατά d₁=0,2m, φέρνοντάς το στην θέση Β και σε μια στιγμή t_ο=0 το αφήνουμε να ταλαντωθεί. Την στιγμή t₁=0,5s, ασκείται στο σώμα μια σταθερή συντηρητική οριζόντια δύναμη μέτρου F=12Ν, με φορά προς τα δεξιά, όπως στο σχήμα. Θεωρώντας την προς τα αριστερά κατεύθυνση ως θετική:

i)  Να αποδείξετε ότι για όσο χρόνο ασκείται στο σώμα η δύναμη F, αυτό εκτελεί ΑΑΤ, βρίσκοντας την θέση ισορροπίας και το πλάτος της ταλάντωσης αυτής.

ii) Αφού βρείτε την χρονική στιγμή που το σώμα θα αρχίσει, για πρώτη φορά, να κινείται προς τα αριστερά, να εξετάσετε αν θα επιστρέψει στην αρχική θέση Β, από την οποία ξεκίνησε.

iii) Να βρείτε την συνάρτηση x=f(t) της θέσης του σώματος σε συνάρτηση με το χρόνο, αν η αρχή του άξονα είναι η αρχική θέση ισορροπίας Ο του σώματος.

iv) Να γίνει η γραφική παράσταση της παραπάνω συνάρτησης μέχρι την στιγμή t₂=1,5s.

Δίνεται π²=10.

Απάντηση:

ή

 Με την άσκηση δύναμης, μια δεύτερη ταλάντωση

 Με την άσκηση δύναμης, μια δεύτερη ταλάντωση

 Με την άσκηση δύναμης, μια δεύτερη ταλάντωση