Πραγματοποιήθηκε και φέτος στη Δράμα, ο διαγωνισμός στη μνήμη του αδικοχαμένου Βασίλη Ξανθόπουλου.
Τα θέματα ανά τάξη:
Τρίτη 30 Απριλίου 2019
Δευτέρα 29 Απριλίου 2019
Ένα στερεό και οι κινητικές ενέργειες των μερών του
Στο άκρο Α μιας ομογενούς ράβδου ΑΒ μήκους ℓ=4m και μάζας m=3kg, έχουμε καρφώσει ένα υλικό σημείο Σ, της ίδιας μάζας m, δημιουργώντας ένα στερεό s.
Το στερεό s, κινείται πάνω σε μια παγωμένη λίμνη, χωρίς τριβές και τη στιγμή t=0, βρίσκεται στη θέση που δείχνει το διπλανό σχήμα και τα άκρα του Α και Β έχουν αντιπαράλληλες ταχύτητες κάθετες στη ράβδο, με μέτρα υΑ=υΒ=2m/s. Με δεδομένο ότι το κέντρο μάζας του στερεού s είναι το σημείο Κ, όπου (ΚΑ)=1m, ενώ η ροπή αδράνειας της ράβδου, ως προς κάθετο άξονα που περνά από το μέσον της Ο δίνεται από την σχέση Ιο=mℓ2/12, ζητούνται:
i) Η ταχύτητα υcm του κέντρου μάζας του στερεού s, καθώς και η γωνιακή ταχύτητα περιστροφής του.
ii) Η κινητική ενέργεια του στερεού s.
iii) Η κινητική ενέργεια του υλικού σημείου Σ σε συνάρτηση με το χρόνο και να γίνει η γραφική της παράσταση.
iv) Ποια είναι η αντίστοιχη γραφική παράσταση της κινητικής ενέργειας της ράβδου ΑΒ, σε συνάρτηση με το χρόνο;
ή
Πέμπτη 25 Απριλίου 2019
Δύο πλάκες και μερικές ερωτήσεις
Διαθέτουμε δυο όμοιες ορθογώνιες πλάκες, οι οποίες περιστρέφονται σε οριζόντιο επίπεδο, γύρω από σταθερούς κατακόρυφους άξονες, χωρίς τριβές. Στην πρώτη (ΑΒΓΔ), ο άξονας περνά από την κορυφή Α, ενώ στη δεύτερη (ΕΖΗΘ) από το μέσον Μ της πλευράς ΕΘ.
Απαντήστε στις παρακάτω ερωτήσεις, δίνοντας και σύντομες δικαιολογήσεις.
i) Αν Ι1 η ροπή αδράνειας της πρώτης πλάκας και Ι2 της δεύτερης, ως προς τους άξονες περιστροφής τους, ισχύει:
α) Ι1 < Ι2, β) Ι1=Ι2, γ) Ι1 > Ι2.
ii) Αν στις πλάκες ασκείται η ίδια δύναμη F, όπως στο σχήμα με διεύθυνση μόνιμα παράλληλη στην ΑΒ και ΕΖ αντίστοιχα, τότε μεγαλύτερη γωνιακή επιτάχυνση αποκτά:
α) Η πρώτη πλάκα, β) Η δεύτερη πλάκα, γ) Οι πλάκες αποκτούν ίσες γωνιακές επιταχύνσεις.
iii) Αν οι πλάκες αρχικά είναι ακίνητες, μετά από μια περιστροφή τους θα έχουν κινητικές ενέργειες Κ1 και Κ2 όπου:
α) Κ1 < Κ2, β) Κ1 = Κ2, γ) Κ1 > Κ2.
iv) Αν κάποια στιγμή οι δύο πλάκες στρέφονται με την ίδια γωνιακή ταχύτητα ω, τότε:
α) Μεγαλύτερη ταχύτητα έχει η κορυφή Β ή η κορυφή Ζ;
β) Να συγκριθούν οι κινητικές ενέργειες των δύο πλακών.
γ) Να συγκριθούν οι ρυθμοί μεταβολής της κινητικής ενέργειας των πλακών, αν πάνω τους ασκούνται οι δυνάμεις του ii) ερωτήματος.
ή
Τρίτη 23 Απριλίου 2019
Μια ισορροπία και δύο επιταχυνόμενες κινήσεις
Μια λεπτή ομογενής δοκός, μάζας m=10kg και μήκους ΑΒ=2m, ισορροπεί σε οριζόντια θέση, στηριζόμενη σε λείο τρίποδο και σε κύλινδρο, με τον οποίο εμφανίζει συντελεστή τριβής ολίσθησης μ=0,4, όπως στο σχήμα. Ο κύλινδρος μπορεί να στρέφεται γύρω από τον σταθερό οριζόντιο άξονά του, ο οποίος περνά από τα κέντρα των δύο βάσεών του.
Δίνεται ακόμη (ΑΓ)=(ΔΒ)=0,5m και g=10m/s2.
i) Να υπολογιστούν οι δυνάμεις που δέχεται η δοκός από τρίποδο και κύλινδρο.
ii) Πριν τοποθετήσουμε τη δοκό στην παραπάνω θέση, θέτουμε σε δεξιόστροφη περιστροφή τον κύλινδρο. Να υπολογιστεί η αρχική επιτάχυνση που θα αποκτήσει η δοκός, μόλις αφεθεί στην παραπάνω θέση.
iii) Αν τη θέση της δοκού πάρει ένα ορθογώνιο με ύψος h=0,5m, του ίδιου μήκους και μάζας Μ=100kg, το οποίο εμφανίζει την ίδια συμπεριφορά στις επαφές Γ και Δ, όσον αφορά τις τριβές, πόση θα είναι αντίστοιχα η επιτάχυνση που θα αποκτήσει;
ή
Δευτέρα 22 Απριλίου 2019
Μια δοκός πάνω σε κύλινδρο
Σε οριζόντιο επίπεδο ηρεμεί ένας ομογενής κύλινδρος μάζας m=8kg, ενώ πάνω του συγκρατείται σε οριζόντια θέση μια ομογενής λεπτή δοκός ΑΒ, μήκους 4m και μάζας Μ=10kg, με τη βοήθεια μιας δύναμης που ασκείται στο άκρο της Α, με συνιστώσες Fx και Fy, όπως στο σχήμα. Η δοκός στηρίζεται στον κύλινδρο στο σημείο Γ, όπου (ΓΑ)=1m.
i) Να υπολογιστούν οι συνιστώσες Fx και Fy για την ισορροπία της δοκού.
Σε μια στιγμή t=0 μεταβάλλουμε την ασκούμενη δύναμη στο άκρο Α, καθορίζοντας σταθερή οριζόντια συνιστώσα Fx=2,6Ν. Το αποτέλεσμα είναι να τεθούν σε κίνηση και η δοκός και ο κύλινδρος, χωρίς να υπάρχει ολίσθηση ούτε μεταξύ κυλίνδρου και εδάφους, ούτε μεταξύ δοκού και κυλίνδρου.
ii) Να υπολογιστούν οι επιταχύνσεις της δοκού και του κέντρου μάζας Ο του κυλίνδρου.
iii) Να υπολογιστούν την χρονική στιγμή t1=2s :
α) Η κατακόρυφη συνιστώσα Fy της ασκούμενης δύναμης.
β) Οι κινητικές ενέργειες δοκού και κυλίνδρου.
γ) Η ισχύς της ασκούμενης δύναμης καθώς και οι ρυθμοί μεταβολής της κινητικής ενέργειας της δοκού και του κυλίνδρου.
Σε όλη τη διάρκεια της κίνησης, η δοκός παραμένει οριζόντια, g=10m/s2, ενώ η ροπή αδράνειας του κυλίνδρου ως προς τον άξονα περιστροφής του Ι= ½ mR2.
ή
Σάββατο 20 Απριλίου 2019
Σειρά για μια ιδιαίτερη ελαστική κρούση
Μια ομογενής ράβδος μήκους ℓ=1m και μάζας Μ=2,88kg μπορεί να στρέφεται σε κατακόρυφο επίπεδο, γύρω από οριζόντιο άξονα ο οποίος περνά από το άκρο της Ο, χωρίς τριβές. Στο άλλο άκρο της ράβδου έχουμε καρφώσει ένα δίσκο μάζας m=2kg και ακτίνας R=0,2m, όπου το κέντρο του Κ ταυτίζεται με το άκρο της ράβδου, έχοντας έτσι κατασκευάσει ένα στερεό s, το οποίο συγκρατείται στη θέση Α του σχήματος, όπου η ράβδος σχηματίζει με την οριζόντια διεύθυνση γωνία θ. Σε μια στιγμή αφήνουμε το στερεό s να περιστραφεί, με αποτέλεσμα τη στιγμή t1 που η ράβδος γίνεται κατακόρυφη, το κέντρο του δίσκου έχει ταχύτητα υ1=4m/s. Τη στιγμή αυτή ο δίσκος συγκρούεται κεντρικά και ελαστικά με σφαίρα της ίδιας ακτίνας με το δίσκο, η οποία ηρεμεί σε λείο οριζόντιο επίπεδο και η οποία, μετά την κρούση, αποκτά την μέγιστη δυνατή κινητική ενέργεια.
i) Να αποδειχτεί ότι για την αρχική γωνία, που σχηματίζει η ράβδος με την οριζόντια διεύθυνση, ισχύει ημθ=0,3 (συνθ=0,95).
ii) Να βρεθεί ο αρχικός ρυθμός μεταβολής της στροφορμής του δίσκου, τη στιγμή που το στερεό s αφήνεται να κινηθεί, ως προς:
α) Οριζόντιο άξονα ο οποίος περνά από το κέντρο της Κ.
β) Τον άξονα περιστροφής του στερεού στο Ο.
iii) Ποια η στροφορμή του δίσκου και ποιος ο αντίστοιχος ρυθμός μεταβολής της στροφορμής του, ως προς τον άξονα στο Ο, ελάχιστα πριν την κρούση;
iv) Να υπολογιστεί η ταχύτητα την οποία θα αποκτήσει η σφαίρα, μετά την κρούση.
Δίνεται η ροπή αδράνειας της ράβδου ως προς τον άξονα περιστροφής της Ιρ= 1/3 Μℓ2 και η αντίστοιχη ροπή αδράνειας του δίσκου ως προς κάθετο άξονα που περνά από το κέντρο του Κ, Ικ= ½ mR2 και g=10m/s2.
ή
Τετάρτη 17 Απριλίου 2019
Μια διαφορετική πλαστική κρούση
Μια ομογενής ράβδος μήκους
ℓ=1m και μάζας Μ=3kg μπορεί να στρέφεται σε κατακόρυφο επίπεδο, γύρω από
οριζόντιο άξονα ο οποίος περνά από το άκρο της Ο, χωρίς τριβές. Στο άλλο άκρο
της ράβδου έχουμε συγκολλήσει μια μικρή σφαίρα Σ, αμελητέων διαστάσεων και
μάζας m=1kg. Φέρνουμε τη ράβδο σε
οριζόντια θέση και την αφήνουμε να κινηθεί.
i) Μετά από λίγο η ράβδος σχηματίζει με την
οριζόντια διεύθυνση γωνία θ=60°, όπως φαίνεται στο σχήμα. Για τη θέση αυτή να
βρεθούν:
α)
Η κινητική ενέργεια
β)
Ο ρυθμός μεταβολής της στροφορμής της ράβδου ως προς τον άξονα περιστροφής της
και ο αντίστοιχος ρυθμός μεταβολής της στροφορμής, ως προς τον ίδιο άξονα, της
σφαίρας Σ.
ii) Τη
στιγμή που η ράβδος γίνεται κατακόρυφη, η σφαίρα Σ συγκρούεται πλαστικά με
δεύτερη όμοια σφαίρα Σ1, η οποία κρέμεται στο άκρο νήματος μήκους ℓ.
Να υπολογιστούν:
α)
Η ταχύτητα της σφαίρας Σ πριν την κρούση.
β)
Η απώλεια κινητικής ενέργειας η οποία οφείλεται στην κρούση.
Δίνεται η ροπή αδράνειας της ράβδου ως προς τον άξονα
περιστροφής της Ιρ= 1/3 Μℓ2 και g=10m/s2.
ή
Κυριακή 14 Απριλίου 2019
Δύο ράβδοι δημιουργούν ένα στερεό s.
Διαθέτουμε δύο ομογενείς ράβδους, την ΑΒ μήκους
ℓ1=3m και
μάζας m1=2kg και την ΓΔ μήκους ℓ2=2m και μάζας m2. Συγκολλούμε τα άκρα Β
και Γ των δύο ράβδων δημιουργώντας μια νέα ράβδο, το στερεό s. Αφήνουμε ελεύθερο το στερεό s σε λείο οριζόντιο επίπεδο και σε μια στιγμή ασκούμε πάνω του ένα ζεύγος δυνάμεων με κατακόρυφη ροπή τ=4Ν∙m για ορισμένο χρονικό διάστημα.
i) Το στερεό s θα εκτελέσει:
α) Μεταφορική κίνηση, β) Στροφική κίνηση, γ) Σύνθετη κίνηση.
Να δικαιολογήσετε την επιλογή σας.
ii) Αν τα άκρα Α και Δ έχουν ταχύτητες μέτρων υΑ=6m/s και υΔ=4m/s να βρεθούν:
α) Το κέντρο μάζας του στερεού s.
β) Η γωνιακή ταχύτητα περιστροφής του στερεού.
iii) Αν το ζεύγος που επιτάχυνε το στερεό s, ασκήθηκε πάνω του μέχρι να το στρέψει κατά γωνία φ=5rαd, να υπολογιστεί η κινητική ενέργεια του στερεού s καθώς και η μάζα της ράβδου ΓΔ.
iv) Κάποια στιγμή (t0=0) το στερεό s βρίσκεται στη θέση που δείχνει το παραπάνω σχήμα. Τη στιγμή αυτή γίνεται αποκόλληση των δύο ράβδων, οι οποίες πλέον συνεχίζουν να κινούνται ανεξάρτητα η μια της άλλης. Να βρεθούν τη χρονική στιγμή t1=(5π/4)s≈3,9s:
α) Η απόσταση των άκρων Β και Γ των δύο ράβδων.
β) Η συνολική στροφορμή του συστήματος των δύο ράβδων ως προς τον κατακόρυφο νοητό άξονα που αρχικά στρέφεται το στερεό s.
Δίνεται η ροπή αδράνειας μιας ράβδου, ως προς κάθετο άξονα που περνά από το μέσον της Ι=mℓ2/12.
ή
Σάββατο 13 Απριλίου 2019
Τρίτη 9 Απριλίου 2019
Δύο δίσκοι σε λείο οριζόντιο επίπεδο
Δύο όμοιοι ομογενείς δίσκοι, ηρεμούν σε λείο οριζόντιο επίπεδο, με το επίπεδό τους κατακόρυφο. Στον πρώτο μπορούμε να ασκήσουμε μια δύναμη στο κέντρο του Κ, τραβώντας το άκρο Α του νήματος, ενώ γύρω από τον δεύτερο έχουμε τυλίξει ένα μη εκτατό νήμα αμελητέου βάρους, στο άκρο Β του οποίου μπορούμε να ασκήσουμε κάποια δύναμη. Κάποια στιγμή (t0=0) ασκούμε ταυτόχρονα στα άκρα Α και Β των νημάτων την ίδια σταθερή οριζόντια δύναμη F, μέχρι το σημείο εφαρμογής της, να μετατοπισθεί κατά Δx=2m, όπου οι δυνάμεις παύουν να ασκούνται.
i) Ποιος δίσκος θα αποκτήσει τελικά μεγαλύτερη κινητική ενέργεια; Να δικαιολογήσετε την απάντησή σας.
ii) Αν τελικά η ταχύτητα του κέντρου μάζας Κ του πρώτου δίσκου έχει μέτρο υcm,1=1m/s, ποια η τελική αντίστοιχη ταχύτητα του κέντρου Ο του δεύτερου δίσκου;
iii) Αν F=2Ν, να υπολογιστούν:
α) Η μάζα κάθε δίσκου.
β) Η κινητική ενέργεια κάθε δίσκου και ο ρυθμός μεταβολής της, τη χρονική στιγμή t1=2s.
Δίνεται η ροπή αδράνειας του δίσκου ως προς κάθετο άξονα που περνά από το κέντρο του Ι= ½ mR2.
ή
Κυριακή 7 Απριλίου 2019
Η κινητική ενέργεια και η στροφορμή ενός συστήματος
i) Αν κατά την παραπάνω κίνηση έχουμε μπλοκάρει το δίσκο, μη επιτρέποντας την περιστροφή του, η κινητική ενέργεια του συστήματος στη θέση (2) υπολογίζεται από την εξίσωση:
ii) Αν ο δίσκος είναι ελεύθερος να περιστραφεί, ποια από τις παραπάνω εξισώσεις μας δίνει την κινητική ενέργεια του συστήματος στη θέση (2);
iv) Σε κάθε μια από τις παραπάνω περιπτώσεις να γράψετε την σχέση από την οποία υπολογίζεται η ολική στροφορμή του συστήματος ως προς (κατά) τον άξονα περιστροφής στο άκρο Ο της ράβδου.
ή
Παρασκευή 5 Απριλίου 2019
Ένα σύστημα σε ισορροπία και επιτάχυνση
Το στερεό s του σχήματος, αποτελείται από δύο κολλημένους ομοαξονικούς ομογενείς κυλίνδρους με ακτίνες R=0,4m και r= ½R αντίστοιχα. Το στερεό s μπορεί να στρέφεται χωρίς τριβές γύρω από οριζόντιο άξονα ο οποίος ταυτίζεται με τον άξονα των κυλίνδρων που συνδέει τα κέντρα των δύο βάσεων. Γύρω από τον μικρό κύλινδρο έχουμε τυλίξει ένα μη εκτατό και αμελητέου βάρους νήμα, στο άλλο άκρο του οποίου έχουμε δέσει ένα σώμα Σ. Γύρω από τον μεγάλο κύλινδρο αντίθετα, έχουμε τυλίξει ένα άλλο, όμοιο με το προηγούμενο, νήμα και ασκώντας στο άκρο του Α μια δύναμη F, μέτρου F=10Ν, ισορροπούμε όλο το σύστημα, όπως στο σχήμα.
i) Να υπολογιστεί η μάζα του σώματος Σ.
ii) Διπλασιάζουμε το μέτρο της ασκούμενης δύναμης F με αποτέλεσμα τη στιγμή t1 που το άκρο του νήματος Α έχει μετατοπισθεί κατά d=1,6m, να έχει ταχύτητα μέτρου υΑ=2m/s.
α) Να υπολογιστεί η ενέργεια που μεταφέρθηκε στο σύστημα μέσω του έργου της δύναμης.
β) Να βρεθεί η ροπή αδράνειας του στερεού s.
iii) Για τη χρονική στιγμή t1 να υπολογιστούν:
α) Η ισχύς της δύναμης F
β) Ο ρυθμός μεταβολής της μηχανικής ενέργειας του στερεού s και του σώματος Σ.
γ) Ο ρυθμός μεταβολής της στροφορμής, ως προς τον άξονα Ο περιστροφής:
γ1) του σώματος Σ, γ2) του στερεού s, γ3) του συστήματος.
ή
Τετάρτη 3 Απριλίου 2019
Μια ράβδος στο άκρο αβαρούς … ράβδου
Μια ομογενής ράβδος ΑΒ, μήκους ℓ=2m και μάζας m=0,6kg έχει καρφωθεί στο άκρο δεύτερης ράβδου ΟΜ αμελητέου βάρους και μήκους d=1m, δημιουργώντας ένα στερεό s, με κάθετες τις δύο ράβδους. Το στερεό αυτό μπορεί να περιστρέφεται, σε κατακόρυφο επίπεδο, χωρίς τριβές γύρω από σταθερό οριζόντιο άξονα ο οποίος περνά από το άκρο Ο της αβαρούς ράβδου. Το στερεό s συγκρατείται στη θέση που δείχνει το σχήμα, όπου η ράβδος ΟΜ σχηματίζει γωνία θ με την κατακόρυφο, όπου ημθ=0,6 (συνθ=0,8). Σε μια στιγμή αφήνουμε το στερεό μας ελεύθερο να κινηθεί. Να βρεθούν:
i) Οι αρχικές επιταχύνσεις του μέσου Μ και των δύο άκρων Α και Β της ράβδου.
ii) Ο αρχικός ρυθμός μεταβολής της στροφορμής της ράβδου AB, ως προς οριζόντιο άξονα:
α) Ο οποίος περνά από το σημείο πρόσδεσης Ο.
β) Ο οποίος είναι κάθετος στη ράβδο AB, στο μέσον της Μ.
iii) Να σχεδιάστε το στερεό s τη στιγμή που το νήμα γίνεται κατακόρυφο και για τη θέση αυτή να υπολογιστούν:
α) Οι ταχύτητες των άκρων Α και Β της ράβδου ΑΒ.
β) Η στροφορμή της ράβδου ΑΒ ως προς οριζόντιο άξονα κάθετο στη ράβδο που περνά από το μέσον της Μ καθώς και η αντίστοιχη στροφορμή ως προς τον άξονα περιστροφής στο σημείο Ο.
Δίνεται η ροπή αδράνειας μιας ομογενούς ράβδου ως προς κάθετο άξονα που περνά από το μέσον της Ιcm= mℓ2/12 και g=10m/s2.
ή
Εγγραφή σε:
Αναρτήσεις (Atom)