Κρούση μετά από ανάκλαση

Σε λείο οριζόντιο επίπεδο ηρεμούν δυο μικρές σφαίρες με μάζες m₁=0,2kg και m₂=0,8kg αντίστοιχα στα σημεία Α και Β. Οι σφαίρες απέχουν από κατακόρυφο τοίχο αποστάσεις d₁=(ΑΑ΄) =1,2m και d₂ =(ΒΒ΄)=2m, ενώ (Α΄Β΄)=D=2,4m. Τη στιγμή t=0, η πρώτη σφαίρα δέχεται κατάλληλο κτύπημα αποκτώντας ταχύτητα υ₀, με αποτέλεσμα, μετά την ελαστική κρούση της με τον τοίχο, να συγκρουσθεί τη στιγμή t₁=2s με τη δεύτερη σφαίρα κεντρικά και ελαστικά.

i)  Σε ποιο σημείο του τοίχου έγινε η ανάκλαση της σφαίρας και ποιο το μέτρο της αρχικής ταχύτητας υ₀;

ii) Να υπολογισθεί η μεταβολή της ορμής της σφαίρας κατά την κρούση της με τον τοίχο.

iii) Θα επιστρέψει ξανά η πρώτη σφαίρα στην αρχική της θέση Α και αν ναι, ποια χρονική στιγμή θα συμβεί αυτό;

Ο τοίχος είναι λείος και η διάρκεια των κρούσεων αμελητέα.

Απάντηση:

ή

Κρούση μετά από ανάκλαση

Ένας κυλινδρικός φλοιός σε ένα σκαλοπάτι. Συνέχεια.

2. Το σκαλοπάτι δεν είναι λείο.

Ένας λεπτός κυλινδρικός φλοιός, μάζας Μ=20kg και ακτίνας R=50cm, φέρει σχισμή βάθους y=10cm, εντός της οποίας έχουμε τυλίξει ένα αβαρές νήμα. Το σώμα ηρεμεί σε λείο οριζόντιο επίπεδο, σε επαφή με σκαλοπάτι ύψους h=20cm, με το οποίο εμφανίζει τριβή με συντελεστές τριβής μ=μ_s=0,5. Σε μια στιγμή ασκούμε μια οριζόντια δύναμη F=20Ν στο άκρο Α του νήματος χωρίς να κινηθεί ο φλοιός.

i) Να υπολογίσετε την τριβή και την κάθετη αντίδραση που ασκείται στον κυλινδρικό φλοιό, από το σκαλοπάτι. 

ii)  Αυξάνουμε σιγά-σιγά το μέτρο της δύναμης F με σκοπό να κινηθεί ο φλοιός. Να εξετάσετε τι πρόκειται να συμβεί πρώτα:

 α) Ο φλοιός θα εκτελέσει περιστροφική κίνηση χωρίς να ανέβει στο σκαλοπάτι.

 β) Ο κυλινδρικός φλοιός θα αρχίσει να ανεβαίνει στο σκαλοπάτι, εκτελώντας σύνθετη κίνηση.

iii) Επαναλαμβάνουμε το πείραμα ασκώντας οριζόντια δύναμη F₁=120Ν, με αποτέλεσμα  το στερεό να ανέβει στο σκαλοπάτι.

α) Να υπολογιστεί η αρχική επιτάχυνση του κέντρου Ο, του κυλινδρικού φλοιού.

β) Ποια τιμή παίρνει η παραπάνω επιτάχυνση μόλις το κέντρο Ο απέχει κατά h₁=60cm από το οριζόντιο επίπεδο;

Δίνεται η ροπή αδράνειας του φλοιού, ως προς τον άξονα περιστροφής του Ι= ½ mR² και g=10m/s².

Απάντηση:

ή

Ένας κυλινδρικός φλοιός σε  ένα σκαλοπάτι. Συνέχεια.

Άλλη μια ράβδος στρέφεται

Η ομογενής ράβδος του σχήματος μάζας Μ=3kg και μήκους l=2m, είναι αρθρωμένη στο άκρο της Ο, γύρω από το οποίο μπορεί να στρέφεται χωρίς τριβές. Η ράβδος ισορροπεί, κρεμασμένη στο άκρο κατακόρυφου νήματος, το οποίο έχει προσδεθεί στο σημείο Β, όπου (ΒΑ)=0,4m, σχηματίζοντας γωνία θ με την οριζόντια διεύθυνση. Σε μια στιγμή κόβουμε το νήμα, οπότε η ράβδος κατέρχεται και τη στιγμή που γίνεται οριζόντια, το άκρο της Α έχει ταχύτητα υ_Α=6m/s.

i)  Για την αρχική θέση (πριν να κοπεί το νήμα), να βρεθεί η τάση του νήματος, καθώς και η γωνία θ που σχηματίζει η ράβδος με την οριζόντια διεύθυνση.

ii) Να βρεθεί η κατακόρυφη επιτάχυνση του μέσου Κ της ράβδου καθώς και η οριζόντια και κατακόρυφη συνιστώσα της δύναμης που ασκείται στη ράβδο από την άρθρωση, στην οριζόντια θέση.

iii) Αναφερόμενοι στην οριζόντια θέση, δυο μαθητές, ο Χ και ο Υ, θέλουν να υπολογίσουν τη στροφορμή και το ρυθμό μεταβολής της στροφορμής ως προς το άκρο Ο (ισοδύναμα ως προς σταθερό οριζόντιο άξονα z κάθετο στο επίπεδο περιστροφής που περνά από το άκρο Ο). Ο Χ θεωρεί την κίνηση στροφική γύρω από τον άξονα z, ο Υ θεωρεί την κίνηση σύνθετη, μια μεταφορική του κέντρου μάζας και μια περιστροφή γύρω από κάθετο άξονα που περνά από το Κ.

Ποιες είναι οι απαντήσεις που θα δώσουν;

iv) Να υπολογιστεί επίσης η στροφορμή και ο αντίστοιχος ρυθμός μεταβολής της ως προς:

 α) σταθερό οριζόντιο άξονα, κάθετο στο επίπεδο περιστροφής που περνά από το μέσον της Κ της ράβδου.

 β) σταθερό οριζόντιο άξονα, κάθετο στο επίπεδο περιστροφής, ο οποίος περνά από το άκρον Α της ράβδου.

Δίνεται η ροπή αδράνειας της ράβδου ως προς κάθετο άξονα που περνά από το μέσον της Ι_cm= (1/12)∙ Μl² και g=10m/s².

Απάντηση:

ή

Άλλη μια ράβδος στρέφεται

Πάμε να γεμίσουμε ένα μεγάλο δοχείο με νερό

Διαθέτουμε μια πολύ μεγάλη δεξαμενή με νερό. Ένας οριζόντιος σωλήνας διατομής Α=4cm², μπορεί να χρησιμοποιηθεί για να γεμίσουμε ένα μεγάλο δοχείο-ντεπόζιτο, το οποίο συνδέεται με τη δεξαμενή, όπως στο σχήμα.

Δίνονται Η=1,25m, h₁=55cm, ενώ η στρόφιγγα Σ είναι αρχικά κλειστή.

Ανοίγουμε τη στρόφιγγα και αποκαθίσταται σύντομα μια μόνιμη και στρωτή ροή, την οποία προσομοιάζουμε με ροή ιδανικού ρευστού με πυκνότητα ρ=1.000kg/m³, ενώ g=10m/s².

i) Να βρεθεί η ταχύτητα εκροής του νερού από το άκρο του σωλήνα, καθώς και η παροχή του σωλήνα.

ii) Η εξερχόμενη φλέβα νερού, καμπυλώνεται και φτάνει στον πυθμένα του δοχείου, χωρίς να διαχωρίζεται. Να βρεθεί η διατομή της, τη στιγμή που συναντά τον πυθμένα.

iii) Μετά από αρκετό χρόνο, το νερό έχει ανέλθει στο δοχείο μέχρι ύψος h₂=1m. Με ποιο ρυθμό αυξάνεται ο όγκος του νερού στο δοχείο στην φάση αυτή;

Θεωρείστε ότι η δεξαμενή έχει πολύ μεγάλο όγκο, οπότε το γέμισμα του δοχείου δεν προκαλεί παρατηρήσιμη μεταβολή στο ύψος του νερού εντός της, ενώ και το δοχείο έχει αρκετό όγκο, οπότε η άνοδος της επιφάνειας του νερού να είναι πάρα πολύ αργή.

Απάντηση:

ή

	Πάμε να γεμίσουμε ένα μεγάλο δοχείο με νερό

Μια ταχύτητα και η μέγιστη ταχύτητα ταλάντωσης.

Ένα σώμα μάζας 1kg εκτελεί ΑΑΤ και σε μια στιγμή (t₀=0) περνάει από μια θέση Β, κινούμενο προς τη θετική κατεύθυνση, με ταχύτητα μέτρου υ₁=0,4m/s. Μετά από λίγο αποκτά την μέγιστη ταχύτητά του 0,5m/s, ενώ στη συνέχεια επιβραδύνεται και μηδενίζεται στιγμιαία η ταχύτητά του στη θέση Γ, αφού διανύσει απόσταση (ΒΓ)=0,8m.

i) Να βρεθεί το πλάτος ταλάντωσης και η απομάκρυνσή του στη θέση Β.

ii) Να υπολογιστεί η επιτάχυνση του σώματος στις θέσεις Β και Γ.

iii) Να βρεθεί η θέση του σώματος, τη στιγμή t΄=5π/2 s.

iv) Να κάνετε το διάγραμμα της (συνισταμένης) δύναμης που ασκείται στο σώμα, από το Β στο Γ, σε συνάρτηση με την μετατόπιση από την αρχική θέση Β. Στη  συνέχεια να υπολογίσετε το εμβαδόν του χωρίου μεταξύ της γραφικής παράστασης και του άξονα της μετατόπισης. Τι μετράει το παραπάνω εμβαδόν;

Απάντηση:

ή

	Μια ταχύτητα και η μέγιστη ταχύτητα ταλάντωσης.

Ενέργειες ταλάντωσης, μετά από κρούσεις.

Το σώμα Σ, μάζας Μ=1kg ηρεμεί σε λείο οριζόντιο επίπεδο, δεμένο στο άκρο οριζόντιου ιδανικού ελατηρίου σταθεράς k=40Ν/m. Το σώμα Β, μάζας m=0,5kg κινείται με ταχύτητα υ₂=3m/s, πάνω στον άξονα του ελατηρίου, με κατεύθυνση προς το Σ. Εκτρέπουμε το Σ προς τα αριστερά, συσπειρώνοντας το ελατήριο κατά Δℓ=0,2m και σε μια στιγμή t₀=0, όπου η απόσταση των δύο σωμάτων είναι d, το αφήνουμε να ταλαντωθεί. Τα δυο σώματα συγκρούονται κεντρικά και ελαστικά τη χρονική στιγμή t₁=0,5s.

i) Να υπολογιστεί η αρχική απόσταση d μεταξύ των δύο σωμάτων.

ii) Να βρεθεί η ενέργεια ταλάντωσης του σώματος Σ, μετά την κρούση.

iii) Επαναλαμβάνουμε το πείραμα, αλλά τώρα αφήνουμε άλλη στιγμή το σώμα Σ να ταλαντωθεί, με αποτέλεσμα ελάχιστα πριν την κρούση, να έχει ταχύτητα υ₁=0,6m/s, με φορά προς τα δεξιά. Πόση θα είναι τώρα η ενέργεια ταλάντωσης του σώματος Σ, μετά την κρούση;

vi)  Ποιες οι δυνατές τιμές (αλγεβρικές) της ταχύτητας του σώματος Β, μετά την κρούση για διαφορετικές θέσεις κρούσης;

v) Να υπολογιστούν η μέγιστη και η ελάχιστη ενέργεια ταλάντωσης, την οποία μπορεί να αποκτήσει το Σ, μετά από ανάλογες κρούσεις με το σώμα Β, θεωρώντας πάντα σταθερή την ταχύτητα υ₂ του σώματος Β, πριν την κρούση.

Δίνεται π²≈10.

Απάντηση:

ή

	Ενέργειες ταλάντωσης, μετά από κρούσεις.

Μια απλή ή μήπως σύνθετη κίνηση;

Μια ομογενής ράβδος μάζας 3kg και μήκους 0,6m, μπορεί να στρέφεται σε κατακόρυφο επίπεδο, γύρω από σταθερό οριζόντιο άξονα, ο οποίος περνά από το ένα της άκρο Ο, χωρίς τριβές. Η ράβδος φέρεται σε οριζόντια θέση και αφήνεται να κινηθεί.

Η κίνηση που θα πραγματοποιήσει θα είναι απλή ή σύνθετη;

Δυο μαθητές, ο Αντώνης (Α) και ο Βασίλης (Β), διαφωνούν και προσπαθώντας να διαπιστώσουν το σωστό και το λάθος, αναλαμβάνουν να απαντήσουν  στα ακόλουθα ερωτήματα, για τη στιγμή που η ράβδος βρίσκεται σε μια θέση, όπως στο σχήμα, σχηματίζοντας γωνία θ=30° με την οριζόντια θέση:

i)  Ποια η γωνιακή ταχύτητα της ράβδου;

ii) Ποια είναι η επιτάχυνση του κέντρου μάζας Κ (η κάθετη στη ράβδο) και ποια η γωνιακή επιτάχυνση της ράβδου;

iii) Πόση είναι η στροφορμή και ποιος ο ρυθμός μεταβολής της στροφορμής κατά (ως προς) τον οριζόντιο άξονα περιστροφής της στο Ο;

iv) Πόση είναι η στροφορμή και ποιος ο ρυθμός μεταβολής της στροφορμής κατά (ως προς) τον οριζόντιο άξονα ο οποίος περνά από το μέσον της K;

Δίνεται η ροπή αδράνειας της ράβδου ως προς κάθετο άξονα που περνά από το μέσον της Ι= Μl²/12 και g=10m/s².

Απαντήσεις.

ή

	Μια απλή ή μήπως σύνθετη κίνηση;

Η ράβδος και η σημειακή μάζα.

Μια ομογενής ράβδος μήκους ℓ=1,5m και μάζας m=3kg μπορεί να στρέφεται σε κατακόρυφο επίπεδο, γύρω από σταθερό οριζόντιο άξονα ο οποίος περνά από το άκρο της Ο. Στο άλλο άκρο της ράβδου δένουμε ένα σώμα Σ, της ίδιας μάζας m με τη ράβδο και αμελητέων διαστάσεων (υλικό σημείο), οπότε έτσι δημιουργούμε ένα στερεό s. Φέρνουμε το στερεό στη θέση (1) ώστε η ράβδος να είναι οριζόντια και το αφήνουμε να κινηθεί.

i) Να υπολογίσετε τη ροπή αδράνειας του στερεού s, ως προς τον άξονα περιστροφής του.

ii) Να βρεθεί η αρχική γωνιακή επιτάχυνση του στερεού, καθώς και η δύναμη F που ασκείται στο σώμα Σ από τη ράβδο, αμέσως μόλις αφεθεί το σύστημα ελεύθερο να κινηθεί.

iii) Μετά από λίγο, η ράβδος σχηματίζει με την οριζόντια διεύθυνση γωνία θ, όπου ημθ=0,6, ευρισκόμενη στη θέση (2). Για τη θέση αυτή ζητούνται:

α) Η κινητική ενέργεια του στερεού s.

β) Η στροφορμή και ο ρυθμός μεταβολής του σώματος Σ, κατά (ως προς) τον άξονα περιστροφής στο Ο.

γ) Ο ρυθμός μεταβολής της κινητικής ενέργειας του στερεού s.

iv) Να υπολογιστεί το έργο της δύναμης F (που ασκεί η σανίδα στο σώμα Σ), από την θέση (1) μέχρι τη θέση (2).

Δίνεται η ροπή αδράνειας της ράβδου ως προς τον άξονα περιστροφής της στο Ο, Ι₁= 1/3 mℓ² και g=10m/s².

Απάντηση:

 ή

	Η ράβδος και η σημειακή μάζα.

Μια έκκεντρη κρούση δύο σφαιρών.

Δύο λείες, ομογενείς σφαίρες με μάζες m₁ =0,1kg, m₂=0,2kg και την ίδια ακτίνα R, κινούνται χωρίς να περιστρέφονται σε λείο οριζόντιο επίπεδο με παράλληλες ταχύτητες μέτρων υ₁=0,6m/s και υ₂=0,9m/s, όπως στο σχήμα, όπου η απόσταση των φορέων των ταχυτήτων είναι ίση με την ακτίνα των σφαιρών. Οι σφαίρες συγκρούονται ελαστικά.

i) Να βρεθούν οι ταχύτητες των δύο σφαιρών μετά την κρούση.

ii) Να υπολογιστεί η μεταβολή της ορμής της Α σφαίρας, που οφείλεται στην κρούση.

iii) Να υπολογιστεί το έργο της δύναμης F₁ που ασκήθηκε στη διάρκεια της κρούσης στην Α σφαίρα.

Απάντηση:

ή

	Μια έκκεντρη κρούση δύο σφαιρών.

Μετά την ελαστική κρούση.

Ένα σώμα Σ μάζας 2kg, ηρεμεί σε λείο οριζόντιο επίπεδο, δεμένο στο άκρο οριζόντιου ιδανικού ελατηρίου με μήκος ℓ=2m και σταθεράς k=50N/m, το άλλο άκρο του οποίου έχει προσδεθεί σε σταθερό σημείο Ο. Ένα δεύτερο σώμα Σ₁, μάζας 1kg κινείται με ταχύτητα υ₀=7,5m/s στην κατεύθυνση του άξονα  του ελατηρίου, όπως στο σχήμα 1. και συγκρούεται κεντρικά και ελαστικά με το Σ.

i)  Να βρεθούν οι ταχύτητες των δύο σωμάτων, αμέσως μετά την κρούση.

ii) Ποιο το μέγιστο και ποιο το ελάχιστο μήκος του ελατηρίου;

iii) Σε μια στιγμή t₁ η ταχύτητα του σώματος Σ παίρνει τιμή υ₁=4m/s για πρώτη φορά. Ποιο το μήκος και ποιος ο ρυθμός μεταβολής του μήκους του ελατηρίου τη στιγμή αυτή;

Σε μια επανάληψη της κρούσης, το σώμα Σ₁ έχει ίδιου μέτρου ταχύτητα υ₀, αλλά τώρα κινείται κάθετα στον άξονα του ελατηρίου (σχήμα 2), ενώ η κρούση μεταξύ των σωμάτων είναι ξανά κεντρική και ελαστική.

iv) Ο Αντώνης, υποστηρίζει ότι τώρα το σώμα Σ, μετά την κρούση θα εκτελέσει κυκλική κίνηση γύρω από το άκρο Ο του ελατηρίου. Να εξετάσετε αν αυτό, είναι μια σωστή θέση.

v) Κάποια επόμενη στιγμή t₂ η ταχύτητα του σώματος Σ, έχει μέτρο υ₁=4m/s, ενώ το ελατήριο έχει επιμηκυνθεί. Πόσο απέχει από το Ο το σώμα Σ, τη στιγμή αυτή και πόση επιτάχυνση έχει;

vi) Ένας δεύτερος μαθητής, ο Βασίλης, υποστηρίζει ότι τη στιγμή t₂, η επιτάχυνση του σώματος Σ είναι κεντρομόλος. Είναι σωστός ή λάθος ο παραπάνω ισχυρισμός;

vii) Ποιος ο ρυθμός μεταβολής της δυναμικής ενέργειας του ελατηρίου τη στιγμή t₂;

Απάντηση:

ή

	Μετά την ελαστική κρούση.

Ψάχνοντας ένα ερώτημα.

Στις συζητήσεις που γίνονται αυτές τις μέρες, διατυπώθηκε από πολλούς φίλους η θέση, ότι θα μπορούσαν να υπάρχουν 1-2  ερωτήματα, με άλλο άρωμα που να επιτρέπουν μια καλύτερη  κατανομή στη βαθμολογία.

Προσωπικά είχα μιλήσει χαρακτηρίζοντας τα θέματα «θέματα φλάτ».

Μιας και ο Γιάννης Κυριακόπουλος αναφέρθηκε στην ανάρτησή μου «Η κίνηση μιας σανίδας.» ας δούμε κάποιες ερωτήσεις οι οποίες θα μπορούσαν να μπουν σε εξετάσεις, οι οποίες να ξεχώριζαν κάποιο μαθητή, χωρίς να ήταν αναγκαίο να οδηγηθούμε σε «ραβδολογία».

Ερώτηση 1^η:

Μια λεπτή ομογενής ράβδος κινείται οριζόντια, σε λείο οριζόντιο επίπεδο και σε μια στιγμή (t=0) βρίσκεται στη θέση που δείχνει το διπλανό σχήμα (κάτοψη), όπου το άκρο Α έχει ταχύτητα υ_Α.

 Ποιο από τα διανύσματα α και β μπορεί να παριστά την ταχύτητα του μέσου Ο της ράβδου;

Συνέχεια:

ή

	Ψάχνοντας ένα ερώτημα.

Ένας πλάγιος σωλήνας ύδρευσης.

Για την υδροδότηση μιας κατοικίας χρησιμοποιούμε ένα πλάγιο σωλήνα, ο οποίος τροφοδοτεί μια βρύση του πρώτου ορόφου. Έστω δύο σημεία του νερού Α και Β σε ύψη h₁ και h₂ από το έδαφος.

 

i) Αν ο σωλήνας έχει σταθερή διατομή (σχ.1):

 α) Πόση είναι η διαφορά πίεσης Δp_ο=p_Α-p_Β με την βρύση κλειστή;

 β) Αν ανοίξουμε τη βρύση και αποκατασταθεί μόνιμη ροή, για την αντίστοιχη διαφορά πίεσης μεταξύ των σημείων Α και Β Δp, ισχύει:

a) Δp <Δp_ο,   b) Δp =Δp_ο,   c) Δp > Δp_ο.

ii) Ποιες οι αντίστοιχες απαντήσεις αν ο πλάγιος σωλήνας είχε τη μορφή του σωλήνα του σχήματος (2) ή του σχήματος (3);

Απάντηση:

ή

	Ένας πλάγιος σωλήνας ύδρευσης.

Ο κύλινδρος, η ισορροπία και η επιτάχυνσή του.

Στο διπλανό σχήμα βλέπετε μια ομογενή δοκό ΒΓ, μήκους ℓ και βάρους w, η οποία μπορεί να στρέφεται χωρίς τριβές γύρω από οριζόντιο άξονα που περνά από το σημείο Ο, όπου (ΒΟ)=ℓ/3. Η δοκός ισορροπεί οριζόντια, ενώ στο άκρο της Β κρέμεται, με τη βοήθεια αβαρούς νήματος, ένας κύλινδρος βάρους επίσης w, με τις βάσεις του οριζόντιες, ο οποίος είναι βυθισμένος σε μια λεκάνη με νερό, κατά y=0,2m.

i) Να υπολογίσετε τη δύναμη που ασκεί το νερό στον κύλινδρο, καθώς και την τάση Τ του νήματος που συγκρατεί τον κύλινδρο.

ii) Συγκρατώντας τη δοκό σε οριζόντια θέση, απομακρύνουμε τη λεκάνη με το νερό και σε μια στιγμή αφήνουμε ελεύθερο το σύστημα να κινηθεί. Να βρεθεί η αρχική επιτάχυνση του κυλίνδρου.

iii) Παίρνουμε τον κύλινδρο αυτόν, τυλίγουμε γύρω του ένα αβαρές νήμα και τον τοποθετούμε σε λείο κεκλιμένο επίπεδο κλίσεως θ=30^ο. Ασκούμε στο άκρο Α του νήματος δύναμη παράλληλη στο επίπεδο με μέτρο ίσο με την τάση του νήματος στο i) ερώτημα και αφήνουμε ελεύθερο τον κύλινδρο να κινηθεί.

α) Να υπολογιστεί η επιτάχυνση του σημείου εφαρμογής της δύναμης Α.

β) Να βρεθεί η στροφορμή του κυλίνδρου ως προς τον άξονα περιστροφής του, τη στιγμή που έχει ξετυλιχθεί νήμα μήκους 0,8m.

Δίνονται: Η ροπή αδράνειας μιας δοκού ως προς κάθετο άξονα που περνά από το μέσον της Ι_δ=mℓ²/12, η αντίστοιχη του κυλίνδρου ως τον άξονά του Ι_κ= ½ mR², οι βάσεις του κυλίνδρου έχουν εμβαδόν Α₁=0,05m², η πυκνότητα του νερού ρ=1.000kg/m³ και η επιτάχυνση της βαρύτητας g=10m/s². Η δράση της ατμοσφαιρικής πίεσης  δεν λαμβάνεται υπόψη.

Απάντηση:

ή

	Ο κύλινδρος, η ισορροπία και η επιτάχυνσή του.

Θα υπάρξει ολίσθηση μετά την κρούση;

Ένα σώμα Σ₁ μάζας m₁=1kg εκτελεί ΑΑΤ σε λείο οριζόντιο επίπεδο, με πλάτος 0,4m,  στο άκρο οριζόντιου ιδανικού ελατηρίου σταθεράς k=100Ν/m, το άλλο άκρο του οποίου είναι δεμένο σε ακίνητο σώμα Σ₃, μάζας Μ=15kg. Το Σ₃ ισορροπεί σε πιο τραχύ οριζόντιο επίπεδο με το οποίο εμφανίζει συντελεστή οριακής στατικής τριβής μ_s=0,4. Το σώμα Σ₂, μάζας m₂=0,5kg, κινείται κατά μήκος του άξονα του ελατηρίου με ταχύτητα υ₂=4,5m/s, όπως στο σχήμα και σε μια στιγμή t₀=0, συγκρούεται κεντρικά και ελαστικά με το Σ₁, με αποτέλεσμα αμέσως μετά την κρούση, να κινείται προς τα αριστερά με ταχύτητα μέτρου υ₂΄=1,5m/s.

i)  Να βρεθούν, για το χρονικό διάστημα πριν την κρούση, η μέγιστη ταχύτητα (κατά μέτρο) ταλάντωσης του Σ₁ και το μέγιστο μέτρο της στατικής τριβής που ασκείται στο Σ₃.

ii) Ποια η ταχύτητα του Σ₁ αμέσως μετά την κρούση;

iii) Να υπολογιστεί η μεταβολή της ορμής κάθε σώματος η οποία οφείλεται στην κρούση.

iv) Να υπολογιστεί ο ρυθμός μεταβολής της ορμής κάθε σώματος, τη στιγμή που η στατική τριβή που ασκείται στο σώμα Σ₃ έχει μέτρο Τ_s=45Ν.

v) Να εξετάσετε αν θα ολισθήσει το σώμα Σ₃ κατά τη διάρκεια της νέας ταλάντωσης που θα πραγματοποιήσει το σώμα Σ₁ μετά την κρούση.

Απάντηση:

ή

	Θα υπάρξει ολίσθηση μετά την κρούση;

Ας μειώσουμε το συντελεστή δόμησης!!!.

Ας συνεχίσουμε στη γραμμή της ανάρτηση; «Τρεις ανοικτές βρύσες και η αντλία.» αλλά μειώνοντας …τους ορόφους, για λιγότερες πράξεις.

Μια διώροφη!!! λοιπόν κατοικία τροφοδοτείται με νερό από μια δεξαμενή, στην επιφάνεια του εδάφους, με την βοήθεια μιας αντλίας (Μ), όπως στο σχήμα.  Ο κεντρικός σωλήνας τροφοδοσίας έχει διατομή Α₁=14,5cm², ενώ με πλήρως ανοικτές τις βρύσες, το νερό εξέρχεται σχηματίζοντας φλέβες  με διατομές Α=0,3cm². Η βρύση στο ισόγειο, βρίσκεται στο ίδιο ύψος με την αντλία, ενώ η βρύση στον πρώτο όροφο βρίσκεται ψηλότερα κατά h=4m. Η αντλία λειτουργεί αυτόματα, εξασφαλίζοντας στην έξοδό της, σταθερή πίεση p_ο. Ανοίγουμε ταυτόχρονα και πλήρως τις δυο βρύσες,  οπότε η παροχή της βρύσης του ισογείου είναι 0,45L/s. Θεωρώντας μηδενικό το συντελεστή ιξώδους, ενώ δεν υπάρχουν τριβές του νερού με τα τοιχώματα και τις ροές μόνιμες και στρωτές:

i)  Να βρεθεί η παροχή της βρύσης του πρώτου ορόφου.

ii) Ποια η ισχύς τη αντλίας;

iii) Βέβαια στην πραγματικότητα, η παραπάνω ροή δεν είναι στρωτή αλλά τυρβώδης, αφού το νερό δεν έχει μηδενικό συντελεστή ιξώδους. Έτσι λειτουργώντας η αντλία με τον ίδιο τρόπο εξασφαλίζει στο σημείο Ο την ίδια σταθερή πίεση p_ο, ενώ οι παροχές είναι Π_Α=0,42L/s, Π_Β=0,30L/s . Να βρεθεί η ισχύς που μετατρέπεται σε θερμική εξαιτίας της εσωτερικής τριβής που εμφανίζεται.

Δίνεται η πυκνότητα του νερού ρ=1.000kg/m³ και g=10m/s².

Απάντηση:

ή

	Ας μειώσουμε το συντελεστή δόμησης!!!.